所謂類比，就是由兩個(gè)對(duì)象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們?cè)谄渌再|(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式．類比是一種主觀的不充分的似真推理，因此，要確認(rèn)其猜想的正確性，還須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的邏輯論證．
類比用于數(shù)學(xué)中，就是把兩個(gè)(或兩類)不同的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較，如果發(fā)現(xiàn)它們?cè)谀承┓矫嬗邢嗤蝾愃浦?，那么就推斷它們?cè)谄渌矫嬉部赡苡邢嗤蝾愃浦帲?br>考點(diǎn)解讀：有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算法則同樣適用于實(shí)數(shù)，有理數(shù)的運(yùn)算律也適用于實(shí)數(shù)；整式加減中有合并同類項(xiàng)，二次根式加減中有合并同類二次根式；展開(kāi)數(shù)式類比，可以使知識(shí)聯(lián)系更加緊密，方法運(yùn)用更加靈活，問(wèn)題解決更加輕松．
【例1】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）
1．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝精研數(shù)學(xué)，著有詳解九章算法，對(duì)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行了深入研究與總結(jié)，類比其中的思想方法，可以解決很多數(shù)與式的計(jì)算問(wèn)題已知，為實(shí)數(shù)，且，，計(jì)算可得：，，，由此求得（ ）
A．B．C．D．
【變1】（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）
2．八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：
將因式分解．
【觀察】經(jīng)過(guò)小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）
【類比】
(1)請(qǐng)用分組分解法將因式分解；
【挑戰(zhàn)】
(2)請(qǐng)用分組分解法將因式分解；
【應(yīng)用】
(3)“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a和，斜邊長(zhǎng)是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將因式分解，再求值．
考點(diǎn)解讀：三角形的全等與相似，矩形和菱形，展開(kāi)圖表類比，強(qiáng)化幾何圖形間的聯(lián)系，有利于實(shí)際幾何方法的貫通．
【例1】（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）
3．（1）如圖1，在矩形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，垂足為點(diǎn)．求證：．

【問(wèn)題解決】
（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．求證：．
【類比遷移】
（3）如圖3，在菱形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，，，求的長(zhǎng)．
【變1】（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）
4．【探究與證明】
折紙，操作簡(jiǎn)單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過(guò)折紙開(kāi)展數(shù)學(xué)探究，探索數(shù)學(xué)奧秘．
【動(dòng)手操作】如圖1，將矩形紙片對(duì)折，使與重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點(diǎn)B落在上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，得到折痕，點(diǎn)B，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，展平紙片，連接，，．

請(qǐng)完成：
(1)觀察圖1中，和，試猜想這三個(gè)角的大小關(guān)系；
(2)證明（1）中的猜想；
【類比操作】如圖2，N為矩形紙片的邊上的一點(diǎn)，連接，在上取一點(diǎn)P，折疊紙片，使B，P兩點(diǎn)重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點(diǎn)B，P分別落在，上，得到折痕l，點(diǎn)B，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，展平紙片，連接，．

