專題2 填空題題型
中考數(shù)學填空題的特征是不要求寫出計算或推理過程， 只需要將結論直接寫出的 “求解題”．填空題與選擇題也有質的區(qū)別：第一，填空題沒有備選項，因此，解答時有不受答案干擾之好處，但也有缺乏提示之不足；第二，填空題的結構往往是在一個正確的命題或斷言中，抽出其中的一些內(nèi)容 （既可以是條件，也可以是結論），留下空位，讓考生獨立填上，考查方法比較靈活．從歷年中考數(shù)學成績看，填空題得分率一直不是很高，因為填空題的結果必須是數(shù)值準確、形式規(guī)范、表達式最簡，稍有毛病，便是零分．因此，解填空題要求在“快速、準確”上下功夫，由于填空題不需要寫出具體的推理、計算過程，因此要想“快速”解答填空題，則千萬不可“小題大做”，而要達到“準確”，則必須合理靈活地運用恰當?shù)姆椒?，在“巧”字上下功夫．解填空題的基本原則是“小題不能大做”，基本策略是“巧做”．解填空題的常用方法有：直接法、數(shù)形結合法、特殊化法、等價轉化法、構造法等．
考點講解：直接法就是從題干給出的條件出發(fā)，運用定義、定理、公式、性質、法則等知識，通過變形、推理、計算等，直接得出結論．這種策略多用于一些定性的問題，是解填空題最常用的策略．這類填空題是由計算題、應用題、證明題、判斷題改編而成的，可直接從題設的條件出發(fā)，利用已知條件、相關公式、公理、定理、法則等通過準確的運算、嚴謹?shù)耐评?、合理的驗證得出正確的結論，使用此法時，要善于透過現(xiàn)象看本質，自覺地、有意識地采用靈活、簡捷的解法．
【例1】
（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）
1．計算： ．
【變1】
（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）
2．如圖，．過點作，延長到，使，連接．若，則 ．（結果保留根號）

考點講解：因為填空題不需要呈現(xiàn)完整的解題過程，所以當我們正常求解問題無思路，或答題時間緊迫時，可以從“特殊”處思考．對于動態(tài)變化問題，學生可以根據(jù)題目的條件選取一個或幾個特殊的點、坐標、幾何圖形等，相互佐證，從而得到答案．從特殊情況思考，也有可能引出一般情況的結論，即“特殊到一般”的思維方法．從特殊入手，思維起點低，只需根據(jù)題目的某一種或某幾種情況就能確定題目的答案，達到“事半功倍”的效果．
【例1】
（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）
3．已知 用“＜”表示的大小關系為 .
【變1】
（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）
4．如圖，直線（k為常數(shù)，）與x，y軸分別交于點A，B，則的值是 ．

考點講解：華羅庚教授曾經(jīng)說過數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛．數(shù)形結合是一種極富數(shù)學特點的信息轉換，數(shù)學上總是用數(shù)的抽象性質來說明形象的事實，同時又用圖形的性質來說明數(shù)的事實，數(shù)形結合是高中數(shù)學非常重要的解題方法．
【例1】
（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）
5．快遞員經(jīng)常駕車往返于公司和客戶之間．在快遞員完成某次投遞業(yè)務時，他與客戶的距離與行駛時間之間的函數(shù)關系如圖所示（因其他業(yè)務，曾在途中有一次折返，且快遞員始終勻速行駛），那么快遞員的行駛速度是 ．
【變1】
（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）
6．在中，點D在邊上，點E在延長線上，且，如果過點A，過點D，若與有公共點，那么半徑r的取值范圍是 ．
考點講解：填空題的后幾道題一般難度較大，直接解答可能較為復雜，因此需要將問題等價轉化來解決，實現(xiàn)高效做題．一般有以下幾種轉化方向：平行轉化策略，從題目的條件入手，思考條件與目標的聯(lián)系，將問題等價轉化為熟悉的問題，比如通過換元法將復雜代數(shù)式簡化為熟悉的代數(shù)式；正難則反策略，顧名思義，即正向思考受阻，則逆向思考可能豁然開朗．
【例1】
（2023山西太原模擬）
7．方程的負整數(shù)解為 ．
【變1】
（2023河南鄭州模擬）
8．已知：都是正數(shù)，且．則的最小值是 ．
考點講解：構造型填空題的求解，需要利用已知條件和結論的特殊性構造出新的數(shù)學模型，從而簡化推理與計算過程，使較復雜的數(shù)學問題得到簡捷的解決，它來源于對基礎知識和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過的類似問題中尋找靈感，構造出相應的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學模型，使問題快速解決．
【例1】
（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）
9．如圖，在平面直角坐標系中，的邊在y軸上，點C在第一象限內(nèi)，點B為的中點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C兩點．若的面積是6，則k的值為 ．

