?專題21 排列組合與概率必刷小題100題
(初級)1-30題
一、單選題
1．要安排名學(xué)生到個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】C
【分析】
先將名學(xué)生分為組，再將組學(xué)生分配到個(gè)鄉(xiāng)村，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】
先把名學(xué)生分成三組，三組人數(shù)分別為、、，再分配給個(gè)鄉(xiāng)村，故方法數(shù)為.
故選：C.
2．在邊長為2的正六邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)到該正六邊形中心的距離不超過1的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出正六邊形的面積，再求出到正六邊形中心距離不超過1的點(diǎn)構(gòu)成的圓的面積，利用面積比即可求出結(jié)果.
【詳解】
正六邊形的邊長為2，所以其面積為
當(dāng)正六邊形內(nèi)的點(diǎn)落在以正六邊形的中心為圓心，1為半徑的圓上或圓內(nèi)時(shí)，該點(diǎn)到正六邊形的中心的距離不大于1，其面積為
所以正六邊形內(nèi)的點(diǎn)到該正六達(dá)形中心的距離不起過1的概率.
故選：A
3．若某群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為0.4，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則只用現(xiàn)金支付的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用對立事件的概率公式求解.
【詳解】
設(shè)事件A：只用現(xiàn)金支付；事件B: 既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付；事件C：只用非現(xiàn)金支付，
則，又由條件有，所以.
故選：C.
4．現(xiàn)某校數(shù)學(xué)興趣小組給一個(gè)底面邊長互不相等的直四棱柱容器的側(cè)面和下底面染色，提出如下的“四色問題”：要求相鄰兩個(gè)面不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的染色方案有（ ）
A．18種 B．36種 C．48種 D．72種
【答案】D
【分析】
分別求解選用4種顏色和3種顏色，不同的染色方案，綜合即可得答案.
【詳解】
若選擇4種顏色，則前后側(cè)面或左右側(cè)面用1種顏色，其他3個(gè)面，用3種顏色，
所以有種；
若選擇3種顏色，則前后側(cè)面用1種顏色，左右側(cè)面用1種顏色，底面不同色，
所以有種，
綜上，不同的染色方案有種.
故選：D
5．奧林匹克標(biāo)志由五個(gè)互扣的環(huán)圈組成，五環(huán)象征五大洲的團(tuán)結(jié).五個(gè)奧林匹克環(huán)總共有8個(gè)交點(diǎn)，從中任取3個(gè)點(diǎn)，則這3個(gè)點(diǎn)恰好位于同一個(gè)奧林匹克環(huán)上的概率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出從8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)的所有情況，求出滿足條件的情況 即可求出.
【詳解】
從8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，共有種情況，這3個(gè)點(diǎn)恰好位于同一個(gè)奧林匹克環(huán)上有種情況，則所求的概率.
故選：A.
6．年月日，極端強(qiáng)降雨席卷河南，部分地區(qū)發(fā)生嚴(yán)重洪澇災(zāi)害，河北在第一時(shí)間調(diào)集支抗洪搶險(xiǎn)專業(yè)隊(duì)?輛執(zhí)勤車?艘舟艇及余件救災(zāi)器材，于月日時(shí)分出發(fā)支援河南抗洪搶險(xiǎn).若這支抗洪搶險(xiǎn)專業(yè)隊(duì)分別記為，，，，從這支專業(yè)隊(duì)中隨機(jī)選取支專業(yè)隊(duì)分別到離出發(fā)地比較近的甲?乙個(gè)發(fā)生洪澇的災(zāi)區(qū)，則去甲災(zāi)區(qū)不去乙災(zāi)區(qū)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出從這支專業(yè)隊(duì)種隨機(jī)選取支專業(yè)隊(duì)，分別去甲乙災(zāi)區(qū)的結(jié)果總數(shù)，再求出去甲災(zāi)區(qū)不去乙災(zāi)區(qū)的結(jié)果數(shù)，再求概率.
【詳解】
從這支專業(yè)隊(duì)種隨機(jī)選取支專業(yè)隊(duì)，分別去甲乙災(zāi)區(qū)結(jié)果有種，
去甲災(zāi)區(qū)不去乙災(zāi)區(qū)的結(jié)果有種，所以所求概率，
故選：A.
7．甲、乙兩名運(yùn)動員各自等可能地從編號為、、的張卡片中選擇張，則他們選擇的卡片上的數(shù)字之和能被整除的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用古典概型的概率公式即求.
【詳解】
由題知甲、乙兩名運(yùn)動員選擇的卡片結(jié)果有：
共9種；
其中他們選擇的卡片上的數(shù)字之和能被整除的有：共3種.
故他們選擇的卡片上的數(shù)字之和能被整除的概率為.
故選：A
8．某團(tuán)支部隨機(jī)抽取甲乙兩位同學(xué)連續(xù)期“青年大學(xué)習(xí)”的成績（單位：分），得到如圖所示的成績莖葉圖，關(guān)于這期的成績，則下列說法正確的是（ ）

A．甲成績的中位數(shù)為
B．乙成績的極差為
C．甲乙兩人成績的眾數(shù)相等
D．甲成績的平均數(shù)高于乙成績的平均數(shù)
【答案】A
【分析】
根據(jù)莖葉圖求出甲成績的中位數(shù)，乙成績的極差，眾數(shù)，平均數(shù)即可判斷.
【詳解】
對A，根據(jù)莖葉圖可得甲成績的中位數(shù)為32，故A正確；
對B，乙同學(xué)的成績最高為52，最低為10，所以極差為，故B錯誤；
對C，由莖葉圖可知甲同學(xué)成績的眾數(shù)為32，乙同學(xué)的成績的眾數(shù)為42，不相等，故C錯誤；
對D，因?yàn)榧壮煽兊钠骄鶖?shù)為，乙成績的平均數(shù)為，，故D錯誤.
故選：A.
9．要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到A、B、C三個(gè)班級中，要求每個(gè)班級至少分到一人，則甲被分到A班級的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意，先將四人分成三組，再分別分給三個(gè)班級即可求得總安排方法；若甲被安排到A班，則分甲單獨(dú)一人安排到A班和甲與另外一人一起安排到A班兩種情況討論，即可確定甲被安排到A班的所有情況，即可求解.
【詳解】
將甲、乙、丙、丁名同學(xué)分到三個(gè)班級中，要求每個(gè)班級至少分到一人，
則將甲、乙、丙、丁名同學(xué)分成三組，人數(shù)分別為1，1，2；則共有種方法，分配給三個(gè)班級的所有方法有種；
甲被分到A班，有兩種情況：
甲單獨(dú)一人分到A班，則剩余兩個(gè)班級分別為1人和2人，共有種；
二，甲和另外一人分到A班，則剩余兩個(gè)班級各1人，共有種；
綜上可知，甲被分到班的概率為.
故選：B.
10．奧運(yùn)會跳水比賽中共有名評委給出某選手原始評分，在評定該選手的成績時(shí)，去掉其中一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，得到個(gè)有效評分，則與個(gè)原始評分（不全相同）相比，一定會變小的數(shù)字特征是（ ）
A．眾數(shù) B．方差 C．中位數(shù) D．平均數(shù)
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意，由數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)、方差、眾數(shù)的定義，分析可得答案．
【詳解】
對于A：眾數(shù)可能不變，如，故A錯誤；
對于B：方差體現(xiàn)數(shù)據(jù)的偏離程度，因?yàn)閿?shù)據(jù)不完全相同，當(dāng)去掉一個(gè)最高分、一個(gè)最低分，一定使得數(shù)據(jù)偏離程度變小，即方差變小，故B正確；
對于C：7個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，第4個(gè)數(shù)為中位數(shù)，當(dāng)首、末兩端的數(shù)字去掉，中間的數(shù)字依然不變，故5個(gè)有效評分與7個(gè)原始評分相比，不變的中位數(shù)，故C錯誤；
對于C：平均數(shù)可能變大、變小或不變，故D錯誤；
故選：B
11．有五名學(xué)生站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲不排在乙的左邊，則不同的站法共有( )
A．66種 B．60種 C．36種 D．24種
【答案】B
【分析】
首先利用全排列并結(jié)合已知條件即可求解.
【詳解】
首先對五名學(xué)生全排列，則共有種情況，
又因?yàn)橹挥屑自谝业淖筮吇蛴疫厓煞N情況，
所以甲不排在乙的左邊的不同的站法共有種情況.
故選：B
12．隨機(jī)變量滿足分布列如下：

0
1
2
P



則隨著的增大（ ）
A．增大，越來越大
B．增大，先增大后減小
C．減小，先減小后增大
D．增大，先減小后增大
【答案】B
【分析】
結(jié)合分布列的性質(zhì)求出的值以及的范圍，然后根據(jù)期望與方差的概念表示出期望與方差，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
【詳解】
因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)椋獾茫?br /> 所以，隨著的增大，增大；
，
因?yàn)椋韵仍龃蠛鬁p小.
故選：B.
13．永州是一座有著兩千多年悠久歷史的湘南古邑，民俗文化資源豐富.在一次民俗文化表演中，某部門安排了《東安武術(shù)》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《祁陽小調(diào)》、《道州調(diào)子戲》、《女書表演》六個(gè)節(jié)目，其中《祁陽小調(diào)》與《道州調(diào)子戲》不相鄰，則不同的安排種數(shù)為（ ）
A．480 B．240 C．384 D．1440
【答案】A
【分析】
利用插空法求解即可.
【詳解】
第一步，將《東安武術(shù)》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《女書表演》四個(gè)節(jié)目排列，有種排法；
第二步，將《祁陽小調(diào)》、《道州調(diào)子戲》插入前面的4個(gè)節(jié)目的間隙或者兩端，有種插法；
所以共有種不同的安排方法.
故選：A
14．五行學(xué)說是中華民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.古代先民認(rèn)為，天下萬物皆由五種元素組成，分別是金?木?水?火?土，彼此之間存在如圖所示的相生相克關(guān)系.若從金?木?水?火?土五種元素中任取兩種，則這兩種元素恰是相生關(guān)系的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先計(jì)算從金?木?水?火?土五種元素中任取兩種的所有基本事件數(shù)，再計(jì)算其中兩種元素恰是相生關(guān)系的基本事件數(shù)，利用古典概型概率公式，即得解
【詳解】
由題意，從金?木?水?火?土五種元素中任取兩種，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木，水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10個(gè)基本事件，其中兩種元素恰是相生關(guān)系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5個(gè)基本事件，所以所求概率.
故選：C
15．山竹，原產(chǎn)地在印度尼西亞東北部島嶼的一組群島馬魯古，具有清熱瀉火?生津止渴的功效，被譽(yù)為夏季的“水果之王”，受到廣大市民的喜愛.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)出某水果經(jīng)銷商近年的山竹銷售情況，如下表所示.
年份





