專題5 幾何變換
第3講 平移與旋轉(zhuǎn)
一、圖形的平移
1.定義：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動稱為平移.平移不改變圖形的形狀和大小.
2.平移的性質(zhì)：（1）對應(yīng)點(diǎn)所連線段平行（或在同一條直線上），且相等.
（2）對應(yīng)線段平行（或在同一條直線上），且相等.
（3）對應(yīng)角相等.
3.平移作圖步驟：（1）找：找出平移方向和距離.
（2）定：確定平移對應(yīng)的關(guān)鍵點(diǎn).
（3）移：按照平移方向和距離運(yùn)動關(guān)鍵點(diǎn).
（4）連：連接平移后關(guān)鍵點(diǎn)，得到圖形.
二、圖形的旋轉(zhuǎn)
1.定義：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點(diǎn)按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運(yùn)動稱為旋轉(zhuǎn)，這個定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小.
2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：（1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等.
（2）任意一組對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角
（3）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線相等
（4）對應(yīng)線段相等.
（5）對應(yīng)角相等.
3.利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以判斷線段和角是否相等
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角相等→對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線相等→角度和線段的相等.
（2）旋轉(zhuǎn)前后圖形的形狀、大小不改變→對應(yīng)線段、對應(yīng)角度相等.
4.旋轉(zhuǎn)作圖的四步驟
①確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.
②找出圖中的關(guān)鍵點(diǎn).
③畫出關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn).（連接關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心，作出旋轉(zhuǎn)角，使角的兩邊相等）
④依次連接對應(yīng)點(diǎn)，得到旋轉(zhuǎn)圖形.
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2022年版，學(xué)業(yè)質(zhì)量要求：
1.理解旋轉(zhuǎn)、平移基本的圖形運(yùn)動；
2.知道旋轉(zhuǎn)、平移的基本特征；
3.會用旋轉(zhuǎn)、平移運(yùn)動認(rèn)識、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中相應(yīng)的現(xiàn)象；
【例1】
（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）
1．2022北京冬殘奧會的會徽是以漢字“飛”為靈感來設(shè)計(jì)的，展現(xiàn)了運(yùn)動員不斷飛躍，超越自我，奮力拼搏，激勵世界的冬殘奧精神下列的四個圖中，能由如圖所示的會徽經(jīng)過平移得到的是（ ）
A．B．C．D．
【變1】
（2023·北京海淀·北京市十一學(xué)校?？寄M預(yù)測）
2．如圖，平南直角坐標(biāo)系中，可以看作是經(jīng)過若干次圖形的變化（平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一種由得到過程 ．

【例1】
（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）
3．如圖，將沿向右平移得到，若，，則的長是（ ）

A．2B．C．3D．5
【變1】
（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）
4．如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到．連接，交于點(diǎn)D，則的值為 ．

【例1】
（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）
5．在4×4的方格紙中，請按下列要求畫出格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．

(1)在圖1中先畫出一個以格點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，再畫出該三角形向右平移2個單位后的．
(2)將圖2中的格點(diǎn)繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，畫出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的．
【變1】
（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）
6．如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，的頂點(diǎn)均在小正方形的格點(diǎn)上．

(1)將向下平移3個單位長度得到，畫出；
(2)將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90度得到，畫出；
(3)在（2）的運(yùn)動過程中請計(jì)算出掃過的面積．
一、選擇題
（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）
7．下列圖形中，能由圖形通過平移得到的是（ ）

A． B． C． D．
（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）
8．如圖，用平移方法說明平行四邊形的面積公式時，若平移到，，，則的平移距離為（ ）

A．3B．4C．5D．12
（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）
9．如圖，在中，，，．點(diǎn)在上，且．連接，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．則的面積是（ ）

