1．（河北省滄州市三校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題）在中，，分別是邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
2．（浙江省稽陽(yáng)聯(lián)誼學(xué)校2025屆高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知，是不共線的單位向量，若，，且，則（ ）
A．B．C．D．
3．（陜西省榆林市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）在等腰梯形中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的值不可能為（ ）
A．15B．12C．9D．6
4．（廣東省2025屆普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷）已知向量，，，則四邊形的面積為（ ）
A．B．C．D．
5．（山西省長(zhǎng)治市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題）已知向量，，若，，則（ ）
A．1B．C．2D．
6．（24-25高三上·江蘇南通·期中）已知向量，滿足，，，若向量滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．4D．
7．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）在平行四邊形中，點(diǎn)是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），且，則四邊形的面積為（ ）

A．3B．2C．D．
8．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知為單位向量，向量在向量上的投影向量是，且，則的值為（ ）
A．2B．0
C．D．
二、多選題
9．（24-25高三上·安徽·期中）已知平面向量均為單位向量，且，則（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量為
10．（23-24高一下·江蘇南京·期末）已知向量，，，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．與一定不是平行向量
C．的最大值為
D．若，且在上的投影向量為，則與的夾角為
三、填空題
11．（24-25高三上·山東德州·期中）已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，為中點(diǎn)，為邊上任意一點(diǎn)，則 .
12．（24-25高三上·上?！て谥校┰谄矫嫠倪呅沃?，、 分別是、的中點(diǎn).若，，且，則
13．（福建省福州市八縣（市）協(xié)作校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）已知，為單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角為 .
14．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在直角中，斜邊，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，（其中），
①的取值范圍是0,4
②點(diǎn)經(jīng)過(guò)的外心
③點(diǎn)所在軌跡的長(zhǎng)度為2
④的取值范圍是
則以上結(jié)論正確的是 ．（填寫序號(hào)）
15．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知是圓上不同的三點(diǎn)，與交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），若，則的取值范圍是 ．
16．（24-25高三上·廣東中山·期中）已知向量，且向量與不能作為平面向量的一組基底，則 ．
四、解答題
17．（24-25高三上·湖北宜昌·期中）已知向量，且.
(1)求;
(2)求與的夾角.
18．（2024高三·北京·專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，||＝2，，＝2，為直角，E為的中點(diǎn)，＝λ (，).
(1)當(dāng)時(shí)，用向量，表示向量；
(2)求||的最小值，并指出相應(yīng)的實(shí)數(shù)λ的值.
參考答案：
1．D
【分析】結(jié)合圖形，由平面向量的加法法則求解即可；
【詳解】
，
故選：D.
2．C
【分析】根據(jù)向量共線，得到，再結(jié)合條件，得到，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，設(shè)，則，
即，解得，
故選：C.
3．A
【分析】解法1：建系，設(shè)，，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解；解法2：根據(jù)數(shù)量積的幾何意義分析求解.
【詳解】解法1：以A為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，，
可得，則，
結(jié)合選項(xiàng)可知選項(xiàng)A的值不可能成立；
解法2：設(shè)在上的數(shù)量投影為，則，
結(jié)合選項(xiàng)可知選項(xiàng)A的值不可能成立；
故選：A.
4．B
【分析】由和及和的關(guān)系可知，四邊形為直角梯形，由梯形面積計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，，所以四邊形為直角梯?
，，，則面積，
故選：B.
5．A
【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，又，?br>所以，又，解得.
故選：A
6．A
【分析】利用平方運(yùn)算可求得和，再由和余弦函數(shù)的最值求解.
【詳解】根據(jù)題意，
，∴
，
設(shè)為的夾角，
.
故選：A.
7．D
【分析】由已知可求得，進(jìn)而可得，利用向量的數(shù)量積求得，求得面積.
【詳解】，
又四邊形是，所以，
所以，所以，所以，所以為菱形．
由，所以，
所以角，所以．
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：通過(guò)向量的線性運(yùn)算與向量的數(shù)量積求得四邊形一組鄰邊的長(zhǎng)與夾角，從而求得面積，向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積是解決向量有關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ).
