技巧1：一元二次方程的解法歸類
技巧2：根的判別式的六種常見應(yīng)用
技巧3：根與系數(shù)的關(guān)系的四種應(yīng)用類型
【題型】一、一元二次方程的概念
【題型】二、解一元二次方程：直接開平方法
【題型】三、解一元二次方程：配方法
【題型】四、解一元二次方程：公式法
【題型】五、解一元二次方程：因式分解法
【考綱要求】
1、理解一元二次方程的概念，熟練掌握一元二次方程的解法．
2、會(huì)判斷一元二次方程根的情況；了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．
3、會(huì)列一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題.
【考點(diǎn)總結(jié)】一、一元二次方程
【注意】
判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，必須符合以下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：
一元二次方程是整式方程，即方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式．
一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一個(gè)未知數(shù)．
一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是 SKIPIF 1 < 0 ．
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步驟
一化：化二次項(xiàng)系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)； SKIPIF 1 < 0
二移：移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)與一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)； SKIPIF 1 < 0
3、三配：
①配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，方程化為 SKIPIF 1 < 0 的形式；
②方程左邊變形為一次二項(xiàng)式的完全平方式，右邊合并為一個(gè)常數(shù)； SKIPIF 1 < 0
4、四解：
①用直接開平方法解變形后的方程，此時(shí)需保證方程右邊是非負(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 。
②分別解這兩個(gè)一元二次方程，求出兩根 SKIPIF 1 < 0 。
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）)的解法選擇
（1）當(dāng)b=0時(shí)，首選直接開平法
（2）當(dāng)c=0時(shí)，首選因式分解法或配方法
（3）當(dāng)a=1,b≠0,c≠0時(shí)，首選配方法或因式分解法
（4）當(dāng)a≠1,b≠0,c≠0時(shí)，首選公式法或因式分解法
一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的兩類應(yīng)用
（1）求含有兩根的代數(shù)式的值：設(shè)法將所求代數(shù)式通過(guò)因式分解或配方等恒等變形，變形為含有兩根和與兩根積的式子，再代入由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到的值，求出結(jié)果
（2）構(gòu)造以兩數(shù)為根的一元二次方程：:由已知兩數(shù)x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0寫出方程
【技巧歸納】
技巧1：一元二次方程的解法歸類
【類型】一、限定方法解一元二次方程
題型1：形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接開平方法求解
1．方程4x2－25＝0的解為( )
A．x＝eq \f(2,5) B．x＝eq \f(5,2) C．x＝±eq \f(5,2) D．x＝±eq \f(2,5)
2．用直接開平方法解下列一元二次方程，其中無(wú)解的方程為( )
A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0
題型2：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1，且一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，用配方法求解
3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程變?yōu)? )
A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝1 C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝2
4．解方程：x2＋4x－2＝0.
5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求eq \f(x,y)的值．
題型3：能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解
6．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )
A．－1 B．0 C．1和2 D．－1和2
7．解下列一元二次方程：
(1)x2－2x＝0； (2)16x2－9＝0； (3)4x2＝4x－1.
題型4：如果一個(gè)一元二次方程易于化為它的一般式，則用公式法求解
8．用公式法解一元二次方程x2－eq \f(1,4)＝2x，方程的解應(yīng)是( )
A．x＝eq \f(－2±\r(5),2) B．x＝eq \f(2±\r(5),2) C．x＝eq \f(1±\r(5),2) D．x＝eq \f(1±\r(3),2)
9．用公式法解下列方程．
(1)3(x2＋1)－7x＝0； (2)4x2－3x－5＝x－2.
【類型】二、選擇合適的方法解一元二次方程
10．方程4x2－49＝0的解為( )
A．x＝eq \f(2,7) B．x＝eq \f(7,2) C．x1＝eq \f(7,2)，x2＝－eq \f(7,2) D．x1＝eq \f(2,7)，x2＝－eq \f(2,7)
11．一元二次方程x2－9＝3－x的根是( )
A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝－4 C．x1＝3和x2＝－4 D．x1＝3和x2＝4
12．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是( )
A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝4，x2＝－2 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－4，x2＝2
13．解下列方程．
(1)3y2－3y－6＝0； (2)2x2－3x＋1＝0.
