數(shù)學(xué)必修第一冊2.2.1 不等式及其性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案及答案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

2.2　不等式2.2.1　不等式及其性質(zhì)素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì).在不等關(guān)系的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過類比學(xué)過的等式與不等式的性質(zhì)，進(jìn)一步探索等式與不等式的共性與差異.必備知識·探新知基礎(chǔ)知識　　1．不等關(guān)系與不等式(1)不等式中自然語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換.大于小于大于等于小于等于至多至少不小于不大于><≥≤≤≥≥≤(2)不等式的定義：含有__不等號__的式子．思考1：不等式“a≤b”的含義是什么？只有當(dāng)“a<b”與“a＝b”同時成立時，該不等式才成立，是嗎？提示：不等式a≤b應(yīng)讀作：“a小于或等于b”，其含義是指“或者a<b或者a＝b”，等價于“a不大于b”，即若a<b與a＝b之中有一個正確，則a≤b正確．2．比較兩個實(shí)數(shù)大小的方法(1)畫數(shù)軸比較法.依據(jù)①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)②如果點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為x，則x為點(diǎn)P的坐標(biāo)，并記作P(x)結(jié)論數(shù)軸上的點(diǎn)往數(shù)軸的正方向運(yùn)動時，它所對應(yīng)的實(shí)數(shù)會變大.(2)作差比較法.依據(jù)如果a－b>0，那么__a>b__如果a－b<0，那么__a<b__如果a－b＝0，那么__a＝b__結(jié)論確定任意兩個實(shí)數(shù)a，b的大小關(guān)系，只需確定__它們的差a－b與0__的大小關(guān)系思考2：怎樣比較a2＋b2與2ab的大小關(guān)系？提示：(作差法)∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.3．不等式的性質(zhì)性質(zhì)1　a>b?a＋c>b＋c性質(zhì)2　__a>b，c>0?ac>bc__性質(zhì)3　__a>b，c<0?ac<bc__性質(zhì)4　a>b，b>c?a>c性質(zhì)5　a>b?b<a4．不等式性質(zhì)的推論推論1　__a＋b>c?a>c－b__推論2　a>b，c>d?a＋c>b＋d推論3　__a>b>0，c>d>0?ac>bd__推論4　__a>b>0?an>bn(n∈N，n>1)__推論5　a>b>0?>思考3：利用不等式性質(zhì)應(yīng)注意哪些問題？提示：在使用不等式時，一定要弄清不等式(組)成立的前提條件．不可強(qiáng)化或弱化成立的條件．如“同向不等式”才可相加、“同向且兩邊同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c的符號”等都需要注意．基礎(chǔ)自測　　1．已知－1<a<0，那么－a，－a3，a2的大小關(guān)系是(　B　)A．a2>－a3>－a　 B．－a>a2>－a3C．－a3>－a>a2　 D．a2>－a>－a3解析：∵－1<a<0，∴1＋a>0,0<－a<1，∴－a－a2＝－a(1＋a)>0，a2－(－a3)＝a2(1＋a)>0，∴－a>a2>－a3.故選B．2．給出下列不等式：①a2＋2>2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a2＋b2≥ab.其中恒成立的個數(shù)是(　D　)A．0　 B．1　　C．2　 D．3解析：①對，a2－2a＋2＝(a－1)2＋1>0；②對，a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0；③對，a2＋b2－ab＝(a－)2＋b2≥0.3．設(shè)a，b，c∈R，且a>b，則下列不等關(guān)系正確的是__(1)(4)__(填序號)．(1)a＋1>b－3；　　　　(2)ac>bc；(3)a2>b2；　　　　(4)a－b>0.4．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小關(guān)系是__a>－b>b>－a__.5．當(dāng)m>1時，m3與m2－m＋1的大小關(guān)系為__m3>m2－m＋1__.解析：∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)．又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.關(guān)鍵能力·攻重難類型　作差法比較大小┃┃典例剖析__■典例1　比較下列各組中兩個代數(shù)式的大?。?