技巧1：一元一次不等式組的解法技巧
技巧2：一元一次不等式的解法的應(yīng)用
技巧3：含字母系數(shù)的一元一次不等式(組)的應(yīng)用
【題型】一、不等式的性質(zhì)
【題型】二、不等式(組)的解集的數(shù)軸表示
【題型】三、求一元一次不等式的特解的方法
【題型】四、確定不等式(組)中字母的取值范圍
【題型】五、求一元一次方程組中的待定字母的取值范圍
【題型】六、一元一次不等式的應(yīng)用
【考綱要求】
1、了解不等式(組)有關(guān)的概念，理解不等式的基本性質(zhì)；
2、會(huì)解簡單的一元一次不等式(組)；并能在數(shù)軸上表示出其解集．
3、能列出一元一次不等式(組)解決實(shí)際問題.
【考點(diǎn)總結(jié)】一、一元一次不等式(組)
【注意】
不等式的解與不等式的解集的區(qū)別與聯(lián)系：
1）不等式的解是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的某個(gè)值。
2）不等式的解集是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的所有的值。
3）不等式的所有解組成了這個(gè)不等式的解集，不等式的解集中包括這個(gè)不等式的每一個(gè)解。
2. 用數(shù)軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號畫實(shí)心圓點(diǎn)，無等號畫空心圓圖。
2．列不等式或不等式組解決實(shí)際問題，要注意抓住問題中的一些關(guān)鍵詞語，
如“至少”“最多”“超過”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．
這些都體現(xiàn)了不等關(guān)系，列不等式時(shí)，要根據(jù)關(guān)鍵詞準(zhǔn)確地選用不等號．另外，對一些實(shí)際問題的分析還要注意結(jié)合實(shí)際．
3．列不等式(組)解應(yīng)用題的一般步驟：
(1)審題；
(2)設(shè)未知數(shù)；
(3)找出能夠包含未知數(shù)的不等量關(guān)系；
(4)列出不等式(組)；
(5)求出不等式(組)的解；
(6)在不等式(組)的解中找出符合題意的值；
(7)寫出答案(包括單位名稱)．
【技巧歸納】
技巧1：一元一次不等式組的解法技巧
【類型】一、解普通型的一元一次不等式組
1．不等式組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x＜6，,x－2≤0))的解集，在數(shù)軸上表示正確的是( )
2．解不等式組，并把解集表示在數(shù)軸上．
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋5≤3（x＋2），①,\f(1－2x,3)＋\f(1,5)＞0.②))
【類型】二、解連寫型的不等式組
3．滿足不等式組－1n+b，故該選項(xiàng)不成立，不符合題意；
D、∵m>n，當(dāng)a>0時(shí)，-am?1的解集的是A．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確掌握不等式解集的表示方法,區(qū)分實(shí)心點(diǎn)與空心點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．超市用1200元錢批發(fā)了A，B兩種西瓜進(jìn)行銷售，兩種西瓜的批發(fā)價(jià)和零售價(jià)如下表所示，若計(jì)劃將這批西瓜全部售完后，所獲利潤率不低于40%，則該超市至少批發(fā)A種西瓜__________ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】120
【分析】設(shè)批發(fā)A種西瓜x kg，根據(jù)“利潤率不低于40%”列出不等式，求解即可．
【詳解】解：設(shè)批發(fā)A種西瓜xkg，則
（6-4）x+ SKIPIF 1 < 0 ×（4-3）≥1200×40%，
解得x≥120．
答：該超市至少批發(fā)A種西瓜120kg．
故答案為：120．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的不等關(guān)系，列不等式求解．
7．不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集為____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1；本題可以采用去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)即可求解．
【詳解】解：去分母，得： SKIPIF 1 < 0 ，
移項(xiàng)，得： SKIPIF 1 < 0 ，
合并同類項(xiàng)，得： SKIPIF 1 < 0 ．
∴不等式的解集為： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式．嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意∶不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號方向改變；在數(shù)軸上表示不等式的解集要注意實(shí)心點(diǎn)和空心點(diǎn)的區(qū)別．
三、解答題
8．解不等式組： SKIPIF 1 < 0 并將解集在數(shù)軸上表示．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)軸表示見解析
【分析】先求出每個(gè)一元一次不等式的解集，再求兩個(gè)解集的公共部分，即是不等式組的解集．
【詳解】解：解不等式 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解不等式 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的公共部分為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴不等式組的解集是： SKIPIF 1 < 0 ．
在數(shù)軸上表示解集如下：
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組解集的求解方法是解題關(guān)鍵．
一元一次不等式(組)（提升測評）
一、單選題
1．2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)開幕式于2022年2月4日20：00在國家體育館舉行，嘉淇利用相關(guān)數(shù)字做游戲：
①畫一條數(shù)軸，在數(shù)軸上用點(diǎn)A，B，C分別表示﹣20，2022，﹣24，如圖1所示；
②將這條數(shù)軸在點(diǎn)A處剪斷，點(diǎn)A右側(cè)的部分稱為數(shù)軸I，點(diǎn)A左側(cè)的部分稱為數(shù)軸Ⅱ；
③平移數(shù)軸Ⅱ使點(diǎn)A位于點(diǎn)B的正下方，如圖2所示；
④擴(kuò)大數(shù)軸Ⅱ的單位長度至原來的k倍，使點(diǎn)C正上方位于數(shù)軸I的點(diǎn)A左側(cè)．
則整數(shù)k的最小值為（ ）
A．511B．510C．509D．500
