專題5 幾何變換
第2講 銳角三角函數(shù)與解直角三角形
一、銳角三角函數(shù)
1．銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b；
（1）正弦：；
（2）余弦：；
（3）正切：．
2．幾個(gè)重要公式：設(shè)α是一個(gè)銳角，則
（1）sinα=cs（90°-α）；
（2）csα=sin（90°-α）；
（3）sin2α＋cs2α=1．
3．銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律：
（1）當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，sinα（tanα）隨著角度的增大而 增大 ；
（2）當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，csα隨著角度的增大而 減小 ．
4．特殊角的三角函數(shù)值：
二、解直角三角形
1．解直角三角形的常用關(guān)系（理論依據(jù)）：
（1）三邊關(guān)系：a2＋b2=c2；
（2）兩銳角關(guān)系：∠A＋∠B=90°；
（3）邊與角關(guān)系：，，；
（4）任意角滿足：sin2A＋cs2A=1．
2．解直角三角形類型：
4．解直角三角形的應(yīng)用常用
（1）仰角和俯角：
①仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角；
②俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角；
（2）坡度和坡角：
①坡度（坡比）：坡面的 鉛直高度h 與 水平寬度l 的比，叫做坡度或坡比；
一般用i表示；即：；
②坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα；
坡度越大，α角越大，坡面 越陡 ．
（3）方向角（或方位角）：
指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2022年版，學(xué)業(yè)質(zhì)量要求：
1．探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)；
2．知道30°、45°、60°的三角函數(shù)值；
3．會(huì)使用計(jì)算器求三角函數(shù)值和銳角的度數(shù)；
4．能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡單的實(shí)際問題；
【例1】
（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）
1．如圖是源于我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，則的值為（ ）

A．B．C．D．
【變1】
（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）
2．如圖，為的直徑，點(diǎn)在的延長線上，，與相切，切點(diǎn)分別為C，D．若，則等于（ ）

A．B．C．D．
【例1】
（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）
3．計(jì)算：．
【變1】
（2023四川成都模擬）
4．在中，、均為銳角，且，則是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【例1】
（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）
5．在中，，，，則的長約為 ．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）
【變1】
（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）
6．如圖，在中，，以為直徑的與交于點(diǎn)D，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長；
(3)在（2）的條件下，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．
【例1】
（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）
7．在襄陽市諸葛亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點(diǎn)處，探測器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離為，從熱氣球看銅像頂部的俯角為，看銅像底部的俯角為．已知底座的高度為，求銅像的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）

【變1】
（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）
8．如圖，堤壩長為，坡度i為，底端A在地面上，堤壩與對(duì)面的山之間有一深溝，山頂D處立有高的鐵塔．小明欲測量山高，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線上，又在壩頂B處測得塔底D的仰角為．求堤壩高及山高．（，，，小明身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到）

一、選擇題
（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）
9．學(xué)校開放日即將來臨，負(fù)責(zé)布置的林老師打算從學(xué)校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩到地面，如圖所示．已彩旗繩與地面形成角（即）、彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即米），則彩旗繩的長度為（ ）

A．米B．米C．米D．米
（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）
10．如圖，四邊形是矩形，分別以點(diǎn)，為圓心，線段，長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，連接，，．若，，則的正切值為（ ）

A．B．C．D．
（2010·江蘇蘇州·中考真題）
11．如圖，在菱形中，，，，則的值是( )
A．B．2C．D．
二、填空題
（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）
12．如圖，點(diǎn)E在矩形的邊上，將沿折疊，點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處，若．，則 ．

（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）
13．如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則 ．

（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）
14．如圖，是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)在邊上，若，，則 ．

（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）
15．如圖，矩形的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，頂點(diǎn)在第一象限，對(duì)角線軸，交軸于點(diǎn)．若矩形的面積是6，，則 ．

（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）
16．如圖，標(biāo)號(hào)為①，②，③，④的四個(gè)直角三角形和標(biāo)號(hào)為⑤的正方形恰好拼成對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙，①和②分別是等腰和等腰，③和④分別是和，⑤是正方形，直角頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊上．
（1）若，，則的長是 cm．
（2）若，則的值是 ．
（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）
17．如圖，與斜坡垂直的太陽光線照射立柱（與水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，則立柱的高為 米（結(jié)果精確到米）．