/span>(1)x2＋3與2x；(2)已知a，b為正數(shù)，且a≠b，比較a3＋b3與a2b＋ab2的大?。?/span>思路探究：在比較兩個代數(shù)式的大小時，可采用作差法，再通過因式分解或者配方法判斷差的符號，當(dāng)不能直接得到正或負(fù)的結(jié)論時，還要考慮通過分類討論來確定．解析：(1)∵(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2＋3>2x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．∵a>0，b>0，且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.歸納提升：比較兩個代數(shù)式大小的步驟：(1)作差：對要比較大小的兩個代數(shù)式作差．(2)變形：對差進(jìn)行變形．(3)判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號．(4)作出結(jié)論．這種比較大小的方法稱為作差法．其思維過程是作差→變形→判斷符號→作出結(jié)論．┃┃對點(diǎn)訓(xùn)練__■1．已知x，y∈R，P＝2x2－xy＋1，Q＝2x－，試比較P，Q的大小．解析：因?yàn)?/span>P－Q＝2x2－xy＋1－(2x－)＝x2－xy＋＋x2－2x＋1＝(x－)2＋(x－1)2≥0，所以P≥Q.類型　利用不等式的性質(zhì)求范圍┃┃典例剖析__■典例2　(1)已知－6<a<8,2<b<3，則2a＋b的取值范圍是__(－10,19)__，a－b的取值范圍是__(－9,6)__.(2)已知函數(shù)f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍．思路探究：(1)求a－b的取值范圍時，應(yīng)先求出－b的范圍，再利用不等式的性質(zhì)求解．(2)用f(1)和f(2)表示出a，c.解析：(1)∵－6<a<8，∴－12<2a<16，∴－10<2a＋b<19，∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6.(2)由得則f(3)＝9a－c＝f(2)－f(1)．∵－1≤f(2)≤5，∴－≤f(2)≤.∵－4≤f(1)≤－1，∴≤－f(1)≤.∴－＋≤f(2)－f(1)≤＋，即－1≤f(3)≤20.歸納提升：利用不等式的性質(zhì)求范圍的一般思路(1)借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答．(2)將所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件．(3)結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解．┃┃對點(diǎn)訓(xùn)練__■2．在本例2(1)條件下，求ab和的取值范圍．解析：①因?yàn)椋?/span>6<a<8,2<b<3，所以當(dāng)0≤a<8時，0≤ab<24，當(dāng)－6<a<0時，0<－a<6，所以0<－ab<18，所以－18<ab<0，綜上可知－18<ab<24.②因?yàn)椋?/span>6<a<8,2<b<3，所以<<.當(dāng)0≤a<8時，0≤<4；當(dāng)－6<a<0時，0<－a<6，故0<－<3，所以－3<<0，綜上可知，－3<<4.類型　不等式的證明┃┃典例剖析__■1．利用不等式性質(zhì)證明不等式典例3　已知a>b>0，c<d<0，e<0，求證：>.思路探究：要證明>，由于e<0，所以只需證明<.如果a－c與b－d同號，那么只需證明a－c>b－d，從已知條件可以得到這個不等式，因此本題可證．解析：∵c<d<0，∴－c>－d>0.又∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0，即a－c>b－d>0，∴0<<.又∵e<0，∴>.2．利用比較法證明不等式典例4　設(shè)a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.思路探究：要證明3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，即證3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)≥0即可．解析：3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因?yàn)?/span>a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，從而(3a2－2b2)(a－b)≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.歸納提升：1.簡單不等式的證明可直接由已知條件并利用不等式的性質(zhì)，通過對不等式變形得證．2．對于不等號兩邊都比較復(fù)雜的式子，直接利用不等式的性質(zhì)不易得證，可考慮將不等式的兩邊作差，然后進(jìn)行變形，根據(jù)條件確定每一個因式(式子)的符號，利用符號法則判斷最終的符號，完成證明．┃┃對點(diǎn)訓(xùn)練__■3．