第一部分
知識清單
將一張紙條扭轉(zhuǎn)180?后，兩頭再粘接在一起形成“神奇的帶子”，即莫比烏斯帶。
在莫比烏斯帶上取一點(diǎn)，從這點(diǎn)開始涂色，不能翻過邊緣一直涂下去，莫比烏斯帶上的顏色總被涂了兩面。
在一張長方形紙條中間畫一條線，再做成莫比烏斯帶，沿紙條上的線把莫比烏斯帶剪開，它變成一個大的紙環(huán)，但不再是莫比烏斯帶。
第二部分
典型例題
例1：一個紙環(huán)的內(nèi)側(cè)有一點(diǎn)面包屑，外面有一只螞蟻。如果不讓螞蟻爬過紙環(huán)的邊緣，螞蟻則不能吃到面包屑。但如果將紙環(huán)做成莫比烏斯帶，螞蟻不需要爬過紙環(huán)的邊緣就能吃到面包屑。這是因?yàn)槟葹跛箮е挥校? ）個面。
A．三B．兩C．一D．四
答案：C
分析：將長方形長條扭一下，再將兩端粘合，得到了莫比烏斯帶。視覺上，莫比烏斯帶有兩個面，但實(shí)際上它只有一個面。據(jù)此解題。
詳解：一個紙環(huán)的內(nèi)側(cè)有一點(diǎn)面包屑，外面有一只螞蟻。如果不讓螞蟻爬過紙環(huán)的邊緣，螞蟻則不能吃到面包屑。但如果將紙環(huán)做成莫比烏斯帶，螞蟻不需要爬過紙環(huán)的邊緣就能吃到面包屑。這是因?yàn)槟葹跛箮е挥幸粋€面。
故答案為：C
例2：淘氣用紙片做了一個莫比烏斯帶，如圖，將莫比烏斯帶沿中間虛線剪開，得到的是（ ）。

A．兩個分開的紙環(huán)B．一個大的紙環(huán)，但不是莫比烏斯帶
C．一個大的莫比烏斯帶D．兩個套在一起的紙環(huán)
答案：B
分析：莫比烏斯帶：拿一張白的長紙條，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一個身，粘成一個莫比烏斯帶；用剪刀沿紙帶的中央把它剪開；紙帶不僅沒有一分為二，反而剪出一個兩倍長的紙環(huán)；由此求解。
詳解：將莫比烏斯帶沿虛線剪開，得到一個兩倍長的紙環(huán)。
故答案為：B
例3：下圖是克萊因瓶，這個瓶子( )（填“能”或“不能”）裝滿水。
答案：不能
分析：一個瓶子底部有一個洞，延長瓶子的頸部，并且扭曲地進(jìn)入瓶子內(nèi)部，然后和底部的洞相連接。這就是克萊因瓶。根據(jù)生活實(shí)際，克萊因瓶不能裝滿水。
詳解：這個瓶子不能裝滿水。
例4：圖1的紙環(huán)是將一張長方形紙條兩端粘上得到的，圖2的紙環(huán)是將一張長方形紙條一端旋轉(zhuǎn)180°，再將兩端粘上得到的。圖2的紙環(huán)叫( )。如果從A點(diǎn)沿著紙環(huán)一直涂色（不越過紙環(huán)的邊緣），圖1中涂色的部分占( )%，圖2中涂色的部分占( )%。

答案： 莫比烏斯帶 50 100
分析：把一根長方形紙條在某一處扭轉(zhuǎn)一下，再將紙條兩端黏起來，就形成了莫比烏斯帶。所以，圖2是莫比烏斯帶。涂色時，圖1只有外面一個面能夠涂上色，那么涂色部分占50%。莫比烏斯帶只有一個面，那么涂色時都能涂上色，涂色部分占100%。
詳解：圖2的紙環(huán)叫莫比烏斯帶。如果從A點(diǎn)沿著紙環(huán)一直涂色（不越過紙環(huán)的邊緣），圖1中涂色的部分占50%，圖2中涂色的部分占100%。
：基礎(chǔ)過關(guān)練
一、填空題
1．如圖是一條莫比烏斯帶，在它的中間畫一條虛線，沿著虛線剪開后會得到( )個圈。
2．莫比烏斯帶是用數(shù)學(xué)家莫比烏斯的姓命名的，該數(shù)學(xué)家在1858年研究“四色定理”時偶然發(fā)現(xiàn)，即把一根紙條一頭扭轉(zhuǎn)( )°后，兩頭再粘接起來做成紙環(huán)，這個紙環(huán)具有魔術(shù)般的性質(zhì)。一般常見的紙環(huán)具有( )的面和( )的面兩個面（即雙側(cè)曲面），兩個面可以分別涂成( )的顏色。而這樣的紙環(huán)只有( )面（即單側(cè)曲面），沿著面涂顏色最后涂成的是( )顏色。這樣的神奇的單面紙環(huán)后來就用數(shù)學(xué)家莫比烏斯的姓命名為“( )”，也叫“( )”。
