1．（2024高三·全國·專題練習）甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，則甲、乙兩人中間恰好有兩人的站法有（ ）
A．36種B．72種C．144種D．288種
2．（2024高三·全國·專題練習）若一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是，則（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·江蘇常州·期中）有甲、乙等5名同學咨詢數(shù)學史知識競賽分數(shù).教師說：甲不是5人中分數(shù)最高的，乙不是5人中分數(shù)最低的，而且5人的分數(shù)互不相同.則這5名同學的可能排名有（ ）
A．42種B．72種C．78種D．120種
4．（24-25高三上·河北·期中）如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標有數(shù)字的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個數(shù)字之和為7”的不同的排法有（ ）
A．16種B．32種C．64種D．96種
5．（24-25高三上·廣西·期中）為促進城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展，某地區(qū)教育局安排包括甲、乙在內(nèi)的5名城區(qū)教師前往四所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學校支教，若每所學校至少安排1名教師，每名教師只能去一所學校，則甲、乙不安排在同一所學校的方法數(shù)有（ ）
A．1440種B．240種C．216種D．120種
6．（2024·湖北·模擬預測）不等式，其中是非負整數(shù)，則使不等式成立的三元數(shù)組有多少組（ ）
A．560B．455C．91D．55
7．（2024·江西新余·模擬預測）小梁同學將個完全相同的球放入個不同的盒子中有種放法，小郅同學將個完全不同的球放入個相同的盒子中有種放法.若每個盒子中至少有一個球，則（ ）.
A．B．C．D．
8．（24-25高三上·江蘇南通·開學考試）今年暑期檔，全國各大院線推出多部精彩影片，其中比較熱門的有《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華兩位同學準備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵探柯南》，則兩位同學不同的觀影方案種數(shù)為（ ）
A．12B．24C．28D．36
二、多選題
9．（2024·湖南·模擬預測）傳承紅色文化，宣揚愛國精神，東湖中學國旗隊在高一年級招收新成員，現(xiàn)有小明、小紅、小華等6名同學新入方陣參加隊列訓練，則下列說法正確的是（ ）
A．6名同學站成一排，小明、小紅、小華必須按從左到右的順序站位，則不同的站法種數(shù)為120種
B．6名同學站成一排，小明、小紅兩人相鄰，則不同的排法種數(shù)為240種
C．6名同學站成一排，小明、小紅兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)為480種
D．6名同學平均分成三組到進行三種不同的隊列訓練（每種訓練必須有人參加），則有540種不同的安排方法
10．（2024·遼寧錦州·模擬預測）現(xiàn)有分別標有2024，2021，2028，2023，2020，2022數(shù)字的6張卡片，下列說法正確的是（ ）
A．卡片數(shù)字的第80百分位數(shù)為2024
B．從中隨機抽取兩張，共有30種不同的組合
C．從中隨機抽取一張，抽到偶數(shù)的概率比奇數(shù)大
D．從中隨機抽取一張，抽到質(zhì)數(shù)是等可能事件
11．（2025·全國·模擬預測）將這七個數(shù)隨機地排成一個數(shù)列，記第i項為，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則這樣的數(shù)列共有360個
B．若該數(shù)列恰好先增后減，則這樣的數(shù)列共有64個
C．若所有的奇數(shù)不相鄰，所有的偶數(shù)也不相鄰，則這樣的數(shù)列共有144個
D．若，，，則這樣的數(shù)列共有71個
三、填空題
12．（2023·河南周口·模擬預測）十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京召開．會議期間，會議籌備組將包含甲、乙在內(nèi)的5名工作人員分配到3個會議廳負責進場引導工作，每個會議廳至少1人．每人只負責一個會議廳，則甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有 種．（用數(shù)字作答）
13．（2024·陜西西安·模擬預測）公司的甲部門有3男2女五名職工，乙部門有2男3女五名職工．公司通知每個部門任選2名職工，且所選的4名職工必須是2男2女，公司再將四個不同新型項目隨機分配給每人分管一項，則不同的分配方案種數(shù)為（用數(shù)字作答） ．
14．（2024·廣東佛山·一模）現(xiàn)有甲、乙、丙等7位同學，各自寫了一封信，然后都投到同一個郵箱里.若甲、乙、丙3位同學分別從郵箱里隨機抽取一封信，則這3位同學抽到的都不是自己寫的信的不同取法種數(shù)是 （用數(shù)字作答）.
