導(dǎo)數(shù)(切線放縮)講義--2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習

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高三數(shù)學(xué)專題篇：導(dǎo)數(shù)6
切線放縮1
(2024年11月份第四周)
題目：
已知fx=ex?xex，設(shè)fx1=fx2=t，x1≠x2，證明：x1+x2＜2t?te?1.
這次我們來學(xué)習切線放縮
何為切線放縮呢？是利用函數(shù)的凹凸性得出的恒成立不等式
我們用常用的ex與lnx來舉例

y=ex
y=lnx
如圖：像y=ex這類下凹的函數(shù)，我們?nèi)我庾饕粭l切線，該切線都會在該函數(shù)下方；
像y=lnx這類上凸的函數(shù)，我們?nèi)我庾饕粭l切線，該切線都會在該函數(shù)上方.
函數(shù)y=ex過(0,1)的切線可算得y=x+1，因此可得：ex≥x+1（當x=0時取等）
函數(shù)y=lnx過(1,0)的切線可算得y=x-1，因此可得：lnx≤x?1（當x=1時取等）
函數(shù)y=ex過原點的切線可算得y=ex，因此可得：ex≥ex（當x=1時取等）
函數(shù)y=lnx過原點的切線可算得y=1ex，因此可得：lnx≤xe（當x=e時取等）
函數(shù)的切線有無數(shù)條，因此產(chǎn)生的恒成立的不等式也有無數(shù)個，至于用哪一個取決于題目的需求了。但并不是所有的問題都可以用切線放縮解決，因為并不是所有的切線我們都能解得出來。
凹凸性在答題過程中是不能寫的，我們還是要將需要用到的不等式進行證明
例題一：(1)證明：ex≥x+1恒成立
證明：設(shè)fx=ex?x?1
∴f’x=ex?1 單調(diào)遞增
當x=0時f’x=0
∴fxmin=f0=1?0?1=0
∴fx≥0
∴ex≥x+1
(2)證明：lnx≤x?1恒成立
證明：由(1)得：ex≥x+1
∴ex?1≥x
∴x?1≥lnx

(3)證明：ex≥ex恒成立
證明：由(2)得：ex?1≥x
∴e·ex?1≥ex
∴ex≥ex
(4)證明：lnx≤xe恒成立
證明：設(shè)fx=xe?lnx
∴f’x=1e?1x 單調(diào)遞增
當x=e時f’x=0
∴fxmin=fe=1?1=0
∴fx≥0
∴l(xiāng)nx≤xe
(該不等式繼續(xù)可證：ex≥xe，因此可作比大小題：eπ≥πe)
例題二：ex≥x+a恒成立，求a的取值范圍.
解析：該題是比較簡單的，分參求極值點就能做，我們用這簡單的題來理解切線放縮的幾何含義及其用法：
我們將不等式兩側(cè)分別看成兩個函數(shù)：
y=ex
y=x+1
y=x+a
要使ex≥x+a恒成立，就是y=ex恒在y=x+a上方。
臨界狀態(tài)為y=x+a與y=ex相切時，因此我們可在曲線上找到與該直線斜率相同時的切線，只要滿足該切線在該直線上方或重合即可。
y=ex斜率為1時的切線為y=x+1
∴x+1≥x+a即可
∴a≤1
大題還是用原來方法寫過程
例題三：ex≥2x+a恒成立，求a的取值范圍.
y=ex
y=2x+a
解析：此時直線變成了y=2x+a
方法一：在曲線上找到斜率為2的切線
設(shè)fx=ex，f’x=ex
當f’x=2時，x=ln2
切點為(ln2,2)，所以該切線為：y=2(x-ln2)+2
∴2(x-ln2)+2≥2x+a
∴2x-2ln2+2≥2x+a
∴a≤2-2ln2
方法二：令斜率相同
∵ex≥2x+a
∴ex2≥x+a2
∴ex?ln2≥x+a2
∵ex?ln2≥x?ln2+1（當x=ln2時取等）
∴x?ln2+1≥x+a2
∴?ln2+1≥a2
∴a≤2-2ln2
例題四：ex≥ax恒成立，求a的取值范圍.
方法一：
當a＜0時，y=ex與y=ax有交點，不成立，舍去
當a=0時，不等式恒成立
當a＞0時，我們要在曲線上找到斜率為a的切線
設(shè)fx=ex，f’x=ex
當f’x=a時，x=lna
切點為(lna,a)，所以該切線為：y=a(x-lna)+a
∴a(x-lna)+a≥ax
∴ax-alna+a≥ax
∴a≥alna
∴1≥lna
∴a≤e
∴a的取值范圍為[0,e]