請(qǐng)完成：
(3)證明是的一條三等分線．
考點(diǎn)解讀：整體代入求值發(fā)展到整體代入消元，一元二次方程的直接開(kāi)平方法發(fā)展到配方法，再演變到公式法，展開(kāi)方程類比，有助于對(duì)方程解的理解和應(yīng)用，有利于形成“消元”、“降次”的解方程思想．
【例1】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）
5．在《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”，這里所用的割圓術(shù)所體現(xiàn)的是一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化的思想，比如將化成分?jǐn)?shù)，設(shè)，則有，，解得，類比上述方法及思想則（ ）
A．3B．C．D．
【變1】（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）
6．閱讀材料：
材料1：關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：，．
材料2：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴．
則．
根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：
(1)應(yīng)用：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則___________，___________；
(2)類比：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n，求的值；
(3)提升：已知實(shí)數(shù)s，t滿足且，求的值．
考點(diǎn)解讀：在自變量的確定的取值范圍內(nèi)，研究一次函數(shù)的最值，同樣在自變量的確定的取值范圍內(nèi)，可以研究二次函數(shù)的最值．展開(kāi)函數(shù)類比，就是類比解析式，類比函數(shù)圖像，類比函數(shù)的性質(zhì)，縱橫式的理解函數(shù)的知識(shí)和方法，積極構(gòu)建函數(shù)模型．
【例1】（2022·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）
7．已知關(guān)于的函數(shù)．
(1)若，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，求該函數(shù)的表達(dá)式和最小值；
(2)若，，時(shí)，函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，求的取值范圍．
(3)閱讀下面材料：
設(shè)，函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，若，兩點(diǎn)均在原點(diǎn)左側(cè)，探究系數(shù)，，應(yīng)滿足的條件，根據(jù)函數(shù)圖像，思考以下三個(gè)方面：
①因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以；
②因?yàn)?，兩點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，所以對(duì)應(yīng)圖象上的點(diǎn)在軸上方，即；
③上述兩個(gè)條件還不能確保，兩點(diǎn)均在原點(diǎn)左側(cè)，我們可以通過(guò)拋物線的對(duì)稱軸位置來(lái)進(jìn)一步限制拋物線的位置：即需．
綜上所述，系數(shù)，，應(yīng)滿足的條件可歸納為：
請(qǐng)根據(jù)上面閱讀材料，類比解決下面問(wèn)題：
若函數(shù)的圖象在直線的右側(cè)與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．
【變1】（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）
8．【問(wèn)題情境 建構(gòu)函數(shù)】
（1）如圖1，在矩形中，是的中點(diǎn)，，垂足為．設(shè)，試用含的代數(shù)式表示．

【由數(shù)想形 新知初探】
（2）在上述表達(dá)式中，與成函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖2所示．若取任意實(shí)數(shù)，此時(shí)的函數(shù)圖像是否具有對(duì)稱性？若有，請(qǐng)說(shuō)明理由，并在圖2上補(bǔ)全函數(shù)圖像．

