一、單選題（本大題共8小題）
1．設直線：的傾斜角為，則的值為（ ）
A．2B．C．D．
2．已知直線平分圓的周長，則（ ）
A．2B．1C．D．4
3．已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．在四面體中，，若，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知橢圓：（）的離心率為，且點為橢圓的一個焦點，則橢圓與直線在第一象限的交點為（ ）
A．B．C．D．
6．圓：與圓：的公切線的條數為（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．若雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在棱長為2的正方體中，為線段的中點，為線段上的動點，則直線與直線所成角的余弦值的最大值為（ ）

A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知圓：，直線：（），則（ ）
A．直線恒過定點
B．直線與圓有兩個交點
C．當時，圓上恰有四個點到直線的距離等于1
D．圓上的點到直線的最大距離是
10．如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點，若一點P在底面內（包括邊界）移動，且滿足，則（ ）
A．與平面的夾角的正弦值為B．點到的距離為
C．線段的長度的最大值為 D．與的數量積的范圍是
11．已知橢圓：（）與雙曲線：有相同的焦點，，且它們的離心率之積為，點是與的一個公共點，則（ ）
A．橢圓的方程為B．
C．為等腰三角形D．對于上的任意一點，
三、填空題（本大題共3小題）
12．在空間直角坐標系中，點，點，點，則在方向上的投影向量的坐標為 ．
13．如圖，趙州橋是一座位于河北省石家莊市趙縣城南洨河之上的石拱橋，因趙縣古稱趙州而得名．趙州橋始建于隋代，是世界上現存年代最久遠、跨度最大、保存最完整的單孔石拱橋．小明家附近的一座橋是仿趙州橋建造的拋物線形拱橋．這座橋的拱頂離水面時，水面寬，當水面的寬度為時，水面下降了 ．
14．已知點是圓：上的動點，點，則線段的中點的軌跡方程是 ；若直線：，為直線上的動點，過點作點的軌跡的切線，切點為，，設，當四邊形的面積最小時，面積為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知的頂點，頂點在軸上，邊上的高所在的直線方程為邊上的中線所在的直線方程為.
(1)求直線的方程；
(2)求的值.
16．如圖，在六棱柱中，底面是正六邊形，設，，.

(1)用，，分別表示，．
(2)若，，，求：
（?。?；
（ⅱ）．
17．已知拋物線：的焦點為．
(1)求拋物線的焦點坐標和準線方程；
(2)過焦點的直線與拋物線交于，兩點，若，求線段的長．
18．已知直線：，圓：．
(1)當為何值時，直線被圓截得的弦最長？當為何值時，直線被圓截得的弦最短？
(2)是否存在，使得直線被圓截得的弦長為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
19．已知橢圓：（）的焦距為，，分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓交于兩點，的周長為8.
(1)求橢圓的標準方程.
(2)對于，是否存在實數，使得直線分別交橢圓于點，且？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
答案
1．【正確答案】C
【詳解】直線：可化為，
所以直線的斜率為，即 ，
故選:C.
2．【正確答案】B
【詳解】因為直線平分圓的周長，
所以直線過圓心，
所以，解得，
故選:B.
3．【正確答案】B
【詳解】由即可得，解得；
故選：B
4．【正確答案】A
【詳解】如圖，

因為，所以，又，
所以，
又，
所以且，解得：．
故選：A
5．【正確答案】D
【詳解】由題可得，，解得，
所以橢圓方程為，
聯立，可得，解得，
所以橢圓與直線在第一象限的交點為，
故選:D.
6．【正確答案】C
【詳解】由，可得，
所以圓心，
設兩圓的半徑分別為，則，
圓心距，
所以兩圓外切，則公切線的條數為3條，
故選:C.
7．【正確答案】B
【詳解】根據對稱性，雙曲線的焦點到兩條漸近線的距離相等，
其中一條漸近線的方程為，即，
右焦點Fc,0到的距離等于，
所以，所以，
即，則，所以，
故選：B.
8．【正確答案】D
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，
則,0,，,2,，,0,，,0,，,0,，,2,，
設，，
則,,，
則，，
則，
設直線與直線所成角為，
則，當且僅當時取等號，
則直線與直線所成角的余弦值的最大值為，
故選：D．

