1.已知點A(1,?1,2)關(guān)于z軸的對稱點為B，則AB等于( )
A. 2 2B. 2 6C. 2D. 3 2
2.如圖，在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，M為BC的中點，N為A1C1靠近A1的三等分點，設(shè)AB=a，AC=b，AA1=c，則用a，b，c表示NM為( )
A. 12a+16b?cB. ?12a+16b+c
C. 12a?16b?cD. ?12a?16b+c
3.直線的一個方向向量為v=1,?3，且經(jīng)過點0,2，則直線的方程為( )
A. 3x?y+2=0B. 3x+y?2=0C. 3x+y+2=0D. 3x?y?2=0
4.已知直線l的方向向量為e=(2,1,?2)，平面α的法向量為n=(?2,b?a,a+b),(a,b∈R).若l⊥α，則a+3b的值為( )
A. 1B. 3C. 4D. ?4
5.“m=3”是“直線l1:mx+y+m=0與l2,3x+(m?2)y?3m=0平行”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
6.正四面體P?ABC的棱長為2，點D是AB的中點，則PD?BC的值為( )
A. 1B. 23C. ?23D. ?1
7.已知正方形的一條對角線所在直線的斜率為3，則其一條邊所在直線的斜率是( )
A. ?3B. ?2C. 13D. 2
8.設(shè)動點P在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1的對角線BD1上，且D1PD1B=λ，當(dāng)∠APC為銳角時，λ的取值范圍是( )
A. [0,13)B. [0,12)C. (13,1)D. (12,1)
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知向量a=2,0,2，b=?12,1,?32，c=1,?2,3，則下列結(jié)論正確的是( )
A. a與b垂直
B. b與c共線
C. a與c所成角為銳角
D. a，b，c，可作為空間向量的一組基底
10.已知兩直線l1:2mx+y?2m+1=0，l2:x?my?m?2=0(m∈R)，則下列說法正確的是( )
A. 對任意實數(shù)m，直線l1，l2的方向向量都不可能平行
B. 存在實數(shù)m，使直線l1垂直于x軸
C. 存在實數(shù)m，使直線l1，l2互相垂直
D. 當(dāng)m=0時，直線l2的方向向量不存在
11.在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1=1，點P滿足BP=λBC+μBB1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，則( )
A. 當(dāng)λ=1時，?AB1P的周長為定值
B. 當(dāng)μ=1時，三棱錐P?A1BC的體積為定值
C. 當(dāng)λ=12時，有且僅有一個點P，使得A1P⊥BP
D. 當(dāng)μ=12時，有且僅有一個點P，使得A1B⊥平面AB1P
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量a=(2,?1,1)，b=(?1,1,x)，若a與b垂直，則a+2b= ．
13.已知點A3,1，B?4,?1，直線l是過點P(?2,3)且與線段AB相交且斜率存在，則l的斜率k的取值范圍是
14.在?ABC中，已知A1,1，AC邊上的高線所在的直線方程為x?2y=0，AB邊上的高線所在的直線方程為3x+2y?3=0.則BC邊所在的直線方程為 ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知空間中三點A3,1,?1,B2,0,?1,C4,1,?3，設(shè)a=AB,b=AC．
(1)若c=3，且c//BC，求向量c；
(2)求以a,b為一組鄰邊的平行四邊形的面積S．
16.(本小題12分)
如圖，四棱錐P?ABCD中，PB⊥平面ABCD，四邊形ABCD是梯形，BC//AD，∠BAD=90°，PB=AB=AD=2，BC=1，點E是AP的中點，F(xiàn)是PB上的點，BF=13BP．
(1)求證：點F在平面ECD內(nèi)；
(2)求點P到平面ECD的距離．
17.(本小題12分)
已知直線l過點(3,4)，O為坐標(biāo)原點．
