一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.(2024·遼寧葫蘆島一模)已知F1,F2分別是橢圓C:x2m+y2=1的左、右焦點(diǎn),P是橢圓C上的一點(diǎn),且|PF1|+|PF2|=6,則橢圓C的離心率是( )
A.13B.33C.223D.229
答案C
解析因?yàn)镻是橢圓C上的一點(diǎn),且|PF1|+|PF2|=6,所以m=9,即橢圓C:x29+y2=1,則橢圓C的半焦距c=9-1=22,所以離心率e=223.故選C.
2.(2024·山東泰安模擬)已知等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,雙曲線C與拋物線y2=-8x的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2,則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為( )
A.43B.6C.23D.3
答案C
解析設(shè)等軸雙曲線C的方程為x2a-y2a=1(a>0),而拋物線y2=-8x的準(zhǔn)線為x=2,將x=2代入x2a-y2a=1(a>0)得y2=4-a,由題意y2=4-a>0,所以|AB|=24-a=2,解得a=3,所以雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=23.故選C.
3.(2024·河南鄭州三模)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P為拋物線C上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)∠PFO=2π3時(shí),|PF|=6,則p=( )
A.4B.3C.2D.1
答案B
解析如圖,過點(diǎn)P作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線,垂足為P1,作FE⊥PP1,垂足為E.由∠PFO=2π3,得∠PFE=π6,所以|PE|=12|PF|=3.由拋物線定義得p=|P1E|=|PP1|-|PE|=|PF|-|PE|=6-3=3.故選B.
4.(2024·湖北武漢期中)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)F1,F2分別是雙曲線x2-y2=9的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線左支上任意一點(diǎn),過點(diǎn)F1作∠F1PF2的平分線的垂線,垂足為H,則|OH|=( )
A.3B.6C.9D.18
答案A
解析如圖所示,延長(zhǎng)F1H交PF2于點(diǎn)Q.由PH為∠F1PF2的平分線及PH⊥F1Q,易知△PHF1≌△PHQ,所以|PF1|=|PQ|.雙曲線方程化為x29-y29=1,所以|PF2|-|PF1|=6,即|PF2|-|PQ|=6,從而|QF2|=6.在△F1QF2中,O,H分別為F1F2,F1Q的中點(diǎn),則|OH|=12|QF2|=3.故選A.
5.(2024·廣東佛山模擬)焦點(diǎn)為F的拋物線C:y2=2px(p>0)的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線交于點(diǎn)A,點(diǎn)B在拋物線C上且在第一象限,在△ABF中,3sin∠AFB=4sin∠FAB,則直線BF的斜率為( )
A.142B.43
C.1D.72
答案A
解析如圖,過點(diǎn)B作準(zhǔn)線的垂線,垂足為H,過點(diǎn)B作x軸的垂線,垂足為E.由拋物線的定義可得|BF|=|BH|,因?yàn)?sin∠AFB=4sin∠FAB,所以由正弦定理可知|AB|=43|BF|=43|BH|,則|AH|=73|BH|.設(shè)BF的傾斜角為α,則sin α=|BE||BF|=|AH||BH|=73,解得tan α=142,即直線BF的斜率k=142.故選A.
6.(2024·江蘇揚(yáng)州模擬)已知F1,F2分別是雙曲線C:x24-y2b2=1(b>0)的左、右焦點(diǎn),M是雙曲線C右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且|MF1|2-|MF2|2的最小值是86,則雙曲線C的漸近線方程為( )
A.y=±12xB.y=±2x
C.y=±22xD.y=±32x
答案C
解析(方法一)不妨設(shè)F1(-c,0),F2(c,0),M(x0,y0),且x0≥2,則|MF1|2-|MF2|2=(x0+c)2+y02-[(x0-c)2+y02]=4cx0≥8c,所以8c=86,解得c=6,則b=2,故雙曲線C的漸近線方程為y=±22x.故選C.
(方法二)|MF1|2-|MF2|2=(|MF1|-|MF2|)·(|MF1|+|MF2|)=4(|MF1|+|MF2|)=4(4+2|MF2|)≥4[4+2(c-2)]=8c,所以8c=86,解得c=6,則b=2,故雙曲線C的漸近線方程為y=±22x.故選C.
7.(2024·山西太原三模)已知F1,F2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn),P(4,3)是橢圓C上一點(diǎn),△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為I(m,1),則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A.x224+y227=1B.x228+y221=1
C.x252+y213=1D.x264+y212=1
答案B
解析依題意,設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由點(diǎn)P(4,3)在橢圓C上,得16a2+9b2=1,顯然△PF1F2的內(nèi)切圓與直線F1F2相切,所以該圓半徑為1.又因?yàn)镾△PF1F2=12(2a+2c)·1=a+c,且S△PF1F2=12·2c·3=3c,所以a=2c,b2=a2-c2=34a2.因此16a2+12a2=1,解得a2=28,b2=21,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x228+y221=1.故選B.
