模塊二知識(shí)全整合專題4 圖形的性質(zhì) 第10講與圓有關(guān)的計(jì)算（含解析） -最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題4 圖形的性質(zhì)
第10講與圓有關(guān)的計(jì)算
一、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算
1．正三角形（等邊三角形）
在⊙中△是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；
2．正四邊形（正方形）
四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，：
3．正六邊形
六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，．
二、扇形的弧長(zhǎng)和面積
1．扇形弧長(zhǎng)公式：；
2．扇形面積公式：
：圓心角：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑：扇形弧長(zhǎng) ：扇形面積
三、圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖
1．圓柱側(cè)面展開圖
（1）圓柱的表面積：=
（2）圓柱的體積：
2．圓錐側(cè)面展開圖
（1）圓錐的表面積：=
（2）圓錐的體積：
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2022年版，學(xué)業(yè)質(zhì)量要求：
1．能用尺規(guī)作圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形；
2．了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系；
3．會(huì)計(jì)算圓的弧長(zhǎng)、扇形的面積；
【例1】
（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）
1．如圖，正六邊形的外接圓的半徑為2，過圓心O的兩條直線、的夾角為，則圖中的陰影部分的面積為（）

A．B．C．D．
【變1】
2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）
2．如圖，六邊形是的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形的面積為，的面積為，則．

【例1】
（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）
3．如圖，四邊形內(nèi)接于，的半徑為，，則的長(zhǎng)是（）

A．B．C．D．
【變1】
（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）
4．“神舟”十四號(hào)載人飛行任務(wù)是中國(guó)空間站建造階段的首次載人飛行任務(wù)，也是空間站在軌建造以來情況最復(fù)雜、技術(shù)難度最高、航天員乘組工作量最大的一次載人飛行任務(wù)．如圖，當(dāng)“神舟”十四號(hào)運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方的F點(diǎn)處時(shí)，從點(diǎn)F能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)記為Q點(diǎn)，已知，，則圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)約為 km（結(jié)果保留）．

【例1】
（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）
5．如圖，在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作半圓，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（）

A．B．C．D．
【變1】
（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）
6．如圖，的半徑為，為的弦，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，將沿弦翻折，使點(diǎn)與圓心重合，則陰影部分的面積為．（結(jié)果保留與根號(hào)）

【例1】
（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）
7．如圖，該幾何體是由一個(gè)大圓錐截去上部的小圓錐后剩下的部分．若該幾何體上、下兩個(gè)圓的半徑分別為1和2，原大圓錐高的剩余部分為，則其側(cè)面展開圖的面積為（）

A．B．C．D．
【變1】
（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）
8．如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，以點(diǎn)A為圓心，為半徑畫弧，得到扇形（陰影部分）．若扇形正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是．

一、選擇題
（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）
9．已知一個(gè)正多邊形的邊心距與邊長(zhǎng)之比為，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）
A．4B．6C．7D．8
（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）
10．我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416．如圖，的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)的面積，可得的估計(jì)值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得的估計(jì)值為（）
A．B．C．3D．
（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）
11．如圖，的圓心O與正方形的中心重合，已知的半徑和正方形的邊長(zhǎng)都為4，則圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值為（）．

A．B．2C．D．
（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）
12．如圖，正五邊形內(nèi)接于，連接，則（）

A．B．C．D．
（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）
13．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，．若的半徑為5，則的長(zhǎng)為（）

A．B．C．D．
（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）
14．如圖，在扇形中，，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)C是半徑上一動(dòng)點(diǎn)，若，則陰影部分周長(zhǎng)的最小值為（）

A．B．C．D．
（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）
15．如圖，等圓和相交于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過的圓心，若，則圖中陰影部分的面積為（）
A．B．C．D．
（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）
16．如果圓錐側(cè)面展開圖的面積是，母線長(zhǎng)是，則這個(gè)圓錐的底面半徑是（）
A．3B．4C．5D．6
（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）
17．某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個(gè)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)為30，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點(diǎn)A處開始，繞側(cè)面一周又回到點(diǎn)A的彩帶（彩帶寬度忽略不計(jì)），這條彩帶的最短長(zhǎng)度是（）
v
A．B．C．D．
二、填空題
（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）
18．如圖，正八邊形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線、相交于點(diǎn)．則線段的長(zhǎng)為．

（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）
19．如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)首次落在斜邊上，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為 .