【數(shù)形結(jié)合 深度探究】
（3）在“取任意實(shí)數(shù)”的條件下，對(duì)上述函數(shù)繼續(xù)探究，得出以下結(jié)論：①函數(shù)值隨的增大而增大；②函數(shù)值的取值范圍是；③存在一條直線與該函數(shù)圖像有四個(gè)交點(diǎn)；④在圖像上存在四點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形．其中正確的是__________．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
【抽象回歸 拓展總結(jié)】
（4）若將（1）中的“”改成“”，此時(shí)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式是__________；一般地，當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的研究過(guò)程，探究此類函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（直接寫(xiě)出3條即可）．
一、選擇題
（2020·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）
9．構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計(jì)算tan15°時(shí)，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長(zhǎng)CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．類比這種方法，計(jì)算tan22.5°的值為（ ）
A．B．﹣1C．D．
（2022·河南商丘·統(tǒng)考一模）
10．張老師在課堂上展示了一道題：如圖（1），在四邊形中，，，已知，求的長(zhǎng)．
小明的方法：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，如圖（2），將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，將不規(guī)則四邊形轉(zhuǎn)化為正方形進(jìn)行求解．類比小明的方法解題：如圖（3），在中，，點(diǎn)M是內(nèi)一點(diǎn)，且，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
（2022·重慶·統(tǒng)考二模）
11．閱讀材料：在處理分?jǐn)?shù)和分式的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)難度較大，這時(shí)，我們可將分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)（真分式）的和（差）的形式，通過(guò)對(duì)它的簡(jiǎn)單分析來(lái)解決問(wèn)題，我們稱這種方法為分離常數(shù)法，此法在處理分式或整除問(wèn)題時(shí)頗為有效．將分式分離常數(shù)可類比假分?jǐn)?shù)變形帶分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行．如：a﹣1，這樣，分式就拆分成一個(gè)分式與一個(gè)整式a﹣1的和的形式，下列說(shuō)法正確的有（ ）個(gè)．
①若x為整數(shù)，為負(fù)整數(shù)，則x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)真分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：5m﹣11（整式部分對(duì)應(yīng)等于5m﹣11，真分式部分對(duì)應(yīng)等于），則m2+n2+mn的最小值為27．
A．0B．1C．2D．3
二、填空題
（2023·山東菏澤·?？既＃?br>12．對(duì)于實(shí)數(shù)P，我們規(guī)定：用表示不小于的最小整數(shù)．例如：，，現(xiàn)在對(duì)72進(jìn)行如下操作：，即對(duì)72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?．類比上述操作：對(duì)36只需進(jìn)行 次操作后變?yōu)?
（2023·廣東珠?！そy(tǒng)考二模）
13．我們?cè)趯W(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時(shí)，可以用幾何圖形來(lái)推理驗(yàn)證．觀察圖1，．接下來(lái)，觀察圖2，通過(guò)類比思考，因式分解 = ．
（2022·廣東深圳·統(tǒng)考一模）
14．《九章算術(shù)》中，趙爽利用“弦圖”（如圖①）證明了勾股定理，類比此方法研究等邊三角形（如圖②）：在等邊三角形ABC中，如果∠BAD=∠CBE=∠ACF，那么△ABD的三邊存在一定的數(shù)量關(guān)系，設(shè)BD=a，AD=b，AB=c，則這三邊a，b，c滿足的數(shù)量關(guān)系是 ．
三、解答題
（2020·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）
15．九年級(jí)某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)后，進(jìn)一步研究了函數(shù)的圖像與性質(zhì)，其探究過(guò)程如下：
（1）繪制函數(shù)圖像，如圖1
①列表；下表是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中；
②描點(diǎn)：根據(jù)表中各組對(duì)應(yīng)值(x，y)在平面直角坐標(biāo)系中描出了各點(diǎn)；
③連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫(huà)出了部分圖像，請(qǐng)你把圖像補(bǔ)充完整；
（2）通過(guò)觀察圖1，寫(xiě)出該函數(shù)的兩條性質(zhì)：①_______________；②_______________；
（3）①觀察發(fā)現(xiàn)：如圖2，若直線y=2交函數(shù)的圖像于A，B兩點(diǎn)，連接OA，過(guò)點(diǎn)B作BC//OA交x軸于點(diǎn)C，則；
②探究思考：將①的直線y=2改為直線y=a(a>0)，其他條件不變，則；
③類比猜想：若直線y=a(a>0)交函數(shù)的圖像于A，B兩點(diǎn)，連接OA，過(guò)點(diǎn)B作BC//OA交x軸于C，則；
（2022·湖北隨州·?？寄M預(yù)測(cè)）
16．（一）情境再現(xiàn)
借助幾何圖形探究數(shù)量關(guān)系，是一種重要的解題策略，圖1是用邊長(zhǎng)分別為a，b的兩個(gè)正方形和邊長(zhǎng)為a，b的兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)大正方形，利用這一圖形可以推導(dǎo)出的乘法公式是______；（用字母a，b表示）

（二）情境延伸
圖2是2002年北京世界數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是用邊長(zhǎng)分別為a，b，c的四個(gè)完全相同的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的大正方形，利用這一圖形可以推導(dǎo)出一個(gè)關(guān)于a，b，c的怎樣結(jié)論？并寫(xiě)出簡(jiǎn)單的推導(dǎo)過(guò)程；
（三）問(wèn)題解決
如圖3，A表示的是邊長(zhǎng)為1的一個(gè)正方形，面積為，B表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，C，D表示的是邊長(zhǎng)為1和2的兩個(gè)長(zhǎng)方形，B，C，D的面積和為，由于A，B，C，D拼成的是一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形，所以A，B，C，D的面積和可表示為或，所以.
類比上述分析過(guò)程，在圖3的基礎(chǔ)上推導(dǎo)：（畫(huà)出圖形，并寫(xiě)出必要的推導(dǎo)過(guò)程）
（四）問(wèn)題猜想
______（直接寫(xiě)出結(jié)論，不用進(jìn)行推導(dǎo)）.
（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）
17．
(1)【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．
(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．
①求的值；
②延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．
（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）
18．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，將沿翻折到處，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)．求證：
（2）【類比遷移】如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且將沿翻折到處，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)且求的長(zhǎng)．
（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形中，，為邊上的三等分點(diǎn)，將沿翻折得到，直線交于點(diǎn)求的長(zhǎng)．
（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）
19．探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．
在中，，D是邊上一點(diǎn)，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作的垂線交直線于點(diǎn)F．

