專題5 幾何變換
第1講 相似三角形
一、比例的性質(zhì)
1．基本性質(zhì)：如果ab=cd，那么ad=bc；
2．合比性質(zhì)：如果ab=cd，那么a+bb=c+dd；
3．等比性質(zhì)：如果ab=cd=?=mn(b+d+?+n≠0)，那么a+c+?+mb+d+?+n=ab；
二、比例線段
1．比例線段：在四條線段a、b、c、d中，如果ab=cd，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段；
2．黃金分割：如圖，將一條線段AB分割成大小兩條線段AP、PB，若小段與大段的長度之比等于大段的長度與全長之比，即PBAP=APAB（此時線段AP叫作線段PB、AB的比例中項），則P點就是線段AB的黃金分割點（黃金點），這種分割就叫黃金分割．
（2）黃金比：5?12≈0.618；
三、平行線分線段成比例
1．平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等；
2．平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應線段成比例．
3．三角形一邊的平行線性質(zhì)定理： 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例
4．三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論：平行于三角形一邊并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊的對應成比例；
四、相似圖形
1．相似圖形：形狀相同，大小不相同的兩個圖形；
2．相似多邊形：
（1）判定：如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，那么這兩個多邊形相似；
（2）性質(zhì)：相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等；
五、相似三角形
1．判定
判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似；
判定方法（二）：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；
判定方法（三）：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似；
判定方法（四）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似；
2．性質(zhì)
（1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；
（2）相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比．
（3）相似三角形周長的比等于相似比；
（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方．
3．模型
（1）A型
（2）“8”字型
（3）母子型
（4）手拉手模型
（5）K型（一線三等角）模型
（6）三角形內(nèi)接矩形
《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》2022年版，學業(yè)質(zhì)量要求：
1．了解圖形相似的意義；
2．會判斷簡單的相似三角形；
【例1】
（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）
1．若a2=3b，則ab=（ ）
A．6B．32C．1D．23
【變1】
（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）
2．小慧同學在學習了九年級上冊“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學習內(nèi)容是一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學習過程．圖中橫線處應填：

【例1】
（2022·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）
3．在設(shè)計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計高度約是（ ）（結(jié)果精確到0.01m．參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）
A．0.73mB．1.24mC．1.37mD．1.42m
【變1】
（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）
4．如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，F(xiàn)D=2.則BEEC的值為 ．

【例1】
（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）
5．如圖，在正方形ABCD中，AB=8，點E在邊AD上，且AD=4AE，點P為邊AB上的動點，連接PE，過點E作EF⊥PE，交射線BC于點F，則EFPE= ．若點M是線段EF的中點，則當點P從點A運動到點B時，點M運動的路徑長為 ．

【變1】
（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）
6．如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D是AB邊上不與A,B重合的一個定點．AO⊥BC于點O，交CD于點E．DF是由線段DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，F(xiàn)D,CA的延長線相交于點M．

(1)求證：△ADE∽△FMC；
(2)求∠ABF的度數(shù)；
(3)若N是AF的中點，如圖2．求證：ND=NO．
【例1】
（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）
7．在《數(shù)書九章》（宋·秦九韶）中記載了一個測量塔高的問題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點A、C、E在一條水平直線上．已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF=1.4米，人從點F遠眺塔頂B，視線恰好經(jīng)過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為 米．

【變1】
（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）
8．拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學興趣小組決定采用我國古代數(shù)學家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標桿EF和GH，兩標桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)．從標桿EF后退2m到D處（即ED=2m），從D處觀察A點，A、F、D在一直線上；從標桿GH后退4m到C處（即CG=4m），從C處觀察A點，A、H、C三點也在一直線上，且B、E、D、G、C在同一直線上，請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．

一、選擇題
（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）
9．如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使DA邊落在DC邊上，點A落在點H處，折痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點B落在點G處，折痕為CF．若矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD=1，則CD的長為（ ）

A．2?1B．5?1C．2+1D．5+1
（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）
10．如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD上一點，CF交BD于點E，CF的延長線交BA的延長線于點G，EF=1，EC=3，則GF的長為（ ）

A．4B．6C．8D．10
2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）
11．如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點D，E，EF∥AC交BC于點F，AEBE=25，BF=8，則DE的長為（ ）

