1.已知a,b是兩個非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,則下列說法正確的是( )
A.a+b=0
B.a=b
C.a與b共線反向
D.存在正實(shí)數(shù)λ,使a=λb
2.下列命題中,正確的是( )
A.若a和b都是單位向量,則a=b
B.若|a|=|b|,則a=b或a=-b
C.對于任意向量a,b,有|a+b|≥|a-b|
D.對于任意向量a,b,有|a|+|b|≥|a+b|
3.設(shè)D為線段BC的中點(diǎn),且AB→+AC→=-6AE→,則( )
A.AD→=2AE→B.AD→=3AE→
C.AD→=2EA→D.AD→=3EA→
4.四邊形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,HE與CG相交于點(diǎn)M,則下列關(guān)系不一定成立的是( )
A.|AB→|=|EF→|
B.AB→與FH→共線
C.BD→與EH→共線
D.DC→與EC→共線
5.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,且CD=2DB,點(diǎn)E在AD邊上,且AD=3AE,則用向量AB→,AC→表示 CE→ 為( )
A.29AB→+89AC→ B.29AB→-89AC→
C.29AB→+79AC→ D.29AB→-79AC→
6.在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于點(diǎn)O,AB→+AD→=λAO→,則λ= ,BO→= (用AB→,AD→來表示).
7.已知不共線向量a,b,AB→=ta-b(t∈R),AC→=2a+3b,若A,B,C三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)t= .
8.一條河的兩岸平行,河的寬度d=4 km,一艘船從岸邊A處出發(fā)到河的正對岸,已知船的速度大小|v1|=10 km/h,水流速度大小|v2|=2 km/h,那么行駛航程最短時,所用時間是 h.(附:6≈2.449,精確到0.01)
9.設(shè)e1,e2是兩個不共線的向量,已知AB→=2e1-8e2,CB→=e1+3e2,
CD→=2e1-e2.
(1)求證:A,B,D三點(diǎn)共線;
(2)若BF→=3e1-ke2,且B,D,F三點(diǎn)共線,求k的值.
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10.(多選題)已知A,B,C是同一平面內(nèi)三個不同的點(diǎn),OA→=a-b,OB→=2a-3b,OC→=3a-5b,則下列結(jié)論正確的是( )
A.AC→=2AB→B.AB→=BC→
C.AC→=3BC→D.A,B,C三點(diǎn)共線
11.設(shè)D為△ABC的邊AB的中點(diǎn),P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足AP→=AD→+
13BC→,則S△APDS△ADC等于( )
A.13 B.34 C.12 D.23
12.在△ABC中,D在線段BC上,且BD→=2DC→,AM→=λAC→,AN→=μAB→,λ,μ均為非零常數(shù),若N,D,M三點(diǎn)共線,則2λ+1μ= .
13.如圖所示,在△ABO中,OC→=14OA→,OD→=12OB→,AD與BC相交于點(diǎn)M,設(shè)OA→=a,OB→=b.
(1)試用向量a,b表示OM→;
(2)過點(diǎn)M作直線EF,分別交線段AC,BD于點(diǎn)E,F.記OE→=λa,OF→=μ b,求證:1λ+3μ為定值.
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14.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=23,BC=2,點(diǎn)E在線段CD上,若AE→=AD→+μAB→,則μ的取值范圍是 .
15.如圖,已知正六邊形ABCDEF,M,N分別是對角線AC,CE上的點(diǎn),使得AMAC=CNCE=r(r>0),當(dāng)r= 時,B,M,N三點(diǎn)共線.
參考答案
【A級 基礎(chǔ)鞏固】
1.解析:因為a,b是兩個非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,所以a與b共線同向.故選D.
2.解析:單位向量的模長相等,但方向未必相同,所以a與b不一定相等,故A錯誤.當(dāng)向量模長相等、方向不相同且不相反時,滿足|a|=|b|,但a=b,a=-b不成立,故B錯誤.若非零向量a,b方向相反,則|a+b||a+b|;
當(dāng)a,b為非零向量,且a,b不共線時,如圖所示,|a|+|b|>|a+b|.綜上,|a|+|b|≥|a+b|,故D正確.故選D.
3.解析:由D為線段BC的中點(diǎn),且AB→+AC→=-6AE→,得2AD→=-6AE→,
AD→=-3AE→,即AD→=3EA→.故選D.
4.解析:因為三個四邊形都是全等的菱形,所以|AB→|=|EF→|,AB∥CD∥FH,故AB→與FH→共線.又三點(diǎn)D,C,E共線,所以DC→與EC→共線,故A,B,D都正確.故選C.
5.解析:由題意可得 CE→=AE→-AC→=13AD→-AC→=13(AB→+13BC→)-AC→=13[AB→+
13(AC→-AB→)]-AC→=29AB→-89AC→.故選B.