（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）
20．如圖，在中，為直徑，為弦，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．

（1）若，則的長(zhǎng)是（結(jié)果保留）；
（2）若，則．
（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）
21．如圖①，A，B表示某游樂場(chǎng)摩天輪上的兩個(gè)轎廂．圖②是其示意圖，點(diǎn)O是圓心，半徑r為，點(diǎn)A，B是圓上的兩點(diǎn)，圓心角，則的長(zhǎng)為．（結(jié)果保留）

（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）
22．如圖，邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)接于，分別過點(diǎn)A，D作⊙O的切線，兩條切線交于點(diǎn)P，則圖中陰影部分的面積是．

（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）
23．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線相交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑畫弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為．

2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）
24．如圖，在中，，，邊上的高，將繞著所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為．

（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）
25．如圖，在中，，垂足為．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與分別交于點(diǎn)．若用扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為；用扇形圍成另一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為，則．（結(jié)果保留根號(hào)）

（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）
26．如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，E重合），則的最小值為．

三、解答題
（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）
27．如圖，在中，，是的中點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，是的直徑，弦的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）
28．如圖，線段與相切于點(diǎn)B，交于點(diǎn)M，其延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，連接，，D為上一點(diǎn)且的中點(diǎn)為M，連接，．

(1)求的度數(shù)；
(2)四邊形是否是菱形？如果是，請(qǐng)證明：如果不是，請(qǐng)說明理由；
(3)若，求的長(zhǎng)．
（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）
29．如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，，垂足為E．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）
30．如圖，在中，，O為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，以為半徑的半圓與邊相切于點(diǎn)D，交邊于點(diǎn)E．

(1)求證：；
(2)若，，①求半圓的半徑；②求圖中陰影部分的面積．
（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）
31．如圖，等腰三角形的頂角，和底邊相切于點(diǎn)，并與兩腰，分別相交于，兩點(diǎn)，連接，．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．
參考答案：
1．C
【分析】如圖，連接，標(biāo)注直線與圓的交點(diǎn)，由正六邊形的性質(zhì)可得：，，三點(diǎn)共線，為等邊三角形，證明扇形與扇形重合，可得，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，連接，標(biāo)注直線與圓的交點(diǎn)，
由正六邊形的性質(zhì)可得：，，三點(diǎn)共線，為等邊三角形，

∴，，
∴，
∴扇形與扇形重合，
∴，
∵為等邊三角形，，過作于，
∴，，，
∴；
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形與圓，扇形面積的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，熟記正六邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
2．2
【分析】連接，首先證明出是的內(nèi)接正三角形，然后證明出，得到，，進(jìn)而求解即可．
【詳解】如圖所示，連接，

∵六邊形是的內(nèi)接正六邊形，
∴，
∴是的內(nèi)接正三角形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，
又∵，
∴，
∴，
由圓和正六邊形的性質(zhì)可得，，
由圓和正三角形的性質(zhì)可得，，
∵，
∴．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，正六邊形和正三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
3．C
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，由圓周角定理得到，根據(jù)弧長(zhǎng)的公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：四邊形內(nèi)接于，，
，
，
的長(zhǎng)．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
4．
【分析】設(shè)，由是的切線，可得，由此構(gòu)建方程求出r,再利用弧長(zhǎng)公式求解．
【詳解】解：設(shè)，
由題意，是的切線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的長(zhǎng)．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程求解．
5．C
【分析】連接，，作交于點(diǎn)，首先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，然后利用解直角三角形求出、的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到是等邊三角形，，然后根據(jù)角直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)度，最后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖所示，連接，，作交于點(diǎn)

∵在中，，，，
∴，
∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作半圓，
∴是半圓的直徑，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了角直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形面積，勾股定理等知識(shí)，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
6．
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出是等邊三角形，則，，根據(jù)陰影部分面積即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于點(diǎn)

∵將沿弦翻折，使點(diǎn)與圓心重合，
∴，
又
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴,
∴陰影部分面積
故答案為：．
7．C
【分析】根據(jù)展開面積大圓錐側(cè)面積與小圓錐側(cè)面積之差計(jì)算即可．
【詳解】根據(jù)題意，補(bǔ)圖如下：

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴側(cè)面展開圖的面積為，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積計(jì)算，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
8．
【分析】首先確定扇形的圓心角的度數(shù)，然后利用圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算即可．
【詳解】解：∵正六邊形的外角和為，
∴每一個(gè)外角的度數(shù)為，
∴正六邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，
設(shè)這個(gè)圓錐底面圓的半徑是r，
根據(jù)題意得，，
解得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓及圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是求得正六邊形的內(nèi)角的度數(shù)，并理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．
9．B
【分析】如圖，A為正多邊形的中心，為正多邊形的邊，，為正多邊形的半徑，為正多邊形的邊心距，由可得，可得，而，可得為等邊三角形，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，A為正多邊形的中心，為正多邊形的邊，，為正多邊形的半徑，為正多邊形的邊心距，

