基本原理
兩個(gè)重要的三變量命題函數(shù)
先介紹兩個(gè)函數(shù)：，.
這兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)要注意，首先，一定是一個(gè)零點(diǎn)，其次，當(dāng)滿足一定條件時(shí)，還會(huì)再有兩個(gè)零點(diǎn)出現(xiàn)，并且，這兩個(gè)函數(shù)有一個(gè)很重要的特點(diǎn)，若，則有
，這就意味著剩下的兩個(gè)零點(diǎn)會(huì)有隱含關(guān)系：，這個(gè)關(guān)系在解決相關(guān)多極值點(diǎn)問(wèn)題時(shí)至關(guān)重要！
要注意特殊的零點(diǎn)，比如上面兩個(gè)函數(shù)中的特殊點(diǎn)，換句話說(shuō)，有的多元極值點(diǎn)問(wèn)題就是個(gè)紙老虎，會(huì)有個(gè)別極值點(diǎn)（零點(diǎn)是可求）.
注意一些可能的極值點(diǎn)偏移情形：如果上述可得：
，當(dāng)時(shí)，會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)且（下面例1會(huì)證明）.
二．典例分析
例1.已知函數(shù)
（1）若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）設(shè)的三個(gè)零點(diǎn)分別為，求證：.
（3）設(shè)的三個(gè)零點(diǎn)分別為，求證：.
解析：（1）若有三個(gè)零點(diǎn)，則.
（2）依題.同時(shí)，需注意
于是，由可得：，
同除，且注意到，可得：.
（3）依題.同時(shí)，需注意
于是，由可得：，同除，且注意到，可得：.
例2．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間的最大值為，最小值為．已知．設(shè)的三個(gè)零點(diǎn)為，求的取值范圍．
解析：（1），令，解得或，令，解得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)取得極大值，，
當(dāng)時(shí)取得極小值，，
所以的極大值為，極小值為.
（2）因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，
因?yàn)?，，所以?br>，解得，
設(shè)，令，所以，，
，
在上單調(diào)遞減，當(dāng)，
所以的取值范圍為.
例3.已知函數(shù).
自己設(shè)置一個(gè)送分的小問(wèn)；
若有三個(gè)極值點(diǎn)，為，且，求的取值范圍.
提示：有一個(gè)極值點(diǎn)，所以此題只是一個(gè)紙老虎
（2）解析：
，對(duì)函數(shù)，設(shè)上一點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，將代入上式得，所以過(guò)的的切線方程為，.所以，要使與有兩個(gè)交點(diǎn)，則，此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.，，，令，則，所以，所以，即所以，令，，易知在上恒成立（見(jiàn)第一章）.所以在上恒成立.所以在上遞增.，所以當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是.
例4.設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，證明：；
（2）已知恰好有個(gè)極值點(diǎn).
（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（ⅱ）證明：.
解析：（?。┯捎?故
（ⅱ）證明：此時(shí)有，設(shè)，則只需證明
，求導(dǎo)得，所以在上單調(diào)遞增，注意得到，所以，所以只需證明，實(shí)際上，上式等價(jià)于成立，所以原不等式得證.
例5.已知函數(shù)，其中．
（1）求的極值；
（2）設(shè)函數(shù)有三個(gè)不同的極值點(diǎn)．
（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（ii）證明：．
解析：（1）由題可得， ∴在單調(diào)遞增，∵，∴時(shí)，時(shí)，
∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，無(wú)極大值；
（2）（?。?，
由題可知有三個(gè)不同的正實(shí)根，令，則，令，有三個(gè)不同的正實(shí)根、、，，∴有兩個(gè)不同的正實(shí)根，∴∴，
設(shè)的兩個(gè)不同的正實(shí)根為m、n，且，此時(shí)在和單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又∵，∵，且，
∴有三個(gè)不同的正實(shí)根，滿足題意，∴a的取值范圍是；
（ⅱ）令、，由（?。┲?、為的正實(shí)根，，
令，則，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
令，則
∵，∴，令，，
∴在單調(diào)遞增，∴，∴在單調(diào)遞減，
∵，∴，∵，∴，
∵在單調(diào)遞增，∴，∴.
例6.（金華十校）已知函數(shù)，記.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；
（2）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且.
（ⅰ）求的取值范圍；
（ⅱ）證明：.
解析：注意到，故只需證明，剩下的就是例1第三問(wèn).

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