1、.條件概率
(1)概念：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)＞0，我們稱(chēng) 為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱(chēng)條件概率.
2、兩個(gè)公式
①利用古典概型，P(B|A)＝ ；
②概率的乘法公式：P(AB)＝
3、全概率公式
一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有 ，我們稱(chēng)上面的公式為全概率公式．
4. *貝葉斯公式：
一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0, i＝1,2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，P(B)>0有P(Ai|B)＝eq \f(P?Ai?P?B|Ai?,P?B?)＝eq \f(P?Ai?P?B|Ai?,\(∑,\s\up11(n),\s\d4(k＝1))P?Ak?P?B|Ak?)，i＝1,2，…，n.
1、（2022?天津）52張撲克牌，沒(méi)有大小王，無(wú)放回地抽取兩次，則兩次都抽到的概率為 ；已知第一次抽到的是，則第二次抽取的概率為 ．
2、（2023?甲卷（理））有50人報(bào)名足球俱樂(lè)部，60人報(bào)名乒乓球俱樂(lè)部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂(lè)部，若已知某人報(bào)足球俱樂(lè)部，則其報(bào)乒乓球俱樂(lè)部的概率為
A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1
1、 (2022·泰州模擬)足球訓(xùn)練中點(diǎn)球射門(mén)是隊(duì)員練習(xí)的必修課，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某足球隊(duì)員踢向球門(mén)左側(cè)時(shí)進(jìn)球的概率為80%，踢向球門(mén)右側(cè)時(shí)進(jìn)球的概率為75%.若該球員進(jìn)行點(diǎn)球射門(mén)時(shí)踢向球門(mén)左、右兩側(cè)的概率分別為60%，40%，則該球員點(diǎn)球射門(mén)進(jìn)球的概率為( )
A. 77% B. 77.5% C. 78% D. 78.5%
2、 (2022·揭陽(yáng)高三期末)袋中有大小和形狀都相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中不放回地依次抽取兩個(gè)球，則在第一次取到白球的條件下，第二次也取到白球的概率是( )
A. eq \f(3,4) B. eq \f(3,5) C. eq \f(1,2) D. eq \f(3,10)
3、 (多選)(2022·聊城二模)從含有3道代數(shù)題和2道幾何題的5道試題中隨機(jī)抽取2道題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回，則下列說(shuō)法中正確的是( )
A. “第1次抽到代數(shù)題”與“第1次抽到幾何題”是互斥事件
B. “第1次抽到代數(shù)題”與“第2次抽到幾何題”相互獨(dú)立
C. 第1次抽到代數(shù)題且第2次也抽到代數(shù)題的概率是 eq \f(3,10)
D. 在有代數(shù)題的條件下，兩道題都是代數(shù)題的概率是 eq \f(1,3)
4、已知P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.9，P(B|eq \(A,\s\up6(－)))＝0.2，則P(A)＝( )
A.eq \f(1,7) B.eq \f(3,7) D.0.1
考向一 條件概率
例1、一袋中共有大小相同的5個(gè)黑球和5個(gè)白球．
(1) 若從袋中任意摸出2個(gè)球，求至少有1個(gè)白球的概率；
(2) 現(xiàn)從中不放回地取球，每次取1個(gè)球，取2次，已知第一次取得白球，求第二次取得黑球的概率．
變式1、 (1)已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球，它們大小形狀完全相同.現(xiàn)需一個(gè)紅球，甲每次從中任取一個(gè)不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,8) D.eq \f(2,9)
(2)對(duì)標(biāo)有不同編號(hào)的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的條件下，第二次摸到正品的概率是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(5,9) D.eq \f(2,3)
變式2、（1）從標(biāo)有1，2，3，4，5的五張卡中，依次抽出2張，則在第一次抽到奇數(shù)的情況下，第二次抽到偶數(shù)的概率為_(kāi)_______．
(2)某射擊選手射擊一次擊中10環(huán)的概率是eq \f(4,5)，連續(xù)兩次均擊中10環(huán)的概率是eq \f(1,2)，已知該選手某次擊中10環(huán)，則隨后一次擊中10環(huán)的概率是( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(5,8) C.eq \f(1,2) D.eq \f(4,5)
變式3、某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱(chēng)為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：
設(shè)該險(xiǎn)種的一位續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下：
(1) 求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；
(2) 若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；
(3) 求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值．
方法總結(jié)：求條件概率的常用方法
(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）).
