二：2024高考命題分析
2024年高考新高考Ⅰ卷的排列組合是體現(xiàn)在概率中的，后續(xù)專題會體現(xiàn)出來。Ⅱ卷考查了通過列舉來確定所有可能結(jié)果，其實Ⅰ卷的題目也可以采用列舉法，這兩題考查的方向偏向于與實際生活聯(lián)系在一起；其中邏輯推理能力比較重要，而且都是壓軸題。預(yù)計2025年高考還是主要考查排列組合的應(yīng)用，題型多變。
三：試題精講
一、填空題
1．（2024新高考Ⅱ卷·14）在如圖的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有 種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是 ．
高考真題練
一、單選題
1．（2022新高考Ⅱ卷·5）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種B．24種C．36種D．48種
2．（2023新高考Ⅱ卷·3）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）．
A．種B．種
C．種D．種
二、填空題
3．（2022新高考Ⅰ卷·13）的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
4．（2023新高考Ⅰ卷·13）某學校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數(shù)字作答）．
知識點總結(jié)
一、排列與排列數(shù)
1、定義：從個不同元素中取出個元素排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示．
2、排列數(shù)的公式：．
特例：當時，；規(guī)定：．
3、排列數(shù)的性質(zhì)：
①；②；③．
二、組合與組合數(shù)
1、定義：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示．
2、組合數(shù)公式及其推導(dǎo)
求從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，可以按以下兩步來考慮：
第一步，先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數(shù)；
第二步，求每一個組合中個元素的全排列數(shù)；
根據(jù)分步計數(shù)原理，得到；
因此．
這里，，且，這個公式叫做組合數(shù)公式．因為，所以組合數(shù)公式還可表示為：．特例：．
注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學習排列組合的混合問題時，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題．公式常用于具體數(shù)字計算，常用于含字母算式的化簡或證明．
3、組合數(shù)的主要性質(zhì)：①；②．
4、組合應(yīng)用題的常見題型：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②“至少”或“最多”含有幾個元素的題型
三、排列和組合的區(qū)別
組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工．
排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．
注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題．排列是在組合的基礎(chǔ)上對入選的元素進行排隊，因此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”．
四、二項式展開式的特定項、特定項的系數(shù)問題
1、二項式定理
一般地，對于任意正整數(shù)，都有：，
這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．
式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，
其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數(shù)，
2、二項式的展開式的特點：
①項數(shù)：共有項，比二項式的次數(shù)大1；
②二項式系數(shù)：第項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；
③次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次
數(shù)從到，每一項中，，次數(shù)和均為；
④項的系數(shù)：二項式系數(shù)依次是，項的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項式系
數(shù)）．
3、兩個常用的二項展開式：
①（）
②
4、二項展開式的通項公式
二項展開式的通項：
公式特點：①它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數(shù)是；
②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標相同；
③與的次數(shù)之和為．
注意：①二項式的二項展開式的第r+1項和的二項展開式的第r+1項是有區(qū)別的，應(yīng)用二項式定理時，其中的和是不能隨便交換位置的．
②通項是針對在這個標準形式下而言的，如的二項展開式的通項是（只需把看成代入二項式定理）．
五、二項式展開式中的最值問題
1、二項式系數(shù)的性質(zhì)
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①每一行兩端都是，即；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二項式系數(shù)和令，則二項式系數(shù)的和為，變形式．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和在二項式定理中，令，
則，
從而得到：．
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤最大值：
如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；
如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項，的二項式系數(shù)，相等且最大．
2、系數(shù)的最大項
求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．
六、二項式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題
常用賦值舉例：
1、設(shè)，
二項式定理是一個恒等式，即對，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：
．
2、若，則
①常數(shù)項：令，得．
②各項系數(shù)和：令，得．
③奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和
