1.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,向量AB→的坐標(biāo)是( )
A.(2,2)
B.(-2,-2)
C.(1,1)
D.(-1,-1)
2.已知A(-1,2),B(2,-1),若點C滿足AC→+AB→=0,則點C的坐標(biāo)為( )
A.( 12,12) B.(-3,3)
C.(3,-3) D.(-4,5)
3.已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-1,3),B(-2,1),
C(2,2),則頂點D的坐標(biāo)為( )
A.(-5,2) B.(-2,1)
C.(1,0) D.(3,4)
4.如圖,已知AB→=a,AC→=b,BC→=4BD→,CA→=3CE→,則DE→等于( )
A.34b-13aB.512a-34b
C.34a-13bD.512b-34a
5.已知p:x=-1,q:向量a=(1,x)與b=(x+2,x)共線,則p是q的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
6.(多選題)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個向量,a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一表示成c=λa+μb(λ,μ為實數(shù)),則m可以取的值是( )
A.-2B.2C.3D.5
7.已知點A(1,3),B(4,-1),寫出一個與向量AB→共線的向量坐標(biāo)為
.
8.向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,若c=λa+μb(λ,
μ∈R),則λμ= .
9.已知a=(1,0),b=(2,1),
(1)當(dāng)k為何值時,ka-b與a+2b共線;
(2)若AB→=2a+3b,BC→=a+mb,且A,B,C三點共線,求m的值.
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10.已知點A(2,3),B(4,5),C(7,10),若AP→=AB→+λAC→(λ∈R),且點P在直線x-2y=0上,則λ的值為( )
A.23 B.-23 C.32 D.-32
11.(多選題)已知λ,μ∈R,AB→=(λ,1),AC→=(-1,1),AD→=(1,μ),那么( )
A.CB→+DC→=(λ-1,1-μ)
B.若AB→∥AD→,則λ=2,μ=12
C.若A是BD的中點,則B,C兩點重合
D.若點B,C,D共線,則μ=1
12.如圖,四邊形ABCD為正方形,延長CD至點E,使得DE=CD,點P在線段CD上運動.設(shè)AP→=xAB→+yAE→,則x+y的取值范圍是( )
A.[1,2]B.[1,3]
C.[2,3]D.[2,4]
13.若{α,β}是一個基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),則稱(x,y)為向量γ在基底{α,β}下的坐標(biāo),現(xiàn)已知向量a在基底{p=(1,-1),
q=(2,1)}下的坐標(biāo)為(-2,2),則a在基底{m=(-1,1),n=(1,2)}下的坐標(biāo)為 .
14.如圖,已知平面內(nèi)有三個向量OA→,OB→,OC→,其中OA→與OB→的夾角為120°,OA→ 與 OC→ 的夾角為30°,且|OA→|=|OB→|=1,|OC→|=23.若OC→=λOA→+μOB→(λ,μ∈R),求λ+μ的值.
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15.已知平行四邊形ABCD中,EC→=2DE→,FC→=2BF→,FG→=2GE→.
(1)用 AB→,AD→表示 AG→;
(2)若|AB→|=6,|AD→|=32,∠BAD=45°,如圖建立直角坐標(biāo)系,求 GB→和 DF→的坐標(biāo).
參考答案
【A級 基礎(chǔ)鞏固】
1.解析:因為A(2,2),B(1,1),
所以AB→=(-1,-1).故選D.
2.解析:設(shè)點C坐標(biāo)為(x,y),則AC→=(x+1,y-2),AB→=(3,-3),由AC→+AB→=0得x+1+3=0,即x=-4,y-2-3=0,即y=5.故選D.
3.解析:設(shè)D(x,y),因為平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-1,3),B(-2,1),C(2,2),所以AD→=BC→,所以(x+1,y-3)=(4,1),解得 x=3,y=4,所以頂點D的坐標(biāo)為(3,4).故選D.
4.解析:DE→=DC→+CE→=34BC→+13CA→=34(AC→-AB→)-13AC→=512AC→-34AB→=512b-34a.
故選D.
5.解析:若向量a=(1,x)與b=(x+2,x)共線,則x=x(x+2),解得x=0或x=-1,所以p是q的充分不必要條件.故選A.
6.解析:根據(jù)題意,向量a,b是不共線的向量,因為a=(1,2),b=(m,3m-2),由向量a,b不共線?(3m-2)-2m≠0,解得m≠2,所以實數(shù)m的取值范圍是{m|m∈R,且m≠2}.故選ACD.
