一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 某直線運(yùn)動(dòng)的物體從時(shí)刻到的位移為，那么為（ ）
A. 從時(shí)刻到物體的平均速度B. 從時(shí)刻到位移的平均變化率
C. 當(dāng)時(shí)刻為時(shí)該物體的速度D. 該物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由變化率與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，分析可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)刻到時(shí)，時(shí)間的變化量為，而物體的位移為，那么為該物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度.
故選：D.
2. 下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可判斷各選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)；
對(duì)于B，，B錯(cuò)；
對(duì)于C，，C錯(cuò)；
對(duì)于D，，D對(duì).
故選：D
3. 函數(shù)f (x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知函數(shù)的圖象，先判斷它的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)圖象斜率的變化，從而求解．
【詳解】觀察函數(shù)的圖象知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，
隨著逐漸增大，函數(shù)圖象由陡逐漸變緩，，，，
而（即點(diǎn)B）處切線的傾斜角比（即點(diǎn)A）處的傾斜角小，且均為銳角，
，又是割線AB的斜率，顯然，
所以.
故選：B
4. 函數(shù)的大致圖象為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
判斷奇偶性，函數(shù)值正負(fù)，特殊的函數(shù)值的大小，用排除法得出正確結(jié)論．
【詳解】，奇函數(shù)，排除A，又時(shí)，，，排除D，，排除B．
故選：C．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：
(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．
(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；
(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；
(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.
5. 已知，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.
【詳解】因?yàn)?，，，所以?gòu)造函數(shù)，
因?yàn)?，由有：?br>由有：，所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，?
因?yàn)?，所以，故A，B，D錯(cuò)誤.
故選：C.
6. 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，放射性同位素技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)?航天等眾多領(lǐng)域，并取得了顯著經(jīng)濟(jì)效益.假設(shè)某放射性同位素的衰變過(guò)程中，其含量P（單位：貝克）與時(shí)間t（單位：天）滿足函數(shù)關(guān)系，其中P0為時(shí)該放射性同位素的含量.已知時(shí)，該放射性同位素的瞬時(shí)變化率為，則該放射性同位素含量為4.5貝克時(shí)，衰變所需時(shí)間為（ ）
A. 20天B. 30天C. 45天D. 60天
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題中條件，先求出，再令，代入解析式求解，即可得出結(jié)果.
【詳解】由得，
因?yàn)闀r(shí)，該放射性同位素的瞬時(shí)變化率為，
即，解得，
則，
當(dāng)該放射性同位素含量為貝克時(shí)，即，
所以，即，所以，解得.
故選：D.
7. 已知方程有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求定義域，令得有兩個(gè)根，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到最值，結(jié)合函數(shù)圖象特征得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】的定義域?yàn)椋?br>令得，即有兩個(gè)根，
令，則，
令，顯然在單調(diào)遞減，
又，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故的最大值為，當(dāng)時(shí)，恒陳立，
當(dāng)趨向于0時(shí)，趨向于，
故要想有兩個(gè)根，需滿足
故選：A
8. 定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，滿足且是偶函數(shù)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知不等式和所求不等式的形式構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性，以及偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，所以，
因?yàn)?，所以，因此函?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以有，
令，有，因此，
于是由，
因?yàn)楹瘮?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，所以有，
故選：C
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算正確的有（ ）
A. 若函數(shù)，則
B. 若函數(shù)，則
C. 若函數(shù)，則
D. 若函數(shù)，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，由函數(shù)，可得，所以A正確；
對(duì)于B中，由函數(shù)，可得，所以B正確；
對(duì)于C中，由函數(shù)，可得，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，由函數(shù)，
可得，所以D正確．
故選：ABD
10. 函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則下列命題正確的是（ ）
A. 函數(shù)在內(nèi)一定不存在最小值B. 函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)極小值點(diǎn)
C. 函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)極大值點(diǎn)D. 函數(shù)在內(nèi)可能沒(méi)有零點(diǎn)
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)AB，設(shè)的根為，且，進(jìn)而分析函數(shù)的單調(diào)性與極值和最值即可；對(duì)C，根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定原函數(shù)的極值點(diǎn)即可；對(duì)D，舉反例判斷即可.
【詳解】對(duì)AB，設(shè)的根為，且，則由圖可知，
函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
在內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值，
當(dāng)時(shí)，是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最小值，
所以A錯(cuò)誤，B正確；
對(duì)C，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值，所以C正確；
對(duì)D，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，所以D正確．
故選：BCD．
11. 已知函數(shù)，函數(shù)，下列對(duì)函數(shù)描述正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B. 當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)
C. 當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)D. 當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值的變化規(guī)律，根據(jù)零點(diǎn)定義可得函數(shù)的零點(diǎn)為方程和方程的解，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定取不同值時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得結(jié)論.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
所以，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
且，，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，與一次函數(shù)相比，函數(shù)呈爆炸性增長(zhǎng)，
從而，，當(dāng)時(shí)，，
所以，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
且，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，與對(duì)數(shù)函數(shù)相比，一次函數(shù)呈爆炸性增長(zhǎng)，
從而，，
當(dāng)，且時(shí)，，
根據(jù)以上信息，可作出函數(shù)的大致圖象如下：
函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程的解的個(gè)數(shù)一致，
方程，可化為，
所以或，
由圖象可得沒(méi)有解，
所以方程的解的個(gè)數(shù)與方程解的個(gè)數(shù)相等，
而方程的解的個(gè)數(shù)與函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)相等，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，D正確；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A正確；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，C正確；
故選：ACD.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 若，則________
【答案】
【解析】
【分析】由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則與賦值法求解，
【詳解】，令，得，
故答案為：
13. 已知為函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解極值點(diǎn)與端點(diǎn)值，比較即可求解.