【初步感知】
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．
【深入探究】
(2)①如圖2，當(dāng)，且點(diǎn)F在線段上時(shí)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并證明；
②請(qǐng)通過(guò)類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）
【拓展運(yùn)用】
(3)如圖3，連接，設(shè)的中點(diǎn)為M．若，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（用含n的代數(shù)式表示）．
（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）
20．綜合與實(shí)踐
數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過(guò)探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；
(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說(shuō)明理由；
(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)，，在一條直線上，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；
(4)實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點(diǎn)滿足，，則______．
參考答案：
1．C
【分析】先根據(jù)題意求出，進(jìn)而推出，由此代值計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，正確推出是解題的關(guān)鍵．
2．(1)
(2)
(3)，9
【分析】（1）直接將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)組合，利用平方差公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；
（2）先分組，利用完全平方公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；
（3）分組，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面積得到，，整體代入得出答案即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
∴根據(jù)題意得，，
∴原式．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了分組分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的應(yīng)用，正確分組再運(yùn)用公式法分解因式是解題關(guān)鍵．
3．（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析 （3）3
【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得，則，再由，可得，則，根據(jù)等角的余角相等得，即可得證；
（2）利用“”證明，可得，由，可得，利用“”證明，則，由正方形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得證；
（3）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，由菱形的性質(zhì)可得，，則，推出，由全等的性質(zhì)可得，，進(jìn)而推出是等邊三角形，再根據(jù)線段的和差關(guān)系計(jì)算求解即可．
【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）證明：四邊形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，

四邊形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等邊三角形，
，
．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
4．(1)
(2)見(jiàn)詳解
(3)見(jiàn)詳解
【分析】（1）根據(jù)題意可進(jìn)行求解；
（2）由折疊的性質(zhì)可知，，然后可得，則有是等邊三角形，進(jìn)而問(wèn)題可求證；
（3）連接，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明，證明，得出，即可證明．
【詳解】（1）解：由題意可知；
（2）證明：由折疊的性質(zhì)可得：，，，，
∴，，
∴是等邊三角形，
∵，，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（3）證明：連接，如圖所示：
由折疊的性質(zhì)可知：，，，
∵折痕，，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的一條三等分線．
【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定及矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線，熟練掌握折疊的性質(zhì)，證明，是解題的關(guān)鍵．
5．A
【分析】設(shè)，等式兩邊平方得，然后解一元二次方程即可．
【詳解】解：設(shè)，
兩邊平方得，
整理得，
解得，（舍去），
即則．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：方程的思想的運(yùn)用是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了規(guī)律性問(wèn)題的解決方法．
6．(1)，
(2)
(3)的值為或．
【分析】（1）直接利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；
（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求出，，再根據(jù)，最后代入求值即可；
（3）由題意可將s、t可以看作方程的兩個(gè)根，即得出，，從而由，求得或，最后分類討論分別代入求值即可．
【詳解】（1）解：∵一元二次方程的兩個(gè)根為，，
∴，．
故答案為：，；
（2）解：∵一元二次方程的兩根分別為m、n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵實(shí)數(shù)s、t滿足，
∴s、t可以看作方程的兩個(gè)根，
∴，，
∵
，
∴或，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，
，
綜上分析可知，的值為或．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形計(jì)算，分式的混合運(yùn)算．理解題意，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：和是解題關(guān)鍵．
7．(1)或，0
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式，然后化頂點(diǎn)式即可求得最小值；
（2）利用函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)△≥0，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)a＞0、a=0、a＜0，分別討論，再利用△，x=1處函數(shù)值的正負(fù)、函數(shù)對(duì)稱軸畫(huà)出草圖，結(jié)合圖象分析即可．
【詳解】（1）根據(jù)題意，得
解之，得，所以
函數(shù)的表達(dá)式或，當(dāng)時(shí)，的最小值是-8．
（2）根據(jù)題意，得而函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，所以所以．
（3）函數(shù)的圖象
圖1： 即，
所以，的值不存在．
圖2： 即的值.
圖3： 即
所以的值不存在
圖4：即
所以的值不存在．
圖5：
即
所以的值為
圖6：函數(shù)與軸的交點(diǎn)為
所以的值為0成立．
綜上所述，的取值范圍是或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．（1）中掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵；（2）中掌握二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與△的關(guān)系是解題關(guān)鍵；（3）中需注意分類討論，結(jié)合圖象分析更加直觀．
8．（1）；（2）取任意實(shí)數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，見(jiàn)解析；（3）①④；（4），見(jiàn)解析
【分析】（1）證明，得出，進(jìn)而勾股定理求得，即，整理后即可得出函數(shù)關(guān)系式；
（2）若為圖像上任意一點(diǎn)，則．設(shè)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則．當(dāng)時(shí)，可求得．則也在的圖像上，即可得證，根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)補(bǔ)全函數(shù)圖象即可求解；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象，以及中心對(duì)稱的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可求解；
（4）將（1）中的4換成，即可求解；根據(jù)（2）的圖象探究此類函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）在矩形中，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴，∴．
∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．
在中，，
∴．∴．
∴關(guān)于的表達(dá)式為：．
（2）取任意實(shí)數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱．
理由如下：
若為圖像上任意一點(diǎn)，則．
設(shè)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則．
當(dāng)時(shí)，
．
∴也在的圖像上．
∴當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
函數(shù)圖像如圖所示．