年份代碼





年銷量/萬斤





根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得關(guān)于的線性回歸方程為，若年的年份代碼為，則可以預(yù)測年該經(jīng)銷商的山竹銷量大約為（ ）
A．萬斤 B．萬斤 C．萬斤 D．萬斤
【答案】A
【分析】
求出樣本中心點(diǎn)為，代入回歸直線可得的值，再將代入即可求解.
【詳解】
，，
所以樣本中心點(diǎn)為，
將代入可得：，可得，
所以關(guān)于的線性回歸方程為，
當(dāng)時(shí)，萬元，
故選：A.
16．《醫(yī)院分級管理辦法》將醫(yī)院按其功能?任務(wù)不同劃分為三個(gè)等級：一級醫(yī)院?二級醫(yī)院?三級醫(yī)院.某地有9個(gè)醫(yī)院，其中3個(gè)一級醫(yī)院，4個(gè)二級醫(yī)院，2個(gè)三級醫(yī)院，現(xiàn)在要從中抽出4個(gè)醫(yī)院進(jìn)行藥品抽檢，則抽出的醫(yī)院中至少有2個(gè)一級醫(yī)院的抽法有（ ）
A．81種 B．80種 C．51種 D．41種
【答案】C
【分析】
分恰有2個(gè)一級醫(yī)院與恰有3個(gè)一級醫(yī)院兩種情況討論，按照分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；
【詳解】
解：恰有2個(gè)一級醫(yī)院，有種抽法；恰有3個(gè)一級醫(yī)院，有種抽法.所以抽出的醫(yī)院中至少有2個(gè)一級醫(yī)院的抽法有（種）.
故選:C.
17．為了支援山區(qū)教育，現(xiàn)在安排名大學(xué)生到個(gè)學(xué)校進(jìn)行支教活動，每個(gè)學(xué)校至少安排人，其中甲校至少要安排名大學(xué)生，則不同的安排方法共有（ ）種
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
對甲校分配的大學(xué)生人數(shù)進(jìn)行分類討論，利用排列、組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】
若甲校分名大學(xué)生，此時(shí)有種分配方法；
若甲校分名大學(xué)生，此時(shí)有種分配方法.
綜上所述，共有種分配方法.
故選：C.
18．接種疫苗是預(yù)防控制新冠疫情最有效的方法.我國自年月日起實(shí)施全民免費(fèi)接種新冠疫苗工作，截止到年月底，國家已推出了三種新冠疫苗（腺病毒載體疫苗?新冠病毒滅活疫苗?重組新型冠病毒疫苗）供接種者選擇，每位接種者仼選其中一種.若甲?乙?丙?丁人去接種新冠疫苗，則恰有兩人接種同一種疫苗的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求出基本事件總數(shù)，再由排列、組合求出恰有兩人接種同一種疫苗的哇基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.
【詳解】
由題意，每位接種者可等可能地從種任選一種接種，
由分步乘法計(jì)算原理知，共有不同的結(jié)果，
恰有兩人接種同一種疫苗，可先從人中任選兩人并成一組，有種結(jié)果，
再與另兩人一起按三種疫苗的順序排成一排，
有種排法，一種排法對應(yīng)一種接種方法，
故恰有兩人接種同一種疫苗共有種不同結(jié)果，
由古典概型概率計(jì)算公式得：.
故選：A
19．袋內(nèi)有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”記為B，否則記為C，那么事件A與B，A與C間的關(guān)系是（ ）
A．A與B，A與C均相互獨(dú)立
B．A與B相互獨(dú)立，A與C互斥
C．A與B，A與C均互斥
D．A與B互斥，A與C相互獨(dú)立
【答案】A
【分析】
根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】
有放回地摸球，第一次摸球與第二次摸球之間沒有影響，即A與B，A與C均相互獨(dú)立
故選：A
20．從三個(gè)小區(qū)中選取6人做志愿者，每個(gè)小區(qū)至少選取1人，則不同的選取方案數(shù)為（ ）
A．10 B．20 C．540 D．1080
【答案】A
【分析】
問題等價(jià)于6個(gè)相同的小球分成3組，每組至少1個(gè)，利用“隔板法”可得答案.
【詳解】
從三個(gè)小區(qū)中選取6人做志愿者，每個(gè)小區(qū)至少選取1人，
即6個(gè)志愿者名額分到3個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少1個(gè)，
等價(jià)于6個(gè)相同的小球分成3組，每組至少1個(gè)，
將6個(gè)小球排成一排，除去兩端共有5個(gè)空，
從中任取2個(gè)插入擋板，共有（種）方法，
即從三個(gè)小區(qū)中選取6人做志愿者，每個(gè)小區(qū)至少選取1人，不同的選取方案數(shù)為10.
故選：A

第II卷（非選擇題）

二、填空題
21．袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量ξ，則P(ξ≤6)＝________.
【答案】
【分析】
先求出隨機(jī)變量的可能取值，再分別求出概率即可.
【詳解】
解：取出的只紅球個(gè)數(shù)可能為：、、、個(gè)，黑球相應(yīng)個(gè)數(shù)為：、、、個(gè)
所以時(shí)，
所以
故答案為：.
22．一個(gè)袋子中裝有六個(gè)大小形狀完全相同的小球，其中一個(gè)編號為1，兩個(gè)編號為2，三個(gè)編號為3．現(xiàn)從中任取一球，記下編號后放回，再任取一球，則兩次取出的球的編號之和等于4的概率是________．
【答案】
【分析】
根據(jù)題意列出基本事件，然后根據(jù)古典概型的概率公式即可求出結(jié)果.
【詳解】
記編號為1的球?yàn)椋幪枮?的球?yàn)?，編號?的球?yàn)?，則基本事件：，，，
，，
共36種，編號之和為4的有：共10種，所求概率為＝．
故答案為：.
23．某醫(yī)療隊(duì)有6名醫(yī)生，其中只會外科的醫(yī)生1名，只會內(nèi)科的醫(yī)生3名，既會外科又會內(nèi)科的醫(yī)生2名.現(xiàn)在要從醫(yī)療隊(duì)中抽取3名醫(yī)生支援3個(gè)不同的村莊，每個(gè)村莊1人，要求3名醫(yī)生中至少有一名會內(nèi)科，至少有一名會外科，則共有___________種派遣方法.
【答案】114
【分析】
根據(jù)醫(yī)生的情況，分從只會外科的人中選1人和從只會外科的人中選0人兩類求解.
【詳解】
由題知，有2名醫(yī)生既會外科，也會內(nèi)科，只會外科的1名，5名會內(nèi)科，
以選出只會外科的人數(shù)進(jìn)行分類：
從只會外科的人中選1人：，
從只會外科的人中選0人：，
所以共114種.
故答案為：114
24．某工廠生產(chǎn)了一批節(jié)能燈泡，這批產(chǎn)品中按質(zhì)量分為一等品，二等品，三等品.從這些產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品測試，已知抽到一等品或二等品的概率為0.86，抽到二等品或三等品的概率為0.35，則抽到二等品的概率為___________.
【答案】0.21/
【分析】
設(shè)抽到一等品，二等品，三等品的事件分別為，利用互斥事件加法列出方程組即可求解.
【詳解】
設(shè)抽到一等品，二等品，三等品分別為事件A，B，C
則，則
故答案為：0.21
25．兩名學(xué)生一起去一家單位應(yīng)聘，面試前單位負(fù)責(zé)人對他們說：“我們要從面試的人中招聘3人，你們倆同時(shí)被招聘進(jìn)來的概率是．”若每個(gè)參加面試的人被招聘的可能性相同，則根據(jù)這位負(fù)責(zé)人的話，可以推斷出參加面試的人數(shù)為______．
【答案】21
【分析】
利用古典概型的概率公式求解.
【詳解】
設(shè)參加面試的人數(shù)為n，依題意有，
即，
解得或（舍去）．
故答案為：21.
26．一個(gè)盒子中裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個(gè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)：，，，，，．現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次抽出后均不放回，若取到一張寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，設(shè)抽取次數(shù)為，則的概率為______．
【答案】/0.95
【分析】
由題可知的取值范圍是，分別求概率，即求.
【詳解】
易判斷，，為偶函數(shù)，所以寫有偶函數(shù)的卡片有3張，的取值范圍是．
方法一 ，，，
所以．
方法二 ．
故答案為：.
27．為了強(qiáng)化勞動觀念，弘揚(yáng)勞動精神，某班級決定利用班會課時(shí)間進(jìn)行勞動教育．現(xiàn)要購買鐵鍬、鋤頭、鐮刀三種勞動工具共9把，每種工具至少購買1把，則不同的選購方法共有______種．（用數(shù)字作答）．
【答案】28
【分析】
用插隔板方法求解．
【詳解】
問題相當(dāng)于9個(gè)木棍排成一排，在中間8個(gè)空位中選2個(gè)插入隔板，方法數(shù)為．
故答案為：28．
28．中國體育彩票堅(jiān)持“公益體彩樂善人生”公益理念，為支持中國體育事業(yè)發(fā)展做出了貢獻(xiàn)，其中“大樂透”是群眾特別喜歡購買的一種體育彩票，其規(guī)則是從前區(qū)1到35的號碼中選5個(gè)，后區(qū)1到12的號碼中選2個(gè)組成一注彩票.其中復(fù)式玩法允許從前區(qū)選5個(gè)以上，后區(qū)選2個(gè)以上號碼，那么從前區(qū)1到35的號碼中選7個(gè)號碼，從后區(qū)1到12的號碼中選3個(gè)，組成的彩票注數(shù)為___________.
【答案】63
【分析】
由題意分兩步，第一步從前區(qū)所選7個(gè)號碼中任選5個(gè)號碼，第二步從后區(qū)所選3個(gè)號碼中任選2個(gè)號碼，再由由分步計(jì)數(shù)乘法原理求解.
【詳解】
第一步從前區(qū)所選7個(gè)號碼中任選5個(gè)號碼有（種）情況，
第二步從后區(qū)所選3個(gè)號碼中任選2個(gè)號碼有（種）情況，
由分步計(jì)數(shù)乘法原理，組成的彩票注數(shù)為（注）.
故答案為：63
29．如圖，用五種不同的顏色涂在圖中不同的區(qū)域內(nèi)，要求每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色，且相鄰(有公共邊)區(qū)域涂的顏色不同，則不同的涂色方案一共有___________種.用數(shù)字作答

【答案】180
【分析】
將圖形中四個(gè)板塊分別記為，按照、不同色和、同色，分兩類計(jì)數(shù)再相加，可得結(jié)果.
【詳解】
將圖形中四個(gè)板塊分別記為，如圖：

當(dāng)、不同色時(shí)，有種涂色方案；
當(dāng)、同色時(shí)，有種涂色方案，
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有種涂色方案.
故答案為：.
30．某科研項(xiàng)目包括四個(gè)課題，需要分配給甲、乙、丙三個(gè)科研小組進(jìn)行研究，每個(gè)課題分配給一個(gè)小組，每個(gè)小組至少分配一個(gè)課題，且甲、乙小組能研究全部四個(gè)課題，丙小組只能研究兩個(gè)課題，則不同的分配方法的種數(shù)為___________．
【答案】
【分析】
根據(jù)“丙小組只能研究兩個(gè)課題”可知從丙小組的情況開始分類討論并計(jì)算即可.
【詳解】
因?yàn)榧?、乙、丙三個(gè)科研小組中丙小組只能研究兩個(gè)課題，所以不妨從丙開始討論.
若丙小組研究課題，①甲研究兩個(gè)，乙研究一個(gè)，共種；②甲研究一個(gè)，乙研究兩個(gè)，共種；
若丙小組研究課題，①甲研究兩個(gè)，乙研究一個(gè)，共種；②甲研究一個(gè)，乙研究兩個(gè)，共種；
若丙小組研究課題，則甲和乙分別研究一個(gè)，共種.
綜上，不同的分配方法的種數(shù)為種.
故答案為:












(中級)1-40題
一、單選題
1．某學(xué)校對音樂、體育、美術(shù)、書法特長生進(jìn)行專項(xiàng)測試.現(xiàn)安排名學(xué)生志愿者到現(xiàn)場協(xié)助，若每名志愿者參與一個(gè)組的管理工作，每組至少有人協(xié)助工作，則不同的安排方式共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】D
【分析】
把5名志愿者分成4組，然后全排即可.
【詳解】
把5名志愿者分成4組，共有種分組方法，
把分好的四組進(jìn)行全排，共有種排列方法，
所以不同的安排方式共有種.
故選：D.
2．年國慶節(jié)期間，小李報(bào)名參加市電視臺舉辦的“愛我祖國”有獎競答活動，活動分兩輪回答問題，第一輪從個(gè)題目中隨機(jī)選取個(gè)題目，這個(gè)題目都回答正確，本輪得獎金元，僅有個(gè)回答正確，本輪得獎金元，兩個(gè)回答都不正確，沒有獎金且被淘汰，有資格進(jìn)入第輪回答問題者，最多回答兩個(gè)問題，先從個(gè)題目中隨機(jī)選取個(gè)題目回答，若回答錯誤本輪獎金為零且被淘汰，若回答正確，本題回答得獎金元，然后再從剩余個(gè)題目中隨機(jī)選個(gè)，回答正確，本題得獎金元，回答錯誤，本題回答沒有獎金.已知小李第一輪個(gè)題目其中個(gè)能回答正確，第二輪每個(gè)題目回答正確的概率均為（每輪選題相互獨(dú)立），則小李獲得元的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
小李獲得元獎金，則第一輪個(gè)題目回答都正確，第二輪第個(gè)題目回答正確，第個(gè)題目回答錯誤，所以所求概率，
故選：B.
3．已知隨機(jī)變量的分布列如下：
X
1
2
3
P
a
b
2b—a
則的最大值為（ ）
A． B．3
C．6 D．5
【答案】C
【分析】
根據(jù)概率和為1得到，再計(jì)算，得到，，計(jì)算最值得到答案.
【詳解】
，只需求的最大值即可，根據(jù)題意：，，，
所以，
當(dāng)時(shí)，其最大值為，故的最大值為．
故選：C.
4．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分兩步,先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色，然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù)，用乘法原理可求解.
【詳解】
分兩步,先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色,然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù),用乘法原理可求解，由題設(shè)，四棱錐S - ABCD的頂點(diǎn)S, A, B所染的顏色互不相同,它們共有種染色方法；
當(dāng)染好時(shí)，不妨設(shè)所染顏色依次為1, 2, 3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4,則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法,即當(dāng)S, A, B染好時(shí)，C, D還有7種染法.
故不同的染色方法有種.


故選：C
5．7個(gè)人站成一排準(zhǔn)備照一張合影，其中甲、乙要求相鄰，丙、丁要求分開，則不同的排法有（ ）
A．400種 B．720種 C．960種 D．1200種
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意，結(jié)合捆綁法分別計(jì)算甲、乙要求相鄰的排法和甲、乙要求相鄰且丙、丁也相鄰的排法，再相減即可求解.
【詳解】
根據(jù)題意，可知甲、乙要求相鄰的排法有種，
而甲、乙要求相鄰且丙、丁也相鄰的排法有種，
故甲、乙要求相鄰，丙、丁分開的排法有種.
故選：C.
6．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色，黃色，藍(lán)色，綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且綠色卡片至多1張，則不同的取法種數(shù)為（ ）
A．484 B．472
C．252 D．232
【答案】B
【分析】
用間接法分析.先求出“從16張卡片中任取3張的所有取法數(shù)”，再分析“取出的3張為同一種顏色”和“取出的3張有2張綠色卡片”的取法數(shù)，從而可求出答案.
【詳解】
根據(jù)題意，不考慮限制，從16張卡片中任取3張，共有種取法，
如果取出的3張為同一種顏色，則有種情況，
如果取出的3張有2張綠色卡片，則有種情況，
故所求的取法共有種.
故選：B.
7．現(xiàn)將張連號的門票按需求分配給個(gè)家庭，甲家庭需要張連號的門票，乙家庭需要張連號的門票，剩余的張隨機(jī)分給剩余的個(gè)家庭，則這張門票不同的分配方法的種數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
對甲家庭所分配的門票號碼進(jìn)行分類討論，確定乙家庭所分配的門票號碼，結(jié)合分類加法與分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)張連號的門票號碼分別為、、、、、、、，
若甲家庭所分配的門票號碼為，則乙家庭所分配的門票號碼可以是、、、，共種，此時(shí)共有種分配方法；
若甲家庭所分配的門票號碼為，則乙家庭所分配的門票號碼可以是、、，共種，此時(shí)共有種分配方法；
若甲家庭所分配的門票號碼為，則乙家庭所分配的門票號碼可以是、、，共種，此時(shí)共有種分配方法；
若甲家庭所分配的門票號碼為，則乙家庭所分配的門票號碼可以是、、，共種，此時(shí)共有種分配方法；
若甲家庭所分配的門票號碼為，則乙家庭所分配的門票號碼可以是、、，共種，此時(shí)共有種分配方法；
若甲家庭所分配的門票號碼為，則乙家庭所分配的門票號碼可以是、、、，共種，此時(shí)共有種分配方法.
綜上所述，不同的分配方案種數(shù)為種.
故選：D.
8．甲、乙兩人對同一目標(biāo)各射擊一次，甲命中目標(biāo)的概率為，乙命中目標(biāo)的概率為，設(shè)命中目標(biāo)的人數(shù)為，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
分析出的取值，計(jì)算出在不同取值下的概率，可求得的值，進(jìn)而可求得的值.
【詳解】
由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、，
則，，，
所以，，
所以，.
故選：A.
9．一個(gè)盒中裝有大小相同的1個(gè)黑球與2個(gè)白球，從中任取一球，若是白球則取出來，若是黑球則放回盒中，直到把白球全部取出，則在此過程中恰有1次取到黑球的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由題意得：可分成兩種情況，即當(dāng)三次取球的順序?yàn)楹诎装祝缀诎祝謩e計(jì)算概率再相加，即可得到答案；
【詳解】
由題意得：可分成兩種情況：
（1）當(dāng)三次取球的順序?yàn)椋汉诎装?，其概率為?br /> （2）當(dāng)三次取球的順序?yàn)椋喊缀诎?，其概率為?br /> 在此過程中恰有1次取到黑球的概率為，
故選：C
10．某學(xué)校社會實(shí)踐小組共有名成員，該小組計(jì)劃前往該地區(qū)三個(gè)紅色教育基地進(jìn)行“學(xué)黨史，頌黨恩，跟黨走”的主題宣講志愿服務(wù).若每名成員只去一個(gè)基地，每個(gè)基地至少有一名成員前往，且甲，乙兩名成員前往同一基地，則不同的分配方案共（ ）有
A．種 B．種
C．種 D．種
【答案】B
【分析】
先把5名成員分成3組，三組人數(shù)分別為和，然后再進(jìn)行全排.
【詳解】
考慮甲乙特殊，若三組人數(shù)為，
則甲乙還需一名成員，故不同的分配方案有；
若三組人數(shù)為，則甲乙為一組，不同的分配方案有，
所以共計(jì)種.
故選：.
11．《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時(shí)期徐岳編撰的一本數(shù)學(xué)專著，該書介紹了我國古代14種算法，其中積算（即籌算）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運(yùn)籌算?了知算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算13種均需要計(jì)算器械.某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理這13種計(jì)算器械的相關(guān)資料，其中一人搜集5種，另兩人每人搜集4種，則不同的分配方法種數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
按先分組后分配的方法計(jì)算出不同的分配方法種數(shù).
【詳解】
依題意，先將13種計(jì)算器械分為3組，方法種數(shù)為，再分配給3個(gè)人，方法種數(shù)為.
故選：A.
12．在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率，不大于其恰好發(fā)生2次的概率，則隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
設(shè)事件發(fā)生一次的概率為，根據(jù)二項(xiàng)分布求出隨機(jī)事件恰好發(fā)生1次的概率，和恰好發(fā)生2次的概率，建立的不等式關(guān)系，求解即可.
【詳解】
設(shè)事件發(fā)生一次的概率為，則事件的概率可以構(gòu)成二項(xiàng)分布，
根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可得，
解得，又，故.
故選：A.
13．甲、乙兩人進(jìn)行投壺比賽，比賽規(guī)則：比賽中投中情況分“有初”“貫耳”“散射”“雙耳”“依竿”五種，其中“有初”算“兩籌”，“貫耳”算“四籌”，“散射”算“五籌”，“雙耳”算“六籌”，“依竿”算“十籌”，投不中算“零籌”，進(jìn)行三場比賽后得籌數(shù)最多者獲勝．假設(shè)每場比賽中甲投中“有初”的概率為，投中“貫耳”的概率為，投中“散射”的概率為，投中“雙耳”的概率為，投中“依竿”的概率為，乙的投擲水平與甲相同，且甲，乙兩人投擲相互獨(dú)立．比賽第一場，兩人平局，第二場，甲投中“貫耳”，乙投中“雙耳”，則三場比賽結(jié)束時(shí)，甲獲勝的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
甲要想贏得比賽，在第三場比賽中，比乙至少多得三籌．甲得“四籌”，乙得“零籌”，甲可贏；甲得“五籌”，乙得“零籌”或“兩籌”，甲可贏；甲得“六籌”，乙得“零籌”或“兩籌”，甲可贏；甲得“十籌”，乙得“零籌”或“兩籌”、“四籌”、“五籌”、“六籌”，甲都可蠃，由此利用互斥事件概率加法公式能求出甲獲勝的概率．
【詳解】
解：由題可知
籌數(shù)
2
4
5
6
10
0