A．B．C．D．
（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）
10．將一個正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形重合，旋轉(zhuǎn)角的大小不可能是（ ）
A．60°B．90°C．180°D．360°
二、填空題
（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）
11．第二十四屆北京冬奧會入場式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后能夠與它本身重合，則角可以為 度．（寫出一個即可）
（2022·廣東深圳·坪山中學(xué)?？寄M預(yù)測）
12．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，格點(diǎn)繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到格點(diǎn)．則旋轉(zhuǎn)中心是P，Q，M，N中的 ．

（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）
13．如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿其對角線AC平移，使A的對應(yīng)點(diǎn)A′滿足AA′＝AC，則所得正方形與原正方形重疊部分的面積是 ．

（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）
14．如圖，在矩形中，點(diǎn)P在邊上，連接，將繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接．若，，，則 ．

（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）
15．如圖，在直角中，，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至的位置，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為 ．

（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）
16．如圖，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)落在上，與交于點(diǎn)E若，則 （從“”中選擇一個符合要求的填空）； ．

（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）
17．如圖，在中，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至，得到，使，我們稱是的“旋補(bǔ)三角形”，的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．下列結(jié)論正確的有 ．
①與面積相同；
②；
③若，連接和，則；
④若，，，則．
（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）
18．如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點(diǎn)P為邊AD上的一個動點(diǎn)，線段BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'，連接PP' ，CP'．當(dāng)點(diǎn)P' 落在邊BC上時，∠PP'C的度數(shù)為 ； 當(dāng)線段CP' 的長度最小時，∠PP'C的度數(shù)為
三、解答題
（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）
19．如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為個單位長度，線段和線段的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)在方格紙中畫出，且為鈍角（點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上）；
(2)在方格紙中將線段向下平移個單位長度，再向右平移個單位長度后得到線段（點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)），連接，請直接寫出線段的長．
（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）
20．如圖，在的方格紙中，每個小方格的邊長為1．已知格點(diǎn)P，請按要求畫格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．

(1)在圖中畫一個等腰三角形，使底邊長為，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，再畫出該三角形繞矩形的中心旋轉(zhuǎn)180°后的圖形．
(2)在圖中畫一個，使，點(diǎn)Q在上，點(diǎn)R在上，再畫出該三角形向右平移1個單位后的圖形．
（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）
21．將一副直角三角板與疊放在一起，如圖1，，，，．在兩三角板所在平面內(nèi)，將三角板繞點(diǎn)O順時針方向旋轉(zhuǎn)（）度到位置，使，如圖2．

(1)求的值；
(2)如圖3，繼續(xù)將三角板繞點(diǎn)O順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在邊上點(diǎn)處，點(diǎn)D落在點(diǎn)處．設(shè)交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，若點(diǎn)G是的中點(diǎn)，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．
2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）
22．如圖1，在中，，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，連接．
初步嘗試：（1）與的數(shù)量關(guān)系是_________，與的位置關(guān)系是_________．
特例研討：（2）如圖2，若，先將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時，與相交于點(diǎn)，連接．

（1）求的度數(shù)；
（2）求的長．
深入探究：（3）若，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足，點(diǎn)在同一直線上時，利用所提供的備用圖探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）
23．在中，，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)．四邊形是菱形（D，E，F(xiàn)，G按逆時針順序排列），，且，菱形可以繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，連接和，設(shè)直線和直線所夾的銳角為．