A．165B．167C．2D．3
（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）
12．如圖，數(shù)學活動課上，為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（ ）

A．6.4mB．8mC．9.6mD．12.5m
（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）
13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A、B分別在y，x軸上，BC⊥x軸．點M、N分別在線段BC、AC上，BM=CM，NC=2AN，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過M、N兩點，P為x正半軸上一點，且OP:BP=1:4，△APN的面積為3，則k的值為（ ）

A．454B．458C．14425D．7225
（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）
14．如圖△ABC中，∠ACB=90°,AB=4,AC=x,∠BAC=α，O為AB中點，若點D為直線BC下方一點，且△BCD與△ABC相似，則下列結(jié)論：①若α=45°，BC與OD相交于E，則點E不一定是△ABD的重心；②若α=60°，則AD的最大值為27；③若α=60°,△ABC∽△CBD，則OD的長為23；④若△ABC∽△BCD，則當x=2時，AC+CD取得最大值．其中正確的為（ ）

A．①④B．②③C．①②④D．①③④
二、填空題
（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）
15．若xy=2，則x?yy= ．
（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）
16．兩個相似圖形的周長比為3:2，則面積比為 ．
（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）
17．如圖，用一個卡鉗AD=BC,OCOB=ODOA=13測量某個零件的內(nèi)孔直徑AB，量得CD的長為6cm，則AB的長為 cm．

（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）
18．如圖，將?ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到?A′B′C′D′的位置，使點B′落在BC上，B′C′與CD交于點E若AB=3,AD=4,BB′=32，則∠BAB′= （從“∠1,∠2,∠3”中選擇一個符合要求的填空）；DE= ．

（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）
19．《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度如圖，點A，B，Q在同一水平線上，∠ABC和∠AQP均為直角，AP與BC相交于點D．測得AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，則樹高PQ= m．

（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）
20．如圖，正方形ABCD的邊長為25，點E是CD的中點，BE與AC交于點M，F(xiàn)是AD上一點，連接BF分別交AC，AE于點G，H，且BF⊥AE，連接MH，則AH= ，MH= ．
三、解答題
（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）
21．如圖，已知⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，連接CO并延長交AB于點D，交⊙O于點E，連接EA，EB．

(1)寫出圖中一個度數(shù)為30°的角：_______，圖中與△ACD全等的三角形是_______；
(2)求證：△AED∽△CEB；
(3)連接OA，OB，判斷四邊形OAEB的形狀，并說明理由．
（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）
22．（1）如圖1，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點G．求證：△ADE∽△DCF．

【問題解決】
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE=DF，延長BC到點H，使CH=DE，連接DH．求證：∠ADF=∠H．
【類比遷移】
（3）如圖3，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF的長．
（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）
23．【特例感知】
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點P在邊AB的延長線上，連接PD，過點D作DM⊥PD，交BC的延長線于點M．求證：△DAP≌△DCM．
【變式求異】
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D在邊AB上，過點D作DQ⊥AB，交AC于點Q，點P在邊AB的延長線上，連接PQ，過點Q作QM⊥PQ，交射線BC于點M．已知BC=8，AC=10，AD=2DB，求PQQM的值．
【拓展應用】
（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點P在邊AB的延長線上，點Q在邊AC上（不與點A，C重合），連接PQ，以Q為頂點作∠PQM=∠PBC，∠PQM的邊QM交射線BC于點M．若AC=mAB，CQ=nAC（m，n是常數(shù)），求PQQM的值（用含m，n的代數(shù)式表示）．

（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）
24．如圖，AB為⊙O的直徑，DA和⊙O相交于點F，AC平分∠DAB，點C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于點P．