四、解答題
15．（2024高三·全國·專題練習）種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？
16．（2024高三·全國·專題練習）（1）證明：；
（2）化簡：．
17．（2024高三·全國·專題練習）馬路上有編號為的九只路燈，現(xiàn)要關掉其中的盞，但不能關掉相鄰的盞或盞，也不能關掉兩端的盞，求滿足條件的關燈方法有多少種？
18．（25-26高三上·上?！卧獪y試）在班級活動中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目．（寫出必要的數(shù)學式，結(jié)果用數(shù)字作答）
(1)三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？
(2)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？
(3)從中選出2名男生和2名女生分四個不同角色表演朗誦，有多少種選派方法？
19．（2024·湖北荊州·模擬預測）如圖所示數(shù)陣，第行共有個數(shù)，第m行的第1個數(shù)為，第2個數(shù)為，第個數(shù)為，規(guī)定：.
…… … … … … …
(1)試判斷每一行的最后兩個數(shù)的大小關系，并證明你的結(jié)論；
(2)求證：每一行的所有數(shù)之和等于下一行的最后一個數(shù)；
(3)從第1行起，每一行最后一個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，設數(shù)列的前n項和為是否存在正整數(shù)k，使得對任意正整數(shù)n，恒成立？如存在，請求出k的最大值，如不存在，請說明理由.
參考答案：
1．C
【分析】由排列數(shù)的計算公式，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】第一步從6個位置中選擇2個位置，滿足條件的選位可以是，
共有3種不同的方法；
第二步將甲、乙排到所選擇的2個位置，共有種不同的方法；
第三步將丙、丁、戊、己排到剩余的4個位置，共有種不同的方法；
由分步計數(shù)原理可知，共有種．
故選：C
2．A
【分析】根據(jù)條件，先求出第百分位數(shù)，再利用組合數(shù)計算公式，即可求解.
【詳解】將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列得，因為，
所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)，所以.
故選：A.
3．C
【分析】先計算，然后減去不符合題意的情況，由此求得正確答案.
【詳解】不符合題意的情況是：甲是最高分或乙是最低分，
所以這5名同學的可能排名有種.
故選：C
4．D
【分析】根據(jù)題意按照分步計數(shù)原理對表格中的數(shù)據(jù)分步填寫并保證符合題意即可得出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意，分三步進行；
第一步，要求“只有中間一列兩個數(shù)字之和為7”，則中間的數(shù)字為三組數(shù)1，6或2，5或3，4中的一組，共有種排法；
第二步，排第一步中剩余的兩組數(shù)，且這兩數(shù)字之和不為7，共有種排法；
第三步，排剩下的兩個數(shù)字，共有種排法.
由分步計數(shù)原理知，共有不同的排法種數(shù)為.
故選：D.
5．C
【分析】根據(jù)分組分配計算所有的安排方法數(shù)，再計算甲、乙安排在同一個學校的方法總數(shù)，相減得符合的方法數(shù).
【詳解】根據(jù)題意，若每所學校至少安排1名教師，每名教師只去一所學校，則有種不同安排方法，
若甲、乙安排在同一個學校，則有種不同安排方法，
甲、乙不安排在同一所學校的方法數(shù)有種．
故選：C．
6．B
【分析】在都加上1，把問題轉(zhuǎn)化成方程有正整數(shù)解的問題解決.
【詳解】設，，，
則不等式有多少組非負整數(shù)解的問題，轉(zhuǎn)化為：的正整數(shù)解的組數(shù).
因為方程：的解的組數(shù)為：；
的解的組數(shù)為：；
…
的解的組數(shù)為：.
所以原不等式解的組數(shù)為：.
故選：B
【點睛】結(jié)論點睛：方程（且）正整數(shù)解的組數(shù)為.
7．B
【分析】先利用隔板法求出，再根據(jù)部分平均分組法計算出，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意將個完全相同的球放入個不同的盒子中，每個盒子中至少有一個球，
利用隔板法共有種放法，所以；
將個完全不同的球放入個相同的盒子中，每個盒子中至少有一個球，
可以將個球分成組，有和兩種分組方法，
按分組時，有種放法，按分組時，有種放法，
所以，所以.
