一．基本原理
1.條件概率定義
一般地，設(shè)為兩個隨機事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．
可以看到，的計算，亦可理解為在樣本空間中，計算的概率. 于是就得到計算條件概率的第二種途，即
特別地，當時，即相互獨立，則.
2．條件概率的性質(zhì)
設(shè)，全樣本空間定義為，則
（1）；
（2）如果與是兩個互斥事件，則；
（3）設(shè)事件和互為對立事件，則．
3.全概率公式
3.完備事件組：如果樣本空間中一組事件組符合下列兩個條件：
（1）；
（2）.
則稱是的一個完備事件組，也稱是的一個分割.
4.全概率公式： 設(shè)是一個完備事件組，則有.
二．典例分析
第一個例子是條件概率的經(jīng)典應(yīng)用，它說明了不放回式抽簽的公平性，更重要的是，它蘊含了全概率公式的思想.
例1.從有個紅球和個藍球的袋子里，每次隨機摸出一個球，摸出后不放回，試證明：第一次摸出紅球后，第二次摸出紅球的概率與第一次相同.
證明：顯然，第一次摸出紅球的概率為.用表示事件“第次摸到紅球”，用表示事件“第次摸到藍球”，.那么，，且與互斥，故可得：
.綜上，表明不放回抽簽與先后順序無關(guān).
點評：上述結(jié)論的證明過程不是顯然的，通過條件概率，我們很好地給出了證明，再次說明條件概率的應(yīng)用價值，畢竟，我們現(xiàn)實情境中很多事件之間是相互影響的.
例2.銀行儲存卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自助取款機上取錢時，忘記了密碼的最后1位數(shù)字，求：
（1）任意按最后1位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；
（2）如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率.
解析：（1）設(shè)“第次按對密碼”（）,那么滿足題意的情形有，故：
（2）設(shè)“最后1位密碼是偶數(shù)”，則
例3.（2022新高考1卷）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)査了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：
（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？
（2）從該地的人群中任選一人，表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為．
（ = 1 \* rman i）證明：；
（ = 2 \* rman ii）利用該調(diào)査數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（ = 1 \* rman i）的結(jié)果給出的估計值．
附：，
解析：（1）假設(shè)患該疾病群體與未患疾病群體的衛(wèi)生習慣沒有差異，
則，
所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異；
（2）（ = 1 \* rman i）
，得證.
（ = 2 \* rman ii）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，，
則，，所以．
注：此題第二問的證明和計算純粹考察條件概率公式及其性質(zhì)，第三問的計算則考察條件概率的計算，找到條件的相應(yīng)事件的樣本空間即可輕松計算.
例4.（2020江蘇卷）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．
（1）求p1·q1和p2·q2；
（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示) ．
分析：假設(shè)表示次取球后甲口袋有個黑球，表示次取球后甲口袋有個黑球，表示一次操作甲乙都取的是白球，表示一次操作甲取的是白球同時乙取的是黑球，表示一次操作甲取的是黑球同時乙取的是白球）.先分析事件的概率，分如下三種情況：當?shù)诖尾僮骱?，甲口袋有個黑球，只需要來個白球同時取一個白球就完成，概率公式；當?shù)诖尾僮骱螅卓诖袀€黑球，只需要來個黑球取個白球就完成，概率公式；當?shù)诖尾僮骱?，甲口袋有個黑球，不可能取一次球得到兩個球，這種情況不滿足，類似可以計算事件的概率，這樣的話，，類似可得.
解：（1），，
（2），
，
因此，
從而，
即.
又的分布列為
故.
例5.（2022新高考2卷）在某地區(qū)進行流行病調(diào)查，隨機調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖．
（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）
（2）估計該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間的概率．
（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)的年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?，從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間，求此人患該種疾病的概率．（樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各地區(qū)的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到）
解析：（1）平均年齡
（歲）
（2）設(shè)，則
（3）設(shè)，，
則由條件概率公式，得
不夠良好
良好
病例組
60
對照組
10
90

0
1
2




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