（3）根據(jù)函數(shù)圖象可得①函數(shù)值隨的增大而增大，故①正確，
②由(1)可得函數(shù)值，故函數(shù)值的范圍為，故②錯(cuò)誤；
③根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，不存在一條直線與該函數(shù)圖像有四個(gè)交點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；
④因?yàn)槠叫兴倪呅问侵行膶?duì)稱圖形，則在圖像上存在四點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形，故④正確；
故答案為：①④．
（4）關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為；
當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，有如下相關(guān)性質(zhì)：
當(dāng)時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限，函數(shù)值隨的增大而增大，的取值范圍為；
當(dāng)時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限，函數(shù)值隨的增大而減小，的取值范圍為；
函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；
函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，中心對(duì)稱的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息，根據(jù)題意求得解析式是解題的關(guān)鍵．
9．B
【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長(zhǎng)CB到D，使BD＝AB，連接AD，根據(jù)構(gòu)造的直角三角形，設(shè)AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【詳解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延長(zhǎng)CB到D，使BD＝AB，連接AD，設(shè)AC＝x，則：BC＝x，AB＝，CD＝，
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)閱讀構(gòu)造含45°的直角三角形，再作輔助線得到22.5°的直角三角形.
10．B
【分析】如圖，將△BCM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACN，連接MN，則∠MCN=90°，CN=CM=，AN=BM=3，可得MN=2，再由勾股定理逆定理可得∠AMN=90°，可得，即可求解．
【詳解】解：如圖，將△BCM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACN，連接MN，則∠MCN=90°，CN=CM=，AN=BM=3，
∴，
∵，
∴，
∴∠AMN=90°，
∴．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，勾股定理及其逆定理，熟練掌握?qǐng)D形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．
11．D
【分析】利用題干中的方法將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和（差）的形式，利用整數(shù)或整式的性質(zhì)對(duì)每個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵為負(fù)整數(shù)，
為負(fù)整數(shù)，

