2024.11
（選擇性必修—檢測(cè)）
說(shuō)明：本試卷滿分150分，分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷為第1頁(yè)至第2頁(yè)，第Ⅱ卷為第3頁(yè)至第4頁(yè).試題答案請(qǐng)用2B鉛筆或0.5mm簽字筆填涂到答題卡規(guī)定位置上，書(shū)寫(xiě)在試題上的答案無(wú)效.
考試時(shí)間120分鐘.
第Ⅰ卷（共58分）
一、單選題（本題包括8小題，每小題5分，共40分. 每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）
1. 已知空間向量，若共面，則實(shí)數(shù) （ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. “”是“直線與直線平行”的（ ）
A. 必要不充分條件B. 充分不必要條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 給出下列說(shuō)法，其中不正確的是（ ）
A. 若，則，與空間中其它任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底向量
B. 若，則點(diǎn)是線段的中點(diǎn)
C 若，則A，，，四點(diǎn)共面
D. 若平面，的法向量分別為，，且，則
4. 若三條直線，，不能?chē)扇切?，則實(shí)數(shù)的取值最多有（ ）
A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)
5. 實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A. 3B. 7C. D.
6. 若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C D.
7. 在三棱錐中，為的重心，，若交平面于點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A. B. C. 1D.
8. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，.點(diǎn)在上且位于第一象限，圓與線段的延長(zhǎng)線，線段以及軸均相切，的內(nèi)切圓為圓.若圓與圓外切，且圓與圓的面積之比為4，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
二.多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.）
9. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大
B. 圓與直線必有兩個(gè)交點(diǎn)
C. 在軸、軸上的截距分別為，的直線方程為
D. 設(shè)，，若直線與線段有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
10. 已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是一個(gè)定點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 焦距為2B. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
C. D. 的最大值為
11. 立體幾何中有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱(chēng)作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得的，下列結(jié)論正確的有（ ）

A. 平面
B. ，，，四點(diǎn)共面
C. 點(diǎn)到平面的距離為
D. 若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值范圍為
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分，其中14題第一空2分，第二空3分.）
12. 已知直線的傾斜角，則直線的斜率的取值范圍為_(kāi)_____.
13. 如圖，已知點(diǎn)，，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線反射后再射到直線上，最后經(jīng)直線反射后又回到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程是__________.