8．C
【分析】根據(jù)投影向量的概念可求得，利用向量垂直數(shù)量積為可求得的值.
【詳解】由題意得，，則.
∵，
∴，即，
∴，解得.
故選：C.
9．BCD
【分析】對(duì)兩邊平方可判斷；對(duì)兩邊平方可判斷；求出，，由向量的夾角公式計(jì)算可判斷出C；由投影向量定義可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，則，故錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋?，故正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所?br>，
則，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，?br>所以在上的投影向量為，
故正確.
故選：BCD.
10．【答案】ABD
【詳解】對(duì)于A：若，則，所以，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)?，所以與一定不是平行向量，故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)椋?br>所以，
所以當(dāng)時(shí)取得最大值，最大值為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：在上的投影向量為，所以，
所以，
又，所以，故D正確.
故選：ABD
11．3
【分析】由已知可得，從而利用可求值.
【詳解】因?yàn)槿切问钦切?，為中點(diǎn)，
所以，所以，又正三角形的邊長(zhǎng)為2，所以，
所以.
故答案為：.
12．
【分析】結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得，進(jìn)而可得.
【詳解】
如圖所示，連接，取中點(diǎn)為，連接，，
則，，
則，，
整理可得，
則，
故答案為：.
13．
【分析】利用投影向量的意義，結(jié)合向量的夾角公式計(jì)算即得.
【詳解】依題意，在上的投影向量為，則，
，而，
所以.
故答案為：
14．①②④
【分析】對(duì)①，由直角三角形結(jié)合向量的運(yùn)算可得判斷即可；對(duì)②③，由題意推導(dǎo),進(jìn)而可得P在線段OC上判斷；對(duì)④，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得·(＋)＝－2||||，再根據(jù)基本不等式求解即可.
【詳解】對(duì)①，由中為斜邊，
可得，
又斜邊，則||，則·，①正確；
對(duì)②，若O為AB中點(diǎn)，則＝，故
又sin2θ＋cs2θ＝1，所以O(shè)，P，C共線，故P在線段OC上，軌跡長(zhǎng)為1，
又O是△ABC的外心，所以②正確，③錯(cuò)誤；
對(duì)④，又＋＝2，則·(＋)＝2·＝－2||||，
又||＋||＝||＝1，則||||≤＝，
當(dāng)且僅當(dāng)||＝||＝時(shí)，等號(hào)成立，
所以·(＋)＝－2||||，④正確．
故答案為：①②④
15．
【分析】設(shè)，其中，根據(jù)條件得＝＋，利用共線的推論，得到，即可求解.
【詳解】因?yàn)榕c交于點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，
所以與共線，設(shè)，則，
因?yàn)?，所以?br>可得＝＋，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，可得，
所以的取值范圍是，
故答案為：.
16．
【分析】根據(jù)基基底的定義，可得向量的位置關(guān)系，利用共線定理，建立方程，結(jié)合向量的模長(zhǎng)公式，可得答案.
【詳解】因?yàn)?，，向量與向量不能作為平面向量的一組基底，
所以，所以，解得，所以，
故．
故答案為：．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得，即可求得；
（2）根據(jù)數(shù)量積的定義即可求得.
【詳解】（1）因?yàn)橄蛄?，所以?br>由得，
解得，所以
又，所以
（2）設(shè)向量與向量的夾角為，因?yàn)椋?br>所以
又，所以，
即向量與向量的夾角是
18．(1)＋
(2)，
【分析】（1）利用平面向量的線性運(yùn)算求解即可；
（2）用向量，表示向量，應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算先求的最小值，即可求出.
【詳解】（1）解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，＝，
所以＝ (＋)
＝ [(－)＋(＋)]
＝
＝＋
（2）因?yàn)椋?＋)
＝[(－)＋(＋)]
＝
＝
＝＋，
由于||＝2，，＝2，知||＝||＝2，
∴||2＝2＋2＋
＝＝，
因?yàn)椋援?dāng)λ＝時(shí)，||2有最小值，
即||有最小值.

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