(1)求證：CD是⊙O的切線；
(2)求證：AC?PC=BC2；
(3)已知BC2=3FP?DC，求AFAB的值．
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果．
【詳解】解：等式兩邊乘以2b，得ab=6，
故選：A．
【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
2．2
【分析】根據(jù)題意得出a=2b,c=22b，進而即可求解．
【詳解】解：∵ab=bc=2
∴a=2b,c=22b
∴ac=2b22b=2，
故答案為：2．
【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．B
【分析】設(shè)雕像的下部高為x m，由黃金分割的定義得x2=5?12,求解即可．
【詳解】解：設(shè)雕像的下部高為x m，則上部長為（2-x）m，
∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，
雷鋒雕像為2m，
∴x2=5?12,
∴x=5?1≈1.24，
即該雕像的下部設(shè)計高度約是1.24m，
故選：B．
【點睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．
4．32
【分析】由平行線分線段成比例可得，BOOE=AOOF=21，OEEC=OFFD=12，得出BO=2OE，EC=2OE，從而BEEC=2OE+OE2OE=32.
【詳解】∵AB∥EF∥CD， AO=2，OF=1，
∴BOOE=AOOF=21，
∴BO=2OE，
∵OEEC=OFFD=12，
∴EC=2OE，
∴BEEC=2OE+OE2OE=32；
故答案為：32.
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例的知識點，根據(jù)平行線分線段成比例找出線段之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
5． 4 16
【分析】過F作FK⊥AD交AD延長線于點K，證明△AEP∽△KFE，得到EFPE=FKAE即可求解；過M作GH⊥AD交AD于點G，交BC于點H，證明△EGM≌△FHM，得到MG=MH，故點M的運動軌跡是一條平行于BC的線段，當點P與A重合時，BF1=AE=2，當點P與B重合時，由△EF1B∽△F2F1E得到28=8F1F2，即F1F2=32，從而求解．
【詳解】解：過F作FK⊥AD交AD延長線于點K

則四邊形ABFK為矩形，∠A=∠K=90°
∴AB=FK=8
由題意可得：AE=14AD=2
∵EF⊥PE
∴∠AEP+∠KEF=∠PEF=90°
又∵∠PEA+∠APE=90°
∴∠APE=∠KEF
∴△AEP∽△KFE
∴EFPE=FKAE=4
過M作GH⊥AD交AD于點G，交BC于點H，如下圖

∵AD∥CB，GH⊥AD
∴GH⊥BC
在△EGM和△FHM中
∠MGE=∠MHF∠EMG=∠FMHME=MF
∴△EGM≌△FHMAAS
∴MG=MH，
故點M的運動軌跡是一條平行于BC的線段，
當點P與A重合時，BF1=AE=2
當點P與B重合時，∠BEF2=∠F2+∠EBF1=90°，∠BEF1+∠EBF1=90°
∴∠F2=∠BEF1
∵∠EF1F2=∠EF1B=90°
∴△EF1B∽△F2F1E
∴BF1EF1=EF1F1F2，即28=8F1F2
解得F1F2=32
∵M1、M2分別為EF1、EF2的中點
∴M1M2是△EF1F2的中位線
∴M1M2=12F1F2=16，即點M運動的路徑長為16
故答案為：4，16
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，點的軌跡，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)，確定出點M的軌跡，正確求出線段F1F2=32．
6．(1)見解析
(2)∠ABF=135°
(3)見解析
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠DFC=45°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAO=12∠BAC，再證明∠BAO=∠DFC、∠EDA=∠M，即可證明結(jié)論；
（2）如圖1：設(shè)BC與DF的交點為I，先證明∴△BID∽△FIC可得BIFI=DICI，再證明△BIF∽△DIC可得∠IBF=∠IDC=90°，最后運用角的和差即可解答；
（3）如圖2：延長ON交BF于點T，連接DT,DO，先證明△TNF≌△ONA可得NT=NO,FT=AO，再證△BIF∽△DIC可得∠DFT=∠DCO；進而證明△DFT≌△DCO即DT=DO，再說明∠ODT=∠CDF=90°則根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答．
【詳解】（1）解： ∵DF是由線段DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，
∴∠DFC=45°，
∵AB=AC,AO⊥BC，
∴∠BAO=12∠BAC．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO=∠ABC=45°．
∴∠BAO=∠DFC．
∵∠EDA+∠ADM=90°,∠M+∠ADM=90°，
∴∠EDA=∠M．
∴△ADE∽△FMC．
（2）解：如圖1：設(shè)BC與DF的交點為I，

∵∠DBI=∠CFI=45°,∠BID=∠FIC，
∴△BID∽△FIC，
∴BIFI=DICI，
∴BIDI=FICI．
∵∠BIF=∠DIC，
∴△BIF∽△DIC，
∴∠IBF=∠IDC．
又∵∠IDC=90°，
∴∠IBF=90°．
∵∠ABC=45°,∠ABF=∠ABC+∠IBF，
∴∠ABF=135°．
（3）解：如圖2：延長ON交BF于點T，連接DT,DO，