(1)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l方程；
(2)若直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點且?AOB面積為24．
ⅰ)求直線l方程；
ⅱ)若點P為線段AB上一動點，且PQ//OB交OA于點Q.在y軸上是否存在點M，使?MPQ為等腰直角三角形，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
18.(本小題12分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC=45°，PA⊥底面ABCD，AB=AC=PA=2，E、F分別為BC、AD的中點，點M在線段PD上．

(1)求證：EF⊥平面PAC；
(2)設(shè)PMPD=λ，若直線ME與平面PBC所成的角θ的正弦值為 1515，求λ的值．
19.(本小題12分)
球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科.如圖一，球O的半徑為R，A,B,C為球面上三點，劣弧BC的弧長記為a，設(shè)O0表示以O(shè)為圓心，且過B,C的圓，同理，圓O3，O2的劣弧AC,AB的弧長分別記為b,c，曲面ABC(陰影部分)叫做球面三角形，若設(shè)二面角C?OA?B，A?OB?C，B?OC?A分別為α，β，γ，則球面三角形的面積為S球面△ABC=α+β+γ?πR2．
(1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC兩兩垂直，求球面三角形ABC的面積；
(2)若將圖一中四面體OABC截出得到圖二，若平面三角形ABC為直角三角形，AC⊥BC，設(shè)∠AOC=θ1，∠BOC=θ2，∠AOB=θ3．
①求證：csθ1+csθ2?csθ3=1；
②延長AO與球O交于點D，連接BD,CD，若直線DA,DC與平面ABC所成的角分別為π4，π3，BE=λBD，λ∈0,1,S為AC中點，T為BC中點，設(shè)平面OBC與平面EST的夾角為θ，求sinθ的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
由點關(guān)于某坐標(biāo)軸對稱的點的特征以及兩點距離公式即可求解．
【解答】
解：點A(1,?1,2)關(guān)于z軸的對稱點為B?1,1,2，
所以AB= 4+4+0=2 2．
故選：A．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本題考查空間向量基本定理的應(yīng)用，考查空間向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)空間向量的線性運算用a，b，c分別表示出AN,AM，再利用減法運算法則表示出NM．
【解答】
解：設(shè)AB=a，AC=b，AA1=c．
M為BC的中點，則AM=12AB+AC=12a+12b，
N為A1C1靠近A1的三等分點，則A1N=13AC，
則AN=AA1+A1N=AA1+13AC=c+13b，
所以NM=AM?AN=12a+12b?c?13b=12a+16b?c．
故選A．
3.【答案】B
【解析】【分析】
方法一：由直線的方向量求出直線斜率，然后利用點斜式可求出直線方程；方法二：由已知可得直線的一個法向量為n=3,1，則設(shè)直線為3x+y+C=0，再將0,2代入求出C，從而可得直線方程．
【解答】
解：方法一 ∵直線的一個方向向量為v=1,?3，∴k=?3，
∴直線的方程為y=?3x+2，即3x+y?2=0．
方法二 由題意知直線的一個法向量為n=3,1，
∴直線的方程可設(shè)為3x+y+C=0，將點0,2代入得C=?2，
故所求直線的方程為3x+y?2=0．
故選：B
4.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查直線的方向向量和平面的法向量，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)題意得e//n，所以?22=b?a1=a+b?2，即可求解．
【解答】
解：由直線l的方向向量為e=(2,1,?2)，平面α的法向量為n=(?2,b?a,a+b),(a,b∈R)
且l⊥α，可得e//n，所以?22=b?a1=a+b?2，
即a?b=1,a+b=2,解得a=32,b=12,所以a+3b=3．