（i）當為偶數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；
偶數(shù)項的系數(shù)和為．
（可簡記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）
（ii）當為奇數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；
偶數(shù)項的系數(shù)和為．
（可簡記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）
若，同理可得．
注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運算即可得到相應(yīng)的結(jié)果．
【排列組合常用結(jié)論】
一、解決排列組合綜合問題的一般過程
1、認真審題，確定要做什么事；
2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時進行，弄清楚分多少類及多少步；
3、確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少個元素；
4、解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．
二、常見排列組合類型及解法
1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對這個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．
2、錯位排列公式
3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項
（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類討論．
4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：
（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；
（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．
5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k個元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個元素“捆綁在一起”，看成一個整體，當作一個元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．
6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個元素排成一排，共有種排法；然后把個元素插入個空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．
名校模擬練
一、單選題
1．（2024·重慶·三模）重慶某高校去年招收學生來自成渝地區(qū)2400人，除成渝外的西部地區(qū)2000人，中部地區(qū)1400人，東部地區(qū)1800人，港澳臺地區(qū)400人.學校為了解學生的飲食習慣，擬選取40人作樣本調(diào)研，為保證調(diào)研結(jié)果的代表性，則從該校去年招收的成渝地區(qū)學生中不同的抽樣結(jié)果種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京·三模）已知的二項式系數(shù)之和為64，則其展開式的常數(shù)項為（ ）
A．B．240C．60D．
3．（2024·陜西·三模）2024年中國足球乙級聯(lián)賽陜西聯(lián)合的主場火爆，一票難求，主辦方設(shè)定了三種不同的票價分別對應(yīng)球場三個不同的區(qū)域，五位球迷相約看球賽，則五人中恰有三人在同一區(qū)域的不同座位方式共有（ ）
A．30種B．60種C．120種D．240種
4．（2024·四川成都·三模）成實外教育集團自2000年成立以來，一直行走在民辦教育的前端，致力于學生的全面發(fā)展，對學生的教育視為終身己任，在教育事業(yè)上砥礪前行，永不止步.截至目前，集團已開辦29所K-12學校和兩所大學，其中高中教育學校有11所.集團擬召開綜合考評會.經(jīng)考評后，11所學校得分互不相同，現(xiàn)從中任選3所學校的代表交流發(fā)言，則排名為第一名或第五名的學校代表去交流發(fā)言的概率為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·重慶九龍坡·三模）用1，2，3，4，5，6這六個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則在數(shù)字1，3相鄰的條件下，數(shù)字2，4，6也相鄰的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·新疆喀什·三模）展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．20B．30C．25D．40
7．（2024·新疆·三模）西安、洛陽、北京、南京和開封并稱中國的五大古都.某旅游博主為領(lǐng)略五大古都之美，決定用兩個月的時間游覽完五大古都，且每個月只游覽五大古都中的兩個或三個（五大古都只游覽一次），則恰好在同一個月游覽西安和洛陽的概率為（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·北京·三模）在的展開式中，項的系數(shù)為（ ）
A．B．C．16D．144
9．（2024·河北秦皇島·三模）三人被邀請參加同一個時間段的兩個晚會，若兩個晚會都必須有人去，去幾人自行決定，且每人最多參加一個晚會，則不同的去法有（ ）
A．8種B．12種C．16種D．24種
10．（2024·安徽蕪湖·三模）已知A、B、C、D、E、F六個人站成一排，要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的排法共有（ ）種
A．186B．264C．284D．336
11．（2024·浙江紹興·三模）在的展開式中，含項的系數(shù)是10，則（ ）
A．0B．1C．2D．4
12．（2024·湖北荊州·三模）已知，則被3除的余數(shù)為（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、多選題
13．（2024·山西臨汾·三模）在的展開式中（ ）
A．所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128
B．二項式系數(shù)最大的項為第5項
C．有理項共有兩項
D．所有項的系數(shù)的和為
14．（2024·江西南昌·三模）已知的展開式中二項式系數(shù)的最大值與的展開式中的系數(shù)相等，則實數(shù)a的值可能為（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·山西·三模）已知函數(shù)，則（ ）
A．B．展開式中，二項式系數(shù)的最大值為
C．D．的個位數(shù)字是1
三、填空題
16．（2024·山東煙臺·三模）展開式的中間一項的系數(shù)為 .