∵∠FBI=∠BOA=90°，
∴BF∥AO，
∴∠FTN=∠AON．
∵N是AF的中點，
∴AN=NF．
又∵∠TNF=∠ONA，
∴△TNF≌△ONA，
∴NT=NO,FT=AO．
∵∠BAC=90°,AB=AC,AO⊥BC，
∴AO=CO，
∴FT=CO．
由（2）知，△BIF∽△DIC，
∴∠DFT=∠DCO．
∵DF=DC，
∴△DFT≌△DCO，
∴DT=DO,∠FDT=∠CDO，
∴∠FDT+∠FDO=∠CDO+∠FDO，即∠ODT=∠CDF．
∵∠CDF=90°，
∴∠ODT=∠CDF=90°，
∴ND=12TO=NO．
【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)等知識點，綜合應用所學知識成為解答本題的關(guān)鍵．
7．18.2##1815
【分析】如圖，過F作FQ⊥AB于Q，交CD于H，可得DH=7?1.4=5.6，證明△FDH∽△FBQ，可得DHBQ=FHFQ，可得QB=16.8，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，過F作FQ⊥AB于Q，交CD于H，
則FH=CE=10，QH=AC=20，F(xiàn)Q=AE=AC+CE=30，EF=CH=AQ=1.4，
∴DH=7?1.4=5.6，

∵DC∥BA，
∴△FDH∽△FBQ，
∴DHBQ=FHFQ，
∴1030=5.6QB，解得：QB=16.8，經(jīng)檢驗符合題意；
∴AB=AQ+QB=1.4+16.8=18.2（米）；
故答案為：18.2
【點睛】本題考查的是相似三角形的實際應用，作出合適的輔助線構(gòu)建相似三角形是解本題的關(guān)鍵．
8．36m
【分析】設(shè)BD=xm，則BC=x+48m，通過證明△ABD∽△FED，得到EFAB=DEBD，即1.5AB=2x，同理得到1.5AB=4x+48，則可建立方程2x=4x+48，解方程即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)BD=xm，則BC=BD+DG+CG=x+48m
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB∥EF，
∴△ABD∽△FED，
∴EFAB=DEBD，即1.5AB=2x，
同理可證△ABC∽△HGC，
∴GHAB=CGBC，即1.5AB=4x+48，
∴2x=4x+48，
解得x=48，
經(jīng)檢驗，x=48是原方程的解，
∴1.5AB=248，
∴AB=36，
∴該古建筑AB的高度為36m．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的應用，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程是解題的關(guān)鍵．
9．C
【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形性質(zhì)，求得DH=CG=1，設(shè)CD的長為x，則HG=x?2，再根據(jù)相似多邊形性質(zhì)得出EHCD=HGAD，即1x=x?21，求解即可．
【詳解】解：，由折疊可得：DH=AD，CG=BC，
∵矩形ABCD，
∴AD=BC=1，
∴DH=CG=1，
設(shè)CD的長為x，則HG=x?2，
∵矩形HEFG，
∴EH=1，
∵矩形HEFG與原矩形ABCD相似，
∴EHCD=HGAD，即1x=x?21，
解得：x=2+1（負值不符合題意，舍去）
∴CD=2+1，
故選：C．
【點睛】本題考查矩形的折疊問題，相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．C
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得GFFC=AGCD，EGEC=BGCD，設(shè)GF為x可得1+x3=1+x4，解之即可．
【詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴GFFC=AGCD，EGEC=BGCD，
設(shè)GF為x，
∵EF=1，EC=3，
∴EG=1+x，BG=AG+CD，
∴x4=AGCD，1+x3=AG+CDCD=1+AGCD，
∴1+x3=1+x4，
即8?x=0，
得x=8，
∴GF=8．
故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．A
【分析】先證得四邊形DEFC是平行四邊形，得到DE=FC，再利用平行線截線段成比例列式求出FC即可．
【詳解】∵DE∥BC，EF∥AC，
∴四邊形DEFC是平行四邊形，
∴DE=FC，
∵EF∥AC，
∴FCBF=AEBE=25，
∵BF=8，
∴FC=165，
∴DE=165，
故選：A．
【點睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線截線段成比例，正確理解平行線截線段成比例是解題的關(guān)鍵．
12．B
【分析】根據(jù)鏡面反射性質(zhì)，可求出∠ACB=∠ECD，再利用垂直求△ABC∽△EDC，最后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，即可求出答案.
【詳解】解：如圖所示，