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)
考向二 全概率公式
例2、有甲、乙兩個(gè)袋子，甲袋中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙袋中有4個(gè)白球，4個(gè)黑球．現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，然后再?gòu)囊掖腥稳∫磺颍蟠饲驗(yàn)榘浊虻母怕剩?br>變式1、 設(shè)5支槍中有2支未經(jīng)試射校正，3支已校正．一射手用校正過(guò)的槍射擊，中靶率為0.9，用未校正過(guò)的槍射擊，中靶率為0.4.
(1) 該射手任取一支槍射擊，中靶的概率是多少？
(2) 若任取一支槍射擊，結(jié)果未中靶，求該槍未校正的概率．
變式2、(1) 某保險(xiǎn)公司將其公司的被保險(xiǎn)人分為三類(lèi)：“謹(jǐn)慎的”“一般的”“冒失的”．統(tǒng)計(jì)資料表明，這三類(lèi)人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15,0.30.若該保險(xiǎn)公司的被保險(xiǎn)人中“謹(jǐn)慎的”被保險(xiǎn)人占20%，“一般的”被保險(xiǎn)人占50%，“冒失的”被保險(xiǎn)人占30%，則該保險(xiǎn)公司的一個(gè)被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率是( )
A. 0.155 B. 0.175
C. 0.016 D. 0.096
(2) 人們?yōu)榱私庖恢还善蔽磥?lái)一定時(shí)期內(nèi)價(jià)格的變化，往往會(huì)去分析影響股票價(jià)格的基本因素，比如利率的變化．現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計(jì)利率下調(diào)的概率為60%，利率不變的概率為40%.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，人們估計(jì)，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價(jià)格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下，其價(jià)格上漲的概率為40%，則該只股票將上漲的概率為 .
方法總結(jié)：利用全概率公式的思路：
(1) 按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；
(2) 求P(Ai)和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(B|Ai)；
(3) 代入全概率公式計(jì)算
1、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，發(fā)現(xiàn)該100名患者中有20名的年齡位于區(qū)間內(nèi)．已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.15%，年齡位于區(qū)間內(nèi)人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?0%．現(xiàn)從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間內(nèi)，則此人患該疾病的概率為（ ）
A．0.001B．0.003C．0.005D．0.007
2、（2022·廣東揭陽(yáng)·高三期末）袋中有大小和形狀都相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中不放回地依次抽取兩個(gè)球，則在第一次取到白球的條件下，第二次也取到白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
3、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）（多選題）一個(gè)袋中有大小?形狀完全相同的3個(gè)小球，顏色分別為紅?黃?藍(lán)，從袋中先后無(wú)放回地取出2個(gè)球，記“第一次取到紅球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件，則（ ）
A．B．為互斥事件
C．D．相互獨(dú)立
4、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┠硨W(xué)校為了迎接黨的二十大召開(kāi)，增進(jìn)全體教職工對(duì)黨史知識(shí)的了解，組織開(kāi)展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)并以支部為單位參加比賽.現(xiàn)有兩組黨史題目放在甲?乙兩個(gè)紙箱中，甲箱有5個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，乙箱中有4個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，比賽中要求每個(gè)支部在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.每個(gè)支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個(gè)題目放回原紙箱中.
(1)如果第一支部從乙箱中抽取了2個(gè)題目，求第2題抽到的是填空題的概率；
(2)若第二支部從甲箱中抽取了2個(gè)題目，答題結(jié)束后錯(cuò)將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時(shí)，從乙箱中抽取了題目.已知第三支部從乙箱中取出的這個(gè)題目是選擇題，求第二支部從甲箱中取出的是2個(gè)選擇題的概率.
上年度出
險(xiǎn)次數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
保 費(fèi)
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
一年內(nèi)出
險(xiǎn)次數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05

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