(1)在菱形繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，如圖①，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系及的值；
(2)當(dāng)菱形繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時，（1）中的結(jié)論是否成立?若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
(3)設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為P，在菱形繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)所在的直線經(jīng)過點(diǎn)時，請直接寫出的面積．
（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）
24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)，在軸正半軸上，，點(diǎn)在線段上，以線段，為鄰邊作矩形，連接，設(shè)．
連接，當(dāng)與相似時，求的值；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，將線段繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到線段，連接，，將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別為、，連接當(dāng)?shù)倪吪c線段垂直時，請直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)平移的特點(diǎn)分析判斷即可．
【詳解】根據(jù)題意，得
不能由平移得到，
故A不符合題意；
不能由平移得到，
故B不符合題意；
不能由平移得到，
故C不符合題意；
能由平移得到，
故D符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移的特點(diǎn)，熟練掌握平移的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
2．將逆時針旋轉(zhuǎn)，再向右平移2個單位長度（答案不唯一）
【分析】根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到由得到的過程．
【詳解】解：將逆時針旋轉(zhuǎn)，再向右平移2個單位長度得到，
故答案為：將逆時針旋轉(zhuǎn)，再向右平移2個單位長度（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)與圖形變化-平移，解題時需要注意：平移的距離等于對應(yīng)點(diǎn)連線的長度．
3．A
【分析】利用平移的性質(zhì)得到，即可得到的長．
【詳解】解：∵沿方向平移至處．
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動后得到的，這兩個點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)．連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行（或共線）且相等．
4．5
【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，利用勾股定理求得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證、是等腰直角三角形，可得，再由，得，證明，可得，即，再由，求得，從而求得，，即可求解．
【詳解】解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，
∵，，，
∴，
∵將繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，即，
∵ ，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：5．

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
5．(1)畫圖見解析
(2)畫圖見解析
【分析】（1）先畫等腰三角形，，再確定平移后的對應(yīng)點(diǎn)，再順次連接即可；
（2）確定A，B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)，而C的對應(yīng)點(diǎn)是其本身，再順次連接即可．
【詳解】（1）解：如圖，，即為所求作的三角形；

（2）如圖，即為所求作的三角形，

【點(diǎn)睛】本題考查的是平移，旋轉(zhuǎn)的作圖，作等腰三角形，熟練的利用網(wǎng)格特點(diǎn)以及平移旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行作圖是解本題的關(guān)鍵．
6．(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）先作出點(diǎn)A、B、C平移后的對應(yīng)點(diǎn)，、，然后順次連接即可；
（2）先作出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90度的對應(yīng)點(diǎn)，，然后順次連接即可；
（3）證明為等腰直角三角形，求出，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積等于的面積加扇形的面積即可得出答案．
【詳解】（1）解：作出點(diǎn)A、B、C平移后的對應(yīng)點(diǎn)，、，順次連接，則即為所求，如圖所示：

（2）解：作出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90度的對應(yīng)點(diǎn)，，順次連接，則即為所求，如圖所示：

（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，
∴，
∴在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移、旋轉(zhuǎn)作圖，勾股定理逆定理，扇形面積計(jì)算，解題的關(guān)鍵是作出平移或旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)．
7．B
【分析】根據(jù)平移的定義：在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某一方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，結(jié)合各選項(xiàng)所給的圖形即可作出判斷．
【詳解】解：觀察圖形可知，B中圖形能由圖形通過平移得到，A，C，D均不能由圖形通過平移得到；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查平移．熟練掌握平移的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
8．B
【分析】根據(jù)平移的方向可得，平移到，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，故的平移距離為的長．
【詳解】解：用平移方法說明平行四邊形的面積公式時，將平移到，
故平移后點(diǎn)與點(diǎn)重合，則的平移距離為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．B
【分析】證明，得到，推出為直角三角形，利用的面積等于，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∵將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的面積等于；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到三角形全等是解題的關(guān)鍵．本題蘊(yùn)含手拉手全等模型，平時要多歸納，多總結(jié)，便于快速解題．
10．B
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及正多邊形的中心角的度數(shù)，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：正六邊形的中心角的度數(shù)為：，
∴正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)或的整數(shù)倍時，仍與原圖形重合，
∴旋轉(zhuǎn)角的大小不可能是；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)圖形，正多邊形的中心角．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正多邊形的中心角的度數(shù)的求法，是解題的關(guān)鍵．
11．60或120或180或240或300（寫出一個即可）
【分析】如圖（見解析），求出圖中正六邊形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義即可得．
【詳解】解：這個圖案對應(yīng)著如圖所示的一個正六邊形，它的中心角，
，
角可以為或或或或，
故答案為：60或120或180或240或300（寫出一個即可）．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的中心角、圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
12．Q
【分析】連接，作的中垂線，兩條中垂線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．
【詳解】解：如圖，點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心；

