一、單選題（本大題共8小題）
1．已知向量，，且，則的值為（ ）
A．B．2C．D．
2．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
3．直線過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．或D．或
4．復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若直線平面，則（ ）
A．B．10C．D．
6．已知圓及直線，當(dāng)直線與圓相交所得弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
7．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交雙曲線的兩支于，兩點(diǎn)，為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．C．D．3
8．如圖，二面角的大小為，棱上有兩點(diǎn)，線段，，，.若，，，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知曲線. （ ）
A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上
B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為
C．若mn0，則C是兩條直線
10．下列四個(gè)命題中正確的是（ ）
A．過點(diǎn)且在軸上的截距是在軸上截距的倍的直線的方程為
B．向量是直線的一個(gè)方向向量
C．直線與直線之間的距離是
D．圓與圓有兩條公切線
11．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，平面與對(duì)角線垂直，則（ ）
A．正方體的每條棱所在直線與平面所成角均相等
B．平面截正方體所得截面面積的最大值為
C．當(dāng)平面與正方體各面都有公共點(diǎn)時(shí)，其截面多邊形的周長(zhǎng)為定值
D．直線與平面內(nèi)任一直線所成角的正弦值的取值范圍為
三、填空題（本大題共3小題）
12．若，則 .
13．已知正三棱錐的棱長(zhǎng)都為2，則側(cè)面和底面所成二面角的余弦值為 .
14．已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，且軸，過點(diǎn)作的平分線的垂線，與直線交于點(diǎn)，若點(diǎn)在圓上，則的值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知圓過點(diǎn)，，圓心在直線上.
(1)求圓的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.
16．如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).
(1)求直線與平面所成角的正弦值；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
17．已知等腰梯形中，，，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)（如圖1）.將沿折起到位置，使得二面角為直角（如圖2）.
(1)求平面與平面所成角的余弦值；
(2)設(shè)點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），直線與平面所成角為，求的取值范圍.
18．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，若以軸為折痕，將直角坐標(biāo)平面折疊成互相垂直的兩個(gè)半平面（如圖所示），則稱此時(shí)點(diǎn)，在空間中的距離為“點(diǎn)，關(guān)于軸的折疊空間距離”，記為.

(1)若點(diǎn)，，在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，，求，的值；
(2)若點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，已知點(diǎn)滿足，求點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的軌跡方程；
(3)若在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，過點(diǎn)的兩條直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，其斜率滿足.
證明：當(dāng)時(shí)，為定值，并求出該定值.
19．在平面直角坐標(biāo)系中，、、、，若動(dòng)點(diǎn)、滿足，，直線與直線相交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)已知過點(diǎn)的直線（與軸不重合）和點(diǎn)軌跡交于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn).設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，求面積的最大值.
答案
1．【正確答案】C
【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且?br>所以，即，
解得.
故選：C.
2．【正確答案】D
【詳解】由直線得其斜率為，
設(shè)直線的傾斜角為（），則，
所以，所以直線的傾斜角為，
故選：D
3．【正確答案】C
【詳解】橢圓的半焦距為，焦點(diǎn)為或，
直線過一個(gè)焦點(diǎn) 則或，∴或，
故選：C．
4．【正確答案】A
【詳解】由題意可得，，
則，
.
故選：A.
5．【正確答案】C
【詳解】若直線平面，則，
即，解得.
故選：C.
6．【正確答案】D
【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為2，
直線過定點(diǎn)，，在圓內(nèi)部，
直線與圓相交所得弦長(zhǎng)最短時(shí)，，
，所以，
∴的方程為，即，
故選：D．
7．【正確答案】C
【詳解】由題意可作圖如下：

則①，②，
在等邊中，，
可得，
則，
由，則，
在中，，由余弦定理可得
，即，
由，則，解得.
故選：C.
8．【正確答案】B
【詳解】∵二面角的大小為，，，
∴，.
由題意得，，
，
∴，
∴，即線段的長(zhǎng)為.
故選：B.
9．【正確答案】ACD
【分析】
結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)分析求解，時(shí)表示橢圓；時(shí)表示圓；時(shí)表示雙曲線；時(shí)表示兩條直線.
【詳解】
對(duì)于A，
∵若，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，
故A正確，
對(duì)于B，
∵若，
∴，
∴，
∴曲線：表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，
故B不正確，
對(duì)于C，
∵若，
∴
∴，此時(shí)曲線C表示雙曲線，
∵令，
∴，
故C正確，
對(duì)于D，
∵若，
∴由，得，
∴，此時(shí)曲線表示平行于軸的兩條直線，
故D正確，
故選：ACD.
10．【正確答案】BD
【詳解】選項(xiàng)A：由題意可知直線斜率存在且不為，設(shè)直線方程為，
令解得，令解得，
因?yàn)樵撝本€在軸上的截距是在軸上截距的倍，
所以，解得或，
所以直線方程為或，A說(shuō)法錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：直線的斜率為，方向向量為，當(dāng)時(shí)，B說(shuō)法正確；
選項(xiàng)C：由得，
則直線與直線之間的距離，C說(shuō)法錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：由題意圓圓心為，半徑，
圓圓心為，半徑，
因?yàn)?，?br>所以兩圓相交，有且僅有兩條公切線，D說(shuō)法正確；
故選：BD
11．【正確答案】ACD
【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
對(duì)于A：因平面與對(duì)角線垂直，所以平面的一個(gè)法向量為，
，，，
，同理,
所以直線分別與直線所成角相等，
所以直線與平面所成角也相等，
根據(jù)正方體性質(zhì)可知，正方體的每條棱所在直線與平面所成角均相等，故A正確；
對(duì)于B：如圖，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，