【詳解】由題意可得，所以，
記，則，
令，則，解得或，
令，則，解得，
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故，
由于，所以最大值為，
故答案為：
14. 已知定義在R上的函數(shù) ，若 有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________．
【答案】
【解析】
【分析】分析 的奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)奇偶性和單調(diào)性求解.
【詳解】 ，所以 是奇函數(shù)，
又 ， 在R的范圍內(nèi)是增函數(shù)，
有解等價(jià)于 ， 有解，
令 ，
當(dāng) 時(shí)， 是增函數(shù)，當(dāng)x趨于 時(shí)， 趨于 ，滿足題意；
當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)， ， 是增函數(shù)，當(dāng) 時(shí)， 是減函數(shù)，
；
令 ，則 ，當(dāng) 時(shí)， ，
是增函數(shù)，當(dāng) 時(shí)， 是減函數(shù)，
并且當(dāng) 時(shí)， ， ，
當(dāng) 時(shí) ，即當(dāng) 時(shí)， 滿足題意，
所以a的取值范圍是 ；
故答案為：.
四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15. 已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，不等式的解集為.
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值：，最小值：.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可得的解集為，利用韋達(dá)定理即可求解.
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求出極值與端點(diǎn)值即可求解.
【詳解】解：（1）由的解集為，
則.
（2）由（1）問(wèn)可知，，
，則
則，
由，，則.
【點(diǎn)睛】本題考查了由一元二次不等式的解集求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
16. 某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：m），其中容器的中間為圓柱體，左右兩端均為半球體，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為m3.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱體部分每平方米建造費(fèi)用為3萬(wàn)元，半球體部分每平方米建造費(fèi)用為4萬(wàn)元．設(shè)該容器的總建造費(fèi)用為y萬(wàn)元．

（1）將y表示成r的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域；
（2）確定r和l為何值時(shí)，該容器的建造費(fèi)用最小，并求出最小建造費(fèi)用．
【答案】（1），定義域
（2）當(dāng)r＝2米時(shí)，該容器的建造費(fèi)用最小，為96π萬(wàn)元，此時(shí)l＝m
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圓柱和球的體積公式即可得與關(guān)系，根據(jù)題意建立與的函數(shù)關(guān)系；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值．
【小問(wèn)1詳解】
由題意可知，，∴，
又圓柱的側(cè)面積為，兩端兩個(gè)半球的表面積之和為，
所以，
又，，
所以定義域?yàn)?
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>所以令，得，令，得，
又定義域?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)米時(shí)，該容器的建造費(fèi)用最小，為萬(wàn)元，此時(shí)m.
17. 設(shè).
（1）討論f(x)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0恒成立，求k的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）
【解析】
【分析】（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)的取值范圍分類討論即可求出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（1）求函數(shù)在時(shí)的最小值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值大于0恒成立，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，分類討論求函數(shù)的最小值，并判定最小值與0的大小關(guān)系即可求解.
【詳解】（1），
，
①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，
在上是減函數(shù)；
②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
由，
解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
綜上，時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，無(wú)單調(diào)增區(qū)間；
時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由（1）知，
若時(shí)，在無(wú)最小值，所以f(x)>0不恒成立；
若時(shí)，
①當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
即當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0恒成立；
②當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在遞減，在上遞增，
所以當(dāng)時(shí)，
，
只需即可，
令，，
則，
所以在上是增函數(shù)，
故，
即無(wú)解，
所以時(shí)，f(x)>0不恒成立。
綜上，k的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的最小值，分類討論，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.
18. 已知函數(shù)，記的圖象為曲線C．
（1）若以曲線C上的任意一點(diǎn)為切點(diǎn)作C的切線，求切線的斜率的最小值；
（2）求證：以曲線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B為切點(diǎn)分別作C的切線，，若恒成立，則動(dòng)直線AB恒過(guò)某定點(diǎn)M．
【答案】（1）；
（2）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，再借助二次函數(shù)求出最小值.
（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合兩條切線平行，列式計(jì)算推理即得.
【小問(wèn)1詳解】
由函數(shù)，求導(dǎo)得，
因此曲線C在處切線的斜率為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以切線的斜率的最小值為.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)點(diǎn)，，由，得，
即，整理得，因此，
于是
，
顯然點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn).
19. 已知函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）求當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②證明：.
【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為
（2）
（3）①；②證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，由單調(diào)性求最小值；
（3）由函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的最值，結(jié)合函數(shù)圖像求實(shí)數(shù)a的取值范圍；把零點(diǎn)代入函數(shù)解析式，證明轉(zhuǎn)化為證明，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法證明.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>若，則；若，則；
所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為
【小問(wèn)2詳解】
函數(shù)的定義域是，
．
當(dāng)時(shí)，令則或(舍)．
當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
在上的最小值是，
當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
在上的最小值是，
當(dāng)，即時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，
在上的最小值是．
綜上，．
【小問(wèn)3詳解】
①有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即有兩個(gè)不同實(shí)根，
得，令，，令，得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
時(shí)，取得最大值，且，當(dāng)時(shí)，
得的大致圖像如圖所示：
，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
兩根滿足，，
兩式相加得：，兩式相減得：，
上述兩式相除得，不妨設(shè)，要證：，
只需證：，即證，
設(shè)，令，則，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，且．
，即，．
點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．不等式問(wèn)題，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.x
2
大于零
等于零
小于零
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減

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