1.方法一：斜率方法
若兩條直線與二次曲線
有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是
.
結(jié)論1 拋物線的內(nèi)接四邊形同時(shí)內(nèi)接于圓的充要條件是該四邊形的兩組對(duì)邊、兩條對(duì)角線所在的三對(duì)直線中有一對(duì)直線的傾斜角互補(bǔ).
結(jié)論2 圓錐曲線的內(nèi)接四邊形同時(shí)內(nèi)接于圓的充要條件是該四邊形的兩組對(duì)邊、兩條對(duì)角線所在的三對(duì)直線中有一對(duì)直線的傾斜角互補(bǔ).
方法2：曲線系方法
定理2 若兩條直線與二次曲線
有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是.
證明：由組成的曲線即
所以經(jīng)過(guò)它與的四個(gè)交點(diǎn)的二次曲線一定能表示成以下形式不同時(shí)為0)：
①
必要性.若四個(gè)交點(diǎn)共圓，則存在使方程①表示圓，所以式①左邊的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù).而(否則③表示曲線，不表示圓)，所以.
充分性.當(dāng)時(shí)，式①左邊的展開(kāi)式中不含的項(xiàng)，選時(shí)，再令式①左邊的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)相等，即，得.
此時(shí)曲線①即
②
的形式，這種形式表示的曲線有且僅有三種情形：一個(gè)圓、一個(gè)點(diǎn)、無(wú)軌跡.而題中的四個(gè)交點(diǎn)都在曲線②上，所以曲線②表示圓.這就證得了四個(gè)交點(diǎn)共圓.
方法3.相交弦定理
（2）相交弦定理：
二．典例分析
例1.（2021新高考1卷）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足：，點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)的兩條直線分別交于兩點(diǎn)和兩點(diǎn)，且滿足
，求直線與直線的斜率之和.
解析：（1）因?yàn)椋?br>所以，軌跡是以點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為.
（2）方法1. 相交弦定理直接翻譯
設(shè)，設(shè)直線的方程為．
聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，則
．故．
則．
設(shè)的方程為，同理．
因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，
所以，即．因?yàn)?，所以?br>方法2.（參數(shù)方程法）
設(shè)．設(shè)直線的傾斜角為，則其參數(shù)方程為，
聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，
可得，整理得．設(shè)，
由根與系數(shù)的關(guān)系得．設(shè)直線的傾斜角為，，同理可得，由，得．因?yàn)椋裕深}意分析知．所以，故直線的斜率與直線的斜率之和為0．
（方法3：曲線系）
（2）設(shè)，直線的方程為，直線的方程為，
則過(guò)四點(diǎn)的二次曲線為：，代入雙曲線方程可得：，整理可得：
其中．
由于四點(diǎn)共圓，則項(xiàng)的系數(shù)為，即.
例2. 在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為4.
（1）求C的方程；
（2）如圖，點(diǎn)A為雙曲線的下頂點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)且垂直于y軸（P位于原點(diǎn)與上頂點(diǎn)之間），過(guò)P的直線交C于G，H兩點(diǎn)，直線AG，AH分別與l交于M，N兩點(diǎn)，若O，A，N，M四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
解析：（1）因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)為4，即，，又，所以，，
故C的方程為.
（2）由O，A，N，M四點(diǎn)共圓可知，，
又，即，
故，即，所以,
設(shè)，，，
由題意可知，則直線，直線，
因?yàn)镸在直線l上，所以，代入直線AG方程，可知，
故M坐標(biāo)為，所以，
又，由，則，
整理可得，當(dāng)直線GH斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意，
故設(shè)直線，代入雙曲線方程：中，
可得，所以，，
又
，
所以,
故，即，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為.

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