若甲獲勝，則在第三場比賽中，甲比乙至少多得三籌．分以下四種情況：①甲得“四籌”，乙得“零籌”，此種情況發(fā)生的概率；
②甲得“五籌”，乙得“零籌”或“兩籌”，此種情況發(fā)生的概率；
③甲得“六籌”，乙得“零籌”或“兩籌”，此種情況發(fā)生的概率；
④甲得“十籌”，乙得“零籌”或“兩籌”或“四籌”或“五籌”或“六籌”，此情況發(fā)生的概率，
故甲獲勝的概率．
故選：D．
14．通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成：第一部分為漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號，笫二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字與英文字母組成的序號．其中序號的編碼規(guī)則為：①由0，1，2，…，9這10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字與除，之外的24個(gè)英文字母組成；②最多只能有2個(gè)位置是英文字母，如：粵，則采用5位序號編碼的粵牌照最多能發(fā)放的汽車號牌數(shù)為（ ）
A．586萬張 B．682萬張 C．696萬張 D．706萬張
【答案】D
【分析】
討論后5位全部為數(shù)字、有一個(gè)字母、有兩個(gè)字母三種情況，其中有兩個(gè)字母再分兩個(gè)字母相同、不同兩種，結(jié)合分類分步計(jì)數(shù)方法求最多能發(fā)放的汽車號牌數(shù)即可.
【詳解】
1、后5位全部為數(shù)字，共有張牌，
2、后5位有一個(gè)字母：共有張牌，
3、后5位有兩個(gè)字母：當(dāng)兩個(gè)字母相同，有張牌；當(dāng)兩個(gè)字母不同，張牌；
綜上，共有張牌.
故選：D
15．現(xiàn)有4份不同的禮物，若將其全部分給甲?乙兩人，要求每人至少分得份，則不同的分法共有（ ）
A．10種 B．14種 C．20種 D．28種
【答案】B
【分析】
將4份不同的禮物分成兩組：1份和份；份和份；再分配給甲乙兩人，即可求解.
【詳解】
4份不同的禮物分成兩組有兩種情況：1份和份；份和份；
所以不同的分法有種，
故選：B.
16．四名同學(xué)各擲骰子五次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（ ）．
A．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2
C．平均數(shù)為2，方差為2.4 D．中位數(shù)為3，方差為2.8
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意舉出反例，即可得出正確選項(xiàng)．
【詳解】
解：對于A，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A錯誤；
對于B，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故B錯誤；
對于C，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)6點(diǎn)，則方差S2＞（6﹣2）2＝3.2＞2.4，
∴平均數(shù)為2，方差為2.4時(shí)，一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故C正確；
對于D，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，
平均數(shù)為：＝（1+2+3+3+6）＝3
方差為S2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故D錯誤．
故選：C．
17．2021年1月初，河北某區(qū)域的“新冠疫情”出現(xiàn)明顯反彈，相關(guān)部門緊急從省抽調(diào)包括甲、乙在內(nèi)的七名醫(yī)療專家進(jìn)駐該區(qū)域的三個(gè)疫情“高風(fēng)險(xiǎn)”地區(qū)進(jìn)行協(xié)助防控，要求每個(gè)地區(qū)至少安排兩名專家，則甲、乙兩名專家安排在不同地區(qū)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
計(jì)算出甲、乙兩名專家安排在不同地區(qū)的基本事件的總數(shù)，甲，乙兩名專家安排在相同地區(qū)的基本事件數(shù)，由古典概型概率計(jì)算公式和對立事件概率計(jì)算公式可得答案.
【詳解】
記事件為“甲、乙兩名專家安排在不同地區(qū)”，則基本事件的總數(shù)為（種）．甲，乙兩名專家安排在相同地區(qū)共有（種），所以，
故選：A．
18．已知甲、乙兩人進(jìn)行五局球賽，甲每局獲勝的概率是，且各局的勝負(fù)相互獨(dú)立，已知 甲勝一局的獎金為10元，設(shè)甲所獲得的資金總額為X元，則甲所獲得獎金總額的方差（ ）
A．120 B．240 C．360 D．480
【答案】A
【分析】
設(shè)甲獲勝的局?jǐn)?shù)為，則，然后由方差的性質(zhì)和二項(xiàng)分布的知識可得答案.
【詳解】
設(shè)甲獲勝的局?jǐn)?shù)為，則
所以
故選：A
19．某工廠產(chǎn)品合格的概率均為，各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立．設(shè)為該工廠生產(chǎn)的件商品中合格的數(shù)量，其中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用二項(xiàng)分布的分布列求D(X)，P(X=2)，P(X=3)，結(jié)合已知求p的范圍.
【詳解】
由已知X服從與參數(shù)為5，p的二項(xiàng)分布，
∴ ，，，
又，，
∴ ，，
∴ ，
故選：B.
20．如圖，節(jié)日花壇中有5個(gè)區(qū)域，現(xiàn)有四種不同顏色的花卉可供選擇，要求相同顏色的花不能相鄰栽種，則符合條件的種植方案有（ ）種．

A．36 B．48
C．54 D．72
【答案】D
【分析】
根據(jù)題意，按選出花的顏色的數(shù)目分2種情況討論，利用排列組合及乘法原理求出每種情況下種植方案數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案．
【詳解】
解：由題意，如圖，假設(shè)5個(gè)區(qū)域?yàn)榉謩e為1、2、3、4、5，

分2種情況討論：
當(dāng)選用3種顏色花卉的時(shí)，2、4同色且3、5同色，共有涂色方法種，
當(dāng)4種不同顏色的花卉全選時(shí)，即2、4或3、5用同一種顏色，共有種，
則不同的種植方法共有種；
故選：D.
21．一個(gè)正方體有一個(gè)面為紅色，兩個(gè)面為綠色，三個(gè)面為黃色，另一個(gè)正方體有兩個(gè)面為紅色，兩個(gè)面為綠色，兩個(gè)面為黃色，同時(shí)擲這兩個(gè)正方體，兩個(gè)正方體朝上的面顏色不同的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
計(jì)算出兩個(gè)正方體朝上的面顏色相同的概率，結(jié)合對立事件的概率公式可求得結(jié)果.
【詳解】
記第一個(gè)正方體紅色的面記為，綠色的面為、，黃色的面為、、，
第二個(gè)正方體紅色的面為、，綠色的面為、，黃色的面為、，
同時(shí)擲這兩個(gè)正方體，兩個(gè)正方體面朝上的不同結(jié)果種數(shù)為，
其中，事件“兩個(gè)正方體朝上的面顏色相同”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、，
因此，兩個(gè)正方體朝上的面顏色不同的概率為.
故選：C.
22．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課則“六藝”課程講座的不同排課順序共有（ ）
A．120種 B．156種 C．188種 D．240種
【答案】A
【分析】
根據(jù)題意，按“數(shù)”的位置分3種情況討論，求出每種情況下排課順序的數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案．
【詳解】
解：根據(jù)題意，分3種情況討論：
①，若“數(shù)”排在第一節(jié)，
“射”和“御”兩門課程相鄰的情況有4種情況，考慮兩者的順序，有種情況，
將剩下的3門全排列，安排在剩下的3個(gè)位置，有種情況，
則此時(shí)有種排課順序；
②，若“數(shù)”排在第二節(jié)，
“射”和“御”兩門課程相鄰的情況有3種情況，考慮兩者的順序，有種情況，
將剩下的3門全排列，安排在剩下的3個(gè)位置，有種情況，
則此時(shí)有種排課順序；
③，若“數(shù)”排在第三節(jié)，
“射”和“御”兩門課程相鄰的情況有3種情況，考慮兩者的順序，有種情況，
將剩下的3門全排列，安排在剩下的3個(gè)位置，有種情況，
則此時(shí)有種排課順序；
則“六藝”課程講座不同排課順序共有種，
故選：A．
23．某研發(fā)機(jī)構(gòu)依次研發(fā)六項(xiàng)不同的產(chǎn)品，其中產(chǎn)品必須排在后三位，產(chǎn)品，必須排在一起，則這六項(xiàng)產(chǎn)品的不同安排方案共有（ ）
A．120種 B．156種 C．210種 D．226種
【答案】A
【分析】
對b，c所在的位置分類討論：①b,c排在前三位；②b,c排在后三位；③b,c排在3,4位.
【詳解】
當(dāng)b,c排在前三位時(shí)共有種,當(dāng)b,c排在后三位時(shí)共有當(dāng)b,c排在3,4位時(shí)共有,這項(xiàng)產(chǎn)品的不同安排方案共有72+24+24=120種.
故選：A
24．某單位在春節(jié)七天的假期間要安排值班表，該單位有值班領(lǐng)導(dǎo)3人，值班員工4人，要求每位值班領(lǐng)導(dǎo)至少值兩天班，每位值班員工至少值一天班，每天要安排一位值班領(lǐng)導(dǎo)和一位值班員工一起值班，且一人值多天班時(shí)要相鄰的安排方案有（ ）
A．249種 B．498種 C．1052種 D．8640種
【答案】D
【分析】
先安排值班領(lǐng)導(dǎo)：選1位值班領(lǐng)導(dǎo)值三天班，則安排3位領(lǐng)導(dǎo)值班共有種方案.再安排值班員工：分4名員工中有1名員工值四天班，其他員工各值一天班；1名員工值兩天班，另一名員工值三天班，剩余2名員工各值一天班； 3名員工各值兩天班，1名員工值一天班，三種情況分別得出方案數(shù)，再根據(jù)分步乘法原理可得選項(xiàng).
【詳解】
解：先安排值班領(lǐng)導(dǎo)：選1位值班領(lǐng)導(dǎo)值三天班，則安排3位領(lǐng)導(dǎo)值班共有(種)方案.
再安排值班員工：若4名員工中有1名員工值四天班，其他員工各值一天班，則有(種)選法；
若1名員工值兩天班，另一名員工值三天班，剩余2名員工各值一天班，則有(種)選法；
若3名員工各值兩天班，1名員工值一天班，則有(種)選法，
故安排4名員工值班共有(種)方案.
因此，該單位在春節(jié)七天的假期間值班表安排方案共有(種).
故選：D.
25．在一次“概率”相關(guān)的研究性活動中，老師在每個(gè)箱子中裝了4個(gè)小球，其中3個(gè)是白球，1個(gè)是黑球，用兩種方法讓同學(xué)們來摸球.方法一：在20箱中各任意摸出一個(gè)小球；方法二：在10箱中各任意摸出兩個(gè)小球.將方法一、二至少能摸出一個(gè)黑球的概率分別記為和，則（ ）
A． B．
C． D．以上三種情況都有可能
【答案】C
【分析】
分別計(jì)算和，再比較大小.
【詳解】
方法一：每箱中的黑球被選中的概率為，所以至少摸出一個(gè)黑球的概率．
方法二：每箱中的黑球被選中的概率為，所以至少摸出一個(gè)黑球的概率．
，則．
故選：C.

