1.已知向量a=(1,2),b=(x,1),若(a+b)⊥(a-b),則x等于( )
A.-2 B.±2
C.±2 D.2
2.已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=1,|b|=2,=2π3,則a·(a+b)等于( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
3.已知單位向量a,b滿(mǎn)足a·b=0,若向量c=a+3b,則cs等于( )
A.32 B.12 C.34 D.14
4.在水流速度為10 km/h的自西向東的河中,如果要使船以
103 km/h的速度從河的南岸垂直到達(dá)北岸,則船出發(fā)時(shí)行駛速度的方向和大小分別為( )
A.北偏西30°,20 km/h
B.北偏西60°,102 km/h
C.北偏東30°,102 km/h
D.北偏東60°,20 km/h
5.若兩個(gè)非零向量a,b滿(mǎn)足|a+b|=|a-b|=2|a|,則a-b與b的夾角為( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
6.已知在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,且∠DAB=90°,AB=2,AD=1,若點(diǎn)Q滿(mǎn)足AQ→=2QB→,則QC→·QD→等于( )
A.-109 B.109 C.-139 D.139
7.已知平面向量a=(3,3),則與a夾角為45°的一個(gè)非零向量b的坐標(biāo)可以為 .(寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)向量即可)
8.已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a= .
9.在△ABC中,BC的中點(diǎn)為D,設(shè)向量AB→=a,AC→=b.
(1)用a,b表示向量AD→;
(2)若向量a,b滿(mǎn)足|a|=3,|b|=2,=60°,求AB→·AD→的值.
INCLUDEPICTURE "B組.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B級(jí) 能力提升】
10.(多選題)若向量a,b滿(mǎn)足|a|=|b|=2,|a+b|=23,則( )
A.a·b=-2
B.a與b的夾角為π3
C.|a-b|>|a+b|
D.a-b在b上的投影向量為-12b
11.(多選題)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P1(cs α,
sin α),P2(cs β,-sin β),P3(cs(α+β),sin(α+β)),A(1,0),則( )
A.|OP→1|=|OP→2|
B.|AP→1|=|AP→2|
C.OA→·OP→3=OP→1·OP→2
D.OA→·OP→1=OP→2·OP→3
12.在△ABC中,滿(mǎn)足AB→⊥AC→,M是BC的中點(diǎn),若O是線(xiàn)段AM上任意一點(diǎn),且|AB→|=|AC→|=2,求OA→·(OB→+OC→)的最小值.
13.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(-1,0),
|OC→|=1,且∠AOC=θ,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若θ=3π4,設(shè)點(diǎn)D為線(xiàn)段OA上的動(dòng)點(diǎn),求|OC→+OD→|的最小值;
(2)若θ∈[0,π2],向量m=BC→,n=(1-cs θ,sin θ-2cs θ),求m·n的最小值及對(duì)應(yīng)的θ值.
INCLUDEPICTURE "B組.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF" \* MERGEFORMATINET 【C級(jí) 應(yīng)用創(chuàng)新練】
14.(多選題)定義一種向量運(yùn)算“?”:a?b=a·b,當(dāng)a,b不共線(xiàn)時(shí),|a-b|,當(dāng)a,b共線(xiàn)時(shí)(a,b是任意的兩個(gè)向量).對(duì)于同一平面內(nèi)的向量a,b,c,e,給出下列結(jié)論,正確的是( )
A.a?b=b?a
B.λ(a?b)=(λa)?b(λ∈R)
C.(a+b)?c=a?c+b?c
D.若e是單位向量,則|a?e|≤|a|+1
15.向量的數(shù)量積可以表示為:以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線(xiàn)”與“差對(duì)角線(xiàn)”平方差的四分之一,即如圖所示,a·b=
14(|AD→|2-|BC→|2),我們稱(chēng)為極化恒等式.在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),
AM=3,BC=10,則AB→·AC→= .
參考答案
【A級(jí) 基礎(chǔ)鞏固】
1.解析:a+b=(1+x,3),a-b=(1-x,1),因?yàn)?a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·
(a-b)=0,即(1+x)·(1-x)+3=0,解得x=±2.故選C.
2.解析:a·(a+b)=a2+a·b=1+1×2×(-12)=0.故選C.
3.解析:由單位向量a,b,則|a|=1,|b|=1,即|c|2=(a+3b)2=|a|2+23a·
b+3|b|2=4,得|c|=2,又a·c=a·(a+3b)=|a|2+3a·b=1,
所以cs=a·c|a|·|c|=12.故選B.
4.解析:如圖,船從點(diǎn)O出發(fā),沿OC→方向行駛才能垂直到達(dá)對(duì)岸,|OA→|=
10,|OB→|=103,則|OC→|=|OA→|2+|OB→|2=20,則cs∠BOC=|OB→||OC→|=32,因?yàn)椤螧OC為銳角,故∠BOC=30°,故船以20 km/h的速度,以北偏西30°的方向行駛,才能垂直到達(dá)對(duì)岸.故選A.
5.解析:|a+b|=|a-b|=2|a|,等號(hào)左右同時(shí)平方,
得|a+b|2=|a-b|2=4|a|2,即|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2-2a·b=4|a|2,
所以a·b=0且|b|2=3|a|2,
所以|a-b|=|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=233|b|,
所以cs=(a-b)·b|a-b||b|=-|b|2233|b|·|b|=-32,因?yàn)椤蔥0,π],
所以=5π6.故選D.
6.解析:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線(xiàn)為x軸,AD所在直線(xiàn)為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則B(2,0),C(1,1),D(0,1).
又AQ→=2QB→,所以Q(43,0),
所以QC→=(-13,1),QD→=(-43,1),
所以QC→·QD→=49+1=139.故選D.
7.解析:設(shè)b=(x,y),所以a·b=3x+3y=6·x2+y2·22,
所以x2+y2=x+y,所以xy=0,且b為非零向量,所以x=1,y=0滿(mǎn)足
題意,
所以b=(1,0).
答案:(1,0)(答案不唯一,滿(mǎn)足b=(x,y),xy=0,且x2+y2≠0的任意一個(gè)均可)
8.解析:由已知可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=9+
2(a·b+b·c+c·a)=0,
因此a·b+b·c+c·a=-92.
答案:-92
9.解:(1)AD→=12(AB→+AC→)=12a+12b,
所以AD→=12a+12b.
(2)AB→·AD→=a·(12a+12b)
=12a2+12a·b=12×32+12×3×2×cs 60°=6,
所以AB→·AD→=6.
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10.解析:因?yàn)閨a|=|b|=2,|a+b|=23,所以12=|a+b|2=a2+2a·b+b2=4+
2a·b+4,
解得a·b=2,A錯(cuò)誤;
設(shè)a,b的夾角為α,則cs α=a·b|a||b|=22×2=12,由于α∈[0,π],
所以a與b的夾角為π3,故B正確;
|a-b|=(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-2a·b+4=2

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