人教B版 (2019)必修第一冊第二章等式與不等式2.2 不等式2.2.2 不等式的解集導(dǎo)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

運(yùn)行程序如圖所示，從“輸入實(shí)數(shù)x”到“結(jié)果是否小于18”為一次程序操作，輸入x后程序操作僅進(jìn)行了一次就停止．
[問題] (1)情境中的運(yùn)算程序涉及何不等式？
(2)如何解此不等式？

知識點(diǎn)一不等式的解集與不等式組的解集
1．不等式的解集
一般地，不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集．
2．不等式組的解集
對于由若干個(gè)不等式聯(lián)立得到的不等式組來說，這些不等式的解集的交集稱為不等式組的解集．
1．不等式ax＋b>0的解集是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)，＋∞))嗎？
提示：不一定．當(dāng)a＞0時(shí)，不等式ax＋b>0的解集為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)，＋∞))；當(dāng)a0的解集為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,a))).
2．不等式的解集是否一定為無限集？
提示：不一定．如不等式|x|0時(shí)，關(guān)于x的不等式|x|>m的解集為(－∞，－m)∪(m，＋∞)；關(guān)于x的不等式|x|≤m的解集為[－m，m]．
eq \a\vs4\al()
|ax＋b|≤m，|ax＋b|≥m(m＞0)型不等式的解法
只需將ax＋b看成一個(gè)整體，即化成|x|≤m，|x|≥m(m＞0)型不等式求解．
|ax＋b|≤m(m＞0)型不等式的解法：先化為－m≤ax＋b≤m，再由不等式的性質(zhì)求出該不等式的解集．
不等式|ax＋b|≥m(m＞0)的解法：先化為ax＋b≥m或ax＋b≤－m，再進(jìn)一步利用不等式性質(zhì)求出該不等式的解集．
若|x|＝|a|, 是否一定有x＝a?
提示：不一定．|x|＝|a|?x＝a或x＝－a.
1．不等式|x|＞2的解集為________．
解析：|x|>2?x2，∴不等式的解集為(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
2．不等式|x－1|≤2的解集為________．
解析：|x－1|≤2?－2≤x－1≤2?－1≤x≤3，
∴不等式的解集為[－1，3]．
答案：[－1，3]
知識點(diǎn)三數(shù)軸上的坐標(biāo)與距離
1．兩點(diǎn)間的距離公式
一般地，如果實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，即A(a)，B(b)，則線段AB的長為AB＝|a－b|，這就是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式．
2．中點(diǎn)坐標(biāo)公式
若線段AB的中點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為x，則x＝eq \f(a＋b,2)就是數(shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．
設(shè)數(shù)軸上A(－3)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，求線段AB的長及線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解：AB＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－3－\f(1,2)))＝eq \f(7,2)，
中點(diǎn)M的坐標(biāo)x＝eq \f(－3＋\f(1,2),2)＝－eq \f(5,4).
[例1] (鏈接教科書第64頁例1)解下列不等式組：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－5＞1＋2x， ①,3x＋2≤4x； ②))
(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋5＞1－x， ①,x－1≤\f(3,4)x－\f(1,8). ②))
[解] (1)解不等式①，得x＜－6，解不等式②，得x≥2，把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：
由圖可知，解集沒有公共部分，不等式組無解，即不等式組的解集為?.
(2)解不等式①，得x＞－eq \f(12,5)，解不等式②，得x≤eq \f(7,2)，把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：
由圖可知不等式組的解集為eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(12,5)，\f(7,2))).
eq \a\vs4\al()
不等式組的求解步驟
(1)求出不等式組中每個(gè)不等式的解集；
(2)借助數(shù)軸求出各解集的公共部分(交集)；
(3)寫出不等式組的解集．
[跟蹤訓(xùn)練]
1．已知關(guān)于x的不等式組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋1＞3，,a－x＞1，))的解集為(1，3)，則a的值為________．
解析：由2x＋1＞3，得x＞1，由a－x＞1，得x＜a－1.
又∵不等式組的解集為(1，3)，∴a－1＝3，即a＝4.
答案：4
2．解不等式1≤eq \f(3－x,2)＜2x＋eq \f(1,2).
解：原不等式可化為下面的不等式組
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3－x,2)≥1， ①,\f(3－x,2)＜2x＋\f(1,2)， ②))
解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x＞eq \f(2,5)，
所以原不等式的解集為eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，1)).
角度一 |ax＋b|≤c與|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
[例2] 不等式|5－4x|＞9的解集為________．
[解析] ∵|5－4x|＞9，∴5－4x＞9或5－4x＜－9.
∴4x＜－4或4x＞14，
∴x＜－1或x＞eq \f(7,2).
