高一數(shù)學(xué)試題
2024.11
（必修第一冊(cè)階段檢測(cè)）
說明：本試卷滿分150分，分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷為第1頁至第2頁，第II卷為第2頁至第4頁.試題答案請(qǐng)用2B鉛筆或0.5mm簽字筆填涂到答題卡規(guī)定位置上，書寫在試題上的答案無效.
考試時(shí)間120分鐘
第I卷（選擇題58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 命題，，則命題的否定形式是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 若，函數(shù)最小值為（ ）
A. B. 2C. D. 4
4. 若冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則（ ）
A. 或4B. C. 4D. 2
5. “”的一個(gè)必要不充分條件為（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B.
C.
D. 的解集為
7. 已知函數(shù)滿足：對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8. 在山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)科技節(jié)中，高一李明同學(xué)定義了可分比集合：若對(duì)于集合滿足對(duì)任意，，都有，則稱是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均為可分比集合，且，則正整數(shù)的最大值為（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 若，，且，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，的圖象關(guān)于對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，若，則（ ）
A. 的周期為4
B. 圖象關(guān)于對(duì)稱
C.
D. 當(dāng)時(shí)，
第II卷（非選擇題 92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若函數(shù)定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開_____.
13. 若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為_________.
14. 已知函數(shù)，若關(guān)于方程至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15 設(shè)集合，.
（1）當(dāng)時(shí)，求與；
（2）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
16. 已知定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)滿足當(dāng)時(shí)，.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的值.
17 已知二次函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；
（2）當(dāng)，時(shí)，求的最大值.
18. 已知函數(shù).
（1）判斷并證明的奇偶性；
（2）判斷并證明在上的單調(diào)性；
（3）若關(guān)于的不等式fax2+3ax+f1?ax>0對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19. 已知函數(shù)，.
（1）求函數(shù)的值域；
（2）證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；
（3）若對(duì)任意，都存在及實(shí)數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的最大值.
山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024~2025學(xué)年第一學(xué)期期中
高一數(shù)學(xué)試題
2024.11
（必修第一冊(cè)階段檢測(cè)）
說明：本試卷滿分150分，分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷為第1頁至第2頁，第II卷為第2頁至第4頁.試題答案請(qǐng)用2B鉛筆或0.5mm簽字筆填涂到答題卡規(guī)定位置上，書寫在試題上的答案無效.
考試時(shí)間120分鐘
第I卷（選擇題58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合B，進(jìn)而可求交集.
【詳解】由題意可得：，
且，所以.
故選：B.
2. 命題，，則命題的否定形式是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得到結(jié)論．
【詳解】命題，，為全稱量詞命題，
則該命題的否定為：，.
故選：C．
3. 若，函數(shù)最小值為（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意利用基本不等式求最值即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以函數(shù)最小值為.
故選：C.
4. 若冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則（ ）
A. 或4B. C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)分析運(yùn)算.
【詳解】若冪函數(shù)，則，解得或，
且冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則為偶數(shù)，故.
故選：C．
5. “”的一個(gè)必要不充分條件為（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知：是選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)集合的真子集，逐項(xiàng)分析判斷即可.
【詳解】由題意可知：是選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)集合的真子集，
結(jié)合選項(xiàng)可知只有選項(xiàng)A符合.
故選：A.
6. 已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B.
C.
D. 的解集為
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)不等式與方程的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理，求得的關(guān)系，再分析選項(xiàng)即可求解．
【詳解】對(duì)于A，由已知可得開口向下，即，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于BCD，是方程的兩個(gè)根，
所以，
所以，，
，故BC錯(cuò)誤，D正確；
故選：D．
7. 已知函數(shù)滿足：對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用增函數(shù)的定義并結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)列出不等式求解即可.
【詳解】對(duì)任意，當(dāng)時(shí)都有成立，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
8. 在山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)科技節(jié)中，高一李明同學(xué)定義了可分比集合：若對(duì)于集合滿足對(duì)任意，，都有，則稱是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均為可分比集合，且，則正整數(shù)的最大值為（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：根據(jù)可分比集合，再通過時(shí)成立，時(shí)不成立得到正整數(shù)的最大值為7；方法二：分析出，再證明滿意題意.
【詳解】解法一：一方面，取滿足題意，則；
另一方面，若，不妨設(shè)，則，則，此時(shí)，且，矛盾！
綜上所述，正整數(shù)的最大值為7.
解法二：，則，又，即若，內(nèi)的數(shù)均不屬于，
若，則，則，又，矛盾，
所以，當(dāng)時(shí)，符合，所以．
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)定義及函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】對(duì)于A，函數(shù)定義域?yàn)?，不是偶函?shù)，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，函數(shù)定義域?yàn)镽，，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，B正確；
對(duì)于C，函數(shù)定義域?yàn)镽，，是偶函數(shù)，
且當(dāng)時(shí)，，則其在上單調(diào)遞增，C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，，則，不是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 若，，且，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由不等式的性質(zhì)可得，即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】由已知可得，
對(duì)于A項(xiàng)，，所以，由及不等式性質(zhì)得，故A成立.