故選B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
根據(jù)直線平行的條件，判斷“m=3”和“直線l1:mx+y+m=0與l2,3x+(m?2)y?3m=0平行”之間的邏輯關(guān)系，即可得答案．
【解答】
解：當(dāng)m=3時，直線l1:3x+y+3=0與l2,3x+y?9=0平行；
當(dāng)直線l1:mx+y+m=0與l2,3x+(m?2)y?3m=0平行時，
有m(m?2)?3=0且?3m?m(m?2)≠0，解得m=3，
故“m=3”是“直線l1:mx+y+m=0與l2,3x+(m?2)y?3m=0平行”的充要條件，
故選：C
6.【答案】D
【解析】【分析】
取{PA,PB,PC}為空間向量的一個基底，利用空間向量運算求解即得．
【解答】
解：棱長為2的正四面體P?ABC中，向量PA,PB,PC兩兩的夾角都為60°，
由點D是AB的中點，得PD=12(PA+PB)，而BC=PC?PB，
所以PD?BC=12(PA+PB)?(PC?PB)=12(PA?PC+PB?PC?PA?PB?PB2)
=12(2×2×12+2×2×12?2×2×12?22)=?1．
故選：D
7.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查直線的夾角公式，注意兩直線的夾角公式的形式，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)題意，設(shè)正方形的邊所在的直線的斜率為k，由正方形的性質(zhì)可得tan45°=k?31+3k=1，解可得k的值，即可得答案．
【解答】
解：根據(jù)題意，設(shè)正方形的邊所在的直線的斜率為k，
正方形的對角線與四邊的夾角都為45°，
則有tan45°=k?31+3k=1，
解得：k=12或k=?2．
故選：B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本題考查空間向量夾角的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．
【解答】
解：如圖，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，
D1B=(1,1,?1)，D1P=λD1B=λ(1,1,?1)=(λ,λ,?λ)，D1A=(1,0,?1)，D1C=(0,1,?1)，
所以PA=D1A?D1P=(1,0,?1)?(λ,λ,?λ)=(1?λ,?λ,λ?1)，
PC=D1C?D1P=(0,1,?1)?(λ,λ,?λ)=(?λ,1?λ,λ?1)，
顯然PA，PC不共線，由∠APC為銳角得cs∠APC=PA?PC|PA||PC|>0，
即PA·PC>0，
所以?2λ(1?λ)+(1?λ)2>0，即(λ?1)(3λ?1)>0，
解得λ1，
由題意知0≤λ≤1，所以0?λ0，且a與c不共線，
故a與c所成角為銳角，故 C正確；
對D：由b與c共線，故a，b，c不可作為空間向量的一組基底，故 D錯誤．
故選：BC．
10.【答案】AC
【解析】【分析】
根據(jù)直線平行以及垂直滿足的系數(shù)關(guān)系，即可結(jié)合方向向量的定義逐一求解．
【解答】
解：若兩直線的方向向量平行，則?2m2=1，則m無實數(shù)解，故兩直線的方向向量不可能平行，故 A正確，
由于l1:2mx+y?2m+1=0的斜率為?2m，所以直線l1不可能垂直于x軸，B錯誤，
當(dāng)2m?m=0?m=0時，此時l1:y+1=0，l2:x?2=0，此時兩直線垂直， C正確，
當(dāng)m=0時，直線l2:x?2=0，則其方向向量可以為0,1，故 D錯誤，
故選：AC
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本題考查了動點軌跡，線面平行與線面垂直的判定，錐體的體積問題等，綜合性強，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于拔高題．
判斷當(dāng)λ=1時，點P在線段CC1上，分別計算點P為兩個特殊點時的周長，即可判斷選項A；當(dāng)μ=1時，點P在線段B1C1上，利用線面平行的性質(zhì)以及錐體的體積公式，即可判斷選項B；當(dāng)λ=12時，取線段BC，B1C1的中點分別為M，M1，連結(jié)M1M，則點P在線段M1M上，分別取點P在M1，M處，得到均滿足A1P⊥BP，即可判斷選項C；當(dāng)μ=12時，取CC1的中點D1，BB1的中點D，則點P在線的DD1上，證明當(dāng)點P在點D1處時，A1B⊥平面AB1D1，利用過定點A與定直線A1B垂直的平面有且只有一個，即可判斷選項D．