3．把長方形的長紙條先捏著一端，將另一端扭轉(zhuǎn)180°，再粘貼起來，形成一個環(huán)，這個紙環(huán)叫( )。
4．沿著紙環(huán)的( )處剪就會使一個小紙環(huán)變成一個大紙環(huán)。
5．沿著紙環(huán)的( )處剪就會使紙環(huán)變成一大一小兩個紙環(huán)套在一起。
二、選擇題
6．如圖，沿莫比烏斯圈的二分之一線剪下去，剪出來的結(jié)果會是（ ）。
A．兩個獨(dú)立的紙環(huán)B．一個兩倍長的大紙環(huán)（不是莫比烏斯圈）
C．一個長方形紙條D．一個兩倍長的莫比烏斯圈
7．淘氣用紙片做了一個莫比烏斯帶，如圖，將莫比烏斯帶沿中間虛線剪開，得到的是（ ）。
A．一個大的莫比烏斯帶
B．兩個套在一起的紙環(huán)
C．兩個分開的紙環(huán)
D．一個大的紙環(huán)，但不是莫比烏斯帶
8．如圖，取一條長方形紙條，沿平行于長的方向畫2條三等分線，將紙條的兩端粘上，做成一個莫比烏斯帶。沿莫比烏斯帶的2條三等分線剪開，紙帶會變成（ ）個紙環(huán)。
A．1B．2C．3D．4
9．關(guān)于莫比烏斯帶，以下敘述錯誤的是（ ）。
A．普通紙能做成莫比烏斯帶B．莫比烏斯帶在生活中有很多應(yīng)用
C．莫比烏斯帶只有一個面D．莫比烏斯帶是用物理學(xué)家的姓名命名的
10．將如圖中的紙環(huán)，沿虛線剪開，可以得到（ ）個紙環(huán)。
A．1B．2C．3
三、判斷題
11．如圖的整只鞋從鞋底、鞋跟、鞋床到鞋幫都由一整條帶狀皮革環(huán)繞而成，產(chǎn)生了有兩個普通鞋跟的高度，它們的造型都如同“莫比烏斯帶”。( )
12．下面各物體的造型都應(yīng)用了莫比烏斯帶。( )
13．打印機(jī)的色帶就是莫比烏斯帶。這樣就不會只磨損一面，節(jié)約了材料。( )
14．有些電動機(jī)的皮帶連接成莫比烏斯帶，僅僅是為了好看。( )
15．過山車的跑道利用的是莫比烏斯帶的原理。( )
：基礎(chǔ)過關(guān)練
四、解答題
16．做一做，想一想。
①取一條尺寸為10厘米×3厘米的長方形紙條，沿平行于長的方向畫2條三等分線。
②將紙條的兩端粘上，做一個莫比烏斯帶。
③沿莫比烏斯帶的2條三等分線剪開。紙帶會變成什么樣？是不是莫比烏斯帶？
17．取一長90厘米寬8厘米的長方形紙條，把兩條寬相對，然后把其中一邊的紙條扭轉(zhuǎn)180°，與相對的另一邊連接，用固體膠粘起來。一只螞蟻從某點(diǎn)沿著所標(biāo)出的路線爬行，直到回到出發(fā)點(diǎn)為止，它爬行的距離大約是多少厘米？

18．如圖的紙條照樣子畫2條虛線，把紙條平均分成三份，做成莫比烏斯帶后再沿虛線剪開會成什么樣子？如果平均分成四份呢？試著做一做。
19．在一張紙條的中間畫一條虛線，把紙條平均分成兩份，做成莫比烏斯帶后再沿虛線剪開，會成什么樣子？
20．奇思妙想。
縣官的兒子偷了農(nóng)民的東西，縣官就在一張紙條的正面寫上：小偷應(yīng)當(dāng)放掉。在紙的另一面寫著：農(nóng)民應(yīng)當(dāng)關(guān)押。然而執(zhí)事官卻關(guān)押了小偷，放掉了農(nóng)民?？h官看紙條的時候，只見紙條上面寫著：應(yīng)該關(guān)押小偷，應(yīng)當(dāng)放掉農(nóng)民。你知道聰明的執(zhí)事官是怎么做的嗎？
1．1/一
分析：莫比烏斯帶：拿一張白的長紙條，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一個身，粘成一個莫比烏斯帶；用剪刀沿紙帶的中央把它剪開，紙帶不僅沒有一分為二，反而剪出一個兩倍長的紙環(huán)；由此求解。