故①的結(jié)論正確；
∵，
又，
∴，且有最小值2，
∴有最大值3，
∴，
∴②的結(jié)論正確；
∵，
∴m＝x＋2，n?6＝?（x＋2），
∴m＝x＋2，n＝4?x．
∴m2＋n2＋mn
＝(m＋n)2?mn
＝36?（?x2＋2x＋8）
＝x2?2x＋28
＝(x?1)2＋27，
∵(x?1)2≥0，
∴m2＋n2＋mn有最小值為27，
∴③的結(jié)論正確，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減法，整式的加減法，本題是閱讀型題目，理解并熟練應(yīng)用題干中的方法是解題的關(guān)鍵．
12．3
【分析】理解題中新定義運(yùn)算的規(guī)則，對(duì)36進(jìn)行運(yùn)算即可．
【詳解】解：由題意可得：
故答案為：3
【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解新定義運(yùn)算以及掌握二次根式的性質(zhì)．
13．
【分析】把圖2可有兩種計(jì)算方法：①三個(gè)長(zhǎng)方體相加；②大正方體減去小正方體，按要求列出式子，即可解答．
【詳解】解：將圖2看作三個(gè)長(zhǎng)方體相加時(shí)，可得式子：
；
原式兩邊提取，可得原式．
故答案為：；．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法，因式分解，觀察圖形的體積如何計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
14．c2=a2+ab+b2
【分析】作AG⊥BD于G，由正三角形的性質(zhì)得出∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出結(jié)論．
【詳解】解：作AG⊥BD于G，如圖所示：
∵△DEF是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，
在Rt△ABG中，，
∴c2=a2+ab+b2．
故答案為：c2=a2+ab+b2．
【點(diǎn)睛】考查了正三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握正三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
15．（1）①1，②見(jiàn)解析，③見(jiàn)解析；（2）①函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，②當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；（3）①4，②4，③2k
【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)的變化規(guī)律得出當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，求出的值；補(bǔ)全圖象；
（2）根據(jù)（1）中的圖象，得出兩條圖象的性質(zhì)；
（3）由圖象的對(duì)稱性，和四邊形的面積與的關(guān)系，得出答案．
【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，
，
故答案為：1；補(bǔ)全圖象如圖所示：
（2）根據(jù)（1）中的圖象可得：①函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，②當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；
（3）如圖，
①由，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，由題意可得四邊形是平行四邊形，且，
②同①可知：，
③，
故答案為：4，4，．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例的圖象和性質(zhì)，列表、描點(diǎn)、連線是作函數(shù)圖象的基本方法，利用圖象得出性質(zhì)和結(jié)論是解決問(wèn)題的根本目的．
16．（一）情境再現(xiàn)：；（二）情境延伸：；（三）問(wèn)題解決：，圖見(jiàn)解析，推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)解析；（四）問(wèn)題猜想：
【分析】（一）情境再現(xiàn)：根據(jù)大正方形的面積等于兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積與兩個(gè)小正方形的面積的和。進(jìn)而列等式可得結(jié)論；
（二）情境延伸：根據(jù)大正方形的面積等于4個(gè)小直角三角形的面積與小正方形的面積和，進(jìn)而列出等式化簡(jiǎn)可得結(jié)論；
（三）問(wèn)題解決：類比圖3，畫(huà)出圖形，根據(jù)大正方形的面積等于各個(gè)小圖形的面積和，列式化簡(jiǎn)可得結(jié)論；
（四）問(wèn)題猜想：由前幾個(gè)圖形面積等式觀察出規(guī)律，進(jìn)而由化簡(jiǎn)求解即可．
【詳解】解：（一）情境再現(xiàn)
由題意，得，
故答案為：；
（二）情境延伸
結(jié)論：，
證明：由圖可知，，
，
∴，
化簡(jiǎn)，得；
（三）問(wèn)題解決
解：如圖4，A表示1個(gè)的正方形，即；
B表示1個(gè)的正方形，C與D恰好可以拼成1個(gè)的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2個(gè)的正方形，即：；
G與H，E與F和I可以表示3個(gè)的正方形，即；
而整個(gè)圖形恰好可以拼成一個(gè)的大正方形，
由此可得：；