【解答】解：對于A，當(dāng)λ=1時，BP=BC+μBB1，即CP=μBB1，
所以CP/?/BB1，
故點P在線段CC1上，此時△AB1P的周長為AB1+B1P+AP，
當(dāng)點P為CC1的中點時，△AB1P的周長為 5+ 2，
當(dāng)點P在點C1處時，△AB1P的周長為2 2+1，
故周長不為定值，故選項A錯誤；
對于B，當(dāng)μ=1時，BP=λBC+BB1，即B1P=λBC，
所以B1P/?/BC，
故點P在線段B1C1上，
因為B1C1/?/平面A1BC，
所以直線B1C1上的點到平面A1BC的距離相等，
又△A1BC的面積為定值，
所以三棱錐P?A1BC的體積為定值，故選項B正確；
對于C，當(dāng)λ=12時，取線段BC，B1C1的中點分別為M，M1，連接M1M，
因為BP=12BC+μBB1，即MP=μBB1，
所以MP/?/BB1，
則點P在線段M1M上，
當(dāng)點P在M1處時，A1M1⊥B1C1，A1M1⊥B1B，
又B1C1∩B1B=B1，
所以A1M1⊥平面BB1C1C，
又BM1?平面BB1C1C，
所以A1M1⊥BM1，即A1P⊥BP，
同理，當(dāng)點P在M處，A1P⊥BP，故選項C錯誤；
對于D，當(dāng)μ=12時，取CC1的中點D1，BB1的中點D，
因為BP=λBC+12BB1，即DP=λBC，
所以DP/?/BC，
則點P在線的DD1上，
當(dāng)點P在點D1處時，取AC的中點E，連接A1E，BE，
因為BE⊥平面ACC1A1，
又AD1?平面ACC1A1，所以AD1⊥BE，
在正方形ACC1A1中，AD1⊥A1E，
又BE∩A1E=E，BE，A1E?平面A1BE，
故AD ?1⊥平面A1BE，
又A1B?平面A1BE，所以A1B⊥AD1，
在正方體形ABB1A1中，A1B⊥AB1，
又AD1∩AB1=A，AD1，AB1?平面AB1D1，
所以A1B⊥平面AB1D1，
因為過定點A與定直線A1B垂直的平面有且只有一個，
故有且僅有一個點P，使得A1B⊥平面AB1P，故選項D正確．
故選：BD．
12.【答案】5 2
【解析】【分析】
根據(jù)給定條件，利用向量垂直關(guān)系求出x，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運算及模的運算計算作答．
【解答】
解：向量a=(2,?1,1)與b=(?1,1,x)垂直，則有2×(?1)+(?1)×1+x=0，解得x=3，
于是a+2b=(2,?1,1)+2(?1,1,3)=(0,1,7)，
所以a+2b= 02+12+72=5 2．
故答案為：5 2
13.【答案】?∞,?25∪2,+∞
【解析】【分析】
利用斜率計算公式可得kPA，kPB，根據(jù)直線l過點P?2,3且與線段AB相交，數(shù)形結(jié)合即可求出直線l的斜率k的取值范圍．
【解答】
解：因為P?2,3，A3,1，B?4,?1，
所以kPA=1?33??2=?25，kPB=?1?3?4??2=2．
∵直線l過點P(?2,3)且與線段AB相交，如下圖所示：
∴kl≤kPA=?25或kl≥kPB=2，
∴直線l的斜率k的取值范圍是：?∞,?25∪2,+∞．
故答案為：?∞,?25∪2,+∞．
14.【答案】2x+5y+9=0
【解析】【分析】
由AC邊上和AB邊上的高線所在的直線方程，可得AC邊和AB邊所在直線的斜率，再由A點坐標(biāo)，可求AC邊和AB邊所在直線的方程，通過聯(lián)立方程組，求出B,C兩點的坐標(biāo)，可求BC邊所在的直線方程
【解答】
解：AC邊上的高線所在的直線方程為x?2y=0，得kAC=?2，
AB邊上的高線所在的直線方程為3x+2y?3=0，得kAB=23
已知A1,1，則AC邊所在的直線方程為y?1=?2(x?1)，即2x+y?3=0，
則AB邊所在的直線方程為y?1=23(x?1)，即2x?3y+1=0．
由2x+y?3=03x+2y?3=0，得C3,?3．
由2x?3y+1=0x?2y=0，得B?2,?1．
則BC邊所在的直線方程為y??3?1??3=x?3?2?3，即2x+5y+9=0．
故答案為：2x+5y+9=0．