由圖可知，AB⊥BD，CD⊥DE，CF⊥BD
∴∠ABC=∠CDE=90°.
∵根據(jù)鏡面的反射性質(zhì)，
∴∠ACF=∠ECF，
∴90°?∠ACF=90°?∠ECF，
∴∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴ABDE=BCCD.
∵小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，
∴AB=1.6m，BC=2m，CD=10m.
∴1.6DE=210.
∴DE=8m.
故選：B.
【點睛】本題考查了相似三角形的應用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握鏡面反射的基本性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì).
13．B
【分析】過點N作NQ⊥x軸于點Q，設(shè)點A的坐標為A0,aa>0，點M的坐標為M5b,cb>0,c>0，點N的坐標為Nm,nm>0,n>0，則C5b,2c，OA=a，OB=5b，先求出點N的坐標為N5b3,2a+2c3，再根據(jù)S△APN=S梯形OANQ?S△AOP?S△NPQ=3可得2ab+bc=9，然后將點M,N的坐標代入反比例函數(shù)的解析式可得2a=7c，從而可得bc的值，由此即可得．
【詳解】解：如圖，過點N作NQ⊥x軸于點Q，

設(shè)點A的坐標為A0,aa>0，點M的坐標為M5b,cb>0,c>0，點N的坐標為Nm,nm>0,n>0，則C5b,2c，OA=a，OB=5b，
∵OP:BP=1:4，
∴OP=b,BP=4b，
∵NC=2AN，AO∥NQ∥CB，
∴BQ=2OQ，yN?yCyA?yC=23，
∴5b?m=2m?0n?2c=23a?2c，解得m=5b3n=2a+2c3，
∴N5b3,2a+2c3，
∴OQ=5b3,NQ=2a+2c3，
∴PQ=OQ?OP=2b3，
∵△APN的面積為3，
∴S梯形OANQ?S△AOP?S△NPQ=3，即12×53b2a+2c3+a?12ab?12×2b3?2a+2c3=3，
整理得：2ab+bc=9，
將點M5b,c,N5b3,2a+2c3代入y=kx得：k=5bc=5b3?2a+2c3，
整理得：2a=7c，
將2a=7c代入2ab+bc=9得：7bc+bc=9，解得bc=98，
則k=5bc=458，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的幾何應用，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確求出點N的坐標是解題關(guān)鍵．
14．A
【分析】①有3種情況，分別畫出圖形，得出△ABD的重心，即可求解；當α=60°，BD⊥BC時，AD取得最大值，進而根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合勾股定理，求得AD的長，即可求解；③如圖5，若α=60°，△ABC∽△CBD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得CD=3，GE=DF=32，CF=32，進而求得OD，即可求解；④如圖6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出CD=14BC2，在Rt△ABC中，BC2=16?x2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求AC+CD取得最大值時，x=2．
【詳解】①有3種情況，如圖1，BC和OD都是中線，點E是重心；
如圖2，四邊形ABDC是平行四邊形，F(xiàn)是AD中點，點E是重心；
如圖3，點F不是AD中點，所以點E不是重心；
①正確