6.解析:由向量加法的平行四邊形法則知AB→+AD→=AC→,又因為O是AC的中點(diǎn),所以AC=2AO,所以AC→=2AO→,故AB→+AD→=2AO→,所以λ=2.
所以BO→=12BD→=12(AD→-AB→).
答案:2 12(AD→-AB→)
7.解析:因為A,B,C三點(diǎn)共線,
所以存在實(shí)數(shù)k,使得AB→=kAC→,
所以ta-b=k(2a+3b)=2ka+3kb,
即(t-2k)a=(3k+1)b.
因為a,b不共線,所以t-2k=0,3k+1=0,解得k=-13,t=-23.
答案:-23
8.解析:要使航程最短,需使船的速度與水流速度的合成速度v必須垂直于對岸,如圖所示,|v|=|v1|2-|v2|2=96(km/h),所以t=d|v|=496=
66≈0.41(h).
答案:0.41
9.(1)證明:由已知得BD→=CD→-CB→=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,
因為AB→=2e1-8e2,所以AB→=2BD→.
又AB→與BD→有公共點(diǎn)B,所以A,B,D三點(diǎn)共線.
(2)解:由(1)可知BD→=e1-4e2,因為BF→=3e1-ke2,且B,D,F三點(diǎn)共線,所以BF→=λBD→ (λ∈R),即3e1-ke2=λe1-4λe2,所以λ=3,-k=-4λ,
解得k=12.
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10.解析:由題可得AB→=OB→-OA→=a-2b,AC→=OC→-OA→=2a-4b,BC→=OC→-OB→=
a-2b,所以AC→=2AB→,故A正確;AB→=BC→,故B正確;AC→=2BC→,故C錯誤;由AC→=2AB→可得AC→∥AB→,A為公共點(diǎn),故A,B,C三點(diǎn)共線,故D正確.故選ABD.
11.解析:因為D為△ABC的邊AB的中點(diǎn),所以S△ABC=2S△ADC,又因為P為
△ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足AP→=AD→+13BC→,所以AP→-AD→=13BC→,即DP→=13BC→,即|DP|=13|BC|,且DP∥BC,因為S△ABC=12|AB||BC|sin B,S△APD=12|AD||DP|
sin B=12×12|AB|×13|BC|·sin B=16×12|AB||BC|sin B=16S△ABC,
所以S△APDS△ADC=16S△ABC12S△ABC=13.故選A.
12.解析:因為BD→=2DC→,所以BD→=23BC→,所以AD→=AB→+BD→=AB→+23BC→=AB→+
23(AC→-AB→)=13AB→+23AC→,因為AM→=λAC→,AN→=μAB→,所以AC→=1λAM→,
AB→=1μAN→,所以AD→=13μAN→+23λAM→,若N,D,M三點(diǎn)共線,則13μ+23λ=1,
所以2λ+1μ=3.
答案:3
13.(1)解:由A,M,D三點(diǎn)共線,可設(shè)DM→=mDA→,則OM→=mOA→+(1-m)OD→=
ma+1-m2b,由B,M,C三點(diǎn)共線,可設(shè)BM→=nBC→,則OM→=nOC→+(1-n)OB→=
n4a+(1-n)b,
所以m=14n,1-m2=1-n,
解得m=17,n=47,
所以O(shè)M→=17a+37b.
(2)證明:因為E,M,F三點(diǎn)共線,設(shè)FM→=kFE→,則OM→=kOE→+(1-k)OF→=
kλa+(1-k)μ b,
由(1)知kλ=17,(1-k)μ=37,所以1λ=7k,3μ=7-7k,所以1λ+3μ=7,為定值.
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14.解析:由已知得AD=1,CD=3,所以AB→=2DC→.因為點(diǎn)E在線段CD上,
所以DE→=λDC→ (0≤λ≤1).因為AE→=AD→+DE→=AD→+λDC→=AD→+λ2AB→,
又AE→=AD→+μAB→,所以μ=λ2.
因為0≤λ≤1,所以0≤μ≤12.
答案:[0,12]
15.解析:連接AD,交EC于點(diǎn)G,設(shè)正六邊形邊長為a,由正六邊形的性質(zhì)知,AD⊥CE,AD∥CB,點(diǎn)G為EC的中點(diǎn),且AG=32a,
則CA→=CG→+GA→=12CE→+32CB→,
又AMAC=CNCE=r(r>0),由題意知r≠1,
則CA→=CM→1-r,CE→=CN→r,
故CM→1-r=CN→2r+32CB→,
即CM→=1-r2rCN→+3(1-r)2CB→,
若B,M,N三點(diǎn)共線,由向量共線定理知
1-r2r+3(1-r)2=1,
解得r=33或-33(舍去).
答案:33

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