17．（2024·安徽合肥·三模）北京時間2024年4月26日5時04分，神舟十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）順利打開“家門”，歡迎遠道而來的神舟十八號航天員乘組（葉光富、李聰、李廣蘇3人）入駐“天宮”．隨后，兩個航天員乘組拍下“全家?！保餐蛉珖嗣駡笃桨玻暨@6名航天員站成一排合影留念，葉光富不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有 ．
18．（2024·福建福州·三模）的展開式中常數(shù)項為 ．
19．（2024·新疆喀什·三模）小明設(shè)置六位數(shù)字的手機密碼時，計劃將的前6位數(shù)字3，1，4，1，5，9進行某種排列得到密碼．若排列時要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間一個數(shù)字，則小明可以設(shè)置的不同密碼種數(shù)為 ．
20．（2024·河北衡水·三模）的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）
21．（2024·河南·三模）若的展開式中存在常數(shù)項，則的值可以是 （寫出一個值即可）
22．（2024·上海閔行·三模）某羽毛球俱樂部，安排男女選手各6名參加三場雙打表演賽（一場為男雙，一場為女雙，一場為男女混雙），每名選手只參加1場表演賽，則所有不同的安排方法有 種.
23．（2024·上海·三模）2024年重慶市高考數(shù)學科目采用新試卷結(jié)構(gòu)，我校高三年級將對來自三個班級的9名學生（每個班級3名學生）做一項圍繞適應(yīng)新試卷結(jié)構(gòu)的調(diào)研，并再抽選其中的若干名學生做訪談，要求每個班級至少有一名學生被抽中，且任意兩個班級被抽中的學生人數(shù)之和至多為3，則不同的抽選方法數(shù)為 .
24．（2024·江西九江·三模）某兒童游樂場有一臺打地鼠游戲機，共有9個洞.游戲開始后，每次有且僅有一只地鼠從某洞中冒出，地鼠第1次從1號洞冒出來.假設(shè)游戲過程中地鼠從上一個洞繼續(xù)冒出的概率為，從其它洞冒出的可能性相等，則地鼠第3次從1號洞冒出的概率是 .假設(shè)游戲結(jié)束時，地鼠一共冒出次，則地鼠從1號洞冒出的次數(shù)期望值為
參考答案與詳細解析
一：考情分析
二：2024高考命題分析
2024年高考新高考Ⅰ卷的排列組合是體現(xiàn)在概率中的，后續(xù)專題會體現(xiàn)出來。Ⅱ卷考查了通過列舉來確定所有可能結(jié)果，其實Ⅰ卷的題目也可以采用列舉法，這兩題考查的方向偏向于與實際生活聯(lián)系在一起；其中邏輯推理能力比較重要，而且都是壓軸題。預(yù)計2025年高考還是主要考查排列組合的應(yīng)用，題型多變。
三：試題精講
一、填空題
1．（2024新高考Ⅱ卷·14）在如圖的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有 種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是 ．
【答案】 24 112
【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果，即可求解.
【詳解】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，
則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，
第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，
所以共有種選法；
每種選法可標記為，分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，
則所有的可能結(jié)果為：
，
，
，
，
所以選中的方格中，的4個數(shù)之和最大，為.
故答案為：24；112
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選，利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果.
高考真題練
一、單選題
1．（2022新高考Ⅱ卷·5）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種B．24種C．36種D．48種
【答案】B
【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解
【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：種不同的排列方式，
故選：B
2．（2023新高考Ⅱ卷·3）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）．
A．種B．種
C．種D．種
【答案】D
【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.
【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.
故選：D.
二、填空題
3．（2022新高考Ⅰ卷·13）的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
【答案】-28
【分析】可化為，結(jié)合二項式展開式的通項公式求解.
【詳解】因為，
所以的展開式中含的項為，
的展開式中的系數(shù)為-28
故答案為：-28
4．（2023新高考Ⅰ卷·13）某學校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數(shù)字作答）．
【答案】64
【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運算求解.
【詳解】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；
（2）當從8門課中選修3門，
①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；
②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；
綜上所述：不同的選課方案共有種.
故答案為：64.