②當α=60°，如圖4時AD最大，AB=4，
∴ AC=BE=2，BC=AE=23，BD=3BC=6，
∴ DE=8，
∴ AD=219≠27，
∴②錯誤；

③如圖5，若α=60°，△ABC∽△CBD，
∴∠BCD=60°，∠CDB=90°，AB=4，AC=2，BC=23，OE=3，CE=1，
∴CD=3，GE=DF=32，CF=32，
∴EF=DG=52，OG=32，
∴OD=7≠23，
∴③錯誤；
④如圖6，△ABC∽△BCD，
∴CDBC=BCAB，
即CD=14BC2，
在Rt△ABC中，BC2=16?x2，
∴CD=1416?x2=?14x2+4，
∴AC+CD=x?14x2+4=?14(x?2)2+5，
當x=2時，AC+CD最大為5，
∴④正確．
故選：A．
【點睛】本題考查了三角形重心的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
15．1
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：∵ xy=2，
∴ x?yy=xy?1=2?1=1．
故答案為：1．
【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)．
16．9:4
【分析】由兩個相似圖形，其周長之比為3:2，根據(jù)相似圖形的周長的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似圖形的面積的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【詳解】解：∵兩個相似圖形，其周長之比為3:2，
∴其相似比為3:2，
∴其面積比為9:4．
故答案為：9:4．
【點睛】此題考查了相似圖形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意熟記定理是關(guān)鍵．
17．18
【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得AB的長．
【詳解】解：∵ OCOB=ODOA=13，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB:CD=3，
∵CD=6cm，
∴AB=6×3=18(cm)，
故答案為：18．
【點睛】本題考查相似三角形的應用，解題的關(guān)鍵是求出AB的值．
18． ∠1（答案不唯一） 43
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BAD=∠B′AD′，即可推出∠BAB′=∠1；通過證明△ABB′∽△ADD′，得出ABAD=BB′DD′，求出DD′=2，設(shè)DE=x，C′E=y，則CE=3?x，B′E=4?y，證明△B′CE∽△DC′E，得出C′DCB′=C′ECE=DEB′E，則152=y3?x,152=x4?y，即可求解．
【詳解】解：∵將?ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到?A′B′C′D′，
∴∠BAD=∠B′AD′，
∴∠BAD?∠B′AD=∠B′AD′?∠B′AD，即∠BAB′=∠1，
∵將?ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到?A′B′C′D′，
∴∠B=∠AB′C′=∠D′，AB=AB′,AD=AD′，
∴∠B=∠AB′B=∠D′=∠ADD′，
∴△ABB′∽△ADD′，
∴ABAD=BB′DD′，即34=32DD′，
解得：DD′=2，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=3，
∴AB=CD=C′D′=3，
∴C′D=C′D′?DD′=1，
設(shè)DE=x，C′E=y，則CE=3?x，B′E=4?y，
∵∠C=∠C′,∠3=∠DEC′，
∴△B′CE∽△DC′E，
∴C′DCB′=C′ECE=DEB′E，
∴152=y3?x,152=x4?y，
整理得：y=6?2x5，
把y=6?2x5代入152=x4?y解得：x=43
故答案為：∠1，43．
【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)性質(zhì)定理，掌握相似三角形對應邊成比例．
19．6
【分析】根據(jù)題意可得△ABD∽△AQP，然后相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵∠ABC和∠AQP均為直角
∴BD∥PQ，
∴△ABD∽△AQP，
∴BDPQ=ABAQ
∵AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，
∴PQ=AQ×BDAB=12×2040=6m,
故答案為：6．
【點睛】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
20． 2 2133
【分析】如圖，證明△AFB≌△DEA，得到AF=DE，勾股定理求出BF的長，等積法求出AH的長，證明△AGF∽△CGB，相似比求出AG的長，證明△AMB∽△CME，求出AM的長，證明△AHG∽△ANM，求出HN,MN的長，再利用勾股定理求出MH的長．
【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長為25，點E是CD的中點，
∴∠BAD=∠CDA=90°,AB=AD=CD=25,DE=12CD=5，AB∥CD,AD∥BC，
∴AC=2AD=210，
∵BF⊥AH，
∴∠AHF=90°=∠BAD，
∴∠DAE=∠BAF=90°?∠AFH，
∴△AFB≌△DEA，
∴AF=DE=5，
∴BF=AB2+AF2=5，
∵S△ABF=12AB?AF=12BF?AH，
∴25×5=5AH，
∴AH=2；
∵AB∥CD,AD∥BC，
∴△AGF∽△CGB，△AMB∽△CME，
∴AGCG=AFBC=12,AMCM=ABCE=2，
∴AG=13AC=2103,AM=23AC=4103，
∴GH=AG2?AH2=23，
故點M作MN⊥AE，則：GH∥MN，
∴△AHG∽△ANM，
∴AHAN=GHMN=AGAM=12，
∴AN=2AH=4,MN=2GH=43，
∴HN=2，
∴MH=NM2+NH2=2133．
故答案為：2，2133．
【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，本題的綜合形較強，屬于中考填空題中的壓軸題．熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等和相似，是解題的關(guān)鍵．
21．(1)∠1、∠2、∠3、∠4；△BCD；
(2)證明見詳解；
(3)四邊形OAEB是菱形；
【分析】（1）根據(jù)外接圓得到CO是∠ACB的角平分線，即可得到30°的角，根據(jù)垂徑定理得到∠ADC=∠BDC=90°，即可得到答案；
（2）根據(jù)（1）得到∠3=∠2，根據(jù)垂徑定理得到∠5=∠6=60°，即可得到證明；
（3）連接OA，OB，結(jié)合∠5=∠6=60°得到△OAE ，△OBE是等邊三角形，從而得到OA=OB=AE=EB=r，即可得到證明；
【詳解】（1）解：∵⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，
∴CO是∠ACB的角平分線，∠ACB=∠ABC=∠CAB=60°，
∴∠1=∠2=30°，
∵CE是⊙O的直徑，
∴∠CAE=∠CBE=90°，
∴∠3=∠4=30°，
∴30°的角有：∠1、∠2、∠3、∠4，
∵CO是∠ACB的角平分線，
∴∠ADC=∠BDC=90°，∠5=∠6=90°?30°=60°，
在△ACD與△BCD中，
∵∠1=∠2CD=CD∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ACD≌△BCD，
故答案為：∠1、∠2、∠3、∠4，△BCD；
（2）證明：∵∠5=∠6，∠3=∠2=30°，
∴△AED∽△CEB；
（3）解：連接OA，OB，
∵OA=OE=OB=r，∠5=∠6=60°，
∴△OAE ，△OBE是等邊三角形，
∴OA=OB=AE=EB=r，
∴四邊形OAEB是菱形．

