2024.11
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號、姓名、考點學(xué)校、考場號及座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直線方程計算直線斜率，即可得到直線的傾斜角.
【詳解】由題意得，直線的斜率，故直線的傾斜角為.
故選：D.
2. 橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把方程化為橢圓標準方程即可得到結(jié)果.
【詳解】由得橢圓標準方程為，
∴，
∴離心率.
故選：B.
3. 已知是直線的方向向量，為平面的法向量，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如果直線垂直于平面，那么直線的方向向量與平面的法向量平行.兩個向量平行，則它們對應(yīng)坐標成比例，我們可以根據(jù)這個性質(zhì)來求解的值.
【詳解】因為，所以與平行.
對于兩個平行向量和，根據(jù)向量平行的性質(zhì)，
它們對應(yīng)坐標成比例，即.
由，交叉相乘可得，解得.
故選：A.
4. 若圓與圓有3條公切線，則（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】若兩圓有3條公切線，則外切.我們需要先通過圓的方程，求出圓心坐標和半徑，再根據(jù)兩圓外切時圓心距等于兩圓半徑之和來求解的值.
【詳解】圓，其圓心坐標為，半徑.
圓，其圓心坐標為，半徑.
因為兩圓有3條公切線，所以兩圓外切，此時圓心距.
根據(jù)兩點間距離公式，圓心與的距離.
又因為，即.
移項可得.
兩邊平方可得，解得.
故選：A.
5. 空間三點，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（ ）
A. B. C. 7D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空間向量的數(shù)量積求出的值，然后利用三角形的面積公式可求得平行四邊形的面積.
【詳解】因為，，，
所以，，
所以，
，，
所以，
因為，所以，
所以，以，為鄰邊的平行四邊形的面積為.
故選：D
6. 若圓，點在直線上，過點作圓的切線，切點為，則切線長的最小值為（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先求出圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理，切線長、圓的半徑和圓心到點的距離構(gòu)成直角三角形，圓的半徑固定，當圓心到點的距離最小時，切線長最小，而圓心到直線上點的最小距離就是圓心到直線的距離.
【詳解】對于圓，其圓心坐標為，半徑.
根據(jù)點到直線的距離公式，
則.
根據(jù)切線長、圓半徑和圓心到點距離構(gòu)成直角三角形，設(shè)切線長為，圓心到點的距離為，圓半徑.
由勾股定理，當取最小值時，最小，
此時.
故選：B.
7. 若，兩點到直線的距離相等，則（ ）
A. B. C. 2或D. 2或
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，根據(jù)點到直線的距離公式建立關(guān)于的方程，解之即可求解.
【詳解】由題意知，，
得，解得或，
即實數(shù)的值為或.
故選：C
8. 設(shè)為坐標原點，，為橢圓的兩個焦點，點在上，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓方程求出焦點坐標以及橢圓的基本參數(shù)，再利用余弦定理求出與的關(guān)系，然后通過向量關(guān)系求出.
【詳解】對于橢圓，可得，.
可求出，所以焦點，.
設(shè)，，在中，根據(jù)余弦定理.
已知，，則.
又因為點在橢圓上，根據(jù)橢圓的定義，
將展開得.
用減去可得：
即則.
代入中，可得.
因為，所以.
.
則，
所以.
故選：A.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 若直線過點，且在兩坐標軸上截距相等，則直線方程可能為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】對截距分類討論，利用截距式及其斜率計算公式即可得出．
【詳解】當直線經(jīng)過原點時，可得直線方程為：，即．
當直線不經(jīng)過原點時，可設(shè)的直線方程為：，把點代入可得：，可得．
綜上可得：直線的方程為：或．
故選：BC．
10. 在平面直角坐標系中，已知，，點滿足，設(shè)點的軌跡為，則（ ）
A. 當時，的方程是
B. 當時，以為直徑的圓與的公共弦長為
C. 當時，圓的圓心在線段的延長線上
D. 以為直徑的圓始終與相交
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意設(shè)，由可得軌跡，當時，可得軌跡的方程，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系確定相交弦長從而可判斷A，B；根據(jù)圓心的坐標確定與，坐標關(guān)系即可判斷C；分別判斷與時，圓的端點在圓內(nèi)還是外即可判斷圓與圓的位置，從而判斷D.