14. 杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)的主會(huì)場(chǎng)——杭州奧體中心體育場(chǎng)，又稱(chēng)“大蓮花”（如圖1所示）．會(huì)場(chǎng)造型取意于杭州絲綢紋理與紡織體系，建筑體態(tài)源于錢(qián)塘江水的動(dòng)態(tài)，其簡(jiǎn)筆畫(huà)如圖2所示．一同學(xué)初學(xué)簡(jiǎn)筆畫(huà)，先畫(huà)了一個(gè)橢圓與圓弧的線稿，如圖3所示．若橢圓的方程為，下頂點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________；若為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)恰好有兩個(gè)，則的取值范圍為_(kāi)_________．
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
15. 已知兩直線和的交點(diǎn)為．
（1）直線過(guò)點(diǎn)且與直線平行，求直線的一般式方程；
（2）圓過(guò)點(diǎn)且與相切于點(diǎn)，求圓的一般方程．
16. 已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）若斜率為直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.
17. 在梯形中，，，，為的中點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)（如圖1）.將△沿折起到△位置，使得（如圖2）.
（1）求證：平面平面；
（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
18. 已知直線，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方.
（1）求圓C的方程；
（2）直線與圓C交于不同的M，N兩點(diǎn)，且，求直線的斜率；
（3）過(guò)點(diǎn)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)（A在x軸上方），問(wèn)在y軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得y軸平分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
19. 已知點(diǎn)是平面內(nèi)不同的兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，且，則點(diǎn)的軌跡是以有序點(diǎn)對(duì)為“穩(wěn)點(diǎn)”的-阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是以為“穩(wěn)點(diǎn)”的-卡西尼卵形線.已知在平面直角坐標(biāo)系中，.
（1）若以為“穩(wěn)點(diǎn)”-阿波羅尼斯圓的方程為，求的值；
（2）在（1）條件下，若點(diǎn)在以為“穩(wěn)點(diǎn)”的5-卡西尼卵形線上，求（為原點(diǎn)）的取值范圍；
（3）卡西尼卵形線是中心對(duì)稱(chēng)圖形，且只有1個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，若，求證：不存在實(shí)數(shù)，使得以為“穩(wěn)點(diǎn)”的—阿波羅尼斯圓與—卡西尼卵形線都關(guān)于同一個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng).山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024～2025學(xué)年第一學(xué)期期中
高二數(shù)學(xué)試題
2024.11
（選擇性必修—檢測(cè)）
說(shuō)明：本試卷滿分150分，分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷為第1頁(yè)至第2頁(yè)，第Ⅱ卷為第3頁(yè)至第4頁(yè).試題答案請(qǐng)用2B鉛筆或0.5mm簽字筆填涂到答題卡規(guī)定位置上，書(shū)寫(xiě)在試題上的答案無(wú)效.
考試時(shí)間120分鐘.
第Ⅰ卷（共58分）
一、單選題（本題包括8小題，每小題5分，共40分. 每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）
1. 已知空間向量，若共面，則實(shí)數(shù) （ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量共面定理可知存在一對(duì)有序?qū)崝?shù)，使，然后列方程組可求得答案.
【詳解】因?yàn)椴还簿€，共面，
所以存在一對(duì)有序?qū)崝?shù)，使，
所以，
所以，解得，
故選：A
2. “”是“直線與直線平行”（ ）
A. 必要不充分條件B. 充分不必要條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】由兩直線平行斜率相等的關(guān)系求解即可；
【詳解】當(dāng)時(shí)，直線，直線，此時(shí)兩直線斜率相等，且兩截距，
所以兩直線平行，故充分性成立；
當(dāng)直線與直線平行時(shí)，
有，解得或3，故必要性不成立，
故選：B.
3. 給出下列說(shuō)法，其中不正確的是（ ）
A. 若，則，與空間中其它任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底向量
B. 若，則點(diǎn)是線段的中點(diǎn)
C. 若，則A，，，四點(diǎn)共面
D. 若平面，的法向量分別為，，且，則
【答案】C
【解析】
【分析】對(duì)于A，根據(jù)基底向量的定義分析判斷；對(duì)于B，根據(jù)線性運(yùn)算可得，即可得結(jié)果；對(duì)于C，根據(jù)四點(diǎn)共面的結(jié)論分析判斷；對(duì)于D，可得，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，則，與任何向量都共面，
