第I卷（選擇題共60分）
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線的一條漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
2. 若向量，，且的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)等于（ ）.
A. 0B. C. 0或D. 0或
3. 已知直線：過定點(diǎn)，直線：過定點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則（ ）
A. 10B. 12C. 13D. 20
4. 直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）．
A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)或2個(gè)
5. 如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若記，，，則（ ）

A. B.
C. D.
6. 如圖，已知大小為的二面角棱上有兩點(diǎn)A，B，，，若，則AB的長(zhǎng)度（ ）
A. 22B. 40C. D.
7. 唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)椋魧④姀狞c(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）．
A. B. C. D.
8. 已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且與軸的一個(gè)交點(diǎn)是，過點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且滿足，若M為直線AB上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. 1B. C. 2D.
二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則下列說法正確的是（ ）
A. 圓的圓心為B. 點(diǎn)在圓內(nèi)
C. 圓的半徑為5D. 點(diǎn)在圓內(nèi)
10. 已知橢圓焦距是，則m的值可能是（ ）
A. B. 13C. D. 19
11. 已知直線，圓的圓心坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（ ）
A. 直線恒過點(diǎn)
B.
C. 直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為
D. 當(dāng)時(shí)，圓上存無數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱
12. 如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，以下說法正確的是（ ）

A. 平面
B. 到平面的距離為
C. 過點(diǎn)，，作正方體的截面，所得截面的面積是
D. 平面與平面夾角余弦值為
第II卷（非選擇題共90分）
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是____.
14. 已知，，，若，，，四點(diǎn)共面，則______．
15. 已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，為橢圓上一點(diǎn)且，則___________.
16. 若點(diǎn)在曲線：上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為__________.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17 已知.
（1）求；
（2）求與夾角的余弦值；
（3）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.
18. 已知直線和直線的交點(diǎn)為.
（1）求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程；
（2）若直線與直線垂直，且到的距離為，求直線的方程.
19. 已知圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓的圓心在直線上.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求.
20. 設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，是拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)且斜率為直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．
21. 如圖，內(nèi)接于⊙O，為⊙O的直徑，，，，為的中點(diǎn)，且平面平面．