知識點總結(jié)
一、排列與排列數(shù)
1、定義：從個不同元素中取出個元素排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示．
2、排列數(shù)的公式：．
特例：當時，；規(guī)定：．
3、排列數(shù)的性質(zhì)：
①；②；③．
二、組合與組合數(shù)
1、定義：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示．
2、組合數(shù)公式及其推導(dǎo)
求從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，可以按以下兩步來考慮：
第一步，先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數(shù)；
第二步，求每一個組合中個元素的全排列數(shù)；
根據(jù)分步計數(shù)原理，得到；
因此．
這里，，且，這個公式叫做組合數(shù)公式．因為，所以組合數(shù)公式還可表示為：．特例：．
注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學習排列組合的混合問題時，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題．公式常用于具體數(shù)字計算，常用于含字母算式的化簡或證明．
3、組合數(shù)的主要性質(zhì)：①；②．
4、組合應(yīng)用題的常見題型：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②“至少”或“最多”含有幾個元素的題型
三、排列和組合的區(qū)別
組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工．
排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．
注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題．排列是在組合的基礎(chǔ)上對入選的元素進行排隊，因此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”．
四、二項式展開式的特定項、特定項的系數(shù)問題
1、二項式定理
一般地，對于任意正整數(shù)，都有：，
這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．
式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，
其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數(shù)，
2、二項式的展開式的特點：
①項數(shù)：共有項，比二項式的次數(shù)大1；
②二項式系數(shù)：第項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；
③次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次
數(shù)從到，每一項中，，次數(shù)和均為；
④項的系數(shù)：二項式系數(shù)依次是，項的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項式系
數(shù)）．
3、兩個常用的二項展開式：
①（）
②
4、二項展開式的通項公式
二項展開式的通項：
公式特點：①它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數(shù)是；
②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標相同；
③與的次數(shù)之和為．
注意：①二項式的二項展開式的第r+1項和的二項展開式的第r+1項是有區(qū)別的，應(yīng)用二項式定理時，其中的和是不能隨便交換位置的．
②通項是針對在這個標準形式下而言的，如的二項展開式的通項是（只需把看成代入二項式定理）．
五、二項式展開式中的最值問題
1、二項式系數(shù)的性質(zhì)
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①每一行兩端都是，即；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二項式系數(shù)和令，則二項式系數(shù)的和為，變形式．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和在二項式定理中，令，
則，
從而得到：．
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤最大值：
如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；
如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項，的二項式系數(shù)，相等且最大．
2、系數(shù)的最大項
求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．
六、二項式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題
常用賦值舉例：
1、設(shè)，
二項式定理是一個恒等式，即對，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：
．
2、若，則
①常數(shù)項：令，得．
②各項系數(shù)和：令，得．
③奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和
（i）當為偶數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；
偶數(shù)項的系數(shù)和為．
（可簡記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）
（ii）當為奇數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；
偶數(shù)項的系數(shù)和為．
（可簡記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）
若，同理可得．
注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運算即可得到相應(yīng)的結(jié)果．
【排列組合常用結(jié)論】
一、解決排列組合綜合問題的一般過程
1、認真審題，確定要做什么事；
2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時進行，弄清楚分多少類及多少步；
3、確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少個元素；
4、解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．
二、常見排列組合類型及解法
1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對這個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．
2、錯位排列公式
3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項
（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類討論．
4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：
（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；
（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．
5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k個元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個元素“捆綁在一起”，看成一個整體，當作一個元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．
6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個元素排成一排，共有種排法；然后把個元素插入個空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．
名校模擬練
一、單選題
1．（2024·重慶·三模）重慶某高校去年招收學生來自成渝地區(qū)2400人，除成渝外的西部地區(qū)2000人，中部地區(qū)1400人，東部地區(qū)1800人，港澳臺地區(qū)400人.學校為了解學生的飲食習慣，擬選取40人作樣本調(diào)研，為保證調(diào)研結(jié)果的代表性，則從該校去年招收的成渝地區(qū)學生中不同的抽樣結(jié)果種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)計算即可。
【詳解】為保證調(diào)研結(jié)果的代表性，設(shè)從該校去年招收的成渝地區(qū)學生中抽取n人，
則，
解得，
即從該校去年招收的成渝地區(qū)學生中不同的抽樣結(jié)果種數(shù)為
故選：C
2．（2024·北京·三模）已知的二項式系數(shù)之和為64，則其展開式的常數(shù)項為（ ）
A．B．240C．60D．
【答案】B
【分析】根據(jù)二項式系數(shù)之和可得，結(jié)合二項展開式分析求解.