【變1】
（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）
10．如圖，邊長為2的等邊的兩個頂點分別在兩條射線上滑動，若，則的最大值是 ．

（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）
11．若，則代數(shù)式，的值為 ．
2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）
12．如圖，在正方形中，，點E，F(xiàn)分別在邊，上，與相交于點G，若，則的長為 ．
（2023四川成都模擬）
13．若實數(shù)x滿足，則的值是 ．
（2023·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）
14．學校提倡“低碳環(huán)保，綠色出行”，小明和小亮分別選擇步行和騎自行車上學，兩人各自從家同時同向出發(fā)，沿同一條路勻速前進．如圖所示，和分別表示兩人到小亮家的距離和時間的關系，則出發(fā) h后兩人相遇．

（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）
15．如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則 ．

（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）
16．方程的解為 ．
（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）
17．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是 ．
（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）
18．如圖，在矩形和正方形中，點A在y軸正半軸上，點C，F(xiàn)均在x軸正半軸上，點D在邊上，，．若點B，E在同一個反比例函數(shù)的圖象上，則這個反比例函數(shù)的表達式是 ．
（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）
19．“做數(shù)學”可以幫助我們積累數(shù)學活動經(jīng)驗．如圖，已知三角形紙片，第1次折疊使點落在邊上的點處，折痕交于點；第2次折疊使點落在點處，折痕交于點．若，則 ．
（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）
20．在平面直角坐標系中，一個圖形上的點都在一邊平行于軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)的圖象（拋物線中的實線部分），它的關聯(lián)矩形為矩形．若二次函數(shù)圖象的關聯(lián)矩形恰好也是矩形，則 ．

（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）
21．如圖，3個大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個頂點得到，則的值是 ．

（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）
22．如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點D是線段AB上一動點，點H是直線上的一動點，動點，連接．當取最小值時，的最小值是 ．

2023·山東·統(tǒng)考中考真題）
23．如圖，在四邊形中，，點E在線段上運動，點F在線段上，，則線段的最小值為 ．

（2021·廣西·統(tǒng)考中考真題）
24．如圖，已知點，，兩點，在拋物線上，向左或向右平移拋物線后，，的對應點分別為，，當四邊形的周長最小時，拋物線的解析式為 ．
（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）
25．出入相補原理是我國古代數(shù)學的重要成就之一，最早是由三國時期數(shù)學家劉徽創(chuàng)建．“將一個幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一、如圖，在矩形中，，，對角線與交于點O，點E為邊上的一個動點，，，垂足分別為點F，G，則 ．

（2022·山西·中考真題）
26．如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC上的一點，點F在邊CD的延長線上，且，連接EF交邊AD于點G．過點A作，垂足為點M，交邊CD于點N．若，，則線段AN的長為
（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）
27．二次函數(shù)的圖像與x軸交于點、，與軸交于點，過點的直線將分成兩部分，這兩部分是三角形或梯形，且面積相等，則的值為 ．
參考答案：
1．1
【分析】根據(jù)先計算絕對值，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，再進行加減計算即可．
【詳解】解：
故答案為：1．
【點睛】本題考查了實數(shù)的運算，掌握絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的運算是解題的關鍵．
2．##
【分析】如圖，過作，交的延長線于點，設，可得，證明，，為等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程組可得答案．
【詳解】解：如圖，過作，交的延長線于點，

設，
∵，，
∴，
∵，
∴，，為等腰直角三角形，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
整理得：，
解得：，
經(jīng)檢驗不符合題意；
∴；
故答案為：．
【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質，勾股定理的應用，一元二次方程的解法，作出合適的輔助線構建直角三角形是解本題的關鍵．
3．
【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再與0比較大小即可求解．
【詳解】解：由題意可知：，
∵，
∴，
∴；
，當且僅當時取等號，此時與題意矛盾，
∴
∴；
，同理，
故答案為：．
【點睛】本題考查了兩代數(shù)式通過作差比較大小，將作差后的結果配成完全平方式，利用完全平方式總是大于等于0的即可與0比較大小．
4．1
【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式得出，，然后代入化簡即可．
【詳解】解：，
∴當時，，當時，，
∴，，
∴，
故答案為：1．
【點睛】題目主要考查一次函數(shù)與坐標軸的交點及求代數(shù)式的值，熟練掌握一次函數(shù)的性質是解題關鍵．
5．35
【分析】根據(jù)圖象求出快遞員往返的時間為2（0.35﹣0.2）h，然后再根據(jù)速度＝路程÷時間．
【詳解】解：∵快遞員始終勻速行駛，
∴快遞員的行駛速度是35（km/h）．
故答案為：35．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用，關鍵是結合圖象掌握快遞員往返的時間．
6．
【分析】先畫出圖形，連接，利用勾股定理可得，，從而可得，再根據(jù)與有公共點可得一個關于的不等式組，然后利用二次函數(shù)的性質求解即可得．
【詳解】解：由題意畫出圖形如下：連接，

