專題1 數(shù)與式
第3講 分式
一、分式的概念
1．分式：形如，其中A、B表示兩個整式，B中含有字母，B≠0，這樣的式子叫做分式；
2．分式有意義的條件：分式有意義，則B≠0；分式無意義，則B=0；
3．分式的值為零的條件：分式的值為0，則A=0且B≠0；
4．分式的值為整數(shù)的條件：分式的值為整數(shù)，且A、B都是整數(shù)，則A是B的倍數(shù)，B是A的約數(shù)．
二、分式的基本性質(zhì)
1．分式的基本性質(zhì)：，其中M≠0；
2．分式的符號法則：；
3．最簡分式：分子和分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式；
4．通分：把異分母的分式化為與原分式的值相等的同分母的分式；
5．約分，把分子和分母中的公因式約去；
三、分式的運算
1．分式的加減法：；
2．分式的乘除法：，；
3．分式的乘方：；
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2022年版，學(xué)業(yè)要求：
1．知道分式的分母不能為零；
2．能利用分式的基本性質(zhì)進行約分、通分，并化簡分式；
3．能對簡單的分式進行加、減、乘、除運算并將結(jié)果化為最簡分式．
【例1】
（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）
1．若分式的值為0，則x的值是（ ）
A．1B．0C．D．
【變1】
（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）
2．若分式的值為正整數(shù)，則的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【例1】
（2020·河北·統(tǒng)考中考真題）
3．若，則下列分式化簡正確的是（ ）
A．B．C．D．
【變1】
（2023上·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）
4．若，的值均擴大到原來的倍，則下列分式的值保持不變的是（ ）．
A．B．C．D．
【例1】
（2023·江蘇揚州·?？寄M預(yù)測）
5．已知，其中A、B為常數(shù)，那么的值為 ．
【變1】
（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）
6．先化簡，再求值：，其中x滿足．
一、選擇題
（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）
7．若代數(shù)式的值是0，則實數(shù)x的值是（ ）
A．B．0C．1D．2
（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）
8．若分式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）
9．分式的值為0，則的值是（ ）
A．0B．C．1D．0或1
（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）
10．下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）
11．下列等式中正確的是（ ）
A．B．C．D．
（2023·河北·統(tǒng)考二模）
12．嘉琪在分式化簡運算中每一步運算都在后面列出了依據(jù)，所列依據(jù)錯誤的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
（2023·河北衡水·二模）
13．已知，，，其中“”代表“＋、－、×、÷”中的一種運算符號，下列說法正確的是（ ）
A．若“”代表的是“＋”，則B．若“”代表的是“－”，則
C．若“”代表的是“×”，則D．若“”代表的是“÷”，則
（2023上·重慶忠縣·八年級統(tǒng)考期末）
14．下列分式中，是最簡分式的是（ ）
A．B．C．D．
（2023·河北保定·校考模擬預(yù)測）
15．如圖，若x為大于1的正整數(shù)，則表示分式的值落在（ ）

A．段①處B．段②處C．段③處D．段④處
（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測）
16．代數(shù)式的值為．則為整數(shù)值的個數(shù)有（ ）
A．0個B．7個C．8個D．無數(shù)個
二、填空題
（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）
17．已知，且，則的值為 ．
（2023·上海嘉定·模擬預(yù)測）
18．已知：，則 ．
（2023·廣東廣州·廣東廣雅中學(xué)?？级＃?br>19．已知：分式的值為整數(shù)，則整數(shù)a有 ．
（2023·云南楚雄·統(tǒng)考三模）
20．若，則 ．
三、解答題
（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）
21．化簡：．
（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）
22．化簡：．
（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）
23．先化簡，再求值：，其中．
（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）
24．先化簡，再求值：，然后從1，2，3，4中選擇一個合適的數(shù)代入求值．
（2023·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）
25．先簡化，再求值：，其中，．
26．課堂上，老師提出了下面的問題：
已知，，，試比較與的大?。?br>小華：整式的大小比較可采用“作差法”.