【詳解】由題意可知：二項式系數(shù)之和為，可得，
其展開式的通項為，
令，解得，
所以其展開式的常數(shù)項為.
故選：B.
3．（2024·陜西·三模）2024年中國足球乙級聯(lián)賽陜西聯(lián)合的主場火爆，一票難求，主辦方設(shè)定了三種不同的票價分別對應(yīng)球場三個不同的區(qū)域，五位球迷相約看球賽，則五人中恰有三人在同一區(qū)域的不同座位方式共有（ ）
A．30種B．60種C．120種D．240種
【答案】C
【分析】依題意，先將在同一區(qū)域的三個人選出并選定區(qū)域，再對余下的兩人分別在其它兩個區(qū)域進行選擇，由分步乘法計數(shù)原理即得.
【詳解】要使五人中恰有三人在同一區(qū)域，可以分成三步完成：
第一步，先從五人中任選三人，有種方法；
第二步再選這三人所在的區(qū)域，有種方法；
第三步，將另外兩人從余下的兩個區(qū)域里任選，有種方法.
由分步乘法計數(shù)原理，共有種方法.
故選:C.
4．（2024·四川成都·三模）成實外教育集團自2000年成立以來，一直行走在民辦教育的前端，致力于學生的全面發(fā)展，對學生的教育視為終身己任，在教育事業(yè)上砥礪前行，永不止步.截至目前，集團已開辦29所K-12學校和兩所大學，其中高中教育學校有11所.集團擬召開綜合考評會.經(jīng)考評后，11所學校得分互不相同，現(xiàn)從中任選3所學校的代表交流發(fā)言，則排名為第一名或第五名的學校代表去交流發(fā)言的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用古典概率結(jié)合組合數(shù)的計算求解即可.
【詳解】從11所學校中任選3所學校共有種選法.
其中排名為第一名或第五名的學校，可以分為三種情況：
第一類：只含有排名為第一名的學校的有種選法；
第二類：只含有排名為第五名的學校的有種選法；
第三類：同時含有第一名和第五名學校的有種選法；
共種選法.根據(jù)概率公式可得.
故選：D.
5．（2024·重慶九龍坡·三模）用1，2，3，4，5，6這六個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則在數(shù)字1，3相鄰的條件下，數(shù)字2，4，6也相鄰的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分別求出數(shù)字1，3相鄰時的六位數(shù)個數(shù)以及數(shù)字1，3相鄰，數(shù)字2，4，6也相鄰的六位數(shù)的個數(shù)，根據(jù)條件概率的計算公式，即可求得答案.
【詳解】設(shè)“數(shù)字1，3相鄰”，設(shè)“數(shù)字2，4，6相鄰”，
則數(shù)字1，3相鄰時的六位數(shù)有個，
數(shù)字1，3相鄰，數(shù)字2，4，6也相鄰的六位數(shù)的個數(shù)為，
則.
故選：A.
6．（2024·新疆喀什·三模）展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．20B．30C．25D．40
【答案】B
【分析】分不含項和含有一個項兩種情況求解．
【詳解】展開式中，的項為，
則的系數(shù)為30．
故選：．
7．（2024·新疆·三模）西安、洛陽、北京、南京和開封并稱中國的五大古都.某旅游博主為領(lǐng)略五大古都之美，決定用兩個月的時間游覽完五大古都，且每個月只游覽五大古都中的兩個或三個（五大古都只游覽一次），則恰好在同一個月游覽西安和洛陽的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出事件的總數(shù)以及目標事件的數(shù)量，再用古典概型計算即可..