（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）
18．如圖，某飛機(jī)于空中處探測到某地面目標(biāo)在點(diǎn)處，此時(shí)飛行高度米，從飛機(jī)上看到點(diǎn)的俯角為飛機(jī)保持飛行高度不變，且與地面目標(biāo)分別在兩條平行直線上同向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)飛機(jī)飛行米到達(dá)點(diǎn)時(shí)，地面目標(biāo)此時(shí)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，從點(diǎn)看到點(diǎn)的仰角為，則地面目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的距離約為 米．（參考數(shù)據(jù)：）

三、解答題
（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）
19．計(jì)算：．
（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）
20．某中學(xué)依山而建，校門A處有一坡角的斜坡，長度為30米，在坡頂B處測得教學(xué)樓的樓頂C的仰角，離B點(diǎn)4米遠(yuǎn)的E處有一個(gè)花臺(tái)，在E處測得C的仰角，的延長線交水平線于點(diǎn)D，求的長（結(jié)果保留根號(hào)）．

（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）
21．為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）

（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）
22．【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點(diǎn)E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點(diǎn)D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．

【活動(dòng)探究】
觀察小軍的操作后，小明提出了一個(gè)測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點(diǎn)D處不動(dòng)，將鏡子移動(dòng)至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出；再將鏡子移動(dòng)至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個(gè)廣告牌AG的高度．

【應(yīng)用拓展】
小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測量出斜坡上信號(hào)塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動(dòng)（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動(dòng)鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出；③測出坡長；④測出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請(qǐng)你算出信號(hào)塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．

（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）
23．小磊安裝了一個(gè)連桿裝置，他將兩根定長的金屬桿各自的一個(gè)端點(diǎn)固定在一起，形成的角大小可變，將兩桿各自的另一個(gè)端點(diǎn)分別固定在門框和門的頂部．
如圖1是俯視圖，分別表示門框和門所在位置，M，N分別是上的定點(diǎn)，，的長度固定，的大小可變．

(1)圖2是門完全打開時(shí)的俯視圖，此時(shí)，，，求的度數(shù)．
(2)圖1中的門在開合過程中的某一時(shí)刻，點(diǎn)F的位置如圖3所示，請(qǐng)?jiān)趫D3中作出此時(shí)門的位置．
（用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
(3)在門開合的過程中，的最大值為______．（參考數(shù)據(jù)：）
（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）
24．如圖，點(diǎn)D，E在以為直徑的上，的平分線交于點(diǎn)B，連接，，，過點(diǎn)E作，垂足為H，交于點(diǎn)F．

(1)求證：；
(2)若，求的長．
（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）
25．閱讀下列材料：
在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，求證：．
證明：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則：
在中， CD=asinB
在中，
根據(jù)上面的材料解決下列問題：
(1)如圖2，在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，求證：；
(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號(hào)．參考數(shù)據(jù)：，
（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）
26．如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)是C．

(1)_______；
(2)D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)D，過點(diǎn)作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；
(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，且其頂點(diǎn)P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
類型
已知條件
解法
兩邊
兩直角邊a、b
c=； tanA=； ∠B=90°-∠A
一直角邊a，斜邊c
b=； sinA=； ∠B=90°-∠A
一邊一銳角
一直角邊a，銳角A
∠B=90°-∠A； b=a·ctA； c=
斜邊c，銳角A
∠B=90°-∠A； a=c·sinA； b=c·csA
科學(xué)計(jì)算器按鍵順序
計(jì)算結(jié)果（已取近似值）



參考答案：
1．D
【分析】首先根據(jù)兩個(gè)正方形的面積分別求出兩個(gè)正方形的邊長，然后結(jié)合題意進(jìn)一步設(shè)直角三角形短的直角邊為，則較長的直角邊為，再接著利用勾股定理得到關(guān)于的方程，據(jù)此進(jìn)一步求出直角三角形各個(gè)直角邊的邊長，最后求出的值即可.
【詳解】∵小正方形的面積為，大正方形的面積為25，
∴小正方形的邊長為1，大正方形的邊長為5，
設(shè)直角三角形短的直角邊為，則較長的直角邊為，其中，
∴，其中，
解得：，，
∴，
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與一元二次方程及三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.
2．D
【分析】連接、、，交于，如圖，利用切線的性質(zhì)和切線長定理得到，，平分，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，則，根據(jù)圓周角定理得到，所以，然后求出即可．
【詳解】解：連接、、，交于，如圖，

