一．重要結(jié)論
拋物線的焦點(diǎn)弦具有豐富的性質(zhì)，它是對(duì)拋物線定義的進(jìn)一步考察，也是拋物線這節(jié)中最重要的考點(diǎn)之一，下面羅列出常見的拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì):
假設(shè)拋物線方程為.過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為
.
性質(zhì)1.,.
證明：性質(zhì)1的證明很簡(jiǎn)單，由拋物線的定義即可證得.如上圖，過向準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為.由定義可知：.代入坐標(biāo)即可證得相關(guān)結(jié)論.
性質(zhì)2.拋物線 的焦點(diǎn)為F，是過的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：.
證明：，則的方程為，整理可得：
，即可得的方程為：.最后，由于直線過焦點(diǎn)，代入焦點(diǎn)坐標(biāo)可得.再代入拋物線方程.
一般地，如果直線恒過定點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)，那么
.
于是，若恒過定點(diǎn).
性質(zhì)3.已知傾斜角為直線的經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，則
（1）.
（2）.
證明：設(shè)準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于，作于，由拋物線定義可知：．其中，.
所以，，故．
同理，所以．
性質(zhì)4.拋物線的通徑
(1).通徑長為.
(2).焦點(diǎn)弦中，通徑最短.
(3).通徑越長，拋物線開口越大.
由性質(zhì)3易得，略.
性質(zhì)5.已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，若弦中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.
證明：設(shè)坐標(biāo)為，由拋物線定義：，
故.
性質(zhì)6.以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.
證明：設(shè)焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)為，則到準(zhǔn)線的距離為，由性質(zhì)5可證得.
性質(zhì)7.如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，自向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，則
（1）；
（2）記的面積分別為,,，.
注:此題為2009湖北卷文科試題，證明過程可參見該題解答.
二．典例分析
例1.（2017年全國1卷）.已知為拋物線的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，則的最小值為( )
A．16 B．14 C．12 D．10
解析：法1:設(shè),,直線方程為
取方程,得 ∴
同理直線與拋物線的交點(diǎn)滿足
由拋物線定義可知
當(dāng)且僅當(dāng)(或)時(shí),取得等號(hào)．
法2:設(shè)的傾斜角為,則直線的傾斜角為，根據(jù)焦點(diǎn)弦長公式有:
．
故選A．
法4:設(shè)點(diǎn),則
設(shè)直線的方程為
聯(lián)立直線與拋物線方程消去可得
所以,所以
同理 ，所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)
法5：可設(shè)直線，由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)3可得：
，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，故選A.
上述例2，在知曉背景的情況下解答是很容易的，這再次說明記住一些重要的二級(jí)結(jié)論可以優(yōu)化運(yùn)算，提升解題速度. 下例中，我們將看到有關(guān)面積的定值問題，從而為前面的重要結(jié)論做一個(gè)補(bǔ)充.
例2．（2022新高考2卷）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)的
直線與交于，兩 點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)，若，則直線
的斜率為
A．直線AB的斜率為2 B．
C．D．
解析：選項(xiàng)A：設(shè)中點(diǎn)為，則所以所以故
選項(xiàng)B：所以所以
選項(xiàng)C：
選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A,B知所以所以為鈍角；
又所以為鈍角；
所以.故選ACD.
例3.拋物線的焦點(diǎn)為，，是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為
A．B．C．D．
解析：.
在中,由余弦定理得：
，
又.
所以的最大值為. 本題選擇A選項(xiàng).
例4．（2022·廣東·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線C上存在n個(gè)點(diǎn)，，，（且）滿足，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．時(shí)，
B．時(shí)，的最小值為9
C．時(shí)，
D．時(shí)，的最小值為8
解析：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不妨取 過焦點(diǎn)垂直于x軸，
不妨取 ，則，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)不妨設(shè) 在拋物線上逆時(shí)針排列，設(shè),
，
，
令 ，則，令 ，則，當(dāng)時(shí)， ，遞增，當(dāng)時(shí)， ， 遞減，故 ，故當(dāng) ，即 時(shí)，取到最小值9，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)不妨設(shè) 在拋物線上逆時(shí)針排列，設(shè),
，
即，
故，，
所以，故C正確；
由C的分析可知：，
當(dāng) 時(shí)，取到最小值16，即最小值為16，故D錯(cuò)誤；故選：BC
例5.（2018年全國2卷）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，．
（1）求的方程；
（2）求過點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程．
解析：（1）設(shè)直線的方程為，且坐標(biāo)為，聯(lián)立方程可得：
得．，故．
所以．由題設(shè)知，解得：
解得：，故的方程為.
（2）由（1）可得中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的垂直平分線方程為，設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則
解得或
因此所求圓的方程為或．
注：此題以焦點(diǎn)弦性質(zhì)6為背景展開.
例6．已知拋物線C：，過點(diǎn)且斜率為k的直線與拋物線C相交于P，Q兩點(diǎn).
（1）設(shè)點(diǎn)B在x軸上，分別記直線PB，QB的斜率為.若，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過拋物線C的焦點(diǎn)F作直線PQ的平行線與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，求的值.
解析：由題意，直線的方程為，其中.
設(shè)， 聯(lián)立，消去得.
.，，即.，即.
，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（2）由題意，直線的方程為，其中，為傾斜角，則，
設(shè). 聯(lián)立，消去得.
.
.
例7．已知拋物線的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，的最小值為1.
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（）過焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn).若分別是線段的中點(diǎn)，求的最小值.
解析：（1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）得，點(diǎn)，顯然直線，的斜率都存在且不為0，設(shè)直線斜率為，則的斜率為，直線的方程為，由消去并整理得，
，設(shè)，，則，所以線段中點(diǎn)，
，同理，所以，
令，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為16.
例8．已知拋物線C：，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，是拋物線C上點(diǎn)，且；
（1）求拋物線C的方程；
（2）過平面上一動(dòng)點(diǎn)作拋物線C的兩條切線PA，PB（其中A，B為切點(diǎn)），求的最大值.
解析：（1）拋物線的方程為；
（2）拋物線的方程為，即，設(shè)，，則切線PA，PB的斜率分別為，.所以切線PA：，
∴，又，，
同理可得切線PB的方程為，因?yàn)榍芯€PA，PB均過點(diǎn)，所以，，所以直線AB的方程為.
聯(lián)立方程，消去x整理得，
∴，∴.
∴，由拋物線定義可知，，
所以
∵，
∴，令
∴原式，即最大值.

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