（四）問(wèn)題猜想
由（三的）結(jié)論，，
可猜想，，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了完全平方公式的幾何背景，熟練掌握通過(guò)不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積來(lái)證明一些公式的方法，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
17．(1)見(jiàn)解析
(2)
(3)①；②
【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，從而得出結(jié)論；
（2）證明△BAD∽△CAE，進(jìn)而得出結(jié)果；
（3）①先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進(jìn)而得出結(jié)果；
②在①的基礎(chǔ)上得出∠ACE＝∠ABD，進(jìn)而∠BFC＝∠BAC，進(jìn)一步得出結(jié)果．
【詳解】（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
（3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．
18．（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）的長(zhǎng)為或
【分析】（1）根據(jù)將沿翻折到處，四邊形是正方形，得，，即得，可證；
（2）延長(zhǎng)，交于，設(shè)，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，設(shè)，則，因，有，即解得的長(zhǎng)為；
（3）分兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于，過(guò)作于，設(shè)，，則，，由是的角平分線，有①，在中，②，可解得，；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，同理解得，．
【詳解】證明：（1）將沿翻折到處，四邊形是正方形，
，，
，
，，
；
（2）解：延長(zhǎng)，交于，如圖：
設(shè)，
在中，，
，
解得，
，
，，
，
，即，
，，
，，
，，
，即，
，
設(shè)，則，
，
，
，即，
解得，
的長(zhǎng)為；
（3）（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于，過(guò)作于，如圖：
設(shè)，，則，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，，，
是的角平分線，
，即①，
，
，，，
在中，，
②，
聯(lián)立①②可解得，
；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，如圖：
同理，
，即，
由得：，
可解得，
，
綜上所述，的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形角平分線的性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．
19．(1)見(jiàn)解析
(2)①，證明過(guò)程略；②當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，
(3)
【分析】（1）連接，當(dāng)時(shí)，，即，證明，從而得到即可解答；
（2）①過(guò)的中點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)，可得是等腰直角三角形，，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，再根據(jù)，，即可得到；
②分類討論，即當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，畫(huà)出圖形，根據(jù)①中的原理即可解答；
（3）如圖，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，可得的軌跡長(zhǎng)度即為的長(zhǎng)度，可利用建系的方法表示出的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)公式求出，最后利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)度．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，

當(dāng)時(shí)，，即，
，
，，,
，，即，
，
，
在與中，
，
，
，
；
（2）①
證明：如圖，過(guò)的中點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，即，
是的中點(diǎn)，
，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，且，
，
根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，
；
故線段之間的數(shù)量關(guān)系為；
②解：當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)，
如圖，在上取一點(diǎn)使得，過(guò)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

同①，可得，
，，
，，
同①可得，
，
即線段之間數(shù)量關(guān)系為；
當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，
如圖，在上取一點(diǎn)使得，過(guò)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接

同（1）中原理，可證明，
可得，
，，
，，
同①可得，
即線段之間數(shù)量關(guān)系為,
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，；
（3）解：如圖，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，可得的軌跡長(zhǎng)度即為的長(zhǎng)度，

如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)作的垂線段，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線段，交于點(diǎn)，

，
，，
，
，
，
，
是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
根據(jù)（2）中的結(jié)論，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地畫(huà)出圖形，作出輔助線，找對(duì)邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
20．(1)，
(2)，，證明見(jiàn)解析
(3)
(4)或
【分析】（1）根據(jù)已知得出，即可證明，得出，，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；
（2）同（1）的方法即可得證；
（3）同（1）的方法證明，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，連接，以為直徑,的中點(diǎn)為圓心作圓，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使得，證明，得出，勾股定理求得，進(jìn)而求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
設(shè)交于點(diǎn)，

∵
∴，
故答案為：，．
（2）結(jié)論：，；
證明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
（3），理由如下，
∵，
∴，
即，
又∵和均為等腰直角三角形
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（4）解：如圖所示，

連接，以為直徑,的中點(diǎn)為圓心作圓，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點(diǎn)，
延長(zhǎng)至，使得，
則是等腰直角三角形，

∵,
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴
∴
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)，則，
在中，，
在中，
∴
∴
解得：，則，
設(shè)交于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，
∴
在中，
∴
∴
又，
∴
∴
∴，
∴
∴，
在中，，
∴，
綜上所述，或
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，熟練運(yùn)用已知模型是解題的關(guān)鍵．

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