詳解：將莫比烏斯帶沿虛線剪開，結(jié)果是一個兩倍長的紙環(huán)。
因此一條莫比烏斯帶，在它的中間畫一條虛線，沿著虛線剪開后會得到1個圈。
點(diǎn)睛：熟悉莫比烏斯帶的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵，動手操作是解決此類問題最直接有效的方法。
2． 180 內(nèi)側(cè) 外側(cè) 不同 一個 一種 莫比烏斯帶 莫比烏斯環(huán)
分析：公元1858年，德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯（Mbius，1790～1868）和約翰?李斯丁發(fā)現(xiàn)：把一根紙條扭轉(zhuǎn)180°后，兩頭再粘接起來做成的紙帶圈，具有魔術(shù)般的性質(zhì)。普通紙帶具有兩個面（即雙側(cè)曲面），一個內(nèi)側(cè)的面，一個外側(cè)的面，兩個面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面（即單側(cè)曲面），一只小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣。這種紙帶被稱為“莫比烏斯帶”（也叫莫比烏斯環(huán)）（也就是說，它的曲面從兩個減少到只有一個）。
詳解：莫比烏斯帶是用數(shù)學(xué)家莫比烏斯的姓命名的，該數(shù)學(xué)家在1858年研究“四色定理”時偶然發(fā)現(xiàn)，即把一根紙條一頭扭轉(zhuǎn)180°后，兩頭再粘接起來做成紙環(huán)，這個紙環(huán)具有魔術(shù)般的性質(zhì)。一般常見的紙環(huán)具有內(nèi)側(cè)的面和外側(cè)的面兩個面（即雙側(cè)曲面），兩個面可以分別涂成不同的顏色。而這樣的紙環(huán)只有一個面（即單側(cè)曲面），沿著面涂顏色最后涂成的是一種顏色。這樣的神奇的單面紙環(huán)后來就用數(shù)學(xué)家莫比烏斯的姓命名為“莫比烏斯帶”，也叫“莫比烏斯環(huán)”。
點(diǎn)睛：此題是考查莫比烏斯帶的制作、命名等。
3．莫比烏斯圈
分析：把長方形的紙條的一端扭轉(zhuǎn)180，再將兩端粘在一起，這樣就做成了只有一個面的紙圈兒，這個圈就是莫比烏斯圈；由此求解。
詳解：把長方形的長紙條先捏著一端，將另一端扭轉(zhuǎn)180°，再粘貼起來，形成一個環(huán)，這個紙環(huán)叫莫比烏斯圈。
點(diǎn)睛：本題屬于探究莫比烏斯圈的題目，如果把一張長方形紙條的首尾粘上，做成一個有兩個面的紙圈；如果把長方形紙條的一端扭轉(zhuǎn)180°，再將兩端粘在一起，這樣就做成了只有一個面的紙圈兒。
4．中心線
解析：略
5．中心線
解析：略
6．B
分析：拿一張白的長紙條，把一面涂成黑色，然后把其中一端扭轉(zhuǎn)180°，再把兩端連上，就成為一個莫比烏斯帶，據(jù)此解答。
詳解：沿莫比烏斯圈的二分之一線剪下去，剪出來的結(jié)果會是一個兩倍長的大紙環(huán)（不是莫比烏斯圈）。
故答案為：B
點(diǎn)睛：學(xué)生可以制作一個莫比烏斯圈，動手操作一下，得出結(jié)果。
7．D
分析：莫比烏斯帶：拿一張白的長紙條，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一個身，粘成一個莫比烏斯帶，用剪刀沿紙帶的中央把它剪開，紙帶不僅沒有一分為二，反而剪出一個兩倍長的紙環(huán)，據(jù)此解答。
詳解：淘氣將莫比烏斯帶沿中間虛線剪開，得到的是一個大的紙環(huán)，但不是莫比烏斯帶。