，與相切，切點(diǎn)分別為，，
，，平分，
，
，
，
，
，
∵
∴
∵
∴在中，，
，
．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理和解直角三角形．
3．1
【分析】先計(jì)算零次冪，特殊角的正弦值，負(fù)指數(shù)冪，求解絕對(duì)值，再合并即可．
【詳解】解：
．
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算法則是基礎(chǔ)也是重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握，同時(shí)考查了特殊角的三角函數(shù)值，零次冪的含義，熟練掌握零次冪，特殊角的正弦值以及負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
4．C
【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出與的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出、的值即可．
【詳解】解：，
，，
，，
，，，
在中，，且，
是直角三角形．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，并充分利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．
5．
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：在中，，，，

∵,
∴，
則，
故選：
【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
6．(1)證明見解析；
(2)
(3)
【分析】（1）連接，由圓周角定理得到，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)證得，由等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)，得到，由切線的判定即可證得與相切；
（2）由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出；，
（3）設(shè)的邊高為，由可得，即可得出當(dāng)取最大值時(shí)，取最大值，根據(jù)進(jìn)而求解即可．
【詳解】（1）證明：連接，如圖所示，

∵為的直徑，
∴，
∴，
∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半徑，
∴與相切；
（2）解：由（1）知，，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，，
又∵在中，，即：，
∴（負(fù)值以舍去），
∴；
（3）設(shè)的邊高為，

由（2）可知，
又∵是直徑，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)取最大值時(shí)，也取最大值，
又∵，
∴當(dāng)取最大值時(shí)，取最大值，
此時(shí)邊高為取最大值為半徑，
∴，
∴
∴，
∴，
綜上所述：的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的判定以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）熟練掌握切線的判定方法；（2）通過解直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證得．（3）將的最大值轉(zhuǎn)化為的面積最大值．
7．銅像的高度是；
【分析】根據(jù)題意可得，從而求出，即可求解．
【詳解】解：由題意得：，，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴銅像的高度是；
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出．
8．堤壩高為8米，山高為20米．
【分析】過B作于H，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得到，求得，過B作于F，則，設(shè)，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【詳解】解：過B作于H，

∵坡度i為，
∴設(shè)，，
∴，
∴，
∴，
過B作于F，
則，
設(shè)，
∵．
∴，
∴，
∵坡度i為，
∴，
∴，
∴（米），
∴（米），
答：堤壩高為8米，山高為20米．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-俯角仰角，解直角三角形的應(yīng)用-坡角坡度，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
9．D
【分析】根據(jù)余弦值的概念即鄰邊與斜邊之比，即可求出答案.
【詳解】解：表示的是地面，表示是圖書館，
，
為直角三角形，
（米）.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，涉及到余弦值，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握余弦值的概念.
10．C
【分析】設(shè)，交于點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及以點(diǎn)，為圓心，線段，長為半徑畫弧得到，，設(shè)，故，在中求出的值，從而得到，從而得到，即可求得答案．
【詳解】解：設(shè)，交于點(diǎn)，
由題意得，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
設(shè)，
故，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
．

故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及正切值的求法，本題中得到是解題的關(guān)鍵．
11．B
【分析】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，欲求的值，只需通過解直角三角形求得的值即可．
【詳解】解：設(shè)菱形邊長為，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故選：B．
12．5
【分析】利用矩形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得，，可得，，設(shè)，則，利用勾股定理可得，進(jìn)而可得結(jié)果．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，，，
根據(jù)折疊可知，可知，，
則，在中，，則，
∴，則，
設(shè)，則，
在中，，即：，
解得：，
即：，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形，靈活運(yùn)用折疊的性質(zhì)得到相等線段是解決問題的關(guān)鍵．
13．
【分析】取的中點(diǎn)，連接，先根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，然后根據(jù)正弦的定義即可得．
【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，