故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
13．4
【分析】由正方形邊長為3，可求AC＝3，則AA′＝AC＝，由平移可得重疊部分是正方形，根據(jù)正方形的面積公式可求重疊部分面積．
【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長為3，
∴AC＝3，
∴AA′＝AC＝，
∴A′C＝2，
由題意可得重疊部分是正方形，
∴重疊部分的正方形的邊長為，
∴S重疊部分＝4．
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題．
14．2
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)F，則，可證，于是．設(shè)，，，解得，于是．
【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)F，則，
∵，
∴．
又，
∴.
∴．
設(shè)，矩形中，，
，
，，解得，
∴．
故答案為：2

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程求解是解題的關(guān)鍵．
15．
【分析】依據(jù)題意，在中，，，從而，可得，又結(jié)合題意，，進(jìn)而，故可得點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式可以得解．
【詳解】解：如圖，作軸，垂足為．

由題意，在中，，，
．
．
．
又繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至的位置，
．
．
又點(diǎn)是的中點(diǎn)，
．
在中，
，
．
，．
又在上，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題時需要熟練掌握并靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．
16． （答案不唯一）
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，即可推出；通過證明，得出，求出，設(shè)，，則，，證明，得出，則，即可求解．
【詳解】解：∵將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∴，即，
∵將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∵四邊形是平行四邊形，，
∴，
∴，
設(shè)，，則，，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
把代入解得：
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)性質(zhì)定理，掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例．
17．①②③
【分析】延長，并截取，連接，證明，得出，，根據(jù)，，得出，證明，得出，即可判斷①正確；根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得出，根據(jù)，得出，判斷②正確；根據(jù)時，，
得出，，，，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出
，求出，判斷③正確；根據(jù)②可知，，根據(jù)勾股定理得出，求出，判斷④錯誤．
【詳解】解：延長，并截取，連接，如圖所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即與面積相同，故①正確；
∵，，
∴是的中位線，
∴，
∵，
∴，故②正確；
當(dāng)時，，
∴，，，，
∵，
∴，
即，故③正確；
∵，
∴根據(jù)②可知，，
∵當(dāng)時，，為中線，
∴，
∴，
∴，
∴，故④錯誤；
綜上分析可知，正確的是①②③．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，中位線性質(zhì)，勾股定理，四邊形內(nèi)角和，補(bǔ)角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明．
18． 120°##120度 75°##75度
【分析】如圖，以AB為邊向右作等邊△ABE，連接EP′．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠BEP′＝90°，推出點(diǎn)P′在射線EP′上運(yùn)動，如圖1中，設(shè)EP′交BC于點(diǎn)O，再證明△BEO是等腰直角三角形，可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABE，連接EP′．
∵△BPP′是等邊三角形，
∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，
∴∠ABP＝∠EBP′，
在△ABP和△EBP′中，
∴△ABP≌△EBP′（SAS），
∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，
∴點(diǎn)P′在射線EP′上運(yùn)動，
如圖1中，設(shè)EP′交BC于點(diǎn)O，
當(dāng)點(diǎn)P′落在BC上時，點(diǎn)P′與O重合，此時∠PP′C＝180°－60°＝120°，
當(dāng)CP′⊥EP′時，CP′的長最小，此時∠EBO＝∠OCP′＝30°，
∴EO＝OB，OP′＝OC，
∴EP′＝EO＋OP′＝OB＋OC＝BC，
∵BC＝2AB，
∴EP′＝AB＝EB，
∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，
∴∠BP′C＝45°＋90°＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－60°＝75°．
故答案為：120°，75°．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
19．(1)畫圖見解析
(2)畫圖見解析，
【分析】（1）找到的格點(diǎn)的，使得，且，連接，則即為所求；
（2）根據(jù)平移畫出，連接，勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）解：如圖所示，，即為所求；