（1）證明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
22. 如圖，經(jīng)過點(diǎn)，且中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為.
（1）求橢圓方程；
（2）若橢圓的弦所在直線交軸于點(diǎn)，且.求證：直線的斜率為定值.2023-2024學(xué)年上學(xué)期期中考試
高二數(shù)學(xué)試題
第I卷（選擇題共60分）
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線的一條漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由雙曲線中a，b，c的關(guān)系先求出b，進(jìn)而可求焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程.
【詳解】解：由題意，，又，解得.
所以雙曲線的一條漸近線方程為，即.
故選：B.
2. 若向量，，且的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)等于（ ）.
A. 0B. C. 0或D. 0或
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及夾角公式，代入坐標(biāo)計(jì)算即可．
【詳解】由題意得，解得或，
故選:C．
3. 已知直線：過定點(diǎn)，直線：過定點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則（ ）
A. 10B. 12C. 13D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得直線過定點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，結(jié)合，得到，利用勾股定理，即可求解.
【詳解】由直線過定點(diǎn)，
直線可化為，
令，解得，即直線恒過定點(diǎn)，
又由直線和，滿足，
所以，所以，所以.
故選：C.
4. 直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）．
A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)或2個(gè)
【答案】D
【解析】
【分析】求直線過的定點(diǎn)，再判斷直線與圓位置關(guān)系，
【詳解】為，
故過定點(diǎn)，在圓上，
故直線與圓相切或相交，公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)或2個(gè)，
故選：D
5. 如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若記，，，則（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
如圖所示，連接，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則，
可得：.
故選：A.
6. 如圖，已知大小為的二面角棱上有兩點(diǎn)A，B，，，若，則AB的長(zhǎng)度（ ）
A 22B. 40C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】過作且，連接，易得，通過線面垂直的判定定理可得平面，繼而得到，由勾股定理即可求出答案.
【詳解】解：過作且，連接，則四邊形是平行四邊形，
因?yàn)?，所以平行四邊形是矩形，因?yàn)?，即?br>而，則是二面角的平面角，即，
因?yàn)椋礊檎切?，所以?br>因?yàn)椋?，平面?br>所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?br>所以在中，，所以，
故選：C
7. 唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用點(diǎn)關(guān)于直線的找到最短距離，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得.
【詳解】由已知得關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
中點(diǎn)坐標(biāo)為 ，且直線斜率為
所以 解得，即
圓心，可知，則最短總路程為
故選：B
8. 已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且與軸的一個(gè)交點(diǎn)是，過點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且滿足，若M為直線AB上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可求得橢圓方程為，由，得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，然后利用點(diǎn)差法可求出直線的方程，則的最小值為點(diǎn)到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出結(jié)果.
【詳解】由題意得，則，，
所以橢圓方程為，
因?yàn)?，所以在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓總有兩個(gè)交點(diǎn)，
因?yàn)?，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
設(shè)，則，
，所以，
所以，
所以，即，
所以，
所以直線為，即，
因?yàn)镸為直線上任意一點(diǎn)，
所以的最小值為點(diǎn)到直線的距離，
故選：B
二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則下列說法正確的是（ ）
A. 圓的圓心為B. 點(diǎn)在圓內(nèi)
C. 圓的半徑為5D. 點(diǎn)在圓內(nèi)
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)給定圓的方程，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷作答.
【詳解】圓的圓心為，半徑為5，AC正確；
由，得點(diǎn)在圓內(nèi)，B正確；
由，得點(diǎn)在圓外，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
10. 已知橢圓的焦距是，則m的值可能是（ ）
A. B. 13C. D. 19
【答案】BD
【解析】
【分析】利用橢圓焦距的定義和性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題知，
或，
解得或.
故選：BD
11. 已知直線，圓的圓心坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（ ）
A. 直線恒過點(diǎn)
B.
C. 直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為
D. 當(dāng)時(shí)，圓上存在無數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱
【答案】ABD
【解析】
【分析】求解直線系結(jié)果的定點(diǎn)判斷A；圓的圓心求解、判斷B；求解直線被圓截的弦長(zhǎng)判斷C，利用圓的圓心到直線的距離判斷D．
【詳解】直線，恒過點(diǎn)，所以A正確；
圓的圓心坐標(biāo)為，，，所以B正確；
圓的圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為2．
直線，恒過點(diǎn)，圓的圓心到定點(diǎn)的距離為：，
直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為，所以C不正確；
當(dāng)時(shí)，直線方程為：，經(jīng)過圓的圓心，所以圓上存在無數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以D正確．
故選：ABD．
12. 如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，以下說法正確的是（ ）

A. 平面
B. 到平面的距離為
C. 過點(diǎn)，，作正方體的截面，所得截面的面積是
D. 平面與平面夾角余弦值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，用空間向量計(jì)算證明垂直即可判斷；對(duì)于B，用空間向量求平面的法向量，再在法向量上的投影即可判斷；對(duì)于C，補(bǔ)全完整截面為正六邊形，直接計(jì)算面積即可判斷；對(duì)于D，用空間向量求平面的法向量再計(jì)算二面角的余弦值即可判斷.
【詳解】以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，
則，，
，，，
則平面，故A正確；
向量為平面的法向量，
且，，
所以到平面的距離為
，故B正確；
作中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，
連接，，，，，
則正六邊形為對(duì)應(yīng)截面面積，
正六邊形邊長(zhǎng)為，
則截面面積為：，故C錯(cuò)誤；
平面的一個(gè)法向量為，
平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)兩個(gè)平面夾角為，，故D正確．
故選：ABD．
第II卷（非選擇題共90分）
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是____.
【答案】
【解析】
【分析】通過解方程組，利用互相垂直直線的方程的特征進(jìn)行求解即可.
【詳解】?jī)芍本€方程聯(lián)立，得，所以交點(diǎn)
設(shè)與直線垂直的直線方程為，
把代入中，得，
故答案為：
14. 已知，，，若，，，四點(diǎn)共面，則______．
【答案】5
【解析】
【分析】根據(jù)，，，四點(diǎn)共面，由求解.
【詳解】解：因?yàn)?，，，且，，，四點(diǎn)共面，
所以，則，解得，
故答案為：5
15. 已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，為橢圓上一點(diǎn)且，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義以及焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)即可求解.
【詳解】解：橢圓得，，，
設(shè)，，則，
，，
，，
，即.
故答案為：