設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d.證明：若ab>cd，則＋>＋.解析：由題設(shè)知ab>cd>0，則>.又a＋b＝c＋d.則(＋)2－(＋)2＝(a＋b＋2)－(c＋d＋2)＝2(－)>0，即(＋)2>(＋)2，而＋>0，＋>0，故＋>＋.易混易錯警示　忽略不等式性質(zhì)成立的條件致錯┃┃典例剖析__■典例5　給出下列命題：①若a<b，c<0，則<；②若ac－3>bc－3，則a>b；③若a>b且k∈N＋，則ak>bk；④若c>a>b>0，則>.其中正確命題的序號是__④__.錯因探究：在使用不等式的性質(zhì)時，要考慮全面，否則會得出錯誤的結(jié)果，如①中易因沒有考慮ab<0的情況，直接由a<b推出>，從而判斷①正確；③中易忽視a與b的符號，默認(rèn)a，b同為正，即推出ak>bk，造成錯誤．解析：①當(dāng)ab<0時，>不成立，故①不正確；②當(dāng)c<0時，c3<0，不等式ac－3>bc－3的兩邊同時乘以c3，得a<b，故②不正確；③當(dāng)a＝1，b＝－2，k＝2時，命題不成立，故③不正確；④a>b>0?－a<－b<0?0<c－a<c－b，同乘以，得0<<，又a>b>0，∴>>，故④正確．誤區(qū)警示：應(yīng)用不等式的性質(zhì)時，一定要注意“保序”時的條件，如“非負(fù)乘方保序”．還應(yīng)特別注意“乘負(fù)反序”“同號取倒反序”等情況．學(xué)科核心素養(yǎng)　用不等式(組)表示不等關(guān)系┃┃典例剖析__■構(gòu)造不等式模型時，先要分析題目中有哪些未知量，然后選擇其中起關(guān)鍵作用的未知量，再根據(jù)題目中的不等關(guān)系，即可列出不等式．注意不等式與不等關(guān)系的對應(yīng)，要不重不漏，尤其要檢驗(yàn)實(shí)際問題中變量的范圍．典例6　糖水在日常生活中經(jīng)常見到，下列關(guān)于糖水濃度的問題，能提煉一個怎樣的不等式呢？(1)向一杯糖水里加點(diǎn)糖(假設(shè)糖全部溶解)，加糖后更甜了；(2)把原來的糖水(淡)與加糖后的糖水(濃)混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃，比濃的淡．思路探究：糖水變濃、變淡與濃度有關(guān)，所提煉的不等式即為濃度的大小比較．解析：(1)設(shè)糖水為b克，含糖a(b>a)克，則糖水的濃度為，加入m克糖后糖水的濃度為.提煉出的不等式：若b>a>0，m>0，則<.(2)設(shè)淡糖水為b1克，含糖a1(b1>a1)克，則糖水的濃度為；濃糖水為b2克，含糖a2(b2>a2)克，則糖水的濃度為.故混合后的糖水濃度為.提煉出的不等式：若b1>a1>0，b2>a2>0，且<，則<<.歸納提升：用不等式表示不等關(guān)系的步驟：(1)認(rèn)真審題，設(shè)出所求量，并確認(rèn)所求量滿足的不等關(guān)系．(2)找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞比如“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等，用代數(shù)式表示相應(yīng)各量，并用不等號連接．特別需要考慮的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．課堂檢測·固雙基1．下列說法正確的是(　C　)A．某人月收入x不高于2 000元可表示為“x<2 000”B．小明的身高x，小華的身高y，則小明比小華矮表示為“x>y”C．某變量x至少是a可表示為“x≥a”D．某變量y不超過a可表示為“y≥a”解析：對于A，x應(yīng)滿足x≤2 000，故A錯；對于B，x，y應(yīng)滿足x<y，故B不正確；C正確；對于D，y與a的關(guān)系可表示為y≤a，故D錯誤．2．已知：a，b，c，d∈R，則下列命題中必成立的是(　B　)A．若a>b，c>b，則a>cB．若a>－b，則c－a<c＋bC．若a>b，c<d，則>D．若a2>b2，則－a<－b解析：選項A，若a＝4，b＝2，c＝5，顯然不成立；選項C不滿足倒數(shù)不等式的條件，如a>b>0，c<0<d時，不成立；選項D只有a>b>0時才可以．否則如a＝－1，b＝0時不成立．3．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分條件，則a的最大值為__－1__.解析：由x2>1得x>1或x<－1.又“x2>1”是“x<a”的必要不充分條件，則{x|x<a}{x|x>1或x<－1}，則a≤－1，故a的最大值為－1.4．設(shè)m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，則m，n的大小關(guān)系是__m≥n__.解析：m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0.5．已知a，b，x，y都是正數(shù)，且>，x>y，求證：>.解析：a，b，x，y都是正數(shù)，且>，x>y，∴>，∴<，故＋1<＋1，即0<<，∴>.

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