圓的雙切線模型是圓中常見的一類考題，由于其結(jié)論豐富，變化多端，頗受命題人的熱愛，2020年的理數(shù)全國一卷的選擇題11題就是一個(gè)典例應(yīng)用. 對(duì)于圓的雙切線，我的建議就是多推導(dǎo)，遇到最值就往切線長上轉(zhuǎn)化！
如圖1，從圓外任一點(diǎn)向圓引兩條切線，圓心，兩切點(diǎn)，我們把線段的長度叫做切線長，設(shè)圓的半徑為，則四邊形具有如下的性質(zhì)：
1.；.
2.切線長的計(jì)算：,當(dāng)半徑給定，切線長最小等價(jià)于最小.
3.四點(diǎn)共圓，的外接圓以為直徑（托勒密定理）.
4.平分.
5.，當(dāng)半徑給定，四邊形最小等價(jià)于最小.
6. 假設(shè)且.由基本的三角恒等關(guān)系可知：，故可得：
.對(duì)使用均值不等式可得最小值.
圖1
7.假設(shè)，圓的方程為（）
則切點(diǎn)弦的方程為：.
例1.（2020全國1卷）已知⊙M：，直線：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作⊙M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
解析：綜合考察性質(zhì)3，5,7.
圓的方程可化為，點(diǎn) 到直線的距離為，所以直線 與圓相離．
依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，所以，而 ，
當(dāng)直線時(shí)，， ，此時(shí)最?。?br>∴即 ，由解得， ．
所以以為直徑的圓的方程為，即 ，
兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．
例2.（2022深圳二模）P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，則（ ）
A．弦長的最小值為B．存在點(diǎn)P，使得
C．直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)D．線段的中點(diǎn)在一個(gè)定圓上
解析：依題意，即，設(shè)，則為的中點(diǎn)，且，
所以，所以，，又，
所以，，所以，，故A正確，B不正確；
設(shè)，則，所以以為直徑的圓的方程為，
則，即，所以直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)，故C正確；
又，，所以的中點(diǎn)在以為直徑的圓上，故D正確；
故選：ACD
情境2.圓錐曲線的雙切線
1.知識(shí)要點(diǎn).如何合理的處理雙切線，我總結(jié)如下：已知曲線外一點(diǎn),向二次曲線引兩條切線，設(shè).
第1步：分別寫出切線的方程（注意斜率）；
第2步：聯(lián)立與曲線的方程，利用相切條件，得到代數(shù)關(guān)系①，②式從而以的或坐標(biāo)為參數(shù)，進(jìn)一步構(gòu)造點(diǎn)橫或縱坐標(biāo)滿足的同構(gòu)方程方程③；
第3步：利用方程③根與系數(shù)的關(guān)系判斷與曲線的位置關(guān)系，或完成其他問題.
常見案例1.彭賽列閉合
例3．已知拋物線C：，點(diǎn).
（1）設(shè)斜率為1的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若的面積為，求直線l的方程；
（2）是否存在定圓M：，使得過曲線C上任意一點(diǎn)Q作圓M的兩條切線，與曲線C交于另外兩點(diǎn)A，B時(shí)，總有直線AB也與圓M相切？若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.
解析：（1）直線的方程．
（2）假設(shè)存在．取，圓，設(shè)切線為，由，解得，①，將直線代入拋物線方程，解得，，
直線的方程為，若直線和圓相切，可得②
由①得,由①②解得，．下證時(shí)，對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)，直線和圓相切．
理由如下：設(shè)，當(dāng)時(shí),上面假設(shè)已經(jīng)說明成立;當(dāng),一條切線與軸平行,不能與拋物線交于另一點(diǎn),故,以下就且情況下證明.過的直線為， ，由，可得，
，，
又直線與曲線相交于 ，，由，代入拋物線方程可得，可得，，則，是方程的兩根，即有，即，同理．
則有，，
直線，
即為，則圓心到直線的距離為
，由，
代入上式，化簡可得，則有對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切．
常見案例2：蒙日?qǐng)A
曲線的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)P的軌跡是圓.