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，列出不等式，求得最小整數(shù)解即可求解．
【詳解】解：依題意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵擴(kuò)大數(shù)軸Ⅱ的單位長度至原來的k倍，使點(diǎn)C正上方位于數(shù)軸I的點(diǎn)A左側(cè)，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù)，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)距離，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意得出 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是解題的關(guān)鍵．
2．不等式 SKIPIF 1 < 0 的解在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得不等式的解集，繼而可得答案．
【詳解】解：去括號，得： SKIPIF 1 < 0 ，
移項(xiàng)，得： SKIPIF 1 < 0 ，
合并同類項(xiàng)，得： SKIPIF 1 < 0 ，
系數(shù)化為1，得 SKIPIF 1 < 0 ，
在數(shù)軸上表示為：
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號方向要改變．
3．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C．a(chǎn)，b，c不可能同時(shí)相等D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】A.根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ；
B.根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案；
C.當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，可以使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可判斷出答案；
D.根據(jù)解析B可知， SKIPIF 1 < 0 ，即可判斷．
【詳解】A.∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故A錯(cuò)誤；
B.∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，故B正確；
C.當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，可以使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴a，b，c可能同時(shí)相等，故C錯(cuò)誤；
D.根據(jù)解析B可知， SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，故D錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡，等式基本性質(zhì)和不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)和等式的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
4．若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程 SKIPIF 1 < 0 有非負(fù)整數(shù)解，且使關(guān)于y的不等式組 SKIPIF 1 < 0 至少有3個(gè)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．0D．2
【答案】D
【分析】解不等式組，根據(jù)題意確定a的范圍；解出分式方程，根據(jù)題意確定a的范圍，根據(jù)題意計(jì)算即可．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
解不等式①得：y＞﹣8，
解不等式②得：y≤a，
∴原不等式組的解集為：﹣8＜y≤a，
∵不等式組至少有3個(gè)整數(shù)解，
∴a≥﹣5，
SKIPIF 1 < 0 ，
去分母得∶1﹣x﹣a＝x﹣3，
解得：x SKIPIF 1 < 0 ，
∵分式方程有非負(fù)整數(shù)解，
∴x≥0（x為整數(shù)）且x≠3，
∴ SKIPIF 1 < 0 為非負(fù)整數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 3，
∴a≤4且a≠﹣2，
∴符合條件的所有整數(shù)a的值為：﹣4，0，2，4，
∴符合條件的所有整數(shù)a的和是：2，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的解法、一元一次不等式組的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式組的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
5．已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c，滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由兩個(gè)已知等式3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1．可用其中一個(gè)未知數(shù)表示另兩個(gè)未知數(shù)，然后由條件：a，b，c均是非負(fù)數(shù)，列出c的不等式組，可求出未知數(shù)c的取值范圍，再把m＝3a+b﹣7c中a，b轉(zhuǎn)化為c，即可得解．
【詳解】解：聯(lián)立方程組 SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ，
由題意知：a，b，c均是非負(fù)數(shù)，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴3a+b﹣7c
＝3（﹣3+7c）+（7﹣11c）﹣7c
＝﹣2+3c，
當(dāng)c＝ SKIPIF 1 < 0 時(shí)，3a+b﹣7c有最小值，即3a+b﹣7c＝﹣2+3× SKIPIF 1 < 0 ＝﹣ SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查代數(shù)式求值，考查的知識點(diǎn)相對較多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外還要求有充分利用已知條件的能力．
二、填空題
6．一元二次方程x2+5x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是 _____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式，可得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)行計(jì)算即可得．