．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移作圖，勾股定理與網(wǎng)格，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
20．(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）底邊長為即底邊為小方格的對角線，根據(jù)要求畫出底邊，再在其底邊的垂直平分線找到在格點(diǎn)上的頂點(diǎn)即可得到等腰，然后根據(jù)中心旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作出繞矩形的中心旋轉(zhuǎn)180°后的圖形．
（2）根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，按要求構(gòu)造等腰直角三角形，然后按平移的規(guī)律作出平移后圖形即可．
【詳解】（1）（1）畫法不唯一，如圖1（ ，），或圖2（）．

（2）畫法不唯一，如圖3或圖4．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了格點(diǎn)作圖，解題關(guān)鍵是掌握網(wǎng)格的特點(diǎn)，靈活畫出相等的線段和互相垂直或平行的線段．
21．(1)
(2)正方形，見解析
【分析】（1）確定旋轉(zhuǎn)角，結(jié)合，，計(jì)算即可．
（2）先證明四邊形是矩形，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合一組鄰邊相等的矩形是正方形證明即可．
【詳解】（1）根據(jù)題意，得旋轉(zhuǎn)角，
∵，，
∴，
故．
（2）根據(jù)題意，得旋轉(zhuǎn)角，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，

∴，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴四邊形是正方形．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判斷，正方形的判斷，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判斷，正方形的判斷，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．初步嘗試：（1）；；（2）特例研討：（1）；（2）；（3）或
【分析】（1），點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，則是的中位線，即可得出結(jié)論；
（2）特例研討：（1）連接，，證明是等邊三角形，是等邊三角形，得出；（2）連接，證明，則，設(shè)，則，在中，，則，在中，，勾股定理求得，則；
（3）當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時，且點(diǎn)在上時，設(shè)，則，得出，則在同一個圓上，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理得出，表示與，即可求解；當(dāng)在上時，可得在同一個圓上，設(shè)，則，設(shè)，則，則，表示與，即可求解．
【詳解】初步嘗試：（1）∵，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴；；
故答案是：；
（2）特例研討：（1）如圖所示，連接，，

∵是的中位線，
∴，
∴
∵將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，
∴；
∵點(diǎn)在同一直線上時，
∴
又∵在中，是斜邊的中點(diǎn)，
∴
∴
∴是等邊三角形，
∴，即旋轉(zhuǎn)角
∴
∴是等邊三角形，
又∵，
∴,
∴,
∴,
∴,
（2）如圖所示，連接，
∵，，
∴，,

∵,
∴,
∴,
設(shè)，則，
在中，，則，
在中，,
∴,
解得：或（舍去）
∴,
（3）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時，且點(diǎn)在上時，

∵，
∴，
設(shè)，則，
∵是的中位線，
∴
∴，
∵將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，
∴，，
∴
∴，
∵點(diǎn)在同一直線上，
∴
∴，
∴在同一個圓上，

∴
∴
∵，
∴；
如圖所示，當(dāng)在上時，

∵
∴在同一個圓上，
設(shè)，則，
將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，
設(shè)，則，則，
∴，
∵,
∴，
∵
∴
∴
綜上所述，或
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
23．(1)；
(2)（1）中結(jié)論成立，證明見解析；
(3)或
【分析】（1）根據(jù)，即可得出答案；
（2）證明，即可求解；
（3）證明、均為等邊三角形，證明A、M、P、G共線，由（1）、（2）知，，則，在等邊三角形中，，則，則，進(jìn)而求解；當(dāng)B、F重合時，也符合題意，由（1）、（2）知，，根據(jù)，在中，用解直角三角形的方法即可求解．
【詳解】（1）解：，理由如下：
在中，，
則，
點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
，
則，
,
為等邊三角形，
；
（2）解：（1）的結(jié)論成立，理由：
證明：延長交于點(diǎn)T，交于點(diǎn)N，

，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：當(dāng)B、E、F共線時，如下圖，連接，

根據(jù)圖形的對稱性，當(dāng)B、E、F共線時，且點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
則F、G、C共線，分別過點(diǎn)G、E作的垂線，垂足分別為H、M，交于點(diǎn)P，
，
則，
則,
即，均為等邊三角形，
，
由（1）知為等邊三角形，
則，則A、M、P、G共線，
由（1）、（2）知，，
則，
在等邊三角形中，，
則，
，
；
當(dāng)B、F重合時，也符合題意，如下圖：