【點睛】本題考查垂徑定理，菱形判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，從而得到相應角的等量關(guān)系．
22．（1）見解析 （2）見解析 （3）3
【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得∠ADE=∠DCF=90°，則∠CDF+∠DFC=90°，再由AE⊥DF，可得∠DGE=90°，則∠CDF+∠AED=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠AED=∠DFC，即可得證；
（2）利用“HL”證明△ADE≌△DCF，可得DE=CF，由CH=DE，可得CF=CH，利用“SAS”證明△DCF≌△DCH，則∠DHC=∠DFC，由正方形的性質(zhì)可得AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得證；
（3）延長BC到點G，使CG=DE=8，連接DG，由菱形的性質(zhì)可得AD=DC，AD∥BC，則∠ADE=∠DCG，推出△ADE≌△DCGSAS，由全等的性質(zhì)可得∠DGC=∠AED=60°，DG=AE，進而推出△DFG是等邊三角形，再根據(jù)線段的和差關(guān)系計算求解即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADE=∠DCF=90°，
∴∠CDF+∠DFC=90°，
∵ AE⊥DF，
∴∠DGE=90°，
∴∠CDF+∠AED=90°，
∴∠AED=∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，AD∥BC，∠ADE=∠DCF=90°，
∵AE=DF，
∴△ADE≌△DCFHL，
∴DE=CF，
又∵ CH=DE，
∴ CF=CH，
∵點H在BC的延長線上，
∴ ∠DCH=∠DCF=90°，
∵DC=DC，
∴△DCF≌△DCHSAS，
∴∠H=∠DFC，
∵ AD∥BC，
∴∠ADF=∠DFC=∠H；
（3）解：如圖，延長BC到點G，使CG=DE=8，連接DG，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=DC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠DCG，
∴△ADE≌△DCGSAS，
∴∠DGC=∠AED=60°，DG=AE，
∵AE=DF，
∴DG=DF，
∴△DFG是等邊三角形，
∴FG=FC+CG=DF=11，
∴FC=11?CG=11?8=3．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．
23．（1）見解析；（2）83；（3）1?nn1+m2
【分析】（1）根據(jù)ASA證明△DAP≌△DCM即可；
（2）證明△DQP∽△NQM，得出PQQM=DQQN=DQDB，根據(jù)勾股定理AB=AC2?BC2=6，根據(jù)DQ∥BC，得出△ADQ∽△ABC，求出DQBC=ADAB=23，得出DQ=163，求出PQQM=DQDB=83；
（3）BC=AB2+AC2=1+m2AB，作QN⊥BC于點N，證明△QAP∽△QNM，得出PQQM=AQNQ．證明△QCN∽△BCA，得出QNBA=CQCB=mnAB1+m2AB=mn1+m2，求出PQQM=AQNQ=1?nn1+m2．
【詳解】（1）證明：在正方形ABCD中，
∠A=∠ADC=∠BCD=90°，AD=DC，
∴∠A=∠DCM=90°，
∵DM⊥PD，
∴∠ADP+∠PDC=∠CDM+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDM，
∴△DAP≌△DCMASA．
（2）如圖1，作QN⊥BC于點N，如圖所示：