所以，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底向量，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，即?br>可得，所以M為AB中點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋遥?br>所以A，，，四點(diǎn)不共面，故C不正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，平面α，β的法向量分別為，，
當(dāng)時(shí)，則，
可得，解得，故D正確；
故選：C.
4. 若三條直線，，不能?chē)扇切?，則實(shí)數(shù)的取值最多有（ ）
A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知直線與直線或直線平行，或直線過(guò)點(diǎn)，進(jìn)而列式求解即可.
【詳解】聯(lián)立方程，解得，
可知：直線的斜率為，的斜率為，且直線、的交點(diǎn)為，
若三條直線不能?chē)扇切?，則直線與直線或直線平行，或直線過(guò)點(diǎn)，
可知直線的斜率存在，且為，
可得或或，解得或或，
所以實(shí)數(shù)的取值最多有3個(gè).
故選：B.
5. 實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A. 3B. 7C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)可得，表示為圓上點(diǎn)到直線距離的倍，運(yùn)用幾何法求解即可.
【詳解】化簡(jiǎn)可得，即在圓上，
則表示為圓上點(diǎn)到直線距離的倍，
圓心到直線距離為，
則的最小值為.
故選：A
6. 若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直線l的方程得到直線l恒過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)曲線C的方程曲線C表示半圓，然后結(jié)合圖形求k的范圍即可.
【詳解】直線l恒過(guò)定點(diǎn)，
曲線C的方程可整理為，
所以曲線C表示以為圓心，半徑為2的半圓，圖象如下所示：
，為兩種臨界情況，由題意得，則，
令圓心到直線l的距離，解得，則，
所以當(dāng)時(shí)，直線l與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
故選：D.
7. 在三棱錐中，為的重心，，若交平面于點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空間向量的四點(diǎn)共面的定理，得出系數(shù)的關(guān)系，再借助基本不等式求出最小值.
【詳解】∵，
∴．
∵，
∴．
∵四點(diǎn)共面，
∴，即．
∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
∴的最小值為1．
故選：C
8. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，.點(diǎn)在上且位于第一象限，圓與線段的延長(zhǎng)線，線段以及軸均相切，的內(nèi)切圓為圓.若圓與圓外切，且圓與圓的面積之比為4，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)圓、與軸的切點(diǎn)分別為，，圓心、在的角平分線上，從而切點(diǎn)也在的角平分線上，所以，由切線的性質(zhì)求得，，由圓面積比得半徑比，然后由相似形得出的關(guān)系式，從而求得離心率．
【詳解】由已知及平面幾何知識(shí)可得圓心、在的角平分線上.如圖，
設(shè)圓、與軸的切點(diǎn)分別為，，由平面幾何知識(shí)可得，直線為兩圓的公切線，
切點(diǎn)也在的角平分線上，所以，
由橢圓的定義知，則，所以，
所以，所以，
.又圓與圓的面積之比為4，
所以圓與圓的半徑之比為2，因?yàn)椋裕?br>即，整理得，故橢圓的離心率.
故選：B.
二.多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.）
9. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大
B. 圓與直線必有兩個(gè)交點(diǎn)
C. 在軸、軸上的截距分別為，的直線方程為
D. 設(shè)，，若直線與線段有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)傾斜角與斜率關(guān)系判斷A；由直線所過(guò)定點(diǎn)與已知圓的位置關(guān)系判斷B；注意截距為0的情況判斷C；由直線所過(guò)定點(diǎn)與所成直線斜率，求參數(shù)范圍判斷D.
【詳解】A：傾斜角從銳角到鈍角的過(guò)程中，斜率符號(hào)由正變負(fù)，錯(cuò)；
B：由恒過(guò)定點(diǎn)，而，即定點(diǎn)在圓內(nèi)，
所以圓與直線必有兩個(gè)交點(diǎn)，對(duì)；
C：若截距為0的情況，不能用表示直線，錯(cuò)；
D：由過(guò)定點(diǎn)，且在y軸兩側(cè)，
該定點(diǎn)與，所成直線斜率分別為，
所以，即，對(duì).
故選：BD
10. 已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是一個(gè)定點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 焦距為2B. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
C. D. 的最大值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先根據(jù)條件先求橢圓的方程，再判斷選項(xiàng)，D選項(xiàng)利用橢圓的定義，將距離的和轉(zhuǎn)化為距離差的最大值，利用數(shù)形結(jié)合，即可判斷.
【詳解】由條件可知，，得，
所以橢圓的焦距，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A錯(cuò)誤，B正確；
，，，故C正確；
，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在之間時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.
故選：BCD
11. 立體幾何中有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱(chēng)作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得的，下列結(jié)論正確的有（ ）