【詳解】解：根據(jù)題意得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式并認(rèn)真計(jì)算．
7．若關(guān)于x的分式方程 SKIPIF 1 < 0 的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是________．
【答案】m≤6且m≠4
【分析】先求得分式方程的解，利用已知條件列出不等式，解不等式即可求解．
【詳解】解：關(guān)于x的分式方程 SKIPIF 1 < 0 的解為：x＝6?m，
∵分式方程有可能產(chǎn)生增根2，
∴6?m≠2，
∴m≠4，
∵關(guān)于x的分式方程 SKIPIF 1 < 0 的解是非負(fù)數(shù)，
∴6?m≥0，
解得：m≤6，
綜上，m的取值范圍是：m≤6且m≠4．
故答案為：m≤6且m≠4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能產(chǎn)生增根的情況，這是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
8．2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，三名航天員平安歸來，神舟十三號任務(wù)取得圓滿成功．飛箭航模店看準(zhǔn)商機(jī)，推出了“神舟”和“天宮”模型．已知每個(gè)“神舟”模型的成本比“天宮”模型多10元，同樣花費(fèi)100元，購進(jìn)“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模型多5個(gè)．
(1)“神舟”和“天宮”模型的成本各多少元？
(2)飛箭航模店計(jì)劃購買兩種模型共200個(gè)，且每個(gè)“神舟”模型的售價(jià)為30元，“天宮”模型的售價(jià)為15元．設(shè)購買“神舟”模型 SKIPIF 1 < 0 個(gè)，銷售這批模型的利潤為 SKIPIF 1 < 0 元．
①求 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍）；
②若購進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的 SKIPIF 1 < 0 ，則購進(jìn)“神舟”模型多少個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？
【答案】(1)“天宮”模型成本為每個(gè)10元，“神舟”模型每個(gè)20元
(2)① SKIPIF 1 < 0 ②購進(jìn)“神舟”模型50個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲得最大利潤，最大利潤為1250元
【分析】（1）根據(jù)總數(shù)，設(shè)立未知數(shù)，建立分式方程，即可求解.
（2）①設(shè)“神舟”模型 SKIPIF 1 < 0 個(gè)，則“天宮”模型為 SKIPIF 1 < 0 個(gè)，根據(jù)利潤關(guān)系即可表示w與a的關(guān)系式.
②根據(jù)購進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的 SKIPIF 1 < 0 ，即可找到a的取值范圍，利用一次函數(shù)性質(zhì)即可求解.
（1）
解：設(shè)“天宮”模型成本為每個(gè) SKIPIF 1 < 0 元，則“神舟”模型成本為每個(gè) SKIPIF 1 < 0 元.
依題意得 SKIPIF 1 < 0 .
解得 SKIPIF 1 < 0 .
經(jīng)檢驗(yàn)， SKIPIF 1 < 0 是原方程的解.
答：“天宮”模型成本為每個(gè)10元，“神舟”模型每個(gè)20元；
（2）
解：① SKIPIF 1 < 0 “神舟”模型 SKIPIF 1 < 0 個(gè)，則“天宮”模型為 SKIPIF 1 < 0 個(gè).
SKIPIF 1 < 0 .
② SKIPIF 1 < 0 購進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .
解得： SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .
即：購進(jìn)“神舟”模型50個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲得利潤.最大利潤為1250元.
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程、一次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵在于找到等量關(guān)系，建立方程，不等式，函數(shù)模型.
9．解不等式組： SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先分別求出兩個(gè)一元一次不等式的解集，然后根據(jù)“同大取大、同小取小，小大大小取中間、大大小小找不到”即可求解．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
解不等式①，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解不等式②，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴該不等式組的解集為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，理解并掌握求不等式組的原則“同大取大、同小取小，小大大小取中間、大大小小找不到”是解題的關(guān)鍵．
不
等
式
或
組
不等式的基本性質(zhì)
（1）不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)整式,不等號的方向不變
（2）不等式的兩邊都乘(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號的方向不變
（3）不等式的兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號的方向改變
解法
① 去分母；② 去括號；③ 移項(xiàng)；④ 合并同類項(xiàng)；⑤ 未知數(shù)的系數(shù)化為1.
在①至⑤步的變形中,一定要注意不等號的方向是否需要改變.
一元一次不等式組
定義
一般地,關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起,就組成一個(gè)一元一次不等式組.
解法
先求出各個(gè)不等式的解再確定其公共部分，即為原不等式組的解集。
四種基本不等式組的解集
不等式組(a

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專題10 一元一次不等式(組)-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型歸納與分層訓(xùn)練及答案(全國通用)(原卷版)

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