故答案為：D
點(diǎn)睛：熟知莫比烏斯帶的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵。
8．B
分析：沿莫比烏斯帶的2條三等分線剪開，紙帶會變成兩個紙環(huán)，并且相互套在一起，據(jù)此選擇。
詳解：由分析可知，沿莫比烏斯帶的2條三等分線剪開，紙帶會變成2個紙環(huán)。
故答案為：B
點(diǎn)睛：此題考查了莫比烏斯帶的相關(guān)認(rèn)識，也可通過實(shí)驗(yàn)來證明。
9．D
解析：公元1858年，德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯（Mbius，1790～1868）和約翰·李斯丁發(fā)現(xiàn)：把一根紙條扭轉(zhuǎn)180°后，兩頭再粘接起來做成的紙帶圈，具有魔術(shù)般的性質(zhì)。普通紙帶具有兩個面（即雙側(cè)曲面），一個正面，一個反面，兩個面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面（即單側(cè)曲面），一只小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣。這種紙帶被稱為“莫比烏斯帶”（也就是說，它的曲面從兩個減少到只有一個）。
詳解：根據(jù)分析可知，D.莫比烏斯帶是用物理學(xué)家的姓名命名的，敘述錯誤，應(yīng)該是用數(shù)學(xué)家姓名命名，
故答案為：D
點(diǎn)睛：理解并掌握“莫比烏斯帶”是解答此題的關(guān)鍵。
10．A
分析：莫比烏斯帶：拿一張白的長紙條，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一個身，粘成一個莫比烏斯帶，用剪刀沿紙帶的中央把它剪開。紙帶不僅沒有一分為二，反而剪出一個兩倍長的紙環(huán)；由此求解。
詳解：將圖中的紙環(huán)，沿虛線剪開，可以得到一個兩倍長的紙環(huán)。
故答案為：A
點(diǎn)睛：熟知莫比烏斯帶的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵。
11．√
分析：莫比烏斯把紙條的一端扭轉(zhuǎn)180°，再將兩端粘在一起，做成只有一個面、一條封閉曲線作邊界的紙圈；這種紙圈就是“莫比烏斯帶”；根據(jù)“莫比烏斯帶”的特點(diǎn)直接進(jìn)行判斷即可。
詳解：根據(jù)分析可知，整只鞋從鞋底、鞋跟、鞋床到鞋幫都由一整條帶狀皮革環(huán)繞而成，產(chǎn)生了有兩個普通鞋跟的高度，它們的造型都如同“莫比烏斯帶”；這種說法是正確的。
故答案為：√
點(diǎn)睛：本題考查了莫比烏斯帶，它是德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯在1858年發(fā)現(xiàn)的，莫比烏斯帶在生活中和生產(chǎn)中都有應(yīng)用。
12．√
分析：根據(jù)“莫比烏斯帶”的特點(diǎn)直接進(jìn)行判斷即可。
詳解：莫比烏斯把紙條兒的一端扭轉(zhuǎn)180°，再將兩端粘在一起，做成只有一個面、一條封閉曲線作邊界的紙圈；這種紙圈就是“莫比烏斯帶”；
所以整只鞋從鞋底、鞋跟、鞋床到鞋幫都由一整條帶狀皮革環(huán)繞而成，產(chǎn)生了有兩個普通鞋跟的高度，它們的造型都如同“莫比烏斯帶”；
題干的說法是正確的。
故答案為：√
點(diǎn)睛：莫比烏斯帶，它是德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯在1858年發(fā)現(xiàn)的，莫比烏斯帶在生活中和生產(chǎn)中都有應(yīng)用。
13．√