在中，，
，
由（1）、（2）可知，，
，
設(shè)，則，
，
，
即，
解得：，
；
綜上，的面積為：或．
【點(diǎn)睛】本題為四邊形綜合題，涉及到三角形全等、解直角三角形、面積的計(jì)算、勾股定理的運(yùn)用，題目難度很大，分類求解是本題解題的關(guān)鍵．
24．(1)
(2)①或；②或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）①利用已知條件用含a的代數(shù)式表示出點(diǎn)E，D，F(xiàn)，G的坐標(biāo)，進(jìn)而得到線段的長度，利用分類討論的思想方法和相似三角形的性質(zhì)，列出關(guān)于a的方程，解方程即可得出結(jié)論；
②利用已知條件，點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，平行四邊形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)求得 ，和的長，利用分類討論的思想方法分三種情形討論解答利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理求得相應(yīng)線段的長度即可得出結(jié)論；
【詳解】（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，
解得：
此拋物線的解析式為
（2）令，則
解得：或，
∴
．
∵,
∴
四邊形為矩形，
∴
∴
∴
Ⅰ當(dāng)時，
∴
∴
∴
Ⅱ當(dāng)時，
∴
∴
∴
綜上，當(dāng)與相似時，的值為或；
點(diǎn)與點(diǎn)重合，
∴
∴
∴
四邊形為平行四邊形，
在和中，
Ⅰ、當(dāng) 所在直線與 垂直時，如圖，
，，三點(diǎn)在一條直線上，
過點(diǎn) 作 軸于點(diǎn) ， 則
∴此時點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為
Ⅱ當(dāng)所在直線與垂直時，如圖，
，
，
設(shè)的延長線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則軸，．
，
，
．
，
．
，
，
此時點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；
Ⅲ當(dāng)所在直線與垂直時，如圖，
，，
，
，，三點(diǎn)在一條直線上，則，
過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，
，
此時點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
綜上，當(dāng)?shù)倪吪c線段垂直時，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度和正確利用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵

相關(guān)試卷

模塊二 知識全整合專題5 幾何變換 第5講 視圖、投影和幾何作圖 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練：

這是一份模塊二 知識全整合專題5 幾何變換 第5講 視圖、投影和幾何作圖 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練，共36頁。試卷主要包含了知識全整合等內(nèi)容，歡迎下載使用。

模塊二 知識全整合專題5 幾何變換 第4講 軸對稱和中心對稱 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練：

這是一份模塊二 知識全整合專題5 幾何變換 第4講 軸對稱和中心對稱 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練，共36頁。試卷主要包含了知識全整合等內(nèi)容，歡迎下載使用。

模塊二 知識全整合專題5 幾何變換 第2講 銳角三角函數(shù)與解直角三角形 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練：

這是一份模塊二 知識全整合專題5 幾何變換 第2講 銳角三角函數(shù)與解直角三角形 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練，共42頁。試卷主要包含了知識全整合等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

模塊二 知識全整合專題5 幾何變換 第1講 相似三角形 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練

模塊二 知識全整合專題5 幾何變換 第1講 相似三角形 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練
模塊二 知識全整合專題4 圖形的性質(zhì) 第1講 幾何初步 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練

模塊二 知識全整合專題4 圖形的性質(zhì) 第1講 幾何初步 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練
模塊二 知識全整合專題3 函數(shù)及其圖像 第8講 二次函數(shù)與幾何圖形（含解析） -最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練

模塊二 知識全整合專題3 函數(shù)及其圖像 第8講 二次函數(shù)與幾何圖形（含解析） -最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練
模塊二 知識全整合專題1 數(shù)與式 第3講 分式 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練

模塊二 知識全整合專題1 數(shù)與式 第3講 分式 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部