∴，，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，而，
∴為等邊三角形，
∴，
∴多邊形的邊數(shù)為：，
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形與圓，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．
10．C
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)30度的作對(duì)的直角邊是斜邊的一半可得，根據(jù)三角形的面積公式即可求得正十二邊形的面積，即可求解．
【詳解】解：圓的內(nèi)接正十二邊形的面積可以看成12個(gè)全等的等腰三角形組成，故等腰三角形的頂角為，設(shè)圓的半徑為1，如圖為其中一個(gè)等腰三角形，過點(diǎn)作交于點(diǎn)于點(diǎn)，
∵，
∴，
則，
故正十二邊形的面積為，
圓的面積為，
用圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計(jì)的面積可得，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，30度的作對(duì)的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積公式，圓的面積公式等，正確求出正十二邊形的面積是解題的關(guān)鍵．
11．D
【分析】設(shè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別為，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，由題意可得，的長(zhǎng)度為圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值，求解即可．
【詳解】解：設(shè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別為，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，如下圖：

則的長(zhǎng)度為圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值，
由題意可得：，
由勾股定理可得：，
∴，
故選：D
【點(diǎn)睛】此題考查了圓與正多邊形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A與正多邊形的性質(zhì)，確定出圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值的位置．
12．D
【分析】先計(jì)算正五邊形的內(nèi)角，再計(jì)算正五邊形的中心角，作差即可．
【詳解】∵，
∴，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正五邊形的外角，內(nèi)角，中心角的計(jì)算，熟練掌握計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
13．C
【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，進(jìn)而得出，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．
【詳解】解：連接，
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的內(nèi)接四邊形，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和，弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，三角形的內(nèi)角和為，弧長(zhǎng)．
14．A
【分析】由于是定值，只需求解的最小值即可，作點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)，連接、、，則最小值為的長(zhǎng)度，即陰影部分周長(zhǎng)的最小最小值為．利用角平分線的定義可求得，進(jìn)而利用勾股定理和弧長(zhǎng)公式求得和即可．
【詳解】解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)，連接、、，

則，，，
∴，當(dāng)A、C、共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，最小，即陰影部分周長(zhǎng)的最小，最小值為．
∵平分，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
又，
∴陰影部分周長(zhǎng)的最小值為，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)公式、勾股定理、角平分線的定義、軸對(duì)稱性質(zhì)，能利用軸對(duì)稱性質(zhì)求解最短路徑問題是解答的關(guān)鍵．
15．D
【分析】先證明，再把陰影部分面積轉(zhuǎn)換為扇形面積，最后代入扇形面積公式即可．
【詳解】如圖，連接，，
∵等圓和相交于A，B兩點(diǎn)
∴,
∵和是等圓
∴
∴是等邊三角形
∴
∵,,
∴
∴．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了相交弦定理，全等的判定及性質(zhì)，扇形的面積公式，轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．
16．A
【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式，進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)圓錐的底面半徑是，依題意，
∴
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了求圓錐底面半徑，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．
17．B
【分析】根據(jù)圓錐的底面圓周長(zhǎng)求得半徑為，根據(jù)母線長(zhǎng)求得展開后的扇形的圓心角為，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：∵這個(gè)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，
∴
解得：
∵
解得：
∴側(cè)面展開圖的圓心角為
如圖所示，即為所求，過點(diǎn)作，
∵，，則
∵，則
∴，，

故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)，勾股定理解直角三角形，求得側(cè)面展開圖的圓心角為解題的關(guān)鍵．
18．
【分析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出四邊形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系求出，，即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于，由題意可知，四邊形是矩形，、是等腰直角三角形，，

在中，，，
，
同理，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正八邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．
19．
【分析】首先證明是等邊三角形，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【詳解】解：在中，∵，，，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，
，
∴是等邊三角形，
∴，
∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，含直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明是等邊三角形．
20．
【分析】（1）連接，根據(jù)點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)已知條件得出，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解；
（2）連接，根據(jù)垂徑定理的推論得出，是的切線，則,得出，根據(jù)平行線分線段成比例得出，設(shè)，則，勾股定理求得,J進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：（1）如圖，連接，

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
（2）解：如圖，連接，

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵是的切線，
∴,
∴
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，，
∴，，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
21．
【分析】利用弧長(zhǎng)公式直接計(jì)算即可．
【詳解】∵半徑，圓心角，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)計(jì)算，熟練掌握弧長(zhǎng)公式，并規(guī)范計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
22．
【分析】連接，，證明四邊形是正方形，由勾股定理求得，根據(jù)陰影部分面積求解即可．
【詳解】解：如圖所示，連接，，