分析：根據(jù)莫比烏斯帶的特點(diǎn)可知：打印機(jī)的色帶是一個封閉的帶子，它由一個面組成，這樣可以使色帶的油墨有效輸送量增加一倍。據(jù)此解答。
詳解：打印機(jī)的色帶就是莫比烏斯帶，這樣可以使色帶的油墨有效輸送量增加一倍，節(jié)約了材料。所以原說法正確。
故答案為：√
點(diǎn)睛：本題主要考查旋轉(zhuǎn)思想的應(yīng)用，關(guān)鍵培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。
14．×
分析：用皮帶傳送的動力機(jī)械的皮帶就可以做成莫比烏斯帶的形狀，這樣皮帶就不會只磨損一面了。
詳解：有些電動機(jī)的皮帶連接成莫比烏斯帶，不僅僅是為了好看，還是為了實(shí)用。所以原題說法錯誤。
故答案為：×
點(diǎn)睛：此題主要考查了莫比烏斯帶的應(yīng)用，要熟練掌握。
15．√
分析：把一根長方形紙條在某一處扭轉(zhuǎn)一下，再將紙條兩端黏起來，就形成了莫比烏斯帶。據(jù)此，再結(jié)合過山車跑道的實(shí)際形象，解題即可。
詳解：過山車的跑道，有扭轉(zhuǎn)的部分，利用的是莫比烏斯帶的原理。
故答案為：√
點(diǎn)睛：本題考查了莫比烏斯帶，掌握莫比烏斯帶的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵。
16．見詳解
分析：根據(jù)題中的步驟去操作，最后沿莫比烏斯帶的2條三等分線剪開，觀察形成的紙帶形狀，從而解題。
詳解：答：紙帶會變成兩個紙環(huán)，而且相互套在一起。不是莫比烏斯帶。
點(diǎn)睛：本題考查了莫比烏斯帶。把一個莫比烏斯帶沿中線剪開，剪開后變成了一個大環(huán)。將莫比烏斯帶沿著三等分線剪開，會形成相互套連的兩個環(huán)。
17．180厘米
分析：根據(jù)圖示可知，這是一個莫比烏斯帶，其特點(diǎn)之一是螞蟻可以不接觸邊緣而爬完紙條的兩面一面長為90厘米，兩面則是180厘米。
詳解：90×2＝180（厘米）
答：它爬行的距離大約是180厘米。
點(diǎn)睛：根據(jù)圖示可知，這張直條做成的是一個莫比烏斯帶，所以這只螞蟻爬行的距離大約是長方形紙條的兩個長。據(jù)此解答
18．莫比烏斯帶沿三等分線的虛線剪開后，形成兩個套在一起的紙環(huán)；莫比烏斯帶沿四等分線的虛線剪開后，形成兩個大環(huán)套在一起。
分析：通過動手進(jìn)行實(shí)際操作，取一條長方形紙條，沿平行于長的方向畫2條三等分線，將紙條的兩端粘上，做成一個莫比烏斯帶。沿莫比烏斯帶的2條三等分線和3條四等分線剪開，即可得出答案。
詳解：答：莫比烏斯帶沿三等分線的虛線剪開后，形成兩個套在一起的紙環(huán)；莫比烏斯帶沿四等分線的虛線剪開后，形成兩個大環(huán)套在一起。
點(diǎn)睛：本題考查圖形的剪拼的問題，同時考查學(xué)生的動手和操作能力，做此類題目，親自動手做一做最直觀。
19．將莫比烏斯帶沿虛線剪開，結(jié)果是一個兩倍長的紙環(huán)。
分析：莫比烏斯帶：拿一張白的長紙條，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一個身，粘成一個莫比烏斯帶；用剪刀沿紙帶的中央把它剪開，紙帶不僅沒有一分為二，反而剪出一個兩倍長的紙環(huán)；由此求解。
詳解：答：將莫比烏斯帶沿虛線剪開，結(jié)果是一個兩倍長的紙環(huán)。
點(diǎn)睛：熟知莫比烏斯帶的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵。
20．將紙條扭了個彎，并用手指將兩端捏在一起

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