【詳解】將古都分成2個、3個兩組，再在兩個月安排旅游順序，故事件總數(shù)為，
分2個古都組中含西安、洛陽，或3個古都組中含西安、洛陽，故恰好在同一個月游覽西安和洛陽的事件數(shù)為：，
所以恰好在同一個月游覽西安和洛陽的概率為：
故選：B
8．（2024·北京·三模）在的展開式中，項的系數(shù)為（ ）
A．B．C．16D．144
【答案】C
【分析】寫出的展開式通項，即可列式求解.
【詳解】，其展開式通項公式為，，
所以所求項的系數(shù)為，
故選： C．
9．（2024·河北秦皇島·三模）三人被邀請參加同一個時間段的兩個晚會，若兩個晚會都必須有人去，去幾人自行決定，且每人最多參加一個晚會，則不同的去法有（ ）
A．8種B．12種C．16種D．24種
【答案】B
【分析】根據(jù)參加晚會的人數(shù)分類討論，利用排列組合數(shù)求解即可.
【詳解】第一種情況，只有兩人參加晚會，有種去法；
第二種情況，三人參加晚會，有種去法，共12種去法.
故選：B
10．（2024·安徽蕪湖·三模）已知A、B、C、D、E、F六個人站成一排，要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的排法共有（ ）種
A．186B．264C．284D．336
【答案】D
【分析】先考慮A和B不相鄰的排法，再考慮A和B不相鄰，且C站兩端的情況，相減后得到答案.
【詳解】先考慮A和B不相鄰的排法，
將C、D、E、F四個人進行全排列，有種情況，
C、D、E、F四個人之間共有5個空，選擇2個排A和B，有種情況，
故有種選擇，
再考慮A和B不相鄰，且C站兩端的情況，
先從兩端選擇一個位置安排C，有種情況，
再將D、E、F三個人進行全排列，有種情況
最后D、E、F三個人之間共有4個空，選擇2個排A和B，有種情況，
故有種情況，
則要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的安排有種情況.
故選：D
11．（2024·浙江紹興·三模）在的展開式中，含項的系數(shù)是10，則（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】在的展開式中含的項即從5個因式中取4個，1個常數(shù)項即可寫出含的項，則可得出答案.
【詳解】根據(jù)二項展開式可知含項即從5個因式中取4個，1個常數(shù)項即可寫出含的項；
所以含的項是，可得；
即可得.
故選：C
12．（2024·湖北荊州·三模）已知，則被3除的余數(shù)為（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】D
【分析】先對二項展開式中的進行賦值，得出，再將看作進行展開，再利用二項展開式特點分析即得.
【詳解】令，得，令，得，
兩式相減，，
因為，
其中被3整除，所以被3除的余數(shù)為1，
綜上，能被3整除．
故選：D.
二、多選題
13．（2024·山西臨汾·三模）在的展開式中（ ）
A．所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128
B．二項式系數(shù)最大的項為第5項
C．有理項共有兩項
D．所有項的系數(shù)的和為
【答案】AB
【分析】先求出二項式系數(shù)和，奇數(shù)項二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)和，即可確定A；二項式系數(shù)的最大項，即為中間項，可確定B；整理出通項公式，再對賦值，即可確定C；令，可求出所有項的系數(shù)的和，從而確定D.
【詳解】對于A,二項式系數(shù)和為，則所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為，故A正確；
對于B, 二項式系數(shù)最大為，則二項式系數(shù)最大的項為第5項，故B正確；
對于C,，為有理項，可取的值為，所以有理項共有三項，故C錯誤；
對于D,令，則所有項系數(shù)和為，故D錯誤.
故選：AB.
14．（2024·江西南昌·三模）已知的展開式中二項式系數(shù)的最大值與的展開式中的系數(shù)相等，則實數(shù)a的值可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】先計算出的展開式中二項式系數(shù)最大值，根據(jù)二項式定理得到展開式的通項公式，從而得到方程，求出.
【詳解】的展開式中二項式系數(shù)最大值為，
的展開式通項公式為，
令得，，
故展開式中的系數(shù)為，故，解得.
