本節(jié)中約定已知雙曲線方程為 如圖，頂點(diǎn)在第一象限，對于雙曲線焦點(diǎn)三角形，有以下結(jié)論：
1.如圖，、是雙曲線的焦點(diǎn)，設(shè)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，記，則的
面積.
證明：由余弦定理可知．
由雙曲線定義知||，可得
所以
則．
2.如圖，有，
3.離心率.
4.若，則有.
5.若，則有.
6.焦半徑公式：如圖，對于雙曲線，，對雙曲線，其焦半徑的范圍為.
7.雙曲線中，焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心的軌跡方程為.
證明：設(shè)內(nèi)切圓與的切點(diǎn)分別為，則由切線長定理可得,因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值a.
8.如圖，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，的左右焦點(diǎn)記為，則為平行四邊形.
結(jié)論9.已知具有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的離心率分別為是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，則有.
證明： 依題意，在中，由余弦定理得
，
所以，即.
結(jié)論10.如圖，過焦點(diǎn)的弦的長為，則的周長為.
二．典例分析
例1．已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，在雙曲線上，若的面積是1，則的值是__________．
解析：由雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式得：，所以，
即． 所以，從而．
例2．已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：由雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式得：
所以． 故選B．
例3已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若
，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
解析：由題意知，且，即，所以
，
解得， 故選A．
例4.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在C上，且，則的面積為________.
解析：由焦點(diǎn)三角形面積公式，.
例5.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在C上，且，則的面積為________.
解析：記，則，
所以，由知，所以，從而，故.
例6.已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線C右支上的一點(diǎn)，，則________.
解析：由焦點(diǎn)三角形面積公式，，
又，所以，
故，由雙曲線定義，，解得：.
例7.（1）雙曲線,過焦點(diǎn)的直線與該雙曲線的同一支交于、兩點(diǎn),且，另一焦點(diǎn)為,則的周長為 （ ）
A. B. C. D.
（2）設(shè)與是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線上,且滿足,則的面積是 （ ）
A.1 B. C.2 D.
例8．如圖所示，已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，雙曲線的右支上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，滿足，且，則雙曲線的離心率是__________.
解析：由條件可得，，，則，，，所以在中，，
即，即，則，所以雙曲線的離心率為：.
故答案為：.
例9．如圖所示,已知雙曲線:的右焦點(diǎn)為,雙曲線的右支上一點(diǎn),它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,滿足,且,則雙曲線的離心率是______.
解析：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,連接,,根據(jù)雙曲線的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，由題意以及雙曲線定義，可得,
則,,,所以,
即,即，所以雙曲線的離心率為:.故答案為：.
例10．如圖，，是雙曲線上的兩點(diǎn)，是雙曲線的右焦點(diǎn).是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，延長交雙曲線于點(diǎn).若，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則雙曲線的離心率為______.
解析：設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，依題意：是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，結(jié)合雙曲線的對稱性可知：四邊形是矩形，所以，設(shè)，則，
，由，
即，整理得，.故答案為：
例11．已知有相同焦點(diǎn)、的橢圓和雙曲線交于點(diǎn)，，橢圓和雙曲線的離心率分別是、，那么__________（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
解析：設(shè)橢圓的長半周長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，它們的半焦距都為，并設(shè)，根據(jù)橢圓的定義和雙曲線的定義可得，
在中，由余弦定理得，
即
在中，由余弦定理得，
即 又由,兩式相加，則，又由，所以，所以，即.
雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線上的一點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______.
解析：由題意，，，，，由焦半徑公式，，，
因?yàn)?，所以，解得：或（舍去?br>代入雙曲線的方程可求得，所以P的坐標(biāo)為.
例13.已知橢圓，雙曲線，，為的焦點(diǎn)，為和的交點(diǎn)，若△的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為1，和的離心率之積為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，設(shè) 的內(nèi)切圓的圓心為，且與，，的切點(diǎn)為，，，可得， ，由雙曲線的定義可得 ，即有 ，又 ，可得 ，可得內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為，和的離心率之積為，可得 解得，故選：．

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