∵∠ABC=90°，DQ⊥AB，
∴四邊形DBNQ是矩形，
∴∠DQN=90°，QN=DB，
∵QM⊥PQ，
∴∠DQP+∠PQN=∠MQN+∠PQN=90°，
∴∠DQP=∠MQN，
∵∠QDP=∠QNM=90°，
∴△DQP∽△NQM，
∴PQQM=DQQN=DQDB，
∵BC=8，AC=10，∠ABC=90°，
∴AB=AC2?BC2=6，
∵AD=2DB，
∴DB=2，
∵∠ADQ=∠ABC=90°，
∴DQ∥BC，
∴△ADQ∽△ABC，
∴DQBC=ADAB=23，
∴DQ=163，
∴PQQM=DQDB=83；
（3）∵AC=mAB，CO=nAC ，
∴CQ=mnAB，
∴AQ=AC?CQ=m?mnAB．
∵∠BAC=90°，
∴BC=AB2+AC2=1+m2AB，
如圖2，作QN⊥BC于點N，

∵∠A+∠ABN+∠BNQ+∠AQN=360°，
∴∠ABN+∠AQN=180°，
∴∠AQN=∠PBN．
∵∠PQM=∠PBC，
∴∠PQM=∠AQN，
∴∠AQP=∠NQM，
∵∠A=∠QNM=90°，
∴△QAP∽△QNM，
∴PQQM=AQNQ．
∵∠A=∠QNC=90°，∠QCN=∠BCA，
∴△QCN∽△BCA，
∴QNBA=CQCB=mnAB1+m2AB=mn1+m2，
∴QN=mn1+m2AB
∴PQQM=AQNQ=1?nn1+m2．
【點睛】本題主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．
24．(1)見解析
(2)見解析
(3)13
【分析】（1）連接OC，由等腰三角形的性質(zhì)得∠OAC=∠OCA，再證∠DAC=∠OCA，則DA∥OC，然后證OC⊥CD，即可得出結(jié)論；
（2）由圓周角定理得∠ACB=90°，∠DAC=∠PBC，再證∠BAC=∠PBC，然后證△ACB∽△BCP，得ACBC=BCPC，即可得出結(jié)論；
（3）過P作PE⊥AB于點E，證AC?PC=3FP?DC，再證△ACD∽△BPC，得AC?PC=BP?DC，則BP?DC=3FP?DC，進而得BP=3FP，然后由角平分線的性質(zhì)和三角形面積即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖1，連接OC，

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴DA∥OC，
∵CD⊥DA，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∵∠DAC=∠PBC，
∴∠BAC=∠PBC，
又∵∠ACB=∠BCP，
∴△ACB∽△BCP，
∴ACBC=BCPC，
∴AC?PC=BC2；
（3）如圖2，過P作PE⊥AB于點E，
由（2）可知，AC?PC=BC2，
∵BC2=3FP?DC，
∴AC?PC=3FP?DC，
∵CD⊥DA，
∴∠ADC=90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BCP=90°，
∴∠ADC=∠BCP，
∵∠DAC=∠CBP，
∴△ACD∽△BPC，
∴ACBP=DCPC，
∴AC?PC=BP?DC，
∴BP?DC=3FP?DC，
∴BP=3FP，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴PF⊥AD，
∵AC平分∠DAB，PE⊥AB，
∴PF=PE，
∵S△APFS△APB=12AF?FP12AB?PE=12AF?FP12BP?AF，
∴AFAB=FPBP=FP3FP=13．
【點睛】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及三角形面積等知識，本題綜合性強，熟練掌握圓周角定理和切線的判定，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．

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