故選：AB
15．（2024·山西·三模）已知函數(shù)，則（ ）
A．B．展開式中，二項式系數(shù)的最大值為
C．D．的個位數(shù)字是1
【答案】BD
【分析】對于A：根據(jù)二項展開式分析求解；對于B：根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)分析求解；對于C：利用賦值法，令、即可得結(jié)果；對于D：因為，結(jié)合二項展開式分析求解.
【詳解】對于選項A：的展開式的通項為，
令，可得，
所以，故A錯誤；
對于選項B：因為為偶數(shù)，可知二項式系數(shù)的最大值為，故B正確；
對于選項C：令，可得；
令，可得；
所以，故C錯誤；
對于選項D：因為，
且的展開式的通項為，
可知當，均為20的倍數(shù)，即個位數(shù)為0，
當時，，所以的個位數(shù)字是1，故D正確；
故選：BD.
三、填空題
16．（2024·山東煙臺·三模）展開式的中間一項的系數(shù)為 .
【答案】
【分析】中間一項是第4項，結(jié)合二項展開式的系數(shù)的計算公式即可求解.
【詳解】因為展開式共有7項，它的中間一項是第4項，
所以展開式的中間一項的系數(shù)為.
故答案為：.
17．（2024·安徽合肥·三模）北京時間2024年4月26日5時04分，神舟十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）順利打開“家門”，歡迎遠道而來的神舟十八號航天員乘組（葉光富、李聰、李廣蘇3人）入駐“天宮”．隨后，兩個航天員乘組拍下“全家?！保餐蛉珖嗣駡笃桨玻暨@6名航天員站成一排合影留念，葉光富不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有 ．
【答案】504
【分析】本題考查排列中分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.根據(jù)題目要求，分兩類進行討論，第一類葉光富在最右側(cè)，第二類葉光富不在最右側(cè).然后根據(jù)分類加法計數(shù)原理相加即可得到答案.
【詳解】根據(jù)葉光富不站最左邊，可以分為兩種情況：
第一種情況：葉光富站在最右邊，此時剩余的5人可以進行全排列，共有種排法.
第二種情況：葉光富不站在最右邊，根據(jù)題目條件葉光富不站最左邊，此時葉光富有4種站法.根據(jù)題目條件湯洪波不站在最右邊，可知楊洪波只有4種站法.剩余的4人進行全排列,共有種排法，
由分類加法計數(shù)原理可知，總共有種排法．
故答案為：504
18．（2024·福建福州·三模）的展開式中常數(shù)項為 ．
【答案】49
【分析】利用多項式乘法法寫出展開式的通項，令次數(shù)為0即為常數(shù)項．
【詳解】展開式的通項公式為
，，
當時，常數(shù)項為1；
當時，得常數(shù)項為；
當時，得常數(shù)項為；
所以展開式中的常數(shù)項為.
故答案為：.
19．（2024·新疆喀什·三模）小明設(shè)置六位數(shù)字的手機密碼時，計劃將的前6位數(shù)字3，1，4，1，5，9進行某種排列得到密碼．若排列時要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間一個數(shù)字，則小明可以設(shè)置的不同密碼種數(shù)為 ．
【答案】96
【分析】利用捆綁法即可求解.
【詳解】從3，4，5，9中選擇一個數(shù)字放入兩個1之間，將其與兩個1看作一個整體，與剩下元素全排列，故不同的密碼個數(shù)為，
故答案為：96
20．（2024·河北衡水·三模）的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）
【答案】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二項式的展開式的性質(zhì)，準確計算，即可求解.
【詳解】由題意，多項式的展開式中含有的項為：
，
所以的系數(shù)為．
故答案為：.
21．（2024·河南·三模）若的展開式中存在常數(shù)項，則的值可以是 （寫出一個值即可）
【答案】（答案不唯一，滿足的即可）
【分析】寫出展開式的通項，令，求出，再根據(jù)且，即可確定的取值.
【詳解】二項式展開式的通項為
（且），
令，則，又且，所以
故答案為：（答案不唯一，滿足的即可）
22．（2024·上海閔行·三模）某羽毛球俱樂部，安排男女選手各6名參加三場雙打表演賽（一場為男雙，一場為女雙，一場為男女混雙），每名選手只參加1場表演賽，則所有不同的安排方法有 種.
