2.2.1　不等式及其性質(zhì)第1課時學(xué)習(xí)目標(biāo)1.使學(xué)生能在實(shí)際問題中找到不等關(guān)系,并能列出不等式和不等式組,抽象成數(shù)學(xué)問題;2.引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用對比聯(lián)想,得到不等式的簡單性質(zhì),并學(xué)會用綜合法證明不等式;3.使學(xué)生掌握“作差法”比較兩個數(shù)或兩個代數(shù)式的大小;4.讓學(xué)生對不等式性質(zhì)進(jìn)行直觀解釋和邏輯證明,逐步提升學(xué)生的代數(shù)推理能力,發(fā)展直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)1.任意給兩個實(shí)數(shù)a,b,那么a≥b?　　　　　. 2.實(shí)數(shù)大小比較　　　　　　　　　符號表示如果a-b是正數(shù),那么　　　　  a-b>0?a>b;如果a-b等于0,那么　　　　  a-b=0?a=b;如果a-b是負(fù)數(shù),那么　　　　, 反之也成立.a-b<0?a<b.3.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1　　　　　　　　　推論1　　　　　　　 性質(zhì)2　　　　　　  推論2　　　　　　 性質(zhì)3　　　　　　  推論3　　　　　　 性質(zhì)4　　　　　　  推論4　　　　　　 性質(zhì)5　　　　　　  推論5　　　　　　 課堂探究例1　比較x2-x和x-2的大小.跟蹤訓(xùn)練1　若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是(　　)　 　　　　　 　　　　　 　　　　A.f(x)<g(x) B.f(x)=g(x)C.f(x)>g(x) D.隨x值變化而變化例2　求證:如果a+b>c,則a>c-b.   跟蹤訓(xùn)練21.如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.2.如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.  核心素養(yǎng)專練1.對于實(shí)數(shù)a,b,c,有下列說法,其中正確選項(xiàng)是 (　　)A.若a>b,則ac<bc B.若ac2>bc2,則a>bC.若a<b<0,則a2>ab>b2 D.若a>b,>,則a>0,b<02.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,則A,B的大小關(guān)系是 (　　)A.A≤B B.A≥B C.A<B或A>B D.A>B3.已知x<1,比較x3-1與2x2-2x的大小.    4.若bc-ad≥0,bd>0,求證:≤.  參考答案自主預(yù)習(xí)1.a≤b　2.a>b,a=b,a<b3.性質(zhì)1　如果a>b,那么a+c>b+c推論1　如果a+b>c那么a>c-b性質(zhì)2　如果a>b,c>0,那么ac>bc推論2　如果a>b,c>d,那么a+c>b+d性質(zhì)3　如果a>b,c<0,那么ac<bc推論3　如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd性質(zhì)4　如果a>b,b>c,那么a>c推論4　如果a>b>0,那么an≥bn(n∈N,n>1)性質(zhì)5　a>b?b<a推論5　如果a>b>0,那么>課堂探究例1　解:因?yàn)?/span>(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1,又因?yàn)?/span>(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1≥1>0,所以(x2-x)-(x-2)>0,所以x2-x>x-2.跟蹤訓(xùn)練1　C解析:f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,所以f(x)>g(x).故選C.例2　證明:(方法一)“作差”a-(c-b)=(a+b)-c因?yàn)?/span>a+b>c,所以(a+b)-c>0,所以a>c-b.(方法二)根據(jù)“性質(zhì)1”在a+b>c兩邊同時加上-b,不等式依然成立.即a+b+(-b)>c+(-b),即a>c-b.跟蹤訓(xùn)練2　1.