第II卷（非選擇題）

二、填空題
26．某學(xué)校安排甲，乙等位中層干部深入個(gè)班級進(jìn)行班級課堂教學(xué)調(diào)研，每班至少安排一位中層干部，若甲、乙不能安排到同一個(gè)班級，則不同的安排方法共有______________________種(用數(shù)字作答)．
【答案】
【分析】
先將位中層干部分成組，有組人其他組各人，除去甲、乙分在一起的情況，所以分組結(jié)果有種，再分配到個(gè)班級，由分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.
【詳解】
首先把位中層干部分成組，有組人其他組各人．又甲、乙不能分在一起，
因此有種，
再對分好的組分配到個(gè)班級有種，
根據(jù)分步乘法原理得：種，
故答案為：.
27．一個(gè)布袋中裝有個(gè)大小質(zhì)地相同的小球，顏色白黑紅，從中任意取出球，記取到白球每個(gè)得分，取到黑球每個(gè)得分，取到紅球每個(gè)得分，設(shè)取出的球得分總和為．則______．
【答案】
【分析】
分析可知隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，進(jìn)而可求得的值.
【詳解】
由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，
，，，
，
因此，.
故答案為：.
28．一個(gè)袋子中有個(gè)大小相同的球，其中個(gè)黃球，個(gè)紅球．規(guī)定：取出一個(gè)黃球得分，取出一個(gè)紅球得分．現(xiàn)隨機(jī)從袋中有放回地取次球（每次一個(gè)），記次取球得分之和為隨機(jī)變量，則________．
【答案】
【分析】
分析可知隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，進(jìn)而可求得的值.
【詳解】
由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，
，，，
，
所以，.
故答案為：.
29．有編號分別為、、、、的個(gè)紅球和個(gè)黑球，從中取出個(gè)，設(shè)其中編號相同的球的對數(shù)為，則____________.
【答案】
【分析】
分析可知，的可能取值有、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可求得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值.
【詳解】
分析可知，的可能取值有、、，
則，，，
因此，.
故答案為：.
30．從4名男同學(xué)和5名女同學(xué)中隨機(jī)選取3人參加某社團(tuán)活動，選出的3人中不都是男同學(xué)的概率為______（結(jié)果用數(shù)值表示）
【答案】
【分析】
先考慮“選出的人都是男同學(xué)”的概率，然后根據(jù)對立事件的概率關(guān)系可求得結(jié)果.
【詳解】
記事件為“選出的人都是男同學(xué)”，則為“選出的人中不都是男同學(xué)”，
因?yàn)椋裕?br /> 故答案為：.
31．設(shè)隨機(jī)變量，函數(shù)沒有零點(diǎn)的概率是，則_____________附：若，則，．
【答案】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的無零點(diǎn)可得，結(jié)合題意易知，再應(yīng)用正態(tài)分布的三段區(qū)間概率及對稱性求.
【詳解】
函數(shù)沒有零點(diǎn)，
二次方程無實(shí)根，即，可得，
又沒有零點(diǎn)的概率是，
，由正態(tài)曲線的對稱性知：，
，即，
，
，，
，
故答案為:．
32．記，，，，，為1，2，3，4，5，6的任意一個(gè)排列，則使得為奇數(shù)的排列共有___________個(gè).
【答案】288
【分析】
由題設(shè)分析知：都為奇數(shù)，則每個(gè)式子在、中各取一個(gè)數(shù)即可，再利用分步計(jì)數(shù)法及組合數(shù)求排列的個(gè)數(shù).
【詳解】
由為奇數(shù)：均為奇數(shù)，
∴三個(gè)代數(shù)式在、中各取一個(gè)，
∴共有個(gè)排列.
故答案為：
33．從數(shù)字1，2，3，4中任取一個(gè)數(shù)，記為，再從1至中任取一個(gè)整數(shù)，記為，則______．
【答案】
【分析】
利用全概率公式結(jié)合題意求解即可
【詳解】
由題意，知.
易得，
，
，
，
由全概率公式，可得

.
故答案為：
34．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為正八邊形的中心，.任取不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P落在第一象限的概率是_____________.

【答案】
【分析】
根據(jù)給定條件求出確定點(diǎn)P的試驗(yàn)的基本事件總數(shù)，再求出點(diǎn)P落在第一象限的事件所含的基本事件數(shù)即可計(jì)算作答.
【詳解】
因是正八邊形的任意兩個(gè)頂點(diǎn)，又，即，則點(diǎn)P由唯一確定，
從正八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)中任取兩點(diǎn)的試驗(yàn)有個(gè)基本事件，它們等可能，
點(diǎn)P落在第一象限的事件M，是取的兩點(diǎn)分別為與，與，與，與，與確定的點(diǎn)P對應(yīng)的事件，共5個(gè)，
于是得，
所以點(diǎn)P落在第一象限的概率是.
故答案為：
35．2020年，新型冠狀病毒引發(fā)的疫情牽動著億萬人的心.八方馳援戰(zhàn)疫情，眾志成城克時(shí)難，社會各界支援湖北，共抗新型冠狀病毒肺炎.山東某醫(yī)院的甲、乙、丙、丁、戊5名醫(yī)生到湖北的，，三個(gè)城市支援，若要求每個(gè)城市至少安排1名醫(yī)生，則A城市恰好只有醫(yī)生甲去支援的概率為______.
【答案】
【分析】
由排列組合的知識可確定四名醫(yī)生分配到三個(gè)城市，每個(gè)城市至少一名醫(yī)生和城市A恰好只有醫(yī)生甲去支援的情況種數(shù)，由古典概型概率公式可求得結(jié)果.
【詳解】
分兩步，第一步，把5名醫(yī)生分成三組，有1，1，3和1，2，2兩種分法，
當(dāng)分成1，1，3時(shí)，有種情況，當(dāng)分成1，2，2時(shí)，有種情況；
第二步，把這三組分到三個(gè)城市.則共有種情況.
城市恰好只有醫(yī)生甲去支援，即將剩下的4名醫(yī)生分配到2個(gè)城市.
則共有（種），
因此所求概率.
故答案為：
36．立德中學(xué)對2022屆高三學(xué)生的某項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行抽樣調(diào)查，按性別進(jìn)行分層抽樣，抽查男生24人，其平均數(shù)和方差分別為12、4，抽查女生16人，其平均數(shù)和方差分別為10、6，則本次調(diào)查的總樣本的方差是__________.
【答案】5.76
【分析】
結(jié)合平均數(shù)和方差的公式即可求出結(jié)果.
【詳解】
設(shè)男生的指標(biāo)數(shù)分別為，女生的指標(biāo)數(shù)分別為，
則，，
所以，，
所以本次調(diào)查的總樣本的平均數(shù)為，
本次調(diào)查的總樣本的方差是




故答案為：
37．用紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色給如圖所示的五連圓涂色，要求相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，且紅色至少要涂兩個(gè)圓，則不同的涂色方案種數(shù)為______．

【答案】120
【分析】
分紅色可以涂2個(gè)圓或3個(gè)圓討論；當(dāng)涂2個(gè)圓時(shí)，再分涂色的位置逐個(gè)分析即可
【詳解】
根據(jù)題意，紅色至少要涂2個(gè)圓，則紅色可以涂2個(gè)圓或3個(gè)圓，共2種情況討論：
（1）紅色涂3個(gè)圓，則紅色只能涂第1，3，5個(gè)圓，此時(shí)有種涂法，
（2）紅色涂2個(gè)圓，
若紅色涂第1，3個(gè)圓，有種涂法，
若紅色涂第1，4個(gè)圓，有種涂法，
若紅色涂第1，5個(gè)圓，則有種涂法，
若紅色涂第2，4個(gè)圓，有種涂法，
若紅色涂第2，5個(gè)圓，有種涂法，
若紅色涂第3，5個(gè)圓，有種涂法，
此時(shí)有種，
所以共有種，
故答案為：120
38．隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展，江門市居住環(huán)境進(jìn)一步改善，市民休閑活動的公園越來越多，其中，最新打造的網(wǎng)紅公園有兒童公園、湖連潮頭中央公園、下沙公園.某個(gè)節(jié)假日，甲、乙、丙、丁四組家庭到這個(gè)網(wǎng)紅公園打卡，通過訪問和意向篩查，最后將這四組家庭的意向匯總?cè)缦拢?br /> 公園
兒童公園
湖連潮頭中央公園
下沙公園
有意向的家族組
甲、乙、丙
甲、乙、丁
乙、丙、丁
若每組家庭只能從已登記的選擇意向中隨機(jī)選取一項(xiàng)，且每個(gè)公園至多有兩組家庭選擇，則甲、乙兩組家庭選擇同一個(gè)公園打卡的概率為 ________.
【答案】
【分析】
分以下三種情況枚舉所有情況即可，①選兒童公園和湖連潮頭中央公園，②選兒童公園和下沙公園，③選下沙公園和湖連潮頭中央公園，利用古典概型計(jì)算公式即可.
【詳解】
①選兒童公園和湖連潮頭中央公園時(shí)，有以下情況：甲丙、乙??；乙丙、甲?。?br /> ②選兒童公園和下沙公園時(shí)，有以下情況：甲乙、丙?。患妆?、乙?。?br /> ③選下沙公園和湖連潮頭中央公園時(shí)，有以下情況：甲乙、丙??；甲丁、乙丙；
④選3個(gè)公園時(shí)，有以下幾種情況：甲乙、丁、丙；甲丙、乙、丁；甲丙、丁、乙；乙丙、甲、??；
丙、甲乙、??；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；
甲、丁、乙丙；丙、甲、乙丁；甲、乙、丙??；乙、甲、丙?。?br /> 共有18種選擇，其中甲、乙兩組家庭選擇同一個(gè)公園打卡的4種，則甲、乙兩組家庭選擇同一個(gè)公園打卡的概率為.
故答案為：.
39．某公司在元宵節(jié)組織了一次猜燈謎活動，主持人事先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個(gè)燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個(gè)燈籠中的謎語來猜（無論猜中與否，選中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法數(shù)為____________.（用數(shù)字作答）

【答案】
【分析】
由題意可知，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個(gè)燈籠中的謎語來猜，所以本題是定序問題，故結(jié)合倍縮法即可求出結(jié)果.
【詳解】
一共有10條燈謎，共有種方法，由題意可知而其中按2，3，3，2組成的4列相對位置不變，所以結(jié)合倍縮法可知共有種，也即是這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法有種
故答案為：.
40．一獵人帶著一把獵槍到山里去打獵，獵槍每次可以裝3發(fā)子彈，當(dāng)他遇見一只野兔時(shí)，開第一槍命中野免的概率為0.8，若第一槍沒有命中，獵人開第二槍，命中野免的概率為0.4，若第二槍也沒有命中，獵人開第三槍，命中野兔的概率為0.2，若3發(fā)子彈都沒打中，野兔就逃跑了，則已知野兔被擊中的條件下，是獵人開第二槍命中的概率為__________.
【答案】
【分析】
記事件“獵人第一次擊中野兔”，“獵人第二次擊中野兔”，“獵人第三次擊
中野兔”，“野兔被擊中”，注意的發(fā)生是不發(fā)生的情況才可能發(fā)生，由概率公式計(jì)算出概率，求出后，再由條件概率公式計(jì)算．
【詳解】
記事件“獵人第一次擊中野兔”，“獵人第二次擊中野兔”，“獵人第三次擊中野兔”，“野兔被擊中”，
則，
，
，
故答案為：．
