老師：比較與的大?。?br>小華：∵，
∴．
老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？
…
(1)請用“作差法”完成老師提出的問題．
(2)比較大?。篲_________．（填“”“”或“”）
（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）
27．已知，求的值．
（2023·山西大同·統(tǒng)考三模）
28．閱讀與思考
下面是小宇同學(xué)課外閱讀的一則數(shù)學(xué)材料，請仔細閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
任務(wù)：
(1)分式是__________分式（填“真”或“假”）；將假分式化為一個整式與一個真分式的和的形式為__________．
(2)請將化為一個整式與一個真分式的和的形式．
(3)若分式的值為整數(shù)，請根據(jù)（2）的結(jié)果直接寫出符合條件的2個的值．
化簡：
解：原式
………………①通分
……………………②合并同類項
……………………③提公因式
………………………………④約分
“真分式”與“假分式”
我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和的形式，例如：．在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為假分式；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為真分式．如，…這樣的分式是假分式；如，…這樣的分式是真分式．類似地，假分式也可以化為整式與真分式的和的形式．
例如：
將分式化成一個整式與一個真分式的和的形式，過程如下：
．
將分式化成一個整式與一個真分式的和的形式，過程如下：
方法1：．
方法2：由于分母為，可設(shè)（，為常數(shù)），
，
．
，解得
．
．
這樣，分式就被化成了一個整式與一個真分式的和的形式．
參考答案：
1．A
【分析】分式的值等于零時，分子等于零，且分母不等于零．
【詳解】解：依題意得：且，
解得．
故選：A．
【點睛】本題考查了分式的值為零的條件．分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．
2．C
【分析】先利用分式的運算法則把原式進行化簡，再根據(jù)分式的值為正整數(shù)求出的取值可以為多少．
【詳解】解：原式，
，
，
，
，
要使分式有意義，則，
，
故選：．
【點睛】本題考查了分式的值，根據(jù)分式運算法則進行化簡是解答本題的關(guān)鍵．
3．D
【分析】根據(jù)a≠b，可以判斷各個選項中的式子是否正確，從而可以解答本題．
【詳解】∵a≠b，
∴，選項A錯誤；
，選項B錯誤；
，選項C錯誤；
，選項D正確；
故選：D．
【點睛】本題考查分式的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確分式混合運算的計算方法．
4．B
【分析】根據(jù)，擴大到倍為：，；把，依次代入選項，進行判斷，即可．
【詳解】∵，的值均擴大到原來的倍為，
∴A、，不符合題意；
B、，符合題意；
C、，不符合題意；
D、，不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查分式的知識，解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)．
5．1
【分析】由，可得，即可求出與的值．
【詳解】解：由可得，
，
，
，，
．
故答案為：1．
【點睛】本題考查分式的加減法，能夠熟練掌握分式的加法的運算法則是解題的關(guān)鍵．
6．；2
【分析】先計算括號內(nèi)的分式的減法運算，再把除法化為乘法運算，得到化簡的結(jié)果，再整體代入計算即可．
【詳解】解：
；
∵，
∴，其中，
∴原式．
【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，熟練的化簡分式并整體代入進行計算是解本題的關(guān)鍵．
7．B
【分析】由即可求解．
【詳解】解：由分母不為零得：
∵代數(shù)式的值是0
∴
綜上：
故選：B
【點睛】本題考查了分式有意義的條件、分式的值為零．掌握分式有意義的條件是關(guān)鍵．
8．A
【分析】根據(jù)分式有意義的條件可進行求解．
【詳解】解：由題意得：，
∴；
故選A．
【點睛】本題主要考查分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
9．A
【分析】根據(jù)分式值為0的條件進行求解即可．
【詳解】解：∵分式的值為0，
∴，
解得，
故選A．
【點睛】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0，分母不為0是解題的關(guān)鍵．
10．D
【分析】根據(jù)分式的約分可判斷A，根據(jù)冪的乘方運算可判斷B，根據(jù)分式的加法運算可判斷C，根據(jù)零指數(shù)冪的含義可判斷D，從而可得答案．
【詳解】解：，故A不符合題意；
，故B不符合題意；
，故C不符合題意；
，運算正確，故D符合題意；
故選D
【點睛】本題考查分式的約分，冪的乘方運算，分式的加法運算，零指數(shù)冪，熟記運算法則是解本題的關(guān)鍵．
11．A
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母同乘或除以一個不為零的數(shù)，分式的值不變，逐個判斷即可解答．
【詳解】解：，故A正確；
與不一定相等，故B錯誤；
與不一定相等，故C錯誤；
當(dāng)時，，故D錯誤，
故選：A．
【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟知該性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．A
【分析】根據(jù)分式的加減運算法則即可得出結(jié)論．
【詳解】①不是通分，而是同分母分式的加減法，故說法錯誤．
故選：A．
【點睛】本題主要考查分式的加減運算，分清楚同分母分式的加減法和通分的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．
13．A
【分析】當(dāng)“”代表的是“＋”時，得出，計算的值的符號，即可得出M與N的大小關(guān)系，可判斷A；當(dāng)“”代表的是“－”，得出，與A同理，可判斷B；當(dāng)“”代表的是“×”和當(dāng)“”代表的是“÷”時，由分式的基本性質(zhì)即可判斷C和D．
【詳解】解：若“”代表的是“＋”，則，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，故A正確，符合題意；
若“”代表的是“－”，則，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，故B錯誤，不符合題意；
