平面向量專項(xiàng)訓(xùn)練-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．已知向量，則（）
A．B．C．D．
2．在中，設(shè)，，，則（）
A．B．C．D．
3．設(shè)向量，是夾角為的單位向量，若，，則向量在方向上的投影為
A．B．C．D．
4．若，，且向量，不共線，則一定共線的三點(diǎn)是（）
A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D
5．若在中，，，且，，則的形狀是（）
A．正三角形B．銳角三角形
C．鈍角三角形D．等腰直角三角形
6．已知正方形的內(nèi)切圓的半徑為1，點(diǎn)M是圓上的一動點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
7．已知向量，若與的夾角為銳角，則x的取值范圍（）
A．B．C．D．
8．中，為上一點(diǎn)且滿足，若為上一點(diǎn)，且滿足為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．的最小值為B．的最大值為1
C．的最小值為4D．的最大值為16
二、多選題
9．下列能化簡為的是（）
A．B．
C．D．
10．設(shè)是三個(gè)非零向量，且相互不共線，則下列說法正確的是（）
A．若，則B．若，則
C．若，則不與垂直D．不與垂直
11．已知內(nèi)角，，的對邊分別為，，，為的重心，，，則（）
A．B．
C．的面積的最大值為D．的最小值為
三、填空題
12．在△ABC中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，且滿足AE＝2ED，若，則λ＋μ＝．
13．已知單位向量，滿足，則的最小值為 .
14．正方形的邊長為4，點(diǎn)是正方形的中心，過中心的直線與邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．點(diǎn)為平面上一點(diǎn)，滿足，則的最小值為．
四、解答題
15．如圖，在平行四邊形中，，令，.
(1)用表示，，；
(2)若，且，求.
16．已知兩個(gè)非零向量與不共線.
(1)若與平行，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，，且，求.
17．已知點(diǎn)和向量
(1)若向量與向量同向，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若向量且向量與的夾角是銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．如圖，在中，已知，，，，點(diǎn) 為邊的中點(diǎn)，，相交于點(diǎn) ．
(1)求；
(2)求．
19．如圖，在扇形中，，半徑，P為弧上一點(diǎn).
（1）若，求PA?PB的值；
（2）求PA?PB的最小值.
參考答案：
12．
13．
14．
15．（1）因?yàn)?，，且是平行四邊形?br>所以，
所以，
所以，
所以.
（2）由（1）知，
又，
所以，
即，
解得，
所以.
又，
所以.
16．（1）因?yàn)榕c平行，且與不共線
所以
所以，解得
（2）因?yàn)?br>所以，解得或.
經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足與不共線，故或
17．（1）設(shè)，則，
因?yàn)橄蛄颗c向量同向，且，
所以且，
或，所以或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)向量與向量反向，不符合；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)向量與向量同向，符合，
故，所以.
（2）若向量，則，
因?yàn)橄蛄颗c的夾角是銳角，
所以，
又即，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
18．（1）因?yàn)椋覟橹悬c(diǎn)，
所以.
由余弦定理得：，
即，
所以，
即．
（2）如圖，以為原點(diǎn)，直線為軸，過點(diǎn)作的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，
設(shè)點(diǎn)Mx,y，
由可得：，
即
解得：，
所以，，
則，
所以．
19．（1）當(dāng)時(shí)，如圖所示，
∵，∴，，∴，
在中，由余弦定理，得
，
∴，
又，
∴
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，
∵，，∴，
設(shè)，其中，
則
.
∵，∴，，
∴當(dāng)，即時(shí)，PA?PB取得最小值為.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
A
D
B
A
C
ABC
AB
題號
11

答案
ABC

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