對(duì)于B項(xiàng)，，因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，，即，故B項(xiàng)不一定成立
對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，成立，故C項(xiàng)一定成立.
對(duì)于D項(xiàng)，由，，得，所以，故D項(xiàng)一定成立.
故選：ACD
11. 已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，的圖象關(guān)于對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，若，則（ ）
A. 的周期為4
B. 的圖象關(guān)于對(duì)稱
C.
D. 當(dāng)時(shí)，
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)已知推得的周期為4，且、分別是對(duì)稱軸和對(duì)稱中心判斷A，進(jìn)而有判斷B；利用周期性求函數(shù)值判斷C；求得、，待定系數(shù)法求函數(shù)中參數(shù)值，再由周期性求上解析式判斷D.
【詳解】由圖象關(guān)于對(duì)稱，即的圖象關(guān)于對(duì)稱，
所以，又，故，
所以，且的一條對(duì)稱軸為，
即的周期為4，且、分別是對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，A對(duì)；
所以，即，關(guān)于對(duì)稱，B對(duì)；
，C對(duì)；
若，則，即，
又，，即，
所以，
則，可得，故，
所以時(shí)，D錯(cuò).
故選：ABC
第II卷（非選擇題 92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域分析求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>即，可得，
所以的定義域?yàn)?
故答案為：.
13. 若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為_________.
【答案】8
【解析】
【分析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式最小值，注意取值條件.
【詳解】由題設(shè)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故最小值為8.
故答案為：8
14. 已知函數(shù)，若關(guān)于的方程至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)解析式畫出大致圖象，結(jié)合的性質(zhì)研究臨界情況下參數(shù)值，數(shù)形結(jié)合確定參數(shù)范圍.
【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式，可得函數(shù)大致圖象如下：

而恒過定點(diǎn)，
當(dāng)與在處相切時(shí)，有僅有一個(gè)解，
所以，此時(shí)，
當(dāng)過時(shí)，，此時(shí)，
結(jié)合圖象，知時(shí)，交點(diǎn)至少兩個(gè).
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 設(shè)集合，.
（1）當(dāng)時(shí)，求與；
（2）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，再應(yīng)用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算求集合；
（2）根據(jù)題意有，討論集合B，列對(duì)應(yīng)不等式求參數(shù)范圍.
【小問1詳解】
由，，
所以或，則，.
【小問2詳解】
由題意，若，則，可得，
若，則且，可得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
16. 已知定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)滿足當(dāng)時(shí)，.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的值.
【答案】（1）
（2）當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得的解析式.
（2）對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求得最值.
【小問1詳解】
∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
則，
∴，
設(shè)，則，
∴，
所以
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，可得此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，
所以，可得此時(shí)，
綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
17. 已知二次函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；
（2）當(dāng)，時(shí)，求的最大值.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先因式分解，然后對(duì)進(jìn)行分類討論，從而求得正確答案.
（2）對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.
【小問1詳解】
，
①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
②當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.
【小問2詳解】
當(dāng)，對(duì)稱軸為，
區(qū)間中點(diǎn)為，比較與的關(guān)系，
①當(dāng)，即時(shí)，；
②當(dāng)，即時(shí)，；
綜上可得.
18. 已知函數(shù).
（1）判斷并證明的奇偶性；
（2）判斷并證明在上的單調(diào)性；
（3）若關(guān)于的不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）為奇函數(shù)，證明見解析；
（2）在上的單調(diào)遞增，證明見解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性定義證明；
（2）利用單調(diào)性定義證明；
（3）根據(jù)（1）（2），將不等式化為在上恒成立，分類討論并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍.
【小問1詳解】
為奇函數(shù)，證明如下：
由解析式知，函數(shù)定義域?yàn)镽，且，
所以為奇函數(shù)；
小問2詳解】
在上的單調(diào)遞增，證明如下：
令，則，
，而，，
所以，即在上的單調(diào)遞增.
【小問3詳解】
由（1）（2）知：在R上單調(diào)遞增，且，
所以，
故，即在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，有，滿足題設(shè)；
當(dāng)時(shí)，則，
綜上，.
19. 已知函數(shù)，.
（1）求函數(shù)的值域；
（2）證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；
（3）若對(duì)任意，都存在及實(shí)數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的最大值.
【答案】（1）；
（2）證明見解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)值域求的值域；
（2）只需證明，即可證結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）結(jié)論有，令得，結(jié)合題設(shè)條件有，即可求參數(shù)范圍.
【小問1詳解】
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，易知在R上單調(diào)遞減，
由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，，即，故；
【小問2詳解】
由，即，故關(guān)于中心對(duì)稱，得證；
【小問3詳解】
由（2）及，知，
對(duì)于，以為主元且，則在上遞減，
所以，問題化為任意，都有，
只需，則，則，又，
所以，即參數(shù)n的最大值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，問題化為任意，使為關(guān)鍵.

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