證明:(方法一)“作差”(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d),因?yàn)?/span>a>b,c>d,所以a-b>0,c-d>0,所以a+c>b+d.(方法二)根據(jù)“性質(zhì)1”和“性質(zhì)4”.由“性質(zhì)1”,有a>b?a+c>b+c,c>d?c+b>d+b,由“性質(zhì)4”(傳遞性),有a+c>b+d.2.證明:(方法一)“作差”ac-bd=a(c-d)+d(a-b),因?yàn)?/span>a>b>0,c>d>0,所以a-b>0,c-d>0,所以ac>bd.(方法二)根據(jù)“性質(zhì)2”和“性質(zhì)4”.由“性質(zhì)2”,有a>b,c>0?a·c>b·c,c<d,b>0?c·b>d·b,由“性質(zhì)4”(傳遞性),有ac>bd.核心素養(yǎng)專練1.B2.B　解析:因?yàn)?/span>A-B=a2+3ab-(4ab-b2)=+b2≥0,所以A≥B.3.解:x3-1-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1)=(x-1)·,因?yàn)?/span>x<1,所以x-1<0.又因?yàn)?/span>+>0,所以(x-1)<0,所以x3-1<2x2-2x.4.證明:因?yàn)?/span>bc-ad≥0,所以ad≤bc.因?yàn)?/span>bd>0,所以≤,所以+1≤+1,所以≤.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系.2.掌握比較實(shí)數(shù)大小的基本方法—作差法,掌握作差法比較代數(shù)式大小的基本步驟.3.理解不等式的性質(zhì),能利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式及比較大小.自主預(yù)習(xí)1.不等關(guān)系與不等式不等式的定義: 　. 在上述不等式符號中,要特別注意“≥”“≤”.任意給定兩個實(shí)數(shù)a,b,則a≥b? a≤b? 2.兩實(shí)數(shù)(代數(shù)式)大小比較實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)　　　　　,即　 　. 點(diǎn)的坐標(biāo)的定義:　. 另外,數(shù)軸上的點(diǎn)往數(shù)軸的正方向運(yùn)動時,它所對應(yīng)的實(shí)數(shù)會　　　　　.一個數(shù)加上一個正數(shù),相當(dāng)于數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)向　　　　　方向移動了一段距離;一個數(shù)減去一個正數(shù)(即加上一個負(fù)數(shù)),相當(dāng)于數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)向　　　　　方向移動了一段距離. 由此可以看出,要比較兩個實(shí)數(shù)a,b的大小,只需考察　　　　　與　　　　　的相對大小就可以了,即 　　　　　　　　　　?　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　?　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　?　　　　　　　　　　 3.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1　 性質(zhì)2　 性質(zhì)3　 性質(zhì)4　 性質(zhì)5　 課堂探究[合作探究1]5≥3,2≥2,2≤2這三個命題都是真命題嗎?  [合作探究2]結(jié)合圖1找到a<b的等價條件.圖1  [要點(diǎn)歸納1]  [典型例題1]比較x2-x和x-2的大小.  [要點(diǎn)歸納2]  性質(zhì)1　如果a>b,那么a+c>b+c.圖2[思考](1)結(jié)合圖2利用數(shù)軸,給出性質(zhì)1的直觀解釋;(2)證明性質(zhì)1.  性質(zhì)2　如果a>b,c>0,那么ac>bc.性質(zhì)3　如果a>b,c<0,那么ac<bc.[試一試]請參考性質(zhì)1的證明方法,嘗試證明性質(zhì)2,3.  性質(zhì)4　如果a>b,b>c,則a>c.圖3[思考](1)結(jié)合圖3利用數(shù)軸,給出性質(zhì)4的直觀解釋;(2)證明性質(zhì)4.  性質(zhì)5　a>b?b<a.