【答案】4050
【分析】先考慮兩對混雙的組合，再從余下4名男選手和4名女選手各有3種不同的配對方法組成兩對男雙組合，兩對女雙組合，利用分步乘法原理可求得結(jié)果.
【詳解】先考慮兩對混雙的組合有種不同的方法，
余下4名男選手和4名女選手各有3種不同的配對方法組成兩對男雙組合，兩對女雙組合，故共有.
故答案為：4050
23．（2024·上?！と＃?024年重慶市高考數(shù)學科目采用新試卷結(jié)構(gòu)，我校高三年級將對來自三個班級的9名學生（每個班級3名學生）做一項圍繞適應(yīng)新試卷結(jié)構(gòu)的調(diào)研，并再抽選其中的若干名學生做訪談，要求每個班級至少有一名學生被抽中，且任意兩個班級被抽中的學生人數(shù)之和至多為3，則不同的抽選方法數(shù)為 .
【答案】108
【分析】分①每個班抽一名學生，②其中兩個班抽一名學生，另外一個班抽兩名學生兩種情況討論，利用組合數(shù)公式計算可得.
【詳解】依題意，①若每個班抽一名學生，則有種抽法；
②若其中兩個班抽一名學生，另外一個班抽兩名學生，則有種抽法；
綜上可得不同的抽選方法數(shù)為種.
故答案為：108
24．（2024·江西九江·三模）某兒童游樂場有一臺打地鼠游戲機，共有9個洞.游戲開始后，每次有且僅有一只地鼠從某洞中冒出，地鼠第1次從1號洞冒出來.假設(shè)游戲過程中地鼠從上一個洞繼續(xù)冒出的概率為，從其它洞冒出的可能性相等，則地鼠第3次從1號洞冒出的概率是 .假設(shè)游戲結(jié)束時，地鼠一共冒出次，則地鼠從1號洞冒出的次數(shù)期望值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)全概率公式，第二次必須分析從1號洞冒出和沒有從1號洞冒出，就能得到第三次從1號洞冒出的概率；地鼠一共冒出次，繼而推出，，則可求出地鼠從1號洞冒出的次數(shù)期望值為.
【詳解】令表示地鼠第次從1號洞冒出的概率，則.
當?shù)厥蟮?次從1號洞冒出時，第3次從1號洞冒出的概率為；
當?shù)厥蟮?次沒有從1號洞冒出時，第3次從1號洞冒出的概率為.
同理可得：，
是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
，也適合；
游戲結(jié)束時，地鼠一共冒出次，則地鼠從1號洞冒出的次數(shù)期望值為.
故答案為：；.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：①掌握全概率公式；
②馬爾科夫鏈，第次的情況必定和第次的情況有關(guān)
命題解讀
考向
考查統(tǒng)計
1.高考對排列組合的考查，重點是特殊元素與特殊位置、兩元素相鄰或不相鄰、分組、分配等問題。題型一般與生活實際聯(lián)系緊密。
2.高考對二項式定理的考查，重點是二項展開基本定理考查特定項、特定項的系數(shù)、二項式系數(shù)等問題，同時會涉及到賦值法的應(yīng)用。
排列組合
2023·新高考Ⅰ卷，13
2022·新高考Ⅱ卷，5
2023·新高考Ⅱ卷，3
2024·新高考Ⅱ卷，14
二項式定理
2022·新高考Ⅰ卷，13
命題解讀
考向
考查統(tǒng)計
1.高考對排列組合的考查，重點是特殊元素與特殊位置、兩元素相鄰或不相鄰、分組、分配等問題。題型一般與生活實際聯(lián)系緊密。
2.高考對二項式定理的考查，重點是二項展開基本定理考查特定項、特定項的系數(shù)、二項式系數(shù)等問題，同時會涉及到賦值法的應(yīng)用。
排列組合
2023·新高考Ⅰ卷，13
2022·新高考Ⅱ卷，5
2023·新高考Ⅱ卷，3
2024·新高考Ⅱ卷，14
二項式定理
2022·新高考Ⅰ卷，13

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