則正六邊形為平面過正方體中心時(shí)截正方體所成圖形，
由正方體性質(zhì)可知，當(dāng)平面由此位置向或趨近時(shí)，截面面積變小，
故截面面積最大即為正六邊形的面積，
其中，所以正六邊形的面積為，
故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)平面與正方體各面都有公共點(diǎn)時(shí)，截圖為六邊形，如圖陰影部分，
，
同理可得，故六邊形周長(zhǎng)為定值，所以C正確；
對(duì)于D，直線與平面內(nèi)任一直線所成角的正弦值的最小值
即為直線與平面所成角的正弦值，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
設(shè)平面與平面的交線為，
因?yàn)椤推矫?，平面，故⊥?br>故直線與的夾角為，
故直線與平面內(nèi)任一直線所成角的正弦值的最大值為1，
所成角的正弦值取值范圍為，D正確.
故選：ACD
12．【正確答案】
【詳解】，則，
，，
故．
13．【正確答案】
【詳解】如圖所示，過點(diǎn)S作底面ABC，點(diǎn)O為垂足，連接OA，OB，OC，則點(diǎn)O為等邊三角形ABC的中心，.
延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D，連接SD，則，，
∴為側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的平面角.
又在等邊三角形ABC中，，
∴在中，.
14．【正確答案】
【詳解】根據(jù)題意，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，過點(diǎn)的垂線與的平分線交于,
連接，作圖如下：
對(duì)，令，故可得，故點(diǎn)坐標(biāo)為；
易知三角形與三角形全等，則，
由雙曲線定義可得：，即，即；
在中，，
在中，由余弦定理得：；
則，整理化簡(jiǎn)可得：，，
也即，則，
解的，又，故.
故答案為.
15．【正確答案】(1)；
(2)或.
【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由題意可得：
，解之得：，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）由弦心距公式可知，圓心到直線的距離為.
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，的方程為，顯然此時(shí)圓心到直線的距離為，不符合題意；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為：，即，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得：，
解之得：或，
所以直線的方程為：或.
16．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向，可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，解得：，，，
，
即直線與平面所成角的正弦值為.
（2）由（1）知：，，
，，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，則，，，
點(diǎn)到平面的距離.
17．【正確答案】(1)；
(2)
【詳解】（1）如圖1，連接，由已知且，所以是平行四邊形，
而，從而是菱形，所以，
同理是平行四邊形，所以，是等邊三角形，
，
圖2中，，，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，
以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量是，
則，取，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量是，
則，取，則，
，
所以面與平面所成角的余弦值為；
（2）設(shè)，，
則，
,
因?yàn)?，所以?br>所以．
18．【正確答案】(1)；
(2)或
(3)定值為，證明見解析.
【詳解】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)在空間中的坐標(biāo)分別為，，，
∴；
.

（2）由題意可知，點(diǎn)在空間中的坐標(biāo)為，對(duì)點(diǎn)分類討論，
①當(dāng)點(diǎn)在軸的上半平面，即時(shí)，點(diǎn)在空間中的坐標(biāo)為，
∴，化簡(jiǎn)得：，
因此，在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)在軸的上半平面的軌跡為以為圓心，以1為半徑的半圓.
②點(diǎn)在軸的下半平面，即時(shí)，點(diǎn)在空間中的坐標(biāo)為，
化簡(jiǎn)得：，
∴點(diǎn)的軌跡方程為：或
（3）
① 當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，顯然不成立；
② 當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為：，，
聯(lián)立方程，
，
∵，∴
代入韋達(dá)定理可得：，即
解得或，
當(dāng)時(shí)， 直線經(jīng)過點(diǎn),故舍去
∴，則，且，
當(dāng)時(shí), 由得
當(dāng)過點(diǎn)2,0，；當(dāng)過點(diǎn)，.
∴點(diǎn)在軸的上半平面，點(diǎn)在軸的下半平面，
點(diǎn)在空間中的坐標(biāo)分別為，
為定值
19．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）依題意，、、、，
設(shè)點(diǎn)Px,y，、，
由，得，即點(diǎn)，
由，得，即點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線、的方程，消去參數(shù)得，
即，
當(dāng)時(shí)，得交點(diǎn)，滿足上述方程，
所以直線與直線交點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）過點(diǎn)的直線可設(shè)為，
由消去得，即，
設(shè)Mx1,y1、Nx2,y2，則，，
依題意，，直線的方程為，
令，得點(diǎn)橫坐標(biāo)，
又，，
則，
因此直線過定點(diǎn)，顯然，
而，
令，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，即取等號(hào)，此時(shí)，
所以面積的最大值為.

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