16. 若點(diǎn)在曲線：上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】先根據(jù)已知求出圓心，半徑，再把分式轉(zhuǎn)化為斜率，最后化簡(jiǎn)為直線結(jié)合直線和圓的位置關(guān)系應(yīng)用點(diǎn)到直線距離求解即可.
【詳解】曲線方程化為，是以為圓心，3為半徑的圓，
表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，不妨設(shè)即直線：，
又在圓上運(yùn)動(dòng)，故直線與圓有公共點(diǎn)，則，
化簡(jiǎn)得解得，故的最大值為.
故答案為:.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知.
（1）求；
（2）求與夾角的余弦值；
（3）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）-10 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算律,即可求解.
（2）根據(jù)空間向量的夾角公式,代入求解.
（3）由,轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0即可.
【小問1詳解】
；
【小問2詳解】
；
【小問3詳解】
當(dāng)時(shí)，，得，
，或.
18. 已知直線和直線的交點(diǎn)為.
（1）求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程；
（2）若直線與直線垂直，且到的距離為，求直線的方程.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立直線方程求得交點(diǎn)，根據(jù)直線平行及點(diǎn)在直線上求平行直線方程；
（2）設(shè)垂直直線為，由已知及點(diǎn)線距離公式列方程求參數(shù)，即可得直線方程.
【小問1詳解】
聯(lián)立，解得，交點(diǎn)，
設(shè)與直線平行的直線方程為
把代入可得，可得，
∴所求的直線方程為：.
【小問2詳解】
設(shè)與直線垂直的直線方程為，
∵到的距離為，解得或，
∴直線的方程為：或
19. 已知圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓的圓心在直線上.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）求出的中垂線方程聯(lián)立，即可求得圓心坐標(biāo)，繼而求得半徑，可求得圓的方程；
（2）設(shè)，，聯(lián)立直線和圓的方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求得答案.
【小問1詳解】
因?yàn)?，，所以，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
則的中垂線方程為，即，
故圓的圓心在直線上.
聯(lián)立方程組，解得，故圓圓心坐標(biāo)為，
圓的半徑，
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
設(shè)，，聯(lián)立方程組，
整理得，，
則，.
故.
20. 設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，是拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用拋物線定義求出p值作答.
（2）求出直線的方程，與的方程聯(lián)立，再求出三角形面積作答.
【小問1詳解】
拋物線：的準(zhǔn)線方程為，依題意，，解得，
所以拋物線的方程為.
【小問2詳解】
由（1）知，，則直線的方程為，
由消去y得：，解得，，
所以的面積.

21. 如圖，內(nèi)接于⊙O，為⊙O的直徑，，，，為的中點(diǎn)，且平面平面．

（1）證明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通過面面垂直的性質(zhì)，找到后證明線面垂直，從而證明線線垂直，通過兩組線線垂直即可得證；
（2）通過已知條件以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，通過二面角向量方法計(jì)算公式求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)槭恰袿的直徑，所以，
因?yàn)?，?br>所以，
又因?yàn)?，為中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以，
又因?yàn)槠矫鍭CD，，
所以平面
【小問2詳解】
因?yàn)?，，?br>所以，
所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，

則，，，．
顯然，是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則
令，則，
所以，
設(shè)二面角所成角，，
則，
所以二面角的正弦值為
22. 如圖，經(jīng)過點(diǎn)，且中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓的弦所在直線交軸于點(diǎn)，且.求證：直線的斜率為定值.
【答案】（1） （2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，即，，將點(diǎn)，代入即可求得和的值，求得橢圓的方程；
（2）聯(lián)立直線的方程與橢圓方程,可得坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式即可求解.
【小問1詳解】
由題意可知：焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
由橢圓的離心率，即，
，
將代入橢圓方程：，解得：，
，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
【小問2詳解】
由題意可知：直線有斜率，且，設(shè)直線方程為，，，，，
，
整理得：，
，故
由韋達(dá)定理可知：，
由得：,
故直線方程為
，因此
所以
因此 ，為定值.

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