方法二：
∵ex≥ax （a≥0）
∴exa≥x （a＞0時）
∴ex?lna≥x
∵ex?lna≥x?lna+1
∴x?lna+1≥x
∴l(xiāng)na≤1
∴a≤e
∴0≤a≤e
例題五：ex+a≥x?a恒成立，求a的取值范圍.
解析：根據(jù)ex≥x+1，我們可以很快得到ex+a斜率為1時的切線：y=x+a+1
即ex+a≥x+a+1
∴x+a+1≥x-a
∴a≥?12
對該不等式繼續(xù)推廣：ekx+a≥kx+a+1
ekx+lnx≥kx+lnx+1
xekx≥kx+lnx+1 我們上次講到的朗博同構(gòu)
總結(jié)：
這些東西也不用硬記，最原始的兩個切線放縮記住就可以，后續(xù)按照需要的斜率求切線或者進行同構(gòu)即可。
一定要觀察，指數(shù)部分，整式部分，對數(shù)部分，x前面的系數(shù)相不相同，相同是可以直接用切線放縮的，若不相同需要找到斜率相同的切線或要通過同構(gòu)將其化成斜率相同的形式。
但并不是所有切線都能求出來(斜率為參數(shù)且該參數(shù)滿足的方程為超越方程)，求不出來的時候還是回到最原始的方法做。
切線放縮的注意事項跟基本不等式的一樣：
對一個不等式最好只用一次基本不等式得出定值，若用兩次基本不等式，我們要注意取等條件是否一致。
所以對一個不等式我們也最好只用一次切線放縮得出定值，若用兩次切線放縮，我們要注意兩次的取等條件可否一致。

舉個例子：
例題六：
(1) ex+1≥ln(x+a)+1，求a的取值范圍。
ex+1≥x+1+1 （當x+1=0時取等）
ln(x+a)+1≤x+a?1+1 （當x+a=1時取等）
∴x+2≥x+a
∴a≤2 （當a取等時與x取等條件一致）
(2) ex+1≥ln(x+a)，求a的取值范圍。
ex+1≥x+1+1 （當x+1=0時取等）
ln(x+a)≤x+a?1 （當x+a=1時取等）
∴x+2≥x+a?1
∴a≤3 （當a取等時與x取等條件不一致）
①
②
③
④
對比我們發(fā)現(xiàn)（1）是可以的，（2）是不行的，所以不能盲目使用。如果對（2）只用一次切線放縮，就變成x+2≥ln(x+a)并不能直接解出a，取等情況變得更復(fù)雜，當然此題也是解不出精確值的。
如上圖，①≥切線②，④≤切線②，所以①＞④（無取等情況）
所以指數(shù)≥對數(shù)情況應(yīng)是①③的相切狀態(tài)。第（1）題中，兩曲線與切線切點剛好重合。因此當指對同時出現(xiàn)時一定要檢查。
例題七：已知不等式ex?1a+1?2ax≥b對任意的實數(shù)x恒成立，則ba的最大值為 .
解析：∵ex?1a+1?2ax≥b
∴ex?1a+1≥2ax+b （a＜0不成立，∴a＞0）
除以2a：
ex?1a+12a≥x+b2a
∴ex?1a+1?ln2a≥x+b2a
∵ex?1a+1?ln2a≥x?1a+1?ln2a+1 （當x=ln2a+1a?1時取等）
∴x?ln2a?1a+2≥x+b2a
∴?ln2a?1a+2≥b2a
∴ba≤?2ln2a?2a+4
bamax=?2ln2a?2a+4
設(shè)fa=?2ln2a?2a+4
f’a=?2a+2a2=2?2aa2
當0＜a＜1時，f’a＞0；當a＞1時，f’a＜0
∴famax=f1=2?2ln2
∴ba≤?2ln2a?2a+4≤2?2ln2 （當a=1，x=ln2，b=2-2ln2時取等）
備注：此題a，b作為雙變量，取等條件比較寬泛，ba能取到的最大值即是?2ln2a?2a+4能取到的最大值。