【詳解】設(shè)，因為，，則，
整理得點的軌跡為為，
對于A，B，當時，的方程是，故A正確；
此時圓心，半徑，又以為直徑的圓圓心為，半徑為2，圓的方程為，
所以兩圓方程作差可得公共弦長所在直線方程為：，
故公共弦長，故B不正確；
對于C，由于方程為，則此時圓心坐標為，
當時，，則圓的圓心在線段的延長線上，故C正確；
對于D，由于以為直徑的圓方程為，圓的圓心為，半徑為，
當時，，因為圓的圓心在線段的延長線上，
又，
則，，
故點在圓內(nèi)，在圓外，即此時以為直徑的圓始終與相交；
當時，，的圓心在線段的延長線上，
又，，
則，，
故點在圓外，在圓內(nèi)，即此時以為直徑的圓始終與相交；
綜上，以為直徑的圓始終與相交，故D正確.
故選：ACD.
11. 如圖是數(shù)學(xué)家Germinal Dandelin用來證明一個平面截圓錐側(cè)面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，截面分別與球，球切于點，（，是截口橢圓的焦點）.設(shè)圖中球，球的半徑分別為3和1，球心距，則（ ）

A. 橢圓的中心在直線上
B.
C. 直線與橢圓所在平面所成的角為
D. 橢圓的離心率為
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)給定的幾何體，作出軸截面，結(jié)合圓的切線性質(zhì)及勾股定理求出橢圓長軸和焦距作答.
【詳解】依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，得圓錐的軸截面及球，球的截面大圓，如圖，

點分別為圓與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點，線段是橢圓長軸，
可知橢圓C的中心（即線段的中點）不在直線上，故A錯誤；
橢圓長軸長，
過作于D，連，顯然四邊形為矩形，
又，
則，
過作交延長線于C，顯然四邊形為矩形，
橢圓焦距，故B正確；
所以直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為，故C錯誤；
所以橢圓的離心率，故D正確；
故選：BD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得，結(jié)合空間向量模的坐標表示即可求解.
【詳解】因為點是點在坐標平面內(nèi)的射影，
所以，得，
所以.
故答案為：
13. 若圓上恰有個點到直線的距離等于，則的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】求圓心到直線的距離，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系列不等式，求解即可得的取值范圍.
【詳解】圓心到直線的距離為，
若圓上恰有個點到直線的距離等于，
所以，則，解得。
所以的取值范圍是.
故答案為：.
14. 《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似地下車庫入口形狀的幾何體.如圖，羨除中，四邊形，均為等腰梯形，，，互相平行，平面平面，梯形，的高分別為2，4，且，，，則與平面所成角的正切值為________，異面直線與所成角的余弦值為_______
【答案】 ①. 2 ②. ##0.2
【解析】
分析】利用面面垂直得線面垂直，建立空間直角坐標系，表示各點坐標，利用空間向量解決線面角和線線角問題.
【詳解】
過點作的垂線，垂足分別為，則.
由四邊形，均為等腰梯形得，，.
∵，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
∵平面，∴.
以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，
∴,
由題意得，平面的法向量為.
設(shè)與平面所成角為，則，
由得，，∴.
∵，
∴異面直線與所成角的余弦值為.
故答案：2；.
【點睛】思路點睛：本題考查立體幾何綜合問題，具體思路如下：
（1）過點作的垂線，垂足分別為，由得.
（2）由平面平面得平面，.
（3）以為原點建立空間直角坐標系，表示各點坐標，利用空間向量解決線面角和線線角問題.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，在空間四邊形中，，分別為，的中點，點為的重心，設(shè)，，.