∴原不等式的解集為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜－1或x＞\f(7,2))))).
[答案] eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜－1或x＞\f(7,2)))))
[母題探究]
(變設(shè)問)若不等式|kx－5|≤9的解集為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－1≤x≤\f(7,2)))))，則實(shí)數(shù)k＝________．
解析：由|kx－5|≤9?－4≤kx≤14.
∵不等式的解集為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－1≤x≤\f(7,2)))))，
∴k＝4.
答案：4
eq \a\vs4\al()
|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法
(1)當(dāng)c＞0時(shí)，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
(2)當(dāng)c＝0時(shí)，|ax＋b|≥c的解集為R，|ax＋b|＜c的解集為?；
(3)當(dāng)c＜0時(shí)，|ax＋b|≥c的解集為R，|ax＋b|≤c的解集為?.
角度二 |x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
[例3] (鏈接教科書第67頁探索與研究)解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.
[解] 法一：|x＋7|－|x－2|可以看成數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)(坐標(biāo)為x)到－7對應(yīng)點(diǎn)的距離與到2對應(yīng)點(diǎn)的距離的差，先找到這個(gè)差等于3的點(diǎn)，即x＝－1.由圖易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解為x≤－1，即x∈(－∞，－1]．
法二：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2.
①當(dāng)x＜－7時(shí)，不等式變?yōu)椋瓁－7＋x－2≤3，
∴－9≤3成立，
∴x＜－7.
②當(dāng)－7≤x≤2時(shí)，不等式變?yōu)閤＋7＋x－2≤3，
即2x≤－2，∴x≤－1，
∴－7≤x≤－1.
③當(dāng)x＞2時(shí)，不等式變?yōu)閤＋7－x＋2≤3，
即9≤3不成立，
∴x∈?.
∴原不等式的解集為(－∞，－1]．
eq \a\vs4\al()
分段討論法是解絕對值不等式最基本、最重要的方法，一定要熟練掌握，在解答過程中要注意以下幾點(diǎn)：
(1)分段要準(zhǔn)確，注意等號的分布，避免重復(fù)或遺漏；
(2)每一段都有一個(gè)前提，每一段解出的范圍都要和前提取“交集”，最后寫不等式的解集時(shí)要把每一段x的范圍取“并集”，即“先分后合”；
(3)不等式的解集有兩種書寫形式：一是用集合的描述法表示，特殊時(shí)用列舉法；二是用區(qū)間．
[跟蹤訓(xùn)練]
1．解下列不等式：
(1)|3－2x|＜9；
(2)4＜|3x－2|＜8.
解：(1)∵|3－2x|＜9，∴|2x－3|＜9.
∴－9＜2x－3＜9.
即－6＜2x＜12.
∴－3＜x＜6.
∴原不等式的解集為(－3，6)．
(2)由4＜|3x－2|＜8，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|3x－2|＞4，,|3x－2|＜8，))?
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－2＜－4或3x－2＞4，,－8＜3x－2＜8，))?eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＜－\f(2,3)或x＞2，,－2＜x＜\f(10,3).))
∴原不等式的解集為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3))).
2．解不等式|x－1|＋|2－x|＞3＋x.
解：把原不等式變?yōu)閨x－1|＋|x－2|＞3＋x，
(1)當(dāng)x≤1時(shí)，
原不等式變?yōu)椋?x－1)－(x－2)＞3＋x，解得x＜0；
(2)當(dāng)1＜x≤2時(shí)，
原不等式變?yōu)閤－1－(x－2)＞3＋x，解得x∈?；
(3)當(dāng)x＞2時(shí)，
原不等式變?yōu)閤－1＋x－2＞3＋x，解得x＞6.
綜上，原不等式解集為(－∞，0)∪(6，＋∞).
[例4] (鏈接教科書第66頁例2)已知數(shù)軸上三點(diǎn)P(－8)，Q(m)，R(2)．
(1)若其中一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離相等，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若線段PQ的中點(diǎn)到線段PR的中點(diǎn)的距離大于1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
[解] (1)若P是線段QR的中點(diǎn)，則－8＝eq \f(m＋2,2)，
∴m＝－18；
若Q是線段PR的中點(diǎn)，則m＝eq \f(－8＋2,2)＝－3；
若R是線段PQ的中點(diǎn)，則2＝eq \f(－8＋m,2)，∴m＝12.
(2)由題意，知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(m－8,2)－\f(－8＋2,2)))>1，
即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)－1))>1，
∴eq \f(m,2)－1>1或eq \f(m,2)－14或m0時(shí)，點(diǎn)P位于原點(diǎn)右側(cè)，且點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離OP＝x；當(dāng)P(x)中x5，求點(diǎn)M坐標(biāo)的取值范圍．
解：點(diǎn)H的坐標(biāo)為eq \f(11－3,2)＝4，
設(shè)M(x)，則|x－4|>5.
∴x－4>5或x－49或x

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