高三數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)微專(zhuān)題36講23.焦點(diǎn)向漸近線做垂線情境下的專(zhuān)題復(fù)習(xí)訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

例1．已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)A，且與另一條漸近線交于點(diǎn)B，若，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．2D．
解析：由題意知：雙曲線C：的漸近線方程為：，
不妨設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)垂直于漸近線的直線的方程為：，
聯(lián)立方程組解得：，又因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，因，則有，由題意知：點(diǎn)在直線，
代入可得：，整理可得：，則，故選：.
結(jié)論2.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且與漸近線垂直的直線分別交的兩條漸近線于兩點(diǎn)，則.
（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，
，
，，
.
進(jìn)一步，若，則
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)是直線與軸的交點(diǎn)，，則，
，
，，，
，，
.
進(jìn)一步：若，則
例2（2019全國(guó)1卷）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的離心率為_(kāi)___________．
解析：如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得則有，
又OA與OB都是漸近線，得又，得．又漸近線OB的斜率為，所以該雙曲線的離心率為．
結(jié)論3.設(shè)是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則的離心率為
.
證明：易知，，由中線定理可得
，即，又因?yàn)?，所以，則.
結(jié)論4.設(shè)是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).
過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則的離心率為.
例3（2018全國(guó)3卷）．設(shè),是雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為
A．B．C．D．
詳解：由題可知，在中，
在中，
，故選B.
二．更多例題
例1．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)做一條漸近線的垂線，垂足為，與雙曲線的另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則此雙曲線的離心率為_(kāi)_______
解析：滿(mǎn)足情形1，即，故，則
例2．已知雙曲線的兩條漸近線分別為直線，，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于的直線分別交，于兩點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
解析：滿(mǎn)足情形2，即，.
例3（2019全國(guó)3卷）．雙曲線C：=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則△PFO的面積為
A．B．C． D．
解析：由．，
又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在上，，故選A．
例4.（2018全國(guó)1卷）．已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M、N.若OMN為直角三角形，則|MN|=
A．B．3C．D．4
詳解：根據(jù)題意，可知其漸近線的斜率為，且右焦點(diǎn)為，從而得到，所以直線的傾斜角為或，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，設(shè)其傾斜角為，可以得出直線的方程為，分別與兩條漸近線和聯(lián)立，求得，所以，故選B.
例5．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M在雙曲線C的右支上，，若與C的一條漸近線l垂直，垂足為N，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A．B．
C．D．
解析：因?yàn)?，，且為中點(diǎn)，所以，且，
因?yàn)?，所以，解得?br>直線l的方程為，所以，則，在直角三角形中利用勾股定理得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：C.
例6．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若A為線段的中點(diǎn)，且，則C的離心率為（）
A．B．2C．D．3
解析：由題意可知，過(guò)的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)分別在第二和第三象限時(shí)不符合，A為線段的中點(diǎn)，當(dāng)交點(diǎn)在軸上方或軸下方時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性結(jié)果是一樣的，選擇一種即可，如圖.
根據(jù)雙曲線可得，，，兩條漸近線方程，，為的中點(diǎn)，，又A為線段BF1的中點(diǎn)，垂直平分，
可設(shè)直線為①，直線為②，直線為③，
由②③得，交點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)還在直線上，，可得，
，所以雙曲線C的離心率，故選：B

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