∵、是的切線，
∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴四邊形是正方形，
∵，
∴，
∴，
∴陰影部分面積
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，扇形的面積，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握切線的性質(zhì)、正方形的判定得出圓的半徑是解題的關(guān)鍵．
23．
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出陰影部分的面積為扇形的面積，然后由勾股定理得出，再由扇形的面積公式求解即可．
【詳解】解：正方形，
∴，，
∴，
∵正方形的邊長(zhǎng)為2，
∴
∴陰影部分的面積為扇形的面積，即，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)及扇形的面積公式，理解題意，將陰影部分面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．
24．
【分析】由圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，可得圓錐的側(cè)面積公式，再根據(jù)題干數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意可得：旋轉(zhuǎn)后的幾何體是兩個(gè)共底面的圓錐，
∵邊上的高，
∴底面圓的周長(zhǎng)為：，
∵，，
∴幾何體的表面積為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓錐的側(cè)面積的計(jì)算，幾何體的形成，熟記圓錐的側(cè)面積公式是解本題的關(guān)鍵．
25．##
【分析】由，，，，，，，，求解，，證明，可得，再分別計(jì)算圓錐的底面半徑即可．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
解得：，，
∴；
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，扇形的弧長(zhǎng)的計(jì)算，圓錐的底面半徑的計(jì)算，熟記圓錐的側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵．
26．6
【分析】過點(diǎn)P作，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)得到，，然后利用含角直角三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求出，然后利用代入求解即可．
【詳解】如圖所示，過點(diǎn)P作，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接

∵是等邊三角形，
∴
∵是等邊三角形的外接圓，其半徑為4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值為的長(zhǎng)度
∵是等邊三角形，，
∴
∴的最小值為6．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
27．(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得為的平分線，再根據(jù)與相切于點(diǎn)，是的直徑得，進(jìn)而根據(jù)切線的判定可得到結(jié)論；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，先證得到，進(jìn)而得到，再證得到，然而在中利用三角函數(shù)可求出，進(jìn)而得為等邊三角形，據(jù)此得，，則，最后得到弧長(zhǎng)公式即可得到答案．
【詳解】（1）證明：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，是的中點(diǎn)，
為的平分線，
與相切于點(diǎn)，是的直徑，
為的半徑，
，
又，
，
即為的半徑，
是的切線；
（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，
點(diǎn)為的圓心，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，是的中點(diǎn)，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
又，
為等邊三角形，
，
，
．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
28．(1)
(2)是菱形，證明見解析
(3)的長(zhǎng)為．
【分析】（1）如圖，連接，證明，而，可得，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得答案；
（2）先證明，即，而，求解，可得，證明，可得，再證明，可得，從而可得結(jié)論；
（3）如圖，連接，，交于，證明為等邊三角形，可得，證明，，求解，再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：如圖，連接，

∵線段與相切于點(diǎn)B，
∴，而，
∴，
∵，
∴；
（2）四邊形是菱形，理由如下：
∵的中點(diǎn)為M，，
∴，即，而，
∴，
∴，
∵的中點(diǎn)為M，為直徑，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形．
（3）如圖，連接，，交于，

∵，，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∵菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與系數(shù)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，弧，弦，圓心角之間的關(guān)系，圓周角定理的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
29．(1)見解析；
(2)．
【分析】（1）如圖：，然后根據(jù)等邊對(duì)等角可得、即，再根據(jù)可得，進(jìn)而得到即可證明結(jié)論；
（2）如圖：連接，有圓周角定理可得，再解直角三角形可得，進(jìn)而得到，然后說明，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可解答．
【詳解】（1）證明：如圖：連接

∵，
∴,
∵，
∴,
∴,
∴,
∴。
∵，
∴，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線．
（2）解：如圖：連接
∵是的直徑，
∴,
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線證明、圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．
30．(1)證明過程見解析
(2)①2；②
【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)得出，證明，再由全等三角形的判定即可得出結(jié)論；
（2）①證出，再由直角三角形的性質(zhì)即可求解；
②由勾股定理求出，，由三角形面積公式和扇形的面積公式求解即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
∵是的切線，點(diǎn)D為切點(diǎn)，
∴，
∵，，，
∴，
∴；

（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴半圓O的半徑為2；
②在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、扇形的面積公式、銳角三角函數(shù)及勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
31．(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，從而可得和都是等邊三角形，最后利用等邊三角形的性質(zhì)可得，即可解答；
（2）連接交于點(diǎn)，利用菱形的性質(zhì)可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】（1）證明：連接，

和底邊相切于點(diǎn)，
，
，，
，
，，
和都是等邊三角形，
，，
，
四邊形是菱形；
（2）解：連接交于點(diǎn)，

四邊形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積
，
圖中陰影部分的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．

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