證明：當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0時(shí)，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是，或.
當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時(shí)，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是且，所以可設(shè)曲線的過點(diǎn)P的切線方程是
. 由，得
由其判別式的值為0，得
因?yàn)槭沁@個(gè)關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，所以
由此，得
例4.（2020成都三診）．已知橢圓：的左焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）經(jīng)過圓：上一動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別記為，，直線，分別與圓相交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn).
（i）求證：；
（ii）求的面積的取值范圍.
解析：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）（i）設(shè)點(diǎn).
①當(dāng)直線，的斜率都存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)與橢圓相切的直線方程.
由，消去，得.
.令，整理得.設(shè)直線，的斜率分別為，.∴.
又，∴.∴，即為圓的直徑，∴.
②當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，則直線的方程為.
∴，，也滿足.綜上，有.
（ii）設(shè)點(diǎn)，.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.由，消去，得.
.
令，整理得.則
∴直線的方程為.
化簡可得，即.經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，
直線的方程為或，也滿足.同理，可得直線的方程為. ∵在直線，上，∴，.
∴直線的方程為.由，消去，得.∴，.
∴
.又點(diǎn)到直線的距離.∴.
令，.則.
又，∴的面積的取值范圍為.
情境3：拋物線阿基米德三角形
知識(shí)要點(diǎn)：如圖，假設(shè)拋物線方程為， 過拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別記為，其坐標(biāo)為. 則以點(diǎn)和兩切點(diǎn)圍成的三角形中，有如下的常見結(jié)論:
結(jié)論1.直線過拋物線的焦點(diǎn).
證明：參見下面的例1.
結(jié)論2.直線的方程為.進(jìn)一步，還有
（1）過拋物線上一點(diǎn)的切線方程為：；
（2）過拋物線上一點(diǎn)的切線方程為：；
（3）過拋物線上一點(diǎn)的切線方程為：；
（4）過拋物線上一點(diǎn)的切線方程為：．
結(jié)論3.過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，以分別為切點(diǎn)做兩條切線，則這兩條切線的交點(diǎn)的軌跡即為拋物線的準(zhǔn)線.
證明：過點(diǎn)的切線方程為，過點(diǎn)的切線方程為，兩式相除可得：.這就證明了該結(jié)論.
結(jié)論4..
證明：由結(jié)論3，，.那么.
結(jié)論5..
證明：,則.由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知，代入上式即可得，故.
結(jié)論6.直線的中點(diǎn)為，則平行于拋物線的對(duì)稱軸.
證明：由結(jié)論3的證明可知，過點(diǎn)的切線的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上.且的坐標(biāo)為，顯然平行于拋物線的對(duì)稱軸.
例5．（2021高考全國乙卷理21）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上的點(diǎn)的距離的最小值．
（1）求；
（2）若點(diǎn)在圓上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．
解析：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，，
∴與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得．
（2）拋物線的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，
設(shè)點(diǎn)，，，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，
由于點(diǎn)為這兩條直線公共點(diǎn)，則，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，∴直線的方程為，
聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理可得，，
，
點(diǎn)到直線的距離為，
∴，
，
由已知可得，∴當(dāng)時(shí)，的面積取最大值．
注：對(duì)于拋物線，設(shè)，是的兩條切線，，是切點(diǎn)，則阿基米德三角形的面積為：．
例6.(2006全國卷)已知拋物線的焦點(diǎn)為,是熱線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且
過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為．
（1）證明為定值；
（2）設(shè)的面積為，寫出的表達(dá)式，并求S的最小值．
解：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 點(diǎn)的坐標(biāo)為
由可得，因此
過點(diǎn)的切線方程為 (1)
過點(diǎn)的切線方程為 (2)
解（1）（2）構(gòu)成的方程組可得點(diǎn)M的坐標(biāo),從而得到=0 即為定值.
（2）=0可得三角形面積
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

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