，
，
又點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、等腰三角形的三線合一、正弦，熟練掌握正弦的求解方法是解題關(guān)鍵．
14．
【分析】過點(diǎn)A作于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由，可得，再根據(jù)，可得，從而可得，利用銳角三角函數(shù)求得，再由，求得，即可求得結(jié)果．
【詳解】解：過點(diǎn)A作于H，
∵是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．
15．
【分析】方法一：根據(jù)的面積為，得出，，在中，，得出，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)的幾何意義，即可求解．
方法二：根據(jù)已知得出則，即可求解．
【詳解】解：方法一：∵，
∴
設(shè)，則，
∴
∵矩形的面積是6，是對(duì)角線，
∴的面積為，即
∴
在中，
即
即
解得：
在中，
∵對(duì)角線軸，則，
∴,
∵反比例函數(shù)圖象在第二象限，
∴，
方法二：∵，
∴
設(shè)，則，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的幾何意義，余弦的定義，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16． 4 3
【分析】（1）將和用表示出來，再代入，即可求出的長；
（2）由已知條件可以證明，從而得到，設(shè)，，，用x和k的式子表示出，再利用列方程，解出x，從而求出的值．
【詳解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
即，
即，
∵，
∴，
故答案為：4；
（2）設(shè)，
∵，
∴可設(shè)，，
∵四邊形是正方形，
∴，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
∵四邊形對(duì)角互補(bǔ)，
∴，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
整理得：，
解得，（舍去），
∴．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)定義，一元二次方程的解法等，弄清圖中線段間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
17．19.2米
【分析】如圖，過點(diǎn)D作，垂足為H，過點(diǎn)C作，垂足為G，則四邊形為矩形，可得米，，．于是．解，得，從而（米），解中，（米）．于是（米）．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作，垂足為H，過點(diǎn)C作，垂足為G，
則四邊形為矩形，
∴米，．
∴．
∴．
中，，（米）．
∴（米）．
中，，
∴（米）．
∴（米）．
故答案為：19.2米．

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形；添加輔助線，構(gòu)造直角三角形、矩形，從而運(yùn)用三角函數(shù)求解線段是解題的關(guān)鍵．
18．
【分析】根據(jù)題意可得，，，，，，，如圖所述，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，根據(jù)正切的計(jì)算方法可求出的值，在中根據(jù)角的正切值可求出的值，由此即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意可得，，，，，，，
∴如圖所述，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，即，且，，
∴，
∴四邊形是矩形，即，，
在，，，
∴，則，
∴，
在中，，，
∴，則，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用仰俯角的正切值計(jì)算邊的長度，掌握構(gòu)成直角三角形，三角函數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
19．10
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則，二次根式性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則，二次根式性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確計(jì)算．
20．的長為米
【分析】作于點(diǎn)，首先根據(jù)坡度求出，并通過矩形的判定確定出，然后通過解三角形求出，即可相加得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖所示，作于點(diǎn)，則由題意，四邊形為矩形，

∵在中，，，，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
由題意，，，，，
∴為等腰直角三角形，，
設(shè)，則，
在中，，
∴，即：，
解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是上述方程的解，且符合題意，
∴，
∴，
∴的長為米．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，準(zhǔn)確構(gòu)造出直角三角形并求解是解題關(guān)鍵．
21．斜坡的長約為10米
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，利用正弦函數(shù)求得，在中，利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，
在中，，
．
∴．
∵，
∴在中，（米）．
答：斜坡的長約為10米．
【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
22．[問題背景] ；[活動(dòng)探究] ；[應(yīng)用拓展]
【分析】[問題背景]根據(jù)反射定理，結(jié)合兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)，列出相似比代值求解即可得到答案；
[活動(dòng)探究] 根據(jù)反射定理，結(jié)合兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)，運(yùn)用兩次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；
[應(yīng)用拓展] 過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證，得，再由銳角三角函數(shù)定義得，設(shè)，，則，，進(jìn)而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性質(zhì)得，即可解決問題．
【詳解】解：[問題背景]如圖所示：

