1．對(duì)數(shù)均值不等式
兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：，對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均?幾何平均的大小關(guān)系：
（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式），取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
證明如下：不失一般性，可設(shè)．（1）先證：……①
不等式①（其中）
構(gòu)造函數(shù)，則．
因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式①成立.
（2）再證：……②
不等式②（）
構(gòu)造函數(shù)，則．
因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故，從而不等式②成立；綜合（1）（2）知，對(duì)，都有對(duì)數(shù)平均不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
注：對(duì)數(shù)均值不等式實(shí)際上是對(duì)數(shù)不等式鏈：在雙變?cè)樾蜗碌膽?yīng)用.
2．對(duì)數(shù)不等式鏈
；
.
3．對(duì)數(shù)均值不等式的推廣與命題
問(wèn)題：已知恒成立，求之間的關(guān)系？
由文獻(xiàn)[1]可知，若恒成立，則，此為上述不等式成立的必要條件.
關(guān)于充分性，文獻(xiàn)[1]證明了時(shí)，恒成立.
而當(dāng)時(shí)，則無(wú)法得到顯式的之間的關(guān)系，不過(guò)可知隨的增大而增大！
因?yàn)?，倘若，令代入即可得：?br>若我們令，所以可以構(gòu)造一個(gè)函數(shù)：
，我們可以做到，進(jìn)一步，若
為的兩個(gè)零點(diǎn)，則
，即等價(jià)
于：.
4．對(duì)數(shù)均值不等式應(yīng)用中的比值代換
已知函數(shù)，若，不妨設(shè)，則令，可得：.（*），利用（*）的結(jié)論，我們還可以證明：
①.
②.若，則...
②.解析：
是的兩個(gè)零點(diǎn)，且，
，，可得，，，令，
，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，令，則，則在上單調(diào)遞增，而
，，則在上單調(diào)遞增，
，可得，則，即，
5.指數(shù)均值不等式及應(yīng)用
若，則.
證明：由于，令，代入即可證得.
二．典例分析
例1. 已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：．
解析：（2）若函數(shù)有兩個(gè)零，點(diǎn)，，根據(jù)（1），可得．
不妨設(shè)，由，得
兩式相減，得，要證明，即證，設(shè)，則．
則，則，
所以在上為增函數(shù)，從而，即成立，
因此，成立．即證.
例2. （2022全國(guó)甲卷）已知函數(shù).
（1）若恒成立，求的取值范圍；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.
解析：（2）此時(shí)，有兩個(gè)解，且.
此時(shí)，，兩式相除，可得：.
于是，欲證只需證明：（對(duì)數(shù)均值不等式）.易證！
習(xí)題2. 已知函數(shù)．
（1）求的圖象在處的切線方程；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、，證明：．
解：（1），定義域?yàn)椋?，?
因此，函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即；
（2）令，得，由題意可得，
兩式相加得，兩式相減得，
設(shè)，，要證，即證，即，令，即證.（易證，略?。?br>例3．已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，且.
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)為常數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，若有最小值，求常數(shù)的值.
解析：由且，可得.設(shè)，則
，令，解得. 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；函數(shù)的圖象如下：
又趨向于0時(shí)趨向，趨向于時(shí)趨向0；
要使圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則，故a的取值范圍是.
（2）因?yàn)椋桑?）得，則，
設(shè)，則，即，由有最小值，即有最小值.
，
記，
由于，若，則，可得單調(diào)遞增，此時(shí)，即單調(diào)遞增，此時(shí)在沒有最小值，不符合題意.若，時(shí)，，則在單調(diào)遞減，時(shí)，，則在單調(diào)遞增.又，，且趨向于時(shí)趨向，故且唯一，使得.此時(shí)時(shí)，，即，此時(shí)上單調(diào)遞減；時(shí)，，即， 在上單調(diào)遞增.所以時(shí)，有最小值，
而，即，
設(shè)
設(shè).
設(shè)，故遞增，.
此時(shí)遞增，有，令且，則，即在上遞增，故，此時(shí)，故在遞增，而知，的唯一解是. 故的唯一解是，即.綜上所述，.
例4. 已知函數(shù)，其中.
（1）當(dāng)時(shí)，求不等式在上的解；
（2）設(shè)，關(guān)于直線對(duì)稱的函數(shù)為，求證：當(dāng)時(shí)，；
（3）若函數(shù)恰好在和兩處取得極值，求證：.
解析：的解集為；
（3）證明：由已知，
由，是函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)（不妨設(shè)）.即，是函數(shù)的兩個(gè)不同實(shí)根.即，
∴，，兩式相減得：，
于是要證明，即證明，兩邊同除以，即證，即證，即證
令即證不等式當(dāng)時(shí)恒成立.
設(shè)，∴
而，即，∴，∴在上是減函數(shù)，又∴恒成立. 則.
例 5．已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）如果函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，求證：．
解析：（2） 根據(jù)條件，，則
-2．因?yàn)槭菢O值點(diǎn)，所以，兩式相減得．所證不等式等價(jià)于，設(shè)兩邊同除以得．令，．所證不等式只需證明：
．設(shè)，則．易證，所以，因此在上單調(diào)遞減，．所以原不等式成立，即．
例6.(2011年遼寧卷)已知函數(shù)
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：
解析：（1）略.
（2），由
同除以得，
要證，只需證；
只需證；
根據(jù)對(duì)數(shù)平均不等式，故原命題得證.
例7．（2021?廣州一模）已知函數(shù)．
（1）證明：曲線在點(diǎn)處的切線恒過(guò)定點(diǎn)；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，證明：．
證明：（1），
（1），又（1），曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，即，當(dāng)時(shí)，.
故直線過(guò)定點(diǎn)，.
（2），是的兩個(gè)零點(diǎn)，且，
，可得，
，
令，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得
，令，則，則在上單調(diào)遞增，
而（2），，則在上單調(diào)遞增，
（2），可得，則，即，則．

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