(高級)1-30題
一、單選題
1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，且對任意n∈N*，an+1等概率地取an+1或an﹣1，設(shè)an的值為隨機(jī)變量ξn，則（　　）
A．P（ξ3＝2）＝ B．E（ξ3）＝1
C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2） D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0）
【答案】D
【分析】
由題意可知a2＝1或a2＝－1，且P（a2＝1）＝P(a2＝－1)＝，進(jìn)而可求ξ3的期望，可判斷AB；再結(jié)合條件求P（ξ5＝0），可判斷CD.
【詳解】
依題意a2＝1或a2＝－1，且P（a2＝1）＝P(a2＝－1)＝，
ξ3＝a3的可能取值為2，0，－2
P（ξ3＝2）＝×＝，
P（ξ3＝0）＝2×＝，
P（ξ3＝－2）＝＝，
E（ξ3）＝2×+0×+(－2）×＝0，由此排除A和B；
ξ4＝a4的可能取值為3, 1，－1，－3，
P（ξ4＝3）＝P（ξ3＝2）＝，
P（ξ4＝1）＝＝，
P（ξ4＝－1）＝＝，
P（ξ4＝－3）＝P（ξ3＝－2）＝，
ξ5＝a5的可能取值為4，2，0，－2，－4
P（ξ5＝0）＝＝，
P（ξ5＝2）＝＝，
所以P（ξ5＝0）＞P（ξ5＝2），排除C．
因?yàn)镻（ξ5＝0）＝，P（ξ3＝0）＝，所以P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0），故D正確.
故選：D．
2．如圖，在某城市中，?兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中???是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的個(gè)交匯處.今在道路網(wǎng)?處的甲?乙兩人分別要到?處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)?處為止.則下列說法正確的是（ ）


A．甲從到達(dá)處的方法有種
B．甲從必須經(jīng)過到達(dá)處的方法有種
C．甲?乙兩人在處相遇的概率為
D．甲?乙兩人相遇的概率為
【答案】C
【分析】
A．考慮從到向上走的步數(shù)和向下走的步數(shù)，利用組合數(shù)求解出結(jié)果；
B．先利用組合數(shù)分析從到的方法數(shù)，然后再利用組合數(shù)分析從到的方法數(shù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可求解出結(jié)果；
C．先確定出甲經(jīng)過的方法數(shù)，再確定出乙經(jīng)過的方法數(shù)，由此確定出甲、乙兩人在處相遇的方法數(shù)，結(jié)合A選項(xiàng)的結(jié)果求解出對應(yīng)概率；
D．先確定出甲、乙只能在、、、處相遇，然后根據(jù)C選項(xiàng)的計(jì)算方法分別計(jì)算出對應(yīng)方法數(shù)，結(jié)合A選項(xiàng)的結(jié)果求解出對應(yīng)概率
【詳解】
A選項(xiàng)，甲從M到達(dá)N處，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，則甲從M到達(dá)N處的方法有種，A選項(xiàng)錯誤；
B選項(xiàng)，甲經(jīng)過到達(dá)N處，可分為兩步：
第一步，甲從M經(jīng)過需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法數(shù)為種；
第二步，甲從到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法數(shù)為種.
∴甲經(jīng)過到達(dá)N的方法數(shù)為種，B選項(xiàng)錯誤；
C選項(xiàng)，甲經(jīng)過的方法數(shù)為種，乙經(jīng)過的方法數(shù)也為種，
∴甲?乙兩人在處相遇的方法數(shù)為種，
甲?乙兩人在處相遇的概率為，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，甲?乙兩人沿最短路徑行走，只可能在、、、處相遇，
若甲?乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，則甲的前三步必須向上走，乙經(jīng)過處，則乙的前三步必須向左走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為1種；
若甲?乙兩人在處相遇，由C選項(xiàng)可知，走法種數(shù)為81種；
若甲?乙兩人在處相遇，甲到處，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到處，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，
所以，兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；
若甲?乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，則甲的前三步必須向右走，乙經(jīng)過處，則乙的前三步必須向下走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為1種；
故甲?乙兩人相遇的概率，D選項(xiàng)錯誤.
故選：C.
3．2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大，武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測了5個(gè)人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當(dāng)時(shí)，最大，則（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出概率，再求最大值，借助于均值不等式求解．
【詳解】
解：設(shè)事件A：檢測5個(gè)人確定為“感染高危戶”，
事件B：檢測6個(gè)人確定為“感染高危戶”.
∴，.
即.
設(shè)，則
，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，
即.
故選：A.
4．如圖，在某海岸P的附近有三個(gè)島嶼Q，R，S，計(jì)劃建立三座獨(dú)立大橋，將這四個(gè)地方連起來，每座橋只連接兩個(gè)地方，且不出現(xiàn)立體交叉形式，則不同的連接方式有（ ）.

A．24種 B．20種 C．16種 D．12種
【答案】D
【分析】
由建橋的方式可以分為兩類：（1）從一個(gè)地方出發(fā)向其他三個(gè)地方各建一橋，（2）一個(gè)地方最多建兩橋但不能交叉，利用去雜法，即可求解.
【詳解】
由建立三座大橋，將這四個(gè)地方連起來，每座橋只連接兩個(gè)地方，且不出現(xiàn)立體交叉形式，
可分為兩類：
第一類：從一個(gè)地方出法向其他三個(gè)地方各建一座橋，共有4種不同的方法；
第二類：一個(gè)地方最多建兩座橋，如這樣的建橋方法：和屬于相同的建橋方法，所以共有種不同的方法，
其中交叉建橋方法，例如：這樣建橋不符合題意，共有4種，
所以第二類建橋，共有種不同的建橋方法.
綜上可得，不同的連接方式有種.
故選：D
5．隨機(jī)變量的分布列是（ ）

2
4
6





A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由均值的定義求出均值,
由方差公式計(jì)算出方差
做差比較可得.
【詳解】
，


故選：A
6．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，以下說法正確的是（ ）
A．每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為54
B．每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為
C．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為
D．每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是
【答案】D
【分析】
對于選項(xiàng) ，每人有4種安排法，故有種；對于選項(xiàng) ，5名同學(xué)中有兩人工作相同，先選人再安排；對于選項(xiàng)，先分組再安排；對于選項(xiàng) ，以司機(jī)人數(shù)作為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論即可.
【詳解】
解：①每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為，即選項(xiàng)錯誤，
②每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為，即選項(xiàng)B錯誤，
③如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為：（），即選項(xiàng)C錯誤，
④分兩種情況：第一種，安排一人當(dāng)司機(jī)，從丙、丁、戊選一人當(dāng)司機(jī)有 ,從余下四人中安排三個(gè)崗位，
故有；第二種情況，安排兩人當(dāng)司機(jī)，從丙、丁、戊選兩人當(dāng)司機(jī)有 ,
從余下三人中安排三個(gè)崗位，故有；所以每項(xiàng)工作至少有一人參加，
甲、乙不會開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是，
即選項(xiàng)D正確，
故選：D．
7．高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的鐵釘（如圖所示），并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個(gè)，一排中各個(gè)釘子正好對準(zhǔn)上面一排兩個(gè)相鄰鐵釘?shù)恼醒霃娜肟谔幏湃胍粋€(gè)直徑路小于兩顆釘子間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時(shí)，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接若小球再通過兩釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去，小球最后落入下方條狀的格子內(nèi)求小球落到第7個(gè)格子（從左開始）的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
落入第7個(gè)格子需要次左次右，計(jì)算概率得到答案.
【詳解】
小球從開始下落到結(jié)束共有9次左右下落情況，落入第7個(gè)格子需要次左次右，
故概率是：.
故選：.
8．有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒子里有個(gè)紅球，乙盒子里有個(gè)紅球和個(gè)黑球，現(xiàn)從乙盒子里隨機(jī)取出個(gè)球放入甲盒子后，再從甲盒子里隨機(jī)取一球，記取到的紅球個(gè)數(shù)為個(gè)，則隨著的增加，下列說法正確的是（ ）
A．增加，增加 B．增加，減小
C．減小，增加 D．減小，減小
【答案】C
【分析】
由題意可知，從乙盒子里隨機(jī)取出個(gè)球，含有紅球個(gè)數(shù)服從超幾何分布，即，可得出，再從甲盒子里隨機(jī)取一球，則服從兩點(diǎn)分布，所以，，從而可判斷出和的增減性.
【詳解】
由題意可知，從乙盒子里隨機(jī)取出個(gè)球，含有紅球個(gè)數(shù)服從超幾何分布，即，其中，其中，且，.
故從甲盒中取球，相當(dāng)于從含有個(gè)紅球的個(gè)球中取一球，取到紅球個(gè)數(shù)為.
故，
隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，所以，隨著的增大，減??；
，隨著的增大，增大.
故選：C.
9．已知隨機(jī)變量ξ的分布列，則下列說法正確的是

A．存在x，y∈(0，1)，E(ξ)> B．對任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤
C．對任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D．存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>
【答案】C
【分析】
表示出期望與方差，利用基本不等式證明不等關(guān)系。
【詳解】
解：依題意可得，
因?yàn)?br /> 所以即故，錯誤；




即，故成立；
故錯誤
故選：
10．在體育選修課排球模塊基本功發(fā)球測試中，計(jì)分規(guī)則如下滿分為10分：①每人可發(fā)球7次，每成功一次記1分；②若連續(xù)兩次發(fā)球成功加分，連續(xù)三次發(fā)球成功加1分，連續(xù)四次發(fā)球成功加分，以此類推，，連續(xù)七次發(fā)球成功加3分假設(shè)某同學(xué)每次發(fā)球成功的概率為，且各次發(fā)球之間相互獨(dú)立，則該同學(xué)在測試中恰好得5分的概率是(????)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
明確恰好得5分的所有情況：發(fā)球四次得分，有兩個(gè)連續(xù)得分和發(fā)球四次得分，有三個(gè)連續(xù)得分，分別求解可得.
【詳解】
該同學(xué)在測試中恰好得5分有兩種情況：四次發(fā)球成功，有兩個(gè)連續(xù)得分，此時(shí)概率；四次發(fā)球成功，有三個(gè)連續(xù)得分，分為連續(xù)得分在首尾和不在首尾兩類，此時(shí)概率，所求概率；故選B.
11．中國古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法，在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是一根根同樣長短的小木棍.如圖，是利用算籌表示數(shù)1～9的一種方法.例如：137可表示為“”，26可表示為“”.現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1～9這9個(gè)數(shù)字表示三位數(shù)的個(gè)數(shù)為