過點，且，
的半徑為7，
過點，它的半徑為，且，
，
，
，，
在邊上，點在延長線上，
，即，
，
與有公共點，
，即，
不等式①可化為，
解方程得：或，
畫出函數(shù)的大致圖象如下：

由函數(shù)圖象可知，當時，，
即不等式①的解集為，
同理可得：不等式②的解集為或，
則不等式組的解集為，
又，
半徑r的取值范圍是，
故答案為：．
【點睛】本題考查了勾股定理、圓與圓的位置關系、二次函數(shù)與不等式，根據(jù)圓與圓的位置關系正確建立不等式組是解題關鍵．
7．
【分析】本題考查換元法在解一元二次方程中的應用，設，，則，則可得，可得，即可得到或，再解方程即可，仔細觀察得到是解題的關鍵．
【詳解】解：設，，則，
可得，
解得，
或，
解得，
故方程的負整數(shù)解為，
故答案為：．
8．
【分析】本題考查勾股定理，動點問題，解題的關鍵是理解題中所給的思路，根據(jù)題干中的思路進行解答．
根據(jù)題意，將可以可看作兩直角邊分別是和3的的斜邊長，可以可看作兩直角邊分別是和5的的斜邊長，故問題轉化為求的最小值，連接，則的最小值為，再利用勾股定理計算出即可．
【詳解】解：如圖：
在中，兩直角邊為和3，則為斜邊長，
在中，兩直角邊為和，則為斜邊長，
∴轉化為求的最小值，連接，則的最小值為，
∵，則，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值為，
故答案為：．
9．4
【分析】過B，C兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為D，E，設B點坐標為，則，由點B為的中點，推出C點坐標為，求得直線的解析式，得到A點坐標，根據(jù)的面積是6，列式計算即可求解．
【詳解】解：過B，C兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為D，E，

∴，
∴，
∴，
設B點坐標為，則，
∵點B為的中點，
∴，
∴，
∴C點坐標為，
設直線的解析式為，
∴，解得，
∴直線的解析式為，
當時，，
∴A點坐標為，
根據(jù)題意得，
解得，
故答案為：4．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質、相似三角形的判定及性質、求一次函數(shù)解析式、坐標與圖形，解題關鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質及相似三角形的性質．
10．##
【分析】如圖所示，取的中點D，連接，先根據(jù)等邊三角形的性質和勾股定理求出，再根據(jù)直角三角形的性質得到，再由可得當三點共線時，有最大值，最大值為．
【詳解】解：如圖所示，取的中點D，連接，
∵是邊長為2的等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴當三點共線時，有最大值，最大值為，
故答案為：．

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質等等，正確作出輔助線確定當三點共線時，有最大值是解題的關鍵．
11．
【分析】根據(jù)分式的化簡法則，將代數(shù)式化簡可得，再將變形，即可得到答案．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
，
故原式的值為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了分式的化簡法則，整式的整體代入，熟練對代數(shù)式進行化簡是解題的關鍵．
12．
【分析】根據(jù)題意證明，，利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質，掌握這些性質是解題的關鍵．
13．5
【分析】根據(jù)方程特點設，則原方程可化為，接下來解一元二次方程求y，即為的值，最后驗根即可解答．本題屬于換元法解方程的問題，關鍵是掌握這類問題的求解方法．
【詳解】解：方程整理得：，
設，
則原方程變形為：，
，
，，
當時，，
，
，
則，
故答案為：5
14．0.35
【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以計算出小明和小亮的速度，從而可以解答本題．
【詳解】解：由題意和圖象可得，小明0.5小時行駛了，
∴小明的速度為：，
小亮0.4小時行駛了，
∴小明的速度為：，
設兩人出發(fā)后兩人相遇，
∴
解得，
∴兩人出發(fā)0.35后兩人相遇，
故答案為：0.35
【點睛】本題考查函數(shù)的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解答．
15．
【分析】取的中點，連接，先根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，然后根據(jù)正弦的定義即可得．
【詳解】解：如圖，取的中點，連接，