15.【答案】解：(1)由B2,0,?1,C4,1,?3可得BC=2,1,?2，
若c//BC，則c=tBC=2t,t,?2t，
又c=3，所以 2t2+t2+?2t2=3，解得t=±1，
所以c=2,1,?2或c=?2,?1,2．
(2)由A3,1,?1,B2,0,?1,C4,1,?3可得a=AB=?1,?1,0，b=AC=1,0,?2，
所以a= ?12+?12+02= 2，b= 12+02+?22= 5，a?b=?1+0+0=?1，
所以csA=csa,b=a?bab=?1 2× 5=? 1010，所以sinA=3 1010，
所以S=absinA= 2× 5×3 1010=3．

【解析】(1)利用向量平行和向量模長的坐標(biāo)表示列式求解即可；
(2)利用向量數(shù)量積和向量模長的坐標(biāo)表示求出夾角進而求面積即可．
16.【答案】解：(1)因為BC//AD，∠BAD=90°，所以AB⊥BC，
又因為PB⊥平面ABCD，AB,BC?平面ABCD，
所以PB⊥AB,PB⊥BC，
所以如圖所示，以B為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系B?xyz，
則A(0,2,0),B(0,0,0),C(1,0,0),D(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),F(0,0,23),
所以CE=(?1,1,1),CD=(1,2,0),CF=(?1,0,23)，
設(shè)CF=xCE+yCD,
則?1=?x+y0=x+2y23=x，解得x=23y=?13，所以CF=23CE?13CD,
所以點F在平面ECD內(nèi).
(2)設(shè)平面ECD的一個法向量為m=(a,b,c)，
由(1)知CE=(?1,1,1),CD=(1,2,0),
因為CD?m=0CE?m=0，所以a+2b=0?a+b+c=0,
令a=2，則b=?1,c=3，所以m=(2,?1,3)，
又因為CP=(?1,0,2)，
所以點P到平面ECD的距離d=CP?mm=4 14=2 147．

【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的共面定理證明；
(2)利用空間向量的坐標(biāo)運算求點到平面的距離．
17.【答案】解：(1)若直線過原點，易知其方程為：4x?3y=0；
若直線不過原點，不妨設(shè)其方程為：xa+ya=1，
代入點(3,4)得a=7，即x+y?7=0；
(2)i)由截距式設(shè)直線AB的方程為xa+yb=1(a,b>0)，所以3a+4b=1ab=48?a=6b=8,
所以x6+y8=1，即4x+3y?24=0；
ⅱ)若存在?MPQ為等腰直角三角形，不妨設(shè)Q(t,0)，t∈(0,6)，則Pt,8?43t，
因為?MPQ為等腰三角形，
當(dāng)M為直角頂點時，設(shè)M0,4?23t，MP=t,4?23t，MQ=t,23t?4，
所以MP?MQ=t2?23t?42=59t2+163t?16=0，即(t+12)(5t?12)=0，
所以t=125或t=?12(舍)，所以4?23t=4?23×125=125，即點M0,125；
當(dāng)Q為直角頂點時，點M(0,0)，P247,247，符合題意；
當(dāng)P為直角頂點時，設(shè)M0,8?43t，由|MP|=|QP|可得：t=8?43t，
所以t=247，M0,247；
綜上所以M0,125，M(0,0)，M0,247，符合題意．

【解析】(1)分類討論截距是否為零，計算即可；
(2)利用截距式結(jié)合面積公式計算可得第一小問，利用等腰直角三角形的特征分類討論計算即可．
18.【答案】解：(1)在平行四邊形ABCD中，因為AB=AC，∠ABC=45°，
所以∠ACB=45°，故AB⊥AC，
由E、F分別為BC、AD的中點，得EF/?/AB，所以EF⊥AC，
因為PA⊥底面ABCD，EF?底面ABCD，所以PA⊥EF，
又因為PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以EF⊥平面PAC．
(2)
因為PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以AP,AB,AC兩兩垂直，
分別以AB,AC,AP所在直線為x軸、y軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz.