故選：B
8．D
【分析】分三種情況，兩人所選影片均不同，兩人所選影片中，《名偵探柯南》相同，不是《名偵探柯南》相同，分別計算出相應的方案數(shù)，相加即可.
【詳解】若兩人所選影片均不同，此時小明先從除《名偵探柯南》中選擇一部，
小華從剩余的3部中選擇兩部，此時共有種方案，
若兩人所選影片中，《名偵探柯南》相同，則兩人從剩余4部中各選1部，有種方案，
若兩人所選影片中，不是《名偵探柯南》相同，相同的影片為4部中1部，有種選擇，
再給小華從剩余3部中選擇一部，有種選擇，故共有種方案，
綜上，共有種方案.
故選：D
9．ABC
可用倍縮法，6名同學站成一排，小明、小紅、小華必須按從左到右的順序站位，則有種，故A正確；
B：小明、小紅兩人相鄰共有種排法，將兩人插空到其余四人全排列中共有種，故B正確；
C：6人站成一排，小明、小紅兩人不相鄰，先將除小明、小紅外的4人進行全排列，有種排法，再將小明、小紅兩人插空，有種排法，則共有種不同的排法，故C正確；
D：6名同學平均分成三組到進行三種不同的隊列訓練（每種訓練必須有人參加），則有種，故D錯誤；
故選：ABC
10．AC
【分析】求出第80百分位數(shù)判斷A；利用組合計數(shù)判斷B；求出概率判斷C；確定質(zhì)數(shù)個數(shù)判斷D.
【詳解】對于A，由，得數(shù)據(jù)2020，2021，2022，2023，2024，2028的第80百分位數(shù)為2024，A正確；
對于B，從中隨機抽取兩張，共有種不同的組合，B錯誤；
對于C，從中隨機抽取一張，抽到偶數(shù)的概率是，抽到奇數(shù)的概率是，C正確；
對于D，6張卡片上的數(shù)都是合數(shù)，抽到質(zhì)數(shù)是不可能事件，D錯誤.
故選：AC
11．ACD
【分析】根據(jù)對稱性可得，即可判斷A；對于B：對的位置分類討論即可得答案；對于C：則這樣的數(shù)列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，即可判斷C；對于D，分、、三種情況討論即可判斷.
【詳解】對于A：由于為奇數(shù)，根據(jù)對稱性可知這樣的數(shù)列有個，故A正確；
對于B：從中選出個數(shù)排在的右側(cè)，其余排在的左側(cè)，
得到先減后增的數(shù)列有個；
從中選出2個數(shù)排在的右側(cè)，其余排在的左側(cè)，
得到先減后增的數(shù)列有個；
從中選出3個數(shù)排在的右側(cè)，其余排在的左側(cè)，
得到先減后增的數(shù)列有個；
從中選出4個數(shù)排在的右側(cè)，其余排在的左側(cè)，
得到先減后增的數(shù)列有個；
從中選出5個數(shù)排在的右側(cè)，其余排在的左側(cè)，
得到先減后增的數(shù)列有個；
故滿足條件的總個數(shù)為：個，故B錯誤．
對于C：若所有的奇數(shù)不相鄰，所有的偶數(shù)也不相鄰，
則這樣的數(shù)列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，則有個，故C正確；
對于D：若，則先從其余6個數(shù)中任選2個數(shù)作為且，有種方法，
剩余4個數(shù)中最大的為，剩下的3個數(shù)任取2個作為且，有種方法，
則這樣的數(shù)列有個，
若，則先從除去1之外的5個數(shù)中任選2個數(shù)作為且，有種方法，
剩余4個數(shù)中最大的為，，剩下的2個數(shù)任取1個作為或即可，有種方法，則這樣的數(shù)列有個，
若，則先從除去1、2之外的4個數(shù)中任選2個數(shù)作為且，有種方法，
剩余4個數(shù)位置固定的一種排法，其中，則這樣的數(shù)列有個，
所以滿足條件的這樣的數(shù)列共有個，故D正確；
故選：ACD.
12．
【分析】將5名工作人員分配到3個會議廳，人數(shù)組合可以是和，先求出5名工作人員分配到3個會議廳的情況數(shù)，甲乙兩人分配到同一個會議廳的情況數(shù)，相減得到答案.
