二．概念梳理:
焦點(diǎn)三角形主要結(jié)論：橢圓定義可知：中，
（1）. .
（2）. 焦點(diǎn)三角形的周長為
（3）..
（4）. 焦點(diǎn)三角形的面積為：.
①設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大.
②．S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取得最大值，最大值為bc；
（5）. 假設(shè)焦點(diǎn)的內(nèi)切圓半徑為，則.
（6）.焦半徑公式:設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，那么，，進(jìn)一步，有
推導(dǎo)：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式:，由于代入兩點(diǎn)間距離公式可得，整理化簡即可得. 同理可證得.
（7）.設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，那么，由于,故我們有
（8）若約定橢圓，分別為左、右焦點(diǎn)；頂點(diǎn)在第一象限；，則對(duì)于橢圓，離心率
（9） 若，對(duì)橢圓有，若，對(duì)于橢圓，有， 若，對(duì)橢圓，有.
（10） 對(duì)橢圓焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心的軌跡方程為.
三．典例分析
例1．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且，若的面積為，則（ ）
A．9B．3C．4D．8
解析：由焦點(diǎn)三角形面積公式得，故選：B
例2．已知橢圓，其左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)P為該橢圓上一點(diǎn)，且滿足，若的內(nèi)切圓的面積為，則該橢圓的方程為（ ）
A．B．C．D．
解析：所以，
而，所以可得，解得，，由，得，所以該橢圓的方程為．故選：A．
例3．已知是橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是E上的一點(diǎn)，若，且，則E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
解析：又，所以，即，故E的離心率為.
故選：C.
例4.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓C上不與A、B重合的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.
解析：如圖，由題意，，設(shè)，，由橢圓定義，，在中，由余弦定理，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)P為橢圓的短軸端點(diǎn)，所以的最小值為.
例4圖 例5圖
例5.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使，則橢圓C的離心率的取值范圍是______.
解析：橢圓C上存在點(diǎn)P，使等價(jià)于最大張角大于等于60°，如圖，
，即，又，所以.
例6.（2019全國1卷）已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為
A．B．C．D．
解：如圖所示：
設(shè)，由，代入焦半徑公式到可得：.再由
.結(jié)合（1），（2）式可得，，故
，，這樣在三角形與三角形中分別使用余弦定理可得:.
小結(jié)：通過坐標(biāo)表示出焦半徑的關(guān)系，進(jìn)而解出橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
例7.（2019全國三卷）
設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限.若為等腰三角形，則的坐標(biāo)為___________.
解：由已知可得，
．∴．由焦半徑公式可知
設(shè)，由焦半徑公式可知
再代入橢圓方程可解得的坐標(biāo)為．
例8．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則橢圓的離心率為( )
A．B．C．D．
解析：∵是的中點(diǎn)，G是的重心，∴三點(diǎn)共線，延長交軸于點(diǎn)，則由平行于軸知，，則,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則，
∴橢圓的離心率為．故選：A﹒
四．習(xí)題演練
1．設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足，則的值是（ ）
A．14B．17C．20D．23
解析：由前述結(jié)論可知，選D.
2．已知點(diǎn)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則使得的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．不能確定
選B.
3．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,是上的點(diǎn),,,則的離心率為 ( )
A. B. C. D.
解析：，選D
3．設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，兩焦點(diǎn)分別為，，如果，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
解析：由于.故即.
故選：A.
4. 已知為橢圓的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且,求此橢圓離心率的取值范圍.
解析：由橢圓的定義，得，平方得①.
由，②，是銳角，由余弦定理得③，③得 ④由②④，得，
是銳角， ，即且
.由②③可知 ⑤由①⑤可得 ，
，，即，.則橢圓離心率的取值范圍是.
8．橢圓的兩焦點(diǎn)是、，為橢圓上與、不共線的任意一點(diǎn)，為的內(nèi)心，延長交線段于點(diǎn)，則的值等于（ ）
A．B．C．D．
【詳解】連接.在△MF1I中,F1I是∠MF1N的角平分線,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理,，
同理可得,故有，
根據(jù)等比定理.
故選：B
4．已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，為的內(nèi)心，點(diǎn)滿足，若且，記的外接圓半徑為，則的值為（ ）
A．B．C．D．1
【詳解】設(shè)，
由題意得，
因?yàn)辄c(diǎn)滿足，
所以點(diǎn)G是的重心，則，
又因?yàn)椋?br>所以軸，
則的縱坐標(biāo)是，
所以，
設(shè)，則，
所以，
即，
則，
由余弦定理得，
即，
解得或，
所以，
則，
解得，
故選：A

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