，
，
又點是的中點，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、等腰三角形的三線合一、正弦，熟練掌握正弦的求解方法是解題關鍵．
16．
【分析】依據(jù)題意將分式方程化為整式方程，再按照因式分解即可求出的值．
【詳解】解：，
方程兩邊同時乘以得，，
，
，
，
或．
經(jīng)檢驗時，，故舍去．
原方程的解為：．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是解分式方程，解題的關鍵在于注意分式方程必須檢驗根的情況．
17．10
【分析】延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出CE＝FG，得出當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，根據(jù)勾股定理求出AG即可．
【詳解】解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，
∵，EF＝CG，
∴四邊形EFGC是平行四邊形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，
∴當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG，
由勾股定理得，AG＝＝＝10，
∴AF+CE的最小值為10，
故答案為：10．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的判定和性質，根據(jù)題意作出輔助線，得出當A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，是解題的關鍵．
18．
【分析】設正方形的邊長為m，根據(jù)，，得到，根據(jù)矩形對邊相等得到，推出，根據(jù)點B，E在同一個反比例函數(shù)的圖象上，得到，得到，推出．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，
設正方形的邊長為m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
設反比例函數(shù)的表達式為，
∴，
解得或（不合題意，舍去），
∴，
∴，
∴這個反比例函數(shù)的表達式是，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)，解決問題的關鍵是熟練掌握矩形性質，正方形性質，反比例函數(shù)性質，k的幾何意義．
19．6
【分析】根據(jù)第一次折疊的性質求得和，由第二次折疊得到，，進而得到，易得MN是的中位線，最后由三角形的中位線求解．
【詳解】解：∵已知三角形紙片，第1次折疊使點落在邊上的點處，折痕交于點，
∴，．
∵第2次折疊使點落在點處，折痕交于點，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴MN是的中位線，
∴，．
∵，，
∴．
故答案為：6．
【點睛】本題主要考查了折疊的性質和三角形中位線的性質，理解折疊的性質，三角形的中位線性質是解答關鍵．
20．或
【分析】根據(jù)題意求得點，，，根據(jù)題意分兩種情況，待定系數(shù)法求解析式即可求解．
【詳解】由，當時，，
∴，
∵，四邊形是矩形，
∴，
①當拋物線經(jīng)過時，將點，代入，
∴
解得：
②當拋物線經(jīng)過點時，將點,代入，
∴
解得：
綜上所述，或，
故答案為：或．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，理解新定義，最小矩形的限制條件是解題的關鍵．
21．
【分析】如圖所示，補充一個與已知相同的正六邊形，根據(jù)正六邊形的內(nèi)角為，設正六邊形的邊長為1，求得，根據(jù)正切的定義，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，補充一個與已知相同的正六邊形，

∵正六邊形對邊互相平行，且內(nèi)角為，
∴

過點作于，
∴
設正六邊形的邊長為1，則，，
∴
故答案為：．
【點睛】本題考查了正六邊形的性質，解直角三角形，熟練掌握正六邊形的性質是解題的關鍵．
22．
【分析】作出點，作于點D，交x軸于點F，此時的最小值為的長，利用解直角三角形求得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，聯(lián)立即可求得點D的坐標，過點D作軸于點G，此時的最小值是的長，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，
∴，，
作點B關于x軸的對稱點，把點向右平移3個單位得到，
作于點D，交x軸于點F，過點作交x軸于點E，則四邊形是平行四邊形，
此時，，
∴有最小值，
作軸于點P，

則，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，則，
設直線的解析式為，
則，解得，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，，解得，
即；
過點D作軸于點G，

直線與x軸的交點為，則，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是，
故答案為：．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用，解直角三角形，利用軸對稱求最短距離，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
23．##
【分析】設的中點為O，以為直徑畫圓，連接，設與的交點為點，證明，可知點F在以為直徑的半圓上運動，當點F運動到與的交點時，線段有最小值，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：設的中點為O，以為直徑畫圓，連接，設與的交點為點，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴點F在以為直徑的半圓上運動，
∴當點F運動到與的交點時，線段有最小值，
∵，
∴，，
∴，
的最小值為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線的性質，圓周角定理的推論，勾股定理等知識，根據(jù)題意分析得到點F的運動軌跡是解題的關鍵．
24．．
【分析】先通過平移和軸對稱得到當B、E、三點共線時，的值最小，再通過設直線的解析式并將三點坐標代入，當時，求出a的值，最后將四邊形周長與時的周長進行比較，確定a的最終取值，即可得到平移后的拋物線的解析式．
【詳解】解：∵，，，，
∴，，
由平移的性質可知：,
∴四邊形的周長為；
要使其周長最小，則應使的值最?。?br>設拋物線平移了a個單位，當a>0時，拋物線向右平移，當a

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