8.(2024·湖南師大附中模擬)已知拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)P(x0,y0),點(diǎn)A(3,21),則y022+2|PA|的最小值是( )
A.10B.8C.5D.4
答案B
解析由題意y02=4x0,所以y024=x0.又因?yàn)?21)2>4×3,所以點(diǎn)A(3,21)在拋物線C:y2=4x的左側(cè),如圖,則y022+2|PA|=2(y024+|PA|)=2(x0+|PA|)=2(x0+1+|PA|)-2.又因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,所以|PF|=x0+1,因此y022+2|PA|=2(|PF|+|PA|)-2.由于|PF|+|PA|≥|AF|,當(dāng)A,P,F三點(diǎn)共線(點(diǎn)P在點(diǎn)A,點(diǎn)F之間)時(shí),|PF|+|PA|取到最小值|AF|=(3-1)2+(21)2=5,則y022+2|PA|=2(|PF|+|PA|)-2的最小值為2×5-2=8.故選B.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.(2024·江蘇南通二模)已知雙曲線C:x24-y2b2=1(b>0)的右焦點(diǎn)為F,直線l:x+by=0是雙曲線C的一條漸近線,P是l上一點(diǎn),則下列結(jié)論正確的有( )
A.雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為22
B.雙曲線C的離心率為6
C.|PF|的最小值為2
D.直線PF的斜率不等于-22
答案AD
解析雙曲線C:x24-y2b2=1的漸近線方程為bx±2y=0,依題意,-1b=-b2,又b>0,所以b=2,所以雙曲線C的虛軸長(zhǎng)2b=22,故A正確;又雙曲線C的離心率e=a2+b2a=62,故B錯(cuò)誤;點(diǎn)F(6,0)到直線l:x+2y=0的距離為612+(2)2=2,即|PF|的最小值為2,故C錯(cuò)誤;又直線l:x+2y=0的斜率為-22,而點(diǎn)F不在l上,點(diǎn)P在l上,則直線PF的斜率不等于-22,故D正確.故選AD.
10.(2024·浙江金華模擬)已知F1,F2分別是橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓M上,且|PF1|-|PF2|=4b,則橢圓M的離心率可能為( )
A.255B.155C.31010D.7010
答案AC
解析由題意得|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|-|PF2|=4b,
則|PF1|=a+2b,|PF2|=a-2b.由|PF1|=a+2b≤a+c,|PF2|=a-2b≥a-c,得2b≤c,即4b2=4(a2-c2)≤c2,得ca≥255,所以橢圓M離心率的取值范圍為[255,1),由選項(xiàng)可知,可能的取值為255和31010.故選AC.
11.(2024·江西九江二模)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在拋物線C上.若定點(diǎn)M(2,3)滿足|MF|=2|OF|,則下列結(jié)論正確的有( )
A.C的準(zhǔn)線方程為x=-2
B.△PMF周長(zhǎng)的最小值為5
C.直線MF的傾斜角為π6
D.四邊形OPMF不可能是平行四邊形
答案BD
解析拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F(p2,0),準(zhǔn)線方程為x=-p2.又點(diǎn)M(2,3)滿足|MF|=2|OF|,所以(p2-2) 2+(0-3)2=2×p2,即3p2+8p-28=0,解得p=2或p=-143(舍去),所以拋物線C:y2=4x,則準(zhǔn)線方程為x=-1,焦點(diǎn)為F(1,0),故A錯(cuò)誤;過點(diǎn)P作準(zhǔn)線x=-1的垂線,垂足為H,由拋物線的定義可知|PH|=|PF|,所以△PMF的周長(zhǎng)C△PMF=|PM|+|MF|+|PF|=|PM|+|MF|+|PH|=|PM|+|PH|+2≥|MH|+2=5,當(dāng)且僅當(dāng)M,P,H三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立,所以△PMF周長(zhǎng)的最小值為5,故B正確;因?yàn)橹本€MF的斜率kMF=3-02-1=3,所以直線MF的傾斜角為π3,故C錯(cuò)誤;過點(diǎn)M作OF的平行線,交拋物線于點(diǎn)P,即y2=4x,y=3,解得x=34,y=3,即P(34,3),則|MP|=2-34=54≠|(zhì)OF|,所以四邊形OPMF不是平行四邊形,故D正確.故選BD.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.(2024·山東濟(jì)南期末)已知點(diǎn)A(2,1),拋物線C的準(zhǔn)線為l,且點(diǎn)A到l的距離為1,試寫出一條符合該要求的拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程 .
答案y2=-4x(答案不唯一)
解析由于點(diǎn)A(2,1),且點(diǎn)A到l的距離為1,所以準(zhǔn)線l的方程可以是x=1,x=3,y=2,因此拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是y2=-4x,y2=-12x,x2=-8y中的一個(gè).
13.(2024·安徽馬鞍山三模)已知雙曲線Γ:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過點(diǎn)F2的直線與雙曲線Γ的右支交于A,B兩點(diǎn).若|AF1|=8,|BF1|=5,∠AF1B=60°,則a= .
答案32
解析依題意過點(diǎn)F2的直線與雙曲線Γ的右支交于A,B兩點(diǎn),且|AF1|=8,|BF1|=5,∠AF1B=60°,則|AF2|=8-2a,|BF2|=5-2a,所以|AB|=|AF2|+|BF2|=13-4a,可得(13-4a)2=82+52-2×5×8cs 60°,解得a=32或a=5(舍去).
14.(2024·湖南邵陽一模)已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)F1,F2,它們的離心率分別為e1,e2,P為它們的一個(gè)交點(diǎn),且cs∠F1PF2=-14.當(dāng)3e12+e22取最小值時(shí),e12的值為 .
答案5+58
解析設(shè)橢圓方程為x2a12+y2b12=1(a1>b1>0),雙曲線方程為x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0),橢圓和雙曲線的焦距為2c.不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,由題意知|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,則|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.由余弦定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2,即4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)(-14),整理得4c2=52a12+32a22,則4=52e12+32e22,可得3e12+e22=(3e12+e22)·1=14(52e12+32e22)(3e12+e22)=14(9+5e222e12+9e122e22)≥14(9+25e222e12·9e122e22)=9+354,當(dāng)且僅當(dāng)5e222e12=9e122e22時(shí),等號(hào)成立,可得5e22=3e12,3e12+e22=9+354,解得e12=5+58.

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