[試一試](1)利用數(shù)軸,給出性質(zhì)5的直觀解釋;(2)證明性質(zhì)5.  [合作探究3]用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空:(1)a>b是a+c>b+c的　　　　　條件; (2)如果c>0,則a>b是ac>bc的　　　　　條件; (3)如果c<0,則a>b是ac<bc的　　　　　條件; (4)a>b且b>c是a>c的　　　　　條件. [評價反饋]1.判斷下列命題的真假:(1)當(dāng)x=3時,x≥3;(2)當(dāng)x>3時,x≥3;(3)當(dāng)x≥3時,x=3;(4)當(dāng)x≥3且x≤3時,x=3.2.填空:(1)x+5　　　　　x+2; (2)a<b?3a　　　　　3b; (3)a<b?-5a　　　　　-5b; (4)當(dāng)c　　　　　0時,a>b?ac<bc; (5)a>b?a-1　　　　　b-2. 3.已知t=a+4b,s=a+b2+4,則t和s的大小關(guān)系是 (　　)　 　　　　　 　　　　　 　　　　A.t>s B.t≥s C.t<s D.t≤s核心素養(yǎng)專練1.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克糖(m>0),則糖水變甜了,根據(jù)這個事實(shí)提煉的一個不等式為(　　)A.< B.>C.< D.>2.設(shè)a=3x2-x+1,b=2x2+x,x∈R,則(　　)A.a>b B.a<b C.a≥b D.a≤b3.(多選)下列說法正確的是(　　)A.某人月收入x不高于2 000元可表示為“x<2 000”B.小明的身高x cm,小華的身高y cm,則小明比小華矮表示為“x>y”C.某變量x至少是a可表示為“x≥a”D.不等式x≥2的含義是指x不小于24.下列命題中正確的有　　　　　.(填序號) (1)不等式x≥3的含義是指x不小于3.(2)若a<b或a=b之中有一個正確,則a≤b正確.(3)若a>b,則ac>bc一定成立.5.當(dāng)m>1時,m3與m2-m+1的大小關(guān)系為　　　　　. 6.某公司有20名技術(shù)人員,計(jì)劃開發(fā)A,B兩類共50件電子器件,每類每件所需人員和預(yù)計(jì)產(chǎn)值如下:產(chǎn)品種類每件需要人員數(shù)每件產(chǎn)值(萬元/件)A類7.5B類6 　　今制定計(jì)劃欲使總產(chǎn)值最高,則A類產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)　　　　　件,最高產(chǎn)值為　　　　　萬元. 7.已知x∈R且x≠-1,比較與1-x的大小.  參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究略核心素養(yǎng)專練1.B　[糖水變甜了,說明糖水中糖的濃度增加了,故>.]2.C　[∵a-b=x2-2x+1=(x-1)2≥0,∴a≥b.]3.CD　[對于A,x應(yīng)滿足x≤2 000,故A錯;對于B,x,y應(yīng)滿足x<y,故B不正確;C正確;D正確.]4.(1)(2)　[(1)正確.不等式x≥3表示x>3或x=3,即x不小于3,故此說法是正確的.(2)正確.不等式a≤b表示a<b或a=b.故若a<b或a=b中有一個正確,則a≤b一定正確.(3)錯誤.ac-bc=(a-b)c,這與c的符號有關(guān).]5.m3>m2-m+1　[∵m3-(m2-m+1)=m3-m2+m-1=m2(m-1)+(m-1)=(m-1)(m2+1).又∵m>1,故(m-1)(m2+1)>0.∴m3>m2-m+1.]6.20　330　[設(shè)應(yīng)開發(fā)A類電子器件x件,則開發(fā)B類電子器件(50-x)件,則+≤20,解得x≤20.由題意,得總產(chǎn)值y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330,當(dāng)且僅當(dāng)x=20時,y取最大值330.所以應(yīng)開發(fā)A類電子器件20件,能使產(chǎn)值最高,為330萬元.]7.解:∵-(1-x)==,當(dāng)x=0時,=1-x;當(dāng)1+x<0,即x<-1時,<0,∴<1-x;當(dāng)1+x>0且x≠0,即-1<x<0或x>0時,>0,∴>1-x. 

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.2.1 不等式及其性質(zhì)

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