A. 平面
B. ，，，四點(diǎn)共面
C. 點(diǎn)到平面的距離為
D. 若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值范圍為
【答案】ABD
【解析】
【分析】畫(huà)出“阿基米德體”對(duì)應(yīng)的正方體，由圖可判斷AB選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量來(lái)判斷CD選項(xiàng).
【詳解】“阿基米德體”是由如圖所示得到的，即“阿基米德體”的所有頂點(diǎn)都是正方體的棱的中點(diǎn).

A選項(xiàng)：由圖可知平面，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)：∵，，，四點(diǎn)均是正方體個(gè)棱上中點(diǎn)，∴，∴，，，四點(diǎn)共面，B選擇正確；

C選項(xiàng)：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

∵，∴正方體棱長(zhǎng)為4，∴，，，，
所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，解得，即，
，
∴點(diǎn)到平面的距離，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
設(shè)且，所以，
設(shè)與的夾角為，
所以
當(dāng)時(shí)，令，
因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以，即
當(dāng)時(shí)，，
所以直線與直線所成角的余弦值范圍為，故D選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛，本題的關(guān)鍵是還原原來(lái)的正方體，然后利用空間向量來(lái)解決立體圖像中的距離和夾角問(wèn)題.
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分，其中14題第一空2分，第二空3分.）
12. 已知直線的傾斜角，則直線的斜率的取值范圍為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)斜率的定義以及正切函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù),所以,
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù),所以,
又時(shí),直線的斜率不存在,
所以直線的斜率的取值范圍是.
故答案為：.
13. 如圖，已知點(diǎn)，，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線反射后再射到直線上，最后經(jīng)直線反射后又回到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程是__________.

【答案】
【解析】
【分析】求出關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和它關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則就是所求的路程長(zhǎng).
【詳解】解：直線的方程為，即，