若“”代表的是“×”，則．
∵，
∴，故C錯誤，不符合題意；
若“”代表的是“÷”，則．
∵，
∴，故D錯誤，不符合題意．
故選A．
【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)和分式的混合運算．掌握分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變和分式的混合運算法則是解題關(guān)鍵．
14．A
【分析】根據(jù)分式的定義，即一個分式的分子與分母沒有非零次的公因式時叫最簡分式，即可一一判定．
【詳解】解：A.是最簡分式，故該選項符合題意；
B.，故該選項不是最簡分式，不符合題意；
C.，故該選項不是最簡分式，不符合題意；
D.，故該選項不是最簡分式，不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了最簡分式的判定及分式的性質(zhì)，理解最簡分式的定義是解決本題的關(guān)鍵．
15．C
【分析】先化簡分式，再確定分式值的范圍即可．
【詳解】解：，
∵x為正整數(shù)，
∴x的最小值為1，
∴當(dāng)時，，
∴，
∴分式的值落在段③處，
故選：C．
【點睛】本題考查了分式的化簡，解題關(guān)鍵是能夠運用分式的基本性質(zhì)進行化簡并確定分式值的范圍．
16．B
【分析】先將分式進行化簡，然后根據(jù)題意確定為整數(shù)的x的值，即可確定F的值的個數(shù)．
【詳解】解：
，
∵代數(shù)式的值為，且F為整數(shù)，
∴為整數(shù)，且
∴的值為：，共7個，
∴對應(yīng)的F值有7個，
故選：B．
【點睛】題目主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的化簡求值及分式有意義的條件是解題關(guān)鍵．
17．1
【分析】根據(jù)可得，即，然后將整體代入計算即可．
【詳解】解：∵
∴，
∴，即．
∴．
【點睛】本題主要考查了分式的加減運算，根據(jù)分式的加減運算法則得到是解答本題的關(guān)鍵．
18．7
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)交叉相乘得到即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
則
即，
則．
故答案為：7．
【點睛】本題考察了比例的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，計算過程細心即可．
19．，1，2，4，5，7
【分析】根據(jù)因式分解，可得最簡分式，根據(jù)分式的值是整數(shù)，可得分母能被分子整除，可得答案．
【詳解】解：，
∵分式的值為整數(shù)，
∴或或，
解得：，，，，，，
故答案為，1，2，4，5，7．
【點睛】本題主要考查了分式的化簡，根據(jù)分式的值的情況求解參數(shù)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．
20．0或1
【分析】分或兩種情況討論，兩邊同時除a得，再根據(jù)完全平方式變形為即可求解．
【詳解】解：由題意可得：，
∴或，
當(dāng)時，兩邊同時除a得：，即，
∴
∴，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
故答案為：0或1．
【點睛】本題主要考查了分式的求值，完全平方公式的變形求解，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
21．
【分析】先根據(jù)同分母分式相加減法則計算，再利用提公因式和平方差公式分解因式，把除法換成乘法，即可求解；
【詳解】解：原式
．
【點睛】本題主要考查了分式的混合計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．
22．
【分析】先把括號內(nèi)通分，再進行同分母的減法運算，接著把除法運算化為乘法運算，然后約分即可．
【詳解】解：原式
．
【點睛】本題考查了分式的混合運算：分式的混合運算，要注意運算順序．
23．，
【分析】先將括號內(nèi)式子通分，變分式除法為乘法，約分化簡，再將代入求值．
【詳解】解：
，
將代入，得：
原式．
【點睛】本題考查分式的化簡求值，分母有理化，解題的關(guān)鍵是掌握分式的運算法則．
24．，當(dāng)時，值為
【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再選取合適的m的值代入進行計算即可．
【詳解】解：
，
∴當(dāng)時，原式
【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵．
25．，．
【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后將x、y的值代入化簡后的式子即可．
【詳解】原式＝
＝
＝
＝；
，原式＝.
【點睛】考查分式的混合運算-化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．
26．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)作差法求的值即可得出答案；
（2）根據(jù)作差法求的值即可得出答案．
【詳解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查分式運算的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解材料，通過作差法求解，掌握分式運算的方法．
27．1
【分析】由可知，然后對分式進行化簡，進而問題可求解．
【詳解】解：由可知，
∴
．
【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算是解題的關(guān)鍵．
28．(1)真；
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)定義，例題，化為一個整式與一個真分式的和的形式；
（2）根據(jù)方法一、化為一個整式與一個真分式的和的形式；
（3）根據(jù)題意可得是整數(shù)，進而即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)定義，當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為真分式，
∴是真分式，
故答案為：真；．
（2）解：∵
（3）解：由（2）可得
∵的值為整數(shù)，
∴是整數(shù)，
∴
∴或．
【點睛】本題考查了分式的加減運算，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵．

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