9．【正確答案】ABD
【詳解】
對A，由，可得，
令，解得，所以直線恒過定點，A正確；
對B，設直線直線恒過定點為，
圓心,半徑，
則，
所以點在圓內，則直線與圓相交，
所以直線與圓有兩個交點，B正確；
對C，時，：，即，
圓心到直線的距離，
因為，
所以圓上恰有兩個點到直線的距離等于1，
且這兩個點均位于圓被直線所截得的優(yōu)弧上，C錯誤；
對D，當時，圓上的點到直線的距離有最大值，
最大值為，D正確；
故選:ABD.
10．【正確答案】ABD
【分析】建系，標點，設，根據向量垂直可得.對于A：利用空間向量求線面夾角；對于B：利用空間向量求點到線的距離；對于C：根據空間向量的模長公式分析求解；對于D：根據空間向量的數量積分析求解.
【詳解】如圖，以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，設，
可得，，
若，則，可得，
則，解得，即.
對于選項A：可知平面的法向量，
則，
所以與平面的夾角的正弦值為，故A正確；
對于選項B：因為，
所以點到的距離為，故B正確；
對于選項C：因為，
則，
且，可得當且僅當時，取到最大值，
所以線段的長度的最大值為3，故C錯誤；
對于選項D：因為，，
則，
且，可知當時，取到最小值；
當時，取到最大值；
所以與的數量積的范圍是，故D正確.
故選ABD.
11．【正確答案】ABC
【詳解】
由雙曲線：的方程可知，雙曲線的焦點，，
離心率為，
所以橢圓的焦點為，，離心率為，
所以橢圓中，，
所以橢圓的方程為，A正確；
因為點是與的一個公共點，
所以點在雙曲線上，
所以根據雙曲線的定義可知，
，且，
所以，B正確；
根據對稱性，不妨設，則，
又根據橢圓的定義可知，，
所以聯立，解得
，所以，所以為等腰三角形，C正確；
設，則，，
所以，
解得，此時，
所以存在點的坐標為或或或，
使得，D錯誤；
故選：ABC.
12．【正確答案】
【詳解】由題，，
所以，
，
則在方向上的投影向量的坐標為
.
故答案為: .
13．【正確答案】/
【詳解】建系如圖，設拋物線方程為，
則根據題意可知圖中坐標為，
，，
拋物線方程為，
令，可得，
則水面下降了米
故
14．【正確答案】
【詳解】
設，，則有，
根據中點坐標公式可得，，解得，
所以，整理得，
所以線段的中點的軌跡方程是；
所以可知點為圓的圓心，且
所以,
所以要使四邊形的面積最小，則最小，
當時，最小，為點到直線的距離，
此時，
所以.
故答案為: ;.
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由邊上的高所在的直線方程為，其斜率為，
則，即，又，
則，即；
（2）設，由在上，即，即，
則中點坐標為，故有，即.
16．【正確答案】(1);
(2);
【詳解】（1）

如圖，連接，取中點為，連接，
因為底面是正六邊形，
所以,即，
所以,
又因為,
所以.
（2）由題知，，
根據，
可知，
且因為底面是正六邊形，所以所以，
所以（ⅰ）
=
（ⅱ）因為，
所以
=，
所以.
17．【正確答案】(1)焦點為，準線.
(2)
【詳解】（1）由拋物線方程可得，，
所以焦點為，準線.
（2）設，
根據對稱性，不妨設在軸上方，則在軸下方，
根據拋物線的定義可知，，所以，
將代入可得或（舍），
所以，
所以,
所以直線的直線方程為，即，
聯立，消去可得，，
根據韋達定理可得，，
所以，
所以.

18．【正確答案】(1)答案見解析；
(2)
【詳解】（1）易知直線：恒過定點；
圓：的圓心為，半徑；
當直線過圓心時，弦長為圓的直徑，即，
解得；
當圓心與定點連線與直線垂直時，弦長最短；
此時直線的斜率為0，所以，
解得.
因此時，直線被圓截得的弦最長，時，直線被圓截得的弦最短；
（2）設圓心到直線的距離為，
由弦長為可得，解得；
即，解得
即存在，使得直線被圓截得的弦長為.
19．【正確答案】(1)
(2)存在，
【詳解】（1）因為的周長為
，所以，
又因為，所以，所以，
所以橢圓的標準方程為.
（2）
設，設中點為，
聯立，消去整理得，，
所以，即，
所以或，
又由韋達定理可得，，
所以，
所以，
因為，所以，
由或，可知，直線的斜率均存在，且都不等于零，
所以，即，
整理得，解得，
又因為或，所以滿足題意，
所以存在.

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