【類型】三、用特殊方法解一元二次方程
題型1：構(gòu)造法
14．解方程：6x2＋19x＋10＝0.
15．若m，n，p滿足m－n＝8，mn＋p2＋16＝0，求m＋n＋p的值．
題型2：換元法
a．整體換元
16．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
17．x2＋eq \f(1,x2)－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))－1＝0.
b．降次換元
18．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
c．倒數(shù)換元
19．解方程：eq \f(x－2,x)－eq \f(3x,x－2)＝2.
題型3：特殊值法
20．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016.
參考答案
1．C 2.C 3.C
4．解： x2＋4x－2＝0，
x2＋4x ＝2，
(x＋2)2 ＝6，
x＋2 ＝±eq \r(6)，
∴x1＝－2＋eq \r(6)，x2＝－2－eq \r(6).
5．解： x2－10x＋y2－16y＋89＝0，
(x2－10x＋25)＋(y2－16y＋64) ＝0，
(x－5)2＋(y－8)2 ＝0，
∴x＝5，y＝8.∴eq \f(x,y)＝eq \f(5,8).
6．D
7．解：(1)x2－2x＝0，x(x－2)＝0，
∴x1＝0，x2＝2.
(2)16x2－9＝0，(4x＋3)(4x－3)＝0，∴x1＝－eq \f(3,4)，x2＝eq \f(3,4).
(3)4x2＝4x－1，4x2－4x＋1＝0，
(2x－1)2＝0，∴x1＝x2＝eq \f(1,2).
8．B
9．解：(1)3(x2＋1)－7x＝0，3x2－7x＋3＝0，
∵b2－4ac＝(－7)2－4×3×3＝13.
∴x＝eq \f(7±\r(13),2×3)＝eq \f(7±\r(13),6).
∴x1＝eq \f(7＋\r(13),6)，x2＝eq \f(7－\r(13),6).
(2)4x2－3x－5＝x－2，4x2－4x－3＝0，
∵b2－4ac＝(－4)2－4×4×(－3)＝64.∴x＝eq \f(4±\r(64),2×4)＝eq \f(1±2,2).
∴x1＝eq \f(3,2)，x2＝－eq \f(1,2).
10．C 11.C 12.B
13．解：(1)3y2－3y－6＝0，y2－y－2＝0，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,4)，
y－eq \f(1,2)＝±eq \f(3,2)，∴y1＝2，y2＝－1.
(2)2x2－3x＋1＝0，
∵b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1，
∴x＝eq \f(3±\r(1),2×2)＝eq \f(3±1,4)，
即x1＝1，x2＝eq \f(1,2).
14．解：將原方程兩邊同乘6，得(6x)2＋19×(6x)＋60＝0.解得6x＝－15或6x＝－4.∴x1＝－eq \f(5,2)，x2＝－eq \f(2,3).
15．解：因?yàn)閙－n＝8，所以m＝n＋8.
將m＝n＋8代入mn＋p2＋16＝0中，得n(n＋8)＋p2＋16＝0，所以n2＋8n＋16＋p2＝0，即(n＋4)2＋p2＝0.
又因?yàn)?n＋4)2≥0，p2≥0，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n＋4＝0，,p＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n＝－4，,p＝0.))
所以m＝n＋8＝4.
所以m＋n＋p＝4＋(－4)＋0＝0.
16．解：原方程可變?yōu)閇(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48，
即(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48.
設(shè)y＝x2－5x＋5，則原方程變?yōu)?y－1)(y＋1)＝48.
解得y1＝7，y2＝－7.
當(dāng)x2－5x＋5＝7時(shí)，解得x1＝eq \f(5＋\r(33),2)，x2＝eq \f(5－\r(33),2)；
當(dāng)x2－5x＋5＝－7時(shí)，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－231.
又一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的判別式Δ＝4－4k，
∴Δ

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