A．10 B．20 C．36 D．38
【答案】D
【分析】
本道題分類討論，即可．
【詳解】
分情況討論，當(dāng)百位數(shù)為1時(shí)，十位數(shù)為1有2種，十位數(shù)為2有2種，十位數(shù)為3有2種，十位數(shù)為4有1種，為6有2種，為7有2種，為8有1種；當(dāng)百位數(shù)為2時(shí)，十位數(shù)為1有2種，為2有2種，為3有1種，為6有2種，為7有1種；當(dāng)百位數(shù)為3時(shí)，十位數(shù)為1有2種，十位數(shù)為2有1種，為6有1種；當(dāng)百位數(shù)為4時(shí)，只有1種；當(dāng)百位數(shù)為6時(shí)，十位數(shù)為1有2種，為2有2種，為3有1種，為6有2種，為7有1種；當(dāng)百位數(shù)為7時(shí)，十位數(shù)為1有2種，為2有1種，為6有1種；當(dāng)百位數(shù)為8，只有一種，一共有38種，故選D．
12．某密碼鎖共設(shè)四個(gè)數(shù)位，每個(gè)數(shù)位的數(shù)字都可以是1，2，3，4中的任一個(gè).現(xiàn)密碼破譯者得知：甲所設(shè)的四個(gè)數(shù)字有且僅有三個(gè)相同；乙所設(shè)的四個(gè)數(shù)字有兩個(gè)相同，另兩個(gè)也相同；丙所設(shè)的四個(gè)數(shù)字有且僅有兩個(gè)相同；丁所設(shè)的四個(gè)數(shù)字互不相同．則上述四人所設(shè)密碼最安全的是（　 ）.
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【詳解】
甲共有種不同設(shè)法，乙共有，丙共有，丁共有,所以丙最安全，故選C．
13．支籃球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（任兩支球隊(duì)恰進(jìn)行一場比賽）,任兩支球隊(duì)之間勝率都是.單循環(huán)比賽結(jié)束,以獲勝的場次數(shù)作為該隊(duì)的成績,成績按從大到小排名次順序,成績相同則名次相同.有下列四個(gè)命題：
：恰有四支球隊(duì)并列第一名為不可能事件； ：有可能出現(xiàn)恰有兩支球隊(duì)并列第一名；
：每支球隊(duì)都既有勝又有敗的概率為； ：五支球隊(duì)成績并列第一名的概率為.
其中真命題是
A．,, B．,, C．.. D．..
【答案】A
【解析】
支球隊(duì)單循環(huán)，共舉行場比賽，共有次勝次負(fù)．由于以獲勝場次數(shù)作為球隊(duì)的成績．就算四支球隊(duì)都勝場，則第五支球隊(duì)也無法勝場，若四支球隊(duì)都勝場，則第五支球隊(duì)也勝場，五支球隊(duì)并列第一，除此不會再有四支球隊(duì)勝場次數(shù)相同．故是真命題；會出現(xiàn)兩支球隊(duì)勝場，剩下三支球隊(duì)中兩支球隊(duì)各勝場，另一支球隊(duì)勝場的情況，此時(shí)兩支球隊(duì)并列第一名．故為真命題；由題可知球隊(duì)成績并列第一名，各勝一場的概率為小于．排除．故本題答案選．
14．甲盒子裝有3個(gè)紅球，1個(gè)黃球，乙盒中裝有1個(gè)紅球，3個(gè)黃球，同時(shí)從甲乙兩盒中取出個(gè)球交換，分別記甲乙兩個(gè)盒子中紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，則以下結(jié)論錯誤的是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分別就計(jì)算概率得出數(shù)學(xué)期望，得出結(jié)論．
【詳解】
用表示交換后甲盒子中的紅球數(shù)， 表示交換后乙盒子中的紅球數(shù)，
當(dāng)時(shí)，
則， ， ．
故A正確，C正確，
當(dāng) 時(shí)，

故B正確．
當(dāng) 時(shí)，

，
故D錯誤．
故選D．
15．如圖，給7條線段的5個(gè)端點(diǎn)涂色，要求同一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)不能同色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)有（　　）

A．24 B．48 C．96 D．120
【答案】C
【詳解】
分析：討論兩種情況，第一類相同顏色，第二類不同顏色，分別利用分步計(jì)數(shù)乘法原理求解，然后求和即可.
詳解：若顏色相同，先涂有種涂法，再涂有種涂法，再涂有種涂法，只有一種涂法，共有種；
若顏色不同，先涂有種涂法，再涂有種涂法，再涂有種涂法，當(dāng)和相同時(shí)，有2種涂法，當(dāng)和不同時(shí)， 只有一種涂法，共有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，共有 種，故選C.
16．如果不是等差數(shù)列，但若，使得，那么稱為“局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為4，記事件：集合，事件：為“局部等差”數(shù)列，則條件概率
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分別求出事件與事件的基本事件的個(gè)數(shù)，用=計(jì)算結(jié)果.
【詳解】
由題意知，事件共有=120個(gè)基本事件，事件“局部等差”數(shù)列共有以下24個(gè)基本事件，
（1）其中含1，2，3的局部等差的分別為1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3個(gè)， 含3，2，1的局部等差數(shù)列的同理也有3個(gè)，共6個(gè).
含3，4，5的和含5，4，3的與上述（1）相同，也有6個(gè).
含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共 2個(gè)，
含4，3，2的同理也有2個(gè).
含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4個(gè)，
含5，3，1的也有上述4個(gè)，共24個(gè)，
=.
故選C.
17．已知，，為中不同數(shù)字的種類，如，求所有的個(gè)的排列所得的的平均值為
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本題首先可以確定的所有可能取值分別為，然后分別計(jì)算出每一種取值所對應(yīng)的概率，最后根據(jù)每一種取值所對應(yīng)的概率即可計(jì)算出的平均值．
【詳解】
由題意可知：
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
綜上所述，所有的個(gè)的排列所得的的平均值為：
，故選D．
18．空間中不共面的4點(diǎn)A，B，C，D，若其中3點(diǎn)到平面的距離相等且為第四個(gè)點(diǎn)到平面的倍，這樣的平面的個(gè)數(shù)為（ ）
A．8 B．16 C．32 D．48
【答案】C
【分析】
由題意分類討論各種情況，然后利用加法原理確定滿足題意的平面的個(gè)數(shù)即可.
【詳解】
第一種情況，A，B，C，D點(diǎn)在平面的同側(cè).
當(dāng)平面∥平面BCD時(shí)，A與平面的距離是與平面BCD的距離的2倍.
這種情況下有4個(gè)平面.
第二種情況，A，B，C，D中有3個(gè)點(diǎn)在平面的一側(cè)，第4個(gè)點(diǎn)在平面的另一側(cè)，這時(shí)又有兩種情形：
一種情形是平面與平面BCD平行，且A與平面的距離是平面與平面BCD距離的2倍.這時(shí)有4個(gè)平面.

另一種情形如圖a所示，圖中E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，K是AD的三等分點(diǎn)中靠近A的分點(diǎn)，A，B，C到平面EFK（即平面）的距離是D到平面EFK距離的一半.
∵EF可以是AB，AC的中點(diǎn)的連線，又可以是AB，BC的中點(diǎn)的連線，或AC，BC的中點(diǎn)的連線，
∴這種情形下的平面有3×4=12（個(gè)）.
第三種情況，如圖b所示，在A，B，C，D四點(diǎn)中，平面兩側(cè)各種有兩點(diǎn).
容易看出：點(diǎn)A到平面EFMN（平面）的距離是B，C，D到該平面距離的2倍．
就A，C與B，D分別位于平面兩側(cè)的情形來看，就有A離平面遠(yuǎn)，B離平面遠(yuǎn)，C離平面遠(yuǎn)，D離平面遠(yuǎn)這四種情況.
又“AC，BD異面，則這樣的異面直線共有3對，
∴平面有4×3=12（個(gè)）.
綜上分析，平面有4+4+12+12=32（個(gè)）.
故選C.
19．（1）將個(gè)小球隨機(jī)地投入編號為1，2…，的個(gè)盒子中（每個(gè)盒子容納的小球個(gè)數(shù)沒有限制），記1號盒子中小球的個(gè)數(shù)為；（2）將個(gè)小球隨機(jī)地投入編號為1，2…，的個(gè)盒子中（每個(gè)盒子容納的小球個(gè)數(shù)沒有限制），記號盒子中小球的個(gè)數(shù)為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
問題轉(zhuǎn)化為將一個(gè)小球投入到個(gè)盒子中，投次，投入1號盒子中小球的次數(shù)為，
符合二項(xiàng)分布，可用二項(xiàng)分布相關(guān)公式求解.
【詳解】
問題轉(zhuǎn)化為將一個(gè)小球投入到個(gè)盒子中，投次，投入1號盒子中小球的次數(shù)為，故

同理可得：


即
故選：A
20．我們知道，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（即伯努利試驗(yàn)）中，每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，則事件發(fā)生的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，事實(shí)上，在無限次伯努利試驗(yàn)中，另一個(gè)隨機(jī)變量的實(shí)際應(yīng)用也很廣泛，即事件首次發(fā)生時(shí)試驗(yàn)進(jìn)行的次數(shù)，顯然，我們稱服從“幾何分布”，經(jīng)計(jì)算得．由此推廣，在無限次伯努利試驗(yàn)中，試驗(yàn)進(jìn)行到事件和都發(fā)生后停止，此時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)記為，則，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
首先得出若，則，
然后，設(shè)．利用錯位相減法即可得出，然后可得答案.
【詳解】
因?yàn)?，?br /> ∴若，則．
那么
．
設(shè)．
．
∴．
∴時(shí)，．
∴．
故選：A．

第II卷（非選擇題）

二、填空題
21．我們想把9張寫著1~9的卡片放入三個(gè)不同盒子中，滿足每個(gè)盒子中都有3張卡片，且存在兩個(gè)盒子中卡片的數(shù)字之和相等，則不同的放法有___________種.
【答案】210
【分析】
首先對分別列出卡片之和相等的盒子的情況，然后利用全排列即可求解.
【詳解】
由題意可知，設(shè)存在的這兩個(gè)盒子中卡片的數(shù)字之和相等，設(shè)其相等的和為，
當(dāng)時(shí)，共有1種情況，即；
當(dāng)時(shí)，共有2種情況，即，；
當(dāng)時(shí)，共有5種情況，即，，，
，；
當(dāng)時(shí)，共有8種情況，即，，，
，，，，
；
當(dāng)時(shí)，共有6種情況，即，，，
，，；
當(dāng)時(shí)，共有7種情況，即，，，
，，，；
當(dāng)時(shí)，共有4種情況，即，，，
；
當(dāng)時(shí)，共有2種情況，即，.
綜上所述，共有35種情況，所以不同的放法共有：種.
故答案為：210.
22．在生物學(xué)研究過程中，常用高倍顯微鏡觀察生物體細(xì)胞．已知某研究小組利用高倍顯微鏡觀察某葉片的組織細(xì)胞，獲得顯微鏡下局部的葉片細(xì)胞圖片，如圖所示，為了方便研究，現(xiàn)在利用甲、乙等四種不同的試劑對、、、、、這六個(gè)細(xì)胞進(jìn)行染色，其中相鄰的細(xì)胞不能用同種試劑染色，且甲試劑不能對細(xì)胞染色，則共有______種不同的染色方法（用數(shù)字作答）．