（1）試用向量，，，表示向量；
（2）若，，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運算化簡即可得解；
（2）用，，表示出向量，再由空間向量數(shù)量積公式計算即可.
【小問1詳解】
【小問2詳解】
，
，
.
16. 已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過圓與圓的交點.
（1）求的方程；
（2）直線與交于，兩點，當弦最短時，求的值，并求出此時關(guān)于對稱的圓的方程.
【答案】（1）
（2），.
【解析】
【分析】（1）設(shè)出過圓與圓的交點的圓系方程，得到圓心后代入直線中計算即可得；
（2）由題意可得直線所過定點，再借助垂徑定理即可得，再求出的圓心關(guān)于直線的對稱點的坐標即可得解.
【小問1詳解】
設(shè)經(jīng)過圓與圓的交點的圓的方程為：
，
即為，
圓心為，代入得，，
所以方程為；
【小問2詳解】
由得，
所以直線經(jīng)過與的交點，
由，得交點，
所以當時最短，
因為，所以，解得，
即直線的方程為
由（1）得，半徑，
設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點，
則，解得，
所以關(guān)于對稱的圓的方程為.

17. 如圖，在直三棱柱中，，，，分別為棱，的中點，是與的交點.
（1）求點到平面的距離；
（2）在線段上是否存在一點，使平面，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定的幾何體建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，再利用點到平面距離的向量求求解.
（2）由（1）中信息，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理得解.
【小問1詳解】
在直三棱柱中，，，
以為原點，直線，，分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z1，則，取，得，
所以點到平面的距離.
【小問2詳解】
由（1）知，，設(shè)，則，，
平面的一個法向量為，
由，得，而平面，
所以存在點，當時，平面.
18. 在圓上任取一點，過作軸的垂線段，垂足為，點在線段的延長線上，且，當在圓上運動時，點形成的軌跡為.（當經(jīng)過圓與軸的交點時，規(guī)定點與點重合.）
（1）求的方程；
（2）設(shè)的上頂點為，過點作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，直線，分別與軸交于點，，證明：線段的中點為定點.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)，Px0,y0，點的坐標代入圓可得答案；
（2）設(shè)，，過點的直線為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求出、，再由直線、直線的方程求出、相加可得答案.
【小問1詳解】
設(shè)，Px0,y0，則，
所以，，
因為點在圓上，
所以，
即的方程為；
【小問2詳解】
設(shè)過點的直線為，，，
由，得，
所以，解得，
所以，，
直線的方程為，令，解得，
直線的方程為，令，解得，
所以
，
因為，都在軸上，所以，中點的縱坐標為0，
所以線段的中點為定點.
19. 已知曲線，對坐標平面上任意一點，定義，若兩點，，滿足，稱點，在曲線的同側(cè)；，稱點，在曲線的兩側(cè).
（1）若曲線，判斷，兩點在曲線的同側(cè)還是兩側(cè)；
（2）已知曲線，為坐標原點，求點集所構(gòu)成圖形的面積；
（3）記到點與到軸的距離之和為的點的軌跡為曲線，曲線，若曲線上總存在兩點，在曲線兩側(cè)，求曲線的方程和實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），兩點在曲線的同側(cè)；
（2）
（3），.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義分別求解，再驗證，即可判斷；
（2）由，判斷點集的位置，從而得軌跡的面積；
（3）設(shè)曲線上動點為，得曲線的方程，分別求解當，時的，利用，求解的范圍．
小問1詳解】
因為，
，
所以，
所以，兩點在曲線的同側(cè)；
【小問2詳解】
因為，
所以，點集為曲線內(nèi)部，
曲線如圖所示
由此可得曲線所圍成圖形的面積為，
即點集所構(gòu)成圖形的面積為；
【小問3詳解】
設(shè)曲線上的動點為，則曲線的方程為，
整理得，
所以，當時，，
此時，
所以，當時，，
此時，
要使曲線上總存在兩點，在曲線兩側(cè)，則
所以，
解得，
所以曲線的方程為，實數(shù)的取值范圍為.

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