7.解析:因為A(1,3),B(4,-1),所以AB→=(3,-4),所以與向量AB→共線的向量的坐標(biāo)可以是(3λ,-4λ),λ∈R.
答案:(6,-8)(答案不唯一)
8.解析:以向量a的終點為原點,過該點的水平和豎直的網(wǎng)格線所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,設(shè)一個小正方形網(wǎng)格的邊長為1,則a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).由c=λa+μb,即(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),得-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,故λ=-2,
μ=-12,所以λμ=4.
答案:4
9.解:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),
a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).
因為ka-b與a+2b共線,
所以2(k-2)-(-1)×5=0,
即2k-4+5=0,得k=-12.
(2)法一 因為A,B,C三點共線,
所以設(shè)AB→=λBC→(λ∈R),
則2a+3b=λ(a+mb),
所以2=λ,3=mλ,解得m=32.
法二 AB→=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),
BC→=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),
因為A,B,C三點共線,所以AB→∥BC→,
所以8m-3(2m+1)=0,即2m-3=0,
所以m=32.
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10.解析:設(shè)P(x,y),則由AP→=AB→+λAC→,
得(x-2,y-3)=(2,2)+λ(5,7)=(2+5λ,2+7λ).
所以x=5λ+4,y=7λ+5.
又點P在直線x-2y=0上,
故5λ+4-2(7λ+5)=0,解得λ=-23.故選B.
11.解析:A選項,CB→+DC→=AB→-AC→+AC→-AD→=AB→-AD→=(λ,1)-(1,μ)=
(λ-1,1-μ),A選項正確;
若AB→∥AD→,則λ·μ=1,故可取λ=3,μ=13,B選項錯誤;
若A是BD的中點,則AB→=-AD→,即(λ,1)=(-1,-μ)?λ=μ=-1,所以AB→=AC→=(-1,1),所以B,C兩點重合,C選項正確;
由于B,C,D三點共線,所以BC→∥BD→,BC→=AC→-AB→=(-1,1)-(λ,1)=
(-1-λ,0),
BD→=AD→-AB→=(1-λ,μ-1),則(-1-λ)·(μ-1)=0·(1-λ)?λ=-1或μ=1,所以D選項錯誤.故選AC.
12.解析:以A為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為1,則B(1,0),E(-1,1),設(shè)P(t,1)(0≤t≤1),則(t,1)=x(1,0)+y(-1,1),所以t=x-y,且y=1,故x+y=t+2∈[2,3].
故選C.
13.解析:因為a在基底{p,q}下的坐標(biāo)為(-2,2),所以a=-2p+2q=(2,4),令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以-x+y=2,x+2y=4,解得x=0,y=2,
所以a在基底{m,n}下的坐標(biāo)為(0,2).
答案:(0,2)
14.解:法一 如圖,作平行四邊形OB1CA1,
則OC→=OB1→+OA1→,
因為OA→與OB→的夾角為120°,OA→ 與 OC→ 的夾角為30°,
所以∠B1OC=90°.
在Rt△OB1C中,∠OCB1=30°,|OC→|=23,
所以|OB1→|=2,|B1C→|=4,
所以|OA1→|=|B1C→|=4,
所以O(shè)C→=4OA→+2OB→,
所以λ=4,μ=2,
所以λ+μ=6.
法二 以O(shè)為原點,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,
則A(1,0),B(-12,32),C(3,3).
由OC→=λOA→+μOB→,
得3=λ-12μ,3=32μ,解得λ=4,μ=2.
所以λ+μ=6.
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15.解:(1)AE→=AD→+13AB→,AF→=13AD→+AB→,
又FG→=2GE→,所以AG→-AF→=2(AE→-AG→),
所以AG→=23AE→+13AF→=59AB→+79AD→.
(2)過點D作AB的垂線交AB于點D′,如圖,
于是在Rt△ADD′中,
由∠BAD=45°可知,AD′=3,
根據(jù)題意得各點坐標(biāo)A(0,0),B(6,0),D(3,3),F(7,1),
AG→=59AB→+79AD→=59(6,0)+79(3,3)=(173,73),
所以G(173,73).
所以AB→=(6,0),AG→=(173,73),DF→=(4,-2),GB→=AB→-AG→=(13,-73).

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