【答案】
【分析】
先考慮細(xì)胞的染色試劑沒有限制的條件下相鄰的細(xì)胞不能用同種試劑染色的方法種數(shù)，然后考慮用甲試劑對細(xì)胞染色且相鄰的細(xì)胞不能用同種試劑染色的方法種數(shù)，將兩種方法種數(shù)作差即可得解.
【詳解】
不考慮甲試劑不能對細(xì)胞染色，則細(xì)胞的染色試劑有種選擇.
①若、細(xì)胞的染色試劑相同，有種選擇，、細(xì)胞可以用剩余種試劑進(jìn)行染色，有種方法，則細(xì)胞的染色試劑有種選擇，
此時(shí)，共有種不同的染色方法；
②若、細(xì)胞的染色試劑不同，有種不同的染色方法，細(xì)胞的染色方法只有種，
若、細(xì)胞的染色試劑不同，則細(xì)胞的染色試劑只有種，細(xì)胞的染色試劑只有種；
若、細(xì)胞的染色試劑相同，則細(xì)胞的染色試劑有種.
此時(shí)，共有種不同的染色方法；
綜上所述，不考慮甲試劑不能對細(xì)胞染色，染色方法種數(shù)為種；
現(xiàn)在考慮用甲試劑對細(xì)胞染色，則細(xì)胞的染色試劑有種選擇.
①若、細(xì)胞的染色試劑相同，則、細(xì)胞可以用剩余種試劑進(jìn)行染色，有種方法，細(xì)胞的染色試劑有種，
此時(shí)，共有種不同的染色方法；
②若、細(xì)胞的染色試劑不同，則細(xì)胞的染色試劑有種選擇，細(xì)胞的染色試劑只有種.
若、細(xì)胞的染色試劑不同，則細(xì)胞的染色試劑只有種，細(xì)胞的染色試劑只有種，
若、細(xì)胞的染色試劑相同，則細(xì)胞的染色試劑有種.
此時(shí)，共有種不同的染色方法.
綜上所述，當(dāng)用甲試劑對細(xì)胞染色時(shí)，染色方法種數(shù)為種.
因此，符合條件的染色方法種數(shù)為種.
故答案為：.
23．驗(yàn)證碼就是將一串隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)字或符號，生成一幅圖片，圖片里加上一些干擾象素（防止），由用戶肉眼識別其中的驗(yàn)證碼信息，輸入表單提交網(wǎng)站驗(yàn)證，驗(yàn)證成功后才能使用某項(xiàng)功能.很多網(wǎng)站利用驗(yàn)證碼技術(shù)來防止惡意登錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全.在抗疫期間，某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗(yàn)證碼由0，1，2，…，9中的五個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成.將中間數(shù)字最大，然后向兩邊對稱遞減的驗(yàn)證碼稱為“鐘型驗(yàn)證碼”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一個(gè)“鐘型驗(yàn)證碼”，則該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為__________.
【答案】
【分析】
首先判斷出中間號碼的所有可能取值，由此求得基本事件的總數(shù)以及中間數(shù)字是的事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算出所求概率.
【詳解】
根據(jù)“鐘型驗(yàn)證碼” 中間數(shù)字最大，然后向兩邊對稱遞減，所以中間的數(shù)字可能是.
當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.
當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.
當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.
當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.
當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.
當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.
所以該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為.
故答案為：
24．設(shè)為互不相等的正實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量和的分布列如下表，若記，分別為的方差，則_____．（填>，
【分析】
根據(jù)方差計(jì)算公式，計(jì)算出的表達(dá)式，由此利用差比較法，比較出兩者的大小關(guān)系.
【詳解】
，故
.
，

.
要比較的大小，只需比較與，兩者作差并化簡得

①，
由于為互不相等的正實(shí)數(shù)，故，也即
，也即.
故答案為：
25．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是________（寫出所有正確結(jié)論的編號）．
①；
②；
③事件與事件相互獨(dú)立；
④是兩兩互斥的事件；
⑤的值不能確定，因?yàn)樗c中哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)
【答案】②④
【分析】
根據(jù)互斥事件的定義即可判斷④；根據(jù)條件概率的計(jì)算公式分別得出事件發(fā)生的條件下B事件發(fā)生的概率，即可判斷②；然后由，判斷①和⑤；再比較的大小即可判斷③.
【詳解】
由題意可知事件不可能同時(shí)發(fā)生，則是兩兩互斥的事件，則④正確；
由題意得，故②正確；
,①⑤錯；
因?yàn)?，所以事件B與事件A1不獨(dú)立，③錯；綜上選②④
故答案為：②④
26．某翻譯處有8名翻譯，其中有小張等3名英語翻譯，小李等3名日語翻譯，另外2名既能翻譯英語又能翻譯日語，現(xiàn)需選取5名翻譯參加翻譯工作，3名翻譯英語，2名翻譯日語，且小張與小李恰有1人選中，則有____種不同選取方法.
【答案】29
【分析】
據(jù)題意，對選出的3名英語教師分5種情況討論：①若從只會英語的3人中選3人翻譯英語，②若從只會英語的3人中選2人翻譯英語，（包含小張），③若從只會英語的3人選小張翻譯英語，④、若從只會英語的3人中選2人翻譯英語，（不包含小張），⑤、若從只會英語的3人中選1人翻譯英語，（不包含小張），每種情況中先分析其余教師的選擇方法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算每種情況的安排方法數(shù)目，進(jìn)而由分類計(jì)數(shù)原理，將其相加計(jì)算可得答案．
【詳解】
根據(jù)題意，分5種情況討論：
①、若從只會英語的3人中選3人翻譯英語，
則需要從剩余的4人（不含小李）中選出2人翻譯日語即可，則不同的安排方案有種，
②、若從只會英語的3人中選2人翻譯英語，（包含小張）
則先在既會英語又會日語的2人中選出1人翻譯英語，再從剩余的3人（不含小李）中選出2人翻譯日語即可，
則不同的安排方案有種，
③、若從只會英語的3人選小張翻譯英語，
則先在既會英語又會日語的2人中選出2人翻譯英語，再從剩余的2人（不含小李）中選出2人翻譯日語即可，
則不同的安排方案有種，
④、若從只會英語的3人中選2人翻譯英語，（不包含小張）
則先在既會英語又會日語的2人中選出1人翻譯英語，再從剩余的4人（小李必選）中選出2人翻譯日語即可，
則不同的安排方案有種，
⑤、若從只會英語的3人中選1人翻譯英語，（不包含小張）
則先在既會英語又會日語的2人中選出2人翻譯英語，再從剩余的3人（小李必選）中選出2人翻譯日語即可，
則不同的安排方案有種，
則不同的安排方法有種．
故答案為29．
27．乒乓球比賽,三局二勝制.任一局甲勝的概率是,甲贏得比賽的概率是,則的最大值為_____.
【答案】
【詳解】
分析：采用三局兩勝制，則甲在下列兩種情況下獲勝：甲凈勝二局，前二局甲一勝一負(fù)，第三局甲勝，由此能求出甲勝概率；進(jìn)而求得的最大值.
詳解：采用三局兩勝制，
則甲在下列兩種情況下獲勝： （甲凈勝二局）， （前二局甲一勝一負(fù)，第三局甲勝）．
因?yàn)?與 互斥，所以甲勝概率為 則 設(shè)
即答案為.，注意到，則函數(shù)在和 單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，最大值為
即答案為.
28．用五種不同顏色給三棱臺的六個(gè)頂點(diǎn)染色，要求每個(gè)點(diǎn)染一種顏色，且每條棱的兩個(gè)端點(diǎn)染不同顏色.則不同的染色方法有___________種.
【答案】1920.
【詳解】
分析：分兩步來進(jìn)行，先涂，再涂，然后分若5種顏色都用上、若5種顏色只用4種、若5種顏色只用3種這三種情況，分別求得結(jié)果，再相加，即可得結(jié)果.
詳解：分兩步來進(jìn)行，先涂，再涂.
第一類：若5種顏色都用上，先涂，方法有種，再涂中的兩個(gè)點(diǎn)，方法有種，最后剩余的一個(gè)點(diǎn)只有2種涂法，故此時(shí)方法共有種；
第二類：若5種顏色只用4種，首先選出4種顏色，方法有種；
先涂，方法有種，再涂中的一個(gè)點(diǎn)，方法有3種，最后剩余的兩個(gè)點(diǎn)只有3種涂法，故此時(shí)方法共有種；
第三類：若5種顏色只用3種，首先選出3種顏色，方法有種；
先涂，方法有種，再涂，方法有2種，故此時(shí)方法共有種；
綜上可得，不同涂色方案共有種，
故答案是1920.
29．四根繩子上共掛有10只氣球,繩子上的球數(shù)依次為1,2,3,4，每槍只能打破一只球,而且規(guī)定只有打破下面的球才能打上面的球,則將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是________.

【答案】12600
【詳解】
問題等價(jià)于編號為的10個(gè)小球排列，其中號，號，號的排列順序是固定的，據(jù)此可得：將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是.
30．關(guān)于任意平面向量可實(shí)施以下6種變換，包括2種變換和4種變換
模變?yōu)樵瓉淼谋?，同時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；
模變?yōu)樵瓉淼谋叮瑫r(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；
模變?yōu)樵瓉淼谋叮瑫r(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；
：模變?yōu)樵瓉淼谋叮瑫r(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；
模變?yōu)樵瓉淼谋?，同時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；
模變?yōu)樵瓉淼谋叮瑫r(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
記集合，若每次從集合中隨機(jī)抽取一種變換，每次抽取彼此相互獨(dú)立，經(jīng)過次抽取，依次將第次抽取的變換記為，即可得到一個(gè)維有序變換序列，記為，則以下判斷中正確的序號是__________.
①單位向量經(jīng)過奇數(shù)次變換后所得向量與向量同向的概率為；
②單位向量經(jīng)過偶數(shù)次變換后所得向量與向量同向的概率為；
③若單位向量經(jīng)過變換后得到向量，則中有且只有2個(gè)變換；
④單位向量經(jīng)過變換后得到向量的概率為.
【答案】①②③
【分析】
分別對4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分類討論，根據(jù)討論結(jié)果判斷正確或錯誤即可；
【詳解】
對于①，單位向量經(jīng)過奇數(shù)次變換后，情況如下：
1.最終狀態(tài)為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)，單位向量與向量同向；
2.最終狀態(tài)為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)，單位向量與向量逆向；
所以，單位向量經(jīng)過奇數(shù)次變換后所得向量與向量同向的概率為；①對；
對于②，單位向量經(jīng)過偶數(shù)次變換后，情況如下：
1.最終狀態(tài)為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與向量不同向；
2. 最終狀態(tài)為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與向量不同向；
3. 最終狀態(tài)為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與向量同向；
4. 最終狀態(tài)為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與向量不同向；
所以，單位向量經(jīng)過偶數(shù)次變換后所得向量與向量同向的概率為；②對
對于③，單位向量經(jīng)過變換后得到向量，
由于與屬于逆向關(guān)系，即單位向量，
經(jīng)過變換后要保證模長不變，因此只能有2個(gè)變換和4個(gè)變換，
才能保證模長不會經(jīng)過變換改變，因此，③對；
對于④，單位向量經(jīng)過變換后得到向量，
經(jīng)過變換后要保證模長不變，因此只能有2個(gè)變換和4個(gè)變換，才能保證模長不會經(jīng)過變換改變，
并且經(jīng)過變換后最終要得到單位向量逆時(shí)針轉(zhuǎn)，
故，其中4次變換要回到單位向量，
由③可得，單位向量經(jīng)過變換后得到向量，
中有且只有2個(gè)變換，滿足題意的這2個(gè)變換的情況有：
1.兩次變換；2. 兩次變換；3. 和各一次變換；然后，
據(jù)此再討論這3種情況下的變換，明顯地，④錯；
故答案為：①②③



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