【詳解】將5名工作人員分配到3個會議廳，人數(shù)組合可以是和，
人數(shù)組合是時，共有種情況，
其中甲?乙兩人分配到同一個會議廳的情況為種，
從而甲?乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法有種；
人數(shù)組合是時，共有種情況，
其中甲?乙兩人分配到同一個會議廳的情況為種，
從而甲?乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法有種，
所以甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有種.
故答案為：.
13．
【分析】利用分步計數(shù)原理，先求出從甲、乙兩部門各選2名職工的選法和將四個不同新型項目隨機分配給每人分管一項的分法，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為從甲、乙兩部門各選2名職工，且所選的4名職工是2男2女，有種選法，
又將四個不同新型項目隨機分配給每人分管一項，有種分法，
所以不同的分配方案種數(shù)為.
故答案為：.
14．
【分析】設甲、乙、丙位同學的信件分別為、、，對、、取到的個數(shù)分四種情況討論，按照分類、分步計數(shù)原理計算可得.
【詳解】設甲、乙、丙位同學的信件分別為、、，
若、、都沒有取到，則有種不同的取法；
若、、取到一個，則有種不同的取法；
若、、取到兩個，則有種不同的取法；
若、、取到三個，則有種不同的取法；
綜上可得一共有種不同的取法.
故答案為：
15．
【分析】先排2盆葵花，再排其他的花種，即可求解.
【詳解】先種兩種不同的葵花，在不受限制的四個花盒中，共有種排列，再種其它葵花有種排列，由分步計數(shù)原理得（種）．
故有種符合要求的種法．
16．（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）利用階乘的運算可得答案；
（2）利用階乘的運算可得答案．
【詳解】（1）證明：；
（2）原式．
17．10
【分析】此問題可轉(zhuǎn)化為排隊模型，即在盞亮燈形成的個空隙中，插入盞不亮的燈就即可得到答案.
【詳解】把此問題當作一個排隊模型，
在盞亮燈形成的個空隙中，插入盞不亮的燈，有（種）關燈方法．
18．(1)1440
(2)3720
(3)432
【分析】（1）先全排，再插空即可；
（2）特殊位置優(yōu)先考慮，結(jié)合排列即可解決；
（3）先選出人再排角色，結(jié)合分步乘法原理計算即可.
【詳解】（1）根據(jù)題意，分2步進行分析：①將4名男生全排列，有種情況，排好后有5個空位．
②在5個空位中任選3個，安排3名女生，有種情況，則三名女生不能相鄰的排法有1440種；
（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：①女生甲站在右端，其余6人全排列，有種情況，
②女生甲不站在右端，甲有5種站法，女生乙有5種站法，將剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，
有種站法，則此時有種站法，則一共有3720種站法；
（3）根據(jù)題意，首先將4名男生和3名女生中各選出2人，有種情況，
其次4人分四個不同角色，有種情況，共有種選派方法．
19．(1)相等，證明見解析
(2)證明見解析
(3)存在，3
【分析】（1）根據(jù)題意，猜想得到，結(jié)合組合數(shù)的運算公式，即可作出證明.
（2）第一行的所有數(shù)之和為，第二行的所有數(shù)之和為，當時，第m行的所有數(shù)之和為，即可得到結(jié)論.
（3）根據(jù)題意，存在正整數(shù)，使得恒成立，結(jié)合排列數(shù)的計算公式，即可求解.
【詳解】（1）第1行最后兩數(shù)，第2行的最后兩數(shù)，
第行的第m個數(shù)為，第個數(shù)為，
猜測：.
因為；
又因為
，
即.所以每一行的最后兩個數(shù)相等.
（2）第一行的所有數(shù)之和為，
第二行的所有數(shù)之和為，
當時，第m行的所有數(shù)之和為
，
所以每一行的所有數(shù)之和等于下一行的最后一個數(shù).
（3）當，時，，，
當時，此時顯然不成立；
猜測：存在正整數(shù)，使得恒成立，的最大值為3.
證明：當時，恒成立.
由（1）知，，則，
因為
，
又，當時，，
當時，，所以，
綜上：存在正整數(shù)，且的最大值為3，使得恒成立.

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