，，
，
，
，
，，，
，解得；
[活動(dòng)探究]如圖所示：

，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
；
[應(yīng)用拓展] 如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
由題意得：，，
，
，
，
即，
，，
，
，
即，
，
，
，
由題意得：，
，
，，
設(shè)，，則，，
，
，
解得：（負(fù)值已舍去），
，，
，
，
同【問題背景】得：，
，
，
解得：，
，
答：信號(hào)塔的高度約為．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形綜合，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)求線段長、勾股定理等知識(shí)，讀懂題意，熟練掌握相似三角形測高、三角函數(shù)測高的方法步驟是解決問題的關(guān)鍵．
23．(1)
(2)見解析
(3)
【分析】（1）在中，利用銳角三角函數(shù)求得結(jié)果；
（2）以點(diǎn)O為圓心、的長為半徑畫弧，與以點(diǎn)F為圓心、的長為半徑的弧交于點(diǎn)，連接得出門的位置；
（3）當(dāng)最大時(shí)，的值最大，過點(diǎn)O作MN的垂線段，當(dāng)這條垂線段最大時(shí)，最大，即當(dāng)垂線段為OM即垂足為M時(shí)，最大，故的最大值為．
【詳解】（1）解：在中，，
∴．
∴．
（2）門的位置如圖1中或所示．（畫出其中一條即可）

（3）如圖2，連接，過點(diǎn)O作，交的延長線于點(diǎn)H．

∵在門的開合過程中，在不斷變化，
∴當(dāng)最大時(shí)，的值最大．
由圖2可知，當(dāng)與重合時(shí)，取得最大值，此時(shí)最大，
∴的最大值為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)、尺規(guī)作圖、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，準(zhǔn)確作圖，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
24．(1)見解析
(2)
【分析】（1）先證明，再利用兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求證；
（2）先利用勾股定理求出，再利用和正弦值即可求出．
【詳解】（1）連接，
∵，
∴，
∵是直徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；

（2）如圖，連接，
∵的平分線交于點(diǎn)B，
∴，
∴，
∴，
∵是直徑，
∴，
∵，
∴，，
∴．

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正弦函數(shù)、圓周角定理的推論和勾股定理等知識(shí)，學(xué)生應(yīng)理解與掌握正弦的定義、兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似和相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、圓周角定理的推論，即同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
25．(1)見解析
(2)
【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)表示AD后，即可建立關(guān)聯(lián)并求解；
（2）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和BC，即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，，
在中，，
，
；
（2）解：如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，，
，
在中，
又，
即，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提．
26．(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）把代入即可求解；
（2）過點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，設(shè)，由，解得，進(jìn)而求得平移后得拋物線，
平移后得拋物線為，根據(jù)二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解；
（3）先設(shè)出平移后頂點(diǎn)為，根據(jù)原拋物線，求得原拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為x=1，進(jìn)而得，再根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程即可得解．
【詳解】（1）解：把代入得，
，
解得，
故答案為；
（2）解：過點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，

∵，
∴二次函數(shù)的解析式為
設(shè)，
∵D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，，
∴，
解得m=或m=8（舍去），
當(dāng)m=時(shí)，，
∴，
∵，
∴設(shè)將原拋物線向左平移后的拋物線為，
把代入得，
解得a=3或a=（舍去），
∴平移后得拋物線為
∵過點(diǎn)作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，
在的對(duì)稱軸x=的左側(cè)，y隨x的增大而減小，此時(shí)原拋物線也是y隨x的增大而減小，
∴；
（3）解：由，設(shè)平移后的拋物線為，則頂點(diǎn)為，
∵頂點(diǎn)為在上，
∴，
∴平移后的拋物線為，頂點(diǎn)為，
∵原拋物線，
∴原拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為x=1，
∵平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，
∴，
∵點(diǎn)Q、C在直線x=1上，平移后的拋物線頂點(diǎn)P在原拋物線頂點(diǎn)C的上方，兩拋物線的交點(diǎn)Q在頂點(diǎn)P的上方，
∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，
∵是直角三角形，
∴∠CPQ=90°，
∴，
∴化簡得，
∴p=1（舍去），或p=3或p=，
當(dāng)p=3時(shí)，，
當(dāng)p=時(shí)，，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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