主干知識達標練
1.(17分)(2024山東聊城一模)已知拋物線C關(guān)于y軸對稱,頂點在原點,且經(jīng)過點P(2,2),動直線l:y=kx+b不經(jīng)過點P,與C相交于A,B兩點,且直線PA和PB的斜率之積等于3.
(1)求C的標準方程;
(2)證明:直線l過定點,并求出定點坐標.
(1)解由拋物線C關(guān)于y軸對稱,故可設(shè)C:x2=2py(p>0),由P(2,2)在拋物線C上,故4=2p×2,解得p=1,故C:x2=2y.
(2)證明如圖,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),kPA=y1-2x1-2=x122-2x1-2=(x1-2)(x1+2)2(x1-2)=x1+22,同理可得kPB=x2+22,由題意得kPA·kPB=x1+22·x2+22=3,化簡得x1x2+2(x1+x2)=8,(*)
聯(lián)立直線l方程與拋物線方程,有x2=2y,y=kx+b,
即x2-2kx-2b=0,Δ=4k2+8b>0,x1+x2=2k,x1x2=-2b,代入(*)式,即有-2b+2×2k=8,化簡得b=2k-4,此時Δ=4k2+8b=4k2+16k-32,則Δ>0有解,則l:y=k(x+2)-4,即直線l過定點(-2,-4).
2.(17分)(2024湖南衡陽模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點為A2,雙曲線C的左、右焦點分別為F1,F2,且|F1F2|=4,雙曲線C的一條漸近線方程為y=3x.
(1)求雙曲線C的標準方程;
(2)已知過點P(1,4)的直線與雙曲線C右支交于A,B兩點,點Q在線段AB上,若存在實數(shù)λ(λ>0且λ≠1),使得AP=-λPB,AQ=λQB,證明:直線A2Q的斜率為定值.
(1)解設(shè)雙曲線C的半焦距為c,由|F1F2|=4,得2c=4,即c=2,所以a2+b2=4,又雙曲線C的一條漸近線方程為y=3x,所以ba=3,解得a=1,b=3,故雙曲線C的方程為x2-y23=1.
(2)證明如圖,設(shè)直線與雙曲線C交于A(x1,y1),B(x2,y2),點Q(x0,y0),P(1,4),因為存在實數(shù)λ>0且λ≠1,使得AP=-λPB,AQ=λQB,所以(1-x1,4-y1)=-λ(x2-1,y2-4),(x0-x1,y0-y1)=λ(x2-x0,y2-y0),整理得x1-λx2=1-λ,①
x1+λx2=(1+λ)x0,②
兩式相乘得x12-λ2x22=x0(1-λ2),③
同理y1-λy2=4(1-λ),④
y1+λy2=(1+λ)y0,⑤
兩式相乘得y12-λ2y22=4y0(1-λ2),⑥
由于雙曲線C上的點的坐標滿足3x2-y2=3,且A,B均在雙曲線上,
所以③×3-⑥得3x12-y12-λ2(3x22-y22)=(3x0-4y0)(1-λ2),
即3-3λ2=(3x0-4y0)(1-λ2),又λ>0,λ≠1,所以3x0-4y0=3,
即點Q(x0,y0)在直線3x-4y-3=0上,又A2(1,0)也在直線3x-4y-3=0上,所以直線A2Q的斜率為34(定值).
關(guān)鍵能力提升練
3.(17分)(2024山東青島模擬)中心在原點、焦點在坐標軸上的雙曲線C經(jīng)過點(-3,2),一條漸近線方程為x-3y=0.
(1)求C的方程;
(2)若過C的上焦點F的直線與C交于A,B兩點,求證:以AB為直徑的圓過定點,并求該定點.
(1)解由題可設(shè)雙曲線方程為x2-3y2=λ(λ≠0),
∵雙曲線經(jīng)過點(-3,2),
∴λ=(-3)2-3(2)2=-3,
∴雙曲線C的方程為y2-x23=1.
(2)證明如圖,設(shè)直線AB方程為x=m(y-2),A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立
x=m(y-2),3y2-x2=3?3y2-(m2y2-4m2y+4m2)=3?(3-m2)y2+4m2y-4m2-3=0,顯然Δ>0,m≠±3,∴y1+y2=-4m23-m2,y1y2=-4m2+33-m2,則x1x2=m2(y1-2)(y2-2)=m2[y1y2-2(y1+y2)+4]=9m23-m2,
以AB為直徑的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,即x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0,由對稱性知以AB為直徑的圓必過y軸上的定點,令x=0,得y2-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0,
∴y2+4m23-m2y+9m23-m2-4m2+33-m2=0,即(3-m2)y2+4m2y+5m2-3=0.
∴[(3-m2)y+5m2-3](y+1)=0對?m∈R恒成立,y=-1,
∴以AB為直徑的圓經(jīng)過定點(0,-1).
當y=2時,A(-3,2),B(3,2),此時圓的方程為x2+(y-2)2=9,也經(jīng)過點(0,-1),經(jīng)驗證,以AB為直徑的圓過定點(0,-1).
核心素養(yǎng)創(chuàng)新練
4.(17分)(2024新疆烏魯木齊二模)在平面直角坐標系xOy中,重新定義兩點A(x1,y1),B(x2,y2)之間的“距離”為|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|,我們把到兩定點F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)的“距離”之和為常數(shù)2a(a>c)的點的軌跡叫“橢圓”.
(1)求“橢圓”的方程;
(2)根據(jù)“橢圓”的方程,研究“橢圓”的范圍、對稱性,并說明理由;
(3)設(shè)c=1,a=2,作出“橢圓”的圖形,設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為C,C的左頂點為A,過點F2作直線交C于M,N兩點,△AMN的外心為Q,求證:直線OQ與MN的斜率之積為定值.
(1)解設(shè)“橢圓”上任意一點為P(x,y),則|PF1|+|PF2|=2a,即|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=2a,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0),所以“橢圓”的方程為|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0).
(2)解由方程|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,得2|y|=2a-|x+c|-|x-c|,
因為|y|≥0,所以2a-|x+c|-|x-c|≥0,即2a≥|x+c|+|x-c|,所以x≤-c,-x-c-x+c≤2a,或
-c

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