則A(0,0,0)，B2,0,0,C0,2,0,P0,0,2,D?2,2,0,E1,1,0．
所以PB=2,0,?2,BC=?2,2,0,PD=?2,2,?2，由已知PM=λPDλ∈0,1，
即PM=?2λ,2λ,?2λ，所以M?2λ,2λ,2?2λ,ME=1+2λ,1?2λ,2λ?2,
設(shè)平面PBC的一個法向量為n=x,y,z，
由n?BC=0n?PB=0，得?2x+2y=02x?2z=0,
令x=1，得n=1,1,1，
所以sinθ=csME,n=ME?nMEn=1+2λ+1?2λ+2λ?2 1+2λ2+1?2λ2+2λ?22? 3= 1515，
化簡得4λ2+4λ?3=0，故λ=12或λ=?32(舍)．
所以λ=12．

【解析】(1)證明AB⊥AC，EF⊥AC，推出PA⊥EF，然后證明EF⊥平面PAC；
(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線與平面所成角的向量法求解即可．
19.【答案】解：(1)因為平面OAB，平面OAC，平面OBC兩兩垂直，
所以α=β=γ=π2，
(2)①證明：由余弦定理可得：
AC2=R2+R2?2R2csθ1BC2=R2+R2?2R2csθ2AB2=R2+R2?2R2csθ3，且AC2+BC2=AB2，
所以4R2?2R2(csθ1+csθ2)=2R2?2R2csθ3，
即2R2?2R2(csθ1+csθ2)=?2R2csθ3，
消去2R2，則有：1?(csθ1+csθ2)=?csθ3
即csθ1+csθ2?csθ3=1；
②由題意可知AD是球的直徑，則有AB⊥BD,AC⊥CD，
又AC⊥BC,BC∩CD=C，
所以AC⊥平面BCD，
又因為BD?平面BCD，
所以AC⊥BD，
又因為AC∩AB=A，
所以BD⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以BD⊥BC，
又因為直線DA,DC與平面ABC所成的角分別為π4，π3，
所以∠DAB=π4,∠DCB=π3，
不妨令R= 3，
則AD=2 3，AB=BD= 6,BC= 2,AC=2，
又因為AC⊥BC，AC⊥BD，BC⊥BD，
以C為坐標(biāo)原點，以CB,CA所在直線為x,y軸，過點C作BD的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系：
設(shè)BE=t,t∈(0, 6],
則A(0,2,0),C(0,0,0),B( 2,0,0),D( 2,0, 6),
可得S(0,1,0),T( 22,0,0),E( 2,0,t),O( 22,1, 62)，
則CB=( 2,0,0),CO=( 22,1, 62)，ST=( 22,?1,0),TE=( 22,0,t)，
設(shè)平面OBC的一個法向量為m=(x,y,z)，
則m?CB= 2x=0m?CO= 22x+y+ 62z=0,
取z=?2，則y= 6,x=0，
所以m=(0, 6,?2)；
設(shè)平面EST的一個法向量為n=(a,b,c)，
則n?ST= 22a?b=0n?TE= 22a+tc=0,
取a= 2t，則b=t,c=?1，
所以n=( 2t,t,?1)，
要使sinθ取最小值，則|csθ|取最大值，
因為|cs θ|=|cs m,n|=|m?n||m|?|n|=| 6t+2| 10? 3t2+1
=1 5?| 3t+ 2| 3t2+1
=1 5? ( 3t+ 2)23t2+1
=1 5? 1+2 6t+13t2+1
令m=2 6t+1,m∈(1,13],
則t=m?12 6,3t2=(m?1)28，
所以2 6t+13t2+1=m(m?1)28+1=8mm2?2m+9=8m+9m?2≤86?2=2,
當(dāng)且僅當(dāng)m=3,t=1 6時等號成立，
則|csθ|的最大值為 3 5，
所以sinθ取最小值為 1?cs2θ= 1?35= 105．

【解析】(1)根據(jù)平面 OAB，平面 OAC，平面 OBC 兩兩垂直，得α=β=γ=π2，即可求解；
(2)①根據(jù)余弦定理及勾股定理即可證明；
②建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面 EST 和平面 OBC 的法向量，利用向量夾角公式即可求解．
方法點睛：在涉及求直線與平面、平面與平面所成角時，利用空間向量法求解更簡單些．

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