設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
則，解得，即，
又點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
由光的反射規(guī)律以及幾何關(guān)系可知，光線所經(jīng)過(guò)的路程長(zhǎng)．
故答案為：
14. 杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)的主會(huì)場(chǎng)——杭州奧體中心體育場(chǎng)，又稱(chēng)“大蓮花”（如圖1所示）．會(huì)場(chǎng)造型取意于杭州絲綢紋理與紡織體系，建筑體態(tài)源于錢(qián)塘江水的動(dòng)態(tài)，其簡(jiǎn)筆畫(huà)如圖2所示．一同學(xué)初學(xué)簡(jiǎn)筆畫(huà)，先畫(huà)了一個(gè)橢圓與圓弧的線稿，如圖3所示．若橢圓的方程為，下頂點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________；若為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)恰好有兩個(gè)，則的取值范圍為_(kāi)_________．
【答案】 ①. ； ②. ．
【解析】
【分析】設(shè)，把已知用坐標(biāo)表示并化簡(jiǎn)得軌跡方程后可得點(diǎn)坐標(biāo)，用三角換元法設(shè)，求出后結(jié)合對(duì)稱(chēng)性、二次函數(shù)性質(zhì)，正弦函數(shù)性質(zhì)可得參數(shù)范圍．
【詳解】設(shè)，由得，化簡(jiǎn)得，
∴，
橢圓的方程是，設(shè)，
，
令，則，
依題意，點(diǎn)在軸上方，且關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，因此取最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的，
時(shí)，取得最大值，且，又，因此可解得．
故答案為：；．
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
15. 已知兩直線和的交點(diǎn)為．
（1）直線過(guò)點(diǎn)且與直線平行，求直線的一般式方程；
（2）圓過(guò)點(diǎn)且與相切于點(diǎn)，求圓的一般方程．
【答案】（1）．
（2）．
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立求出，根據(jù)平行關(guān)系，設(shè)出直線為，代入點(diǎn)，得到，求出答案；
（2）設(shè)圓標(biāo)準(zhǔn)方程，將與代入，得到方程組，并根據(jù)相切關(guān)系得到關(guān)于斜率的方程，聯(lián)立求出，求出答案.
【小問(wèn)1詳解】
直線與直線平行，故設(shè)直線為，
聯(lián)立方程組，解得．
直線和的交點(diǎn)．
又直線過(guò)點(diǎn)，則，解得，
即直線的方程為．
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
的斜率為，故直線的斜率為1，
由題意可得
解得
故所求圓的方程為．
化為一般式：．
16. 已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）若斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由離心率和橢圓過(guò)點(diǎn)解得的值，寫(xiě)出橢圓方程；
（2）寫(xiě)出直線方程，聯(lián)立方程組消元得到二次方程，用韋達(dá)定理表示出線段的長(zhǎng)，再求出點(diǎn)到直線的距離，由三角形面積公式求得四邊形面積代數(shù)式，然后求最大值.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可得：，解得，
由橢圓過(guò)點(diǎn)，得，聯(lián)立解得，，
所以橢圓的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
由題意可設(shè)，
點(diǎn)在第一象限，，
設(shè)，，點(diǎn)，到直線的距離分別為，，
由，消可得，
，，
，
，，直線的一般式方程：，
，，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值為.
17. 在梯形中，，，，為的中點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)（如圖1）.將△沿折起到△位置，使得（如圖2）.
（1）求證：平面平面；
（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）先證明四邊形是菱形，從而證明平面ABC，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵在梯形中，，
，，為的中點(diǎn)，
∴，，，
∴是正三角形，四邊形為菱形，
∴，，
∵，
又∵平面ABC，
∴平面ABC，
∵平面，
∴平面⊥平面ABC.
【小問(wèn)2詳解】
存在，，理由如下：
∵平面，OP⊥AC，
∴，，兩兩互相垂直，
如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則，，，，
∴，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
，即，令，則，，
，
設(shè)，
∵，，
∴，
設(shè)與平面所成角為，則，
即，，解得，
∴線段上存在點(diǎn)，且，使得與平面所成角正弦值為.
18. 已知直線，半徑為2圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方.
（1）求圓C的方程；
（2）直線與圓C交于不同的M，N兩點(diǎn)，且，求直線的斜率；
（3）過(guò)點(diǎn)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)（A在x軸上方），問(wèn)在y軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得y軸平分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）設(shè)出圓心，根據(jù)直線與圓相切，得到圓心到直線的距離等于2，確定圓心坐標(biāo)，即可得圓的方程.
（2）根據(jù)題意得圓心到直線的距離為，利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程，即可求解.
（3）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出方程與圓的方程聯(lián)立，韋達(dá)定理，結(jié)合，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)軸時(shí)，利用y軸平分求得點(diǎn)N的坐標(biāo)滿足的條件，即可得定點(diǎn)坐標(biāo).
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)圓心，則，
解得或（舍），故圓的方程為．
【小問(wèn)2詳解】
由題意可知圓心到直線的距離為，
則有，解得.
【小問(wèn)3詳解】
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
由得，
若y軸平分，則，即，即，
即，即，即，
當(dāng)時(shí)，上式恒成立，即；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易知滿足題意；
綜上，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，y軸平分.
19. 已知點(diǎn)是平面內(nèi)不同的兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，且，則點(diǎn)的軌跡是以有序點(diǎn)對(duì)為“穩(wěn)點(diǎn)”的-阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是以為“穩(wěn)點(diǎn)”的-卡西尼卵形線.已知在平面直角坐標(biāo)系中，.
（1）若以為“穩(wěn)點(diǎn)”的-阿波羅尼斯圓的方程為，求的值；
（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)在以為“穩(wěn)點(diǎn)”的5-卡西尼卵形線上，求（為原點(diǎn)）的取值范圍；
（3）卡西尼卵形線是中心對(duì)稱(chēng)圖形，且只有1個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，若，求證：不存在實(shí)數(shù)，使得以為“穩(wěn)點(diǎn)”的—阿波羅尼斯圓與—卡西尼卵形線都關(guān)于同一個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
【答案】（1）
（2）
（3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）由新定義得到，結(jié)合常數(shù)，即可求解；
（2）設(shè)，由定義得到，從而有，求得，再由，即可求解；
（3）由及定義得到以為“穩(wěn)點(diǎn)”的一阿波羅尼斯圓的方程：，再結(jié)合對(duì)稱(chēng)性及得到—卡西尼卵形線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，從而得到推出矛盾，即可解決問(wèn)題.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)橐詾椤胺€(wěn)點(diǎn)”的一阿波羅尼斯圓的方程為，設(shè)Px,y是該圓上任意一點(diǎn)，則，
所以，
因?yàn)闉槌?shù)，
所以，且，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）知，設(shè)，
由，得，
所以，
，
整理得，即，
所以，
，
由，得，
即OQ的取值范圍是.
【小問(wèn)3詳解】
證明：若，則以為“穩(wěn)點(diǎn)”的一阿波羅尼斯圓的方程為，整理得，
該圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
由點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)及，
可得—卡西尼卵形線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
令，解得，與矛盾，
所以不存在實(shí)數(shù)，使得以為穩(wěn)點(diǎn)的—阿波羅尼斯圓與—卡西尼卵形線都關(guān)于同一個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
【點(diǎn)睛】本題考查軌跡問(wèn)題，新定義的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)新定義得到相應(yīng)的軌跡方程，是本題的關(guān)鍵也是難點(diǎn).

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