專題4 圖形的性質(zhì)
第9講 圓的有關(guān)性質(zhì)及與圓有關(guān)的位置關(guān)系
一、圓的有關(guān)性質(zhì)
1．圓的對稱性
（1）圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；
（2）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；
2．圓心角定理
（1）定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等；
（2）推論：同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦（可弦心距），三組量中只要有一組量相等，那么其它兩組量也相等；
如圖：①；②；③；④ ，這4個結(jié)論具有1推3；
3．垂徑定理
（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條??；
（2）推論：
①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；
②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；
③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧；
④在同圓或等圓中，兩條平行弦所夾的弧相等；
如圖： ①是直徑 ② ③ ④ ⑤ ，這5個結(jié)論具有二推三；
4．圓周角定理
（1）圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半；
（2）推論：
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等?。?br>推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑；
推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；

∠AOB=2∠C ∠D=∠C=∠E ∵∠F=∠E，∴；∵AB是直徑，∴∠C=90°
二、與圓的位置關(guān)系
1．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
2．直線與圓的位置關(guān)系
（1）設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：
（2）切線的判定和性質(zhì)
①切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；
②切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；
如圖：；
（3）切線長定理
從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．
如圖：∵、是的兩條切線， ∴，平分；
3．三角形與圓的位置關(guān)系
（1）三角形的外接圓：三角形三個頂點(diǎn)都在同一個圓上，這個圓就是三角形的外接圓，三角形就是圓的內(nèi)接三角形，外接圓的圓心簡稱外心，外心就是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)；
（2）三角形的內(nèi)切圓：三角形的三條邊都和同一個圓相切，這個圓就是三角形的內(nèi)切圓，三角形就是圓的外切三角形，內(nèi)切圓的圓心簡稱內(nèi)心，內(nèi)心就是三角形三條角平分線的交點(diǎn)；
4．四邊形與圓的位置關(guān)系
（1）圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角；
（2）圓的外切四邊形的性質(zhì)：圓的外切四邊形的對邊之和相等；
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2022年版，學(xué)業(yè)質(zhì)量要求：
1．理解圓及相關(guān)概念；
2．探索并掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；
3．探索并證明垂徑定理；
4．探索并知道圓周角定理；
5．了解三角形的內(nèi)心與外心；
6．了解直線與圓的位置關(guān)系 ，掌握切線的概念；
7．探索并證明切線長定理；
【例1】
（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）
1．如圖，在中，，，．以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外時，的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【變1】
（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）
2．已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、r為半徑作．若對于符合條件的任意實(shí)數(shù)k，一次函數(shù)的圖像與總有兩個公共點(diǎn)，則r的最小值為 ．
【例1】
（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）
3．如圖，四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)在的延長線上．若，則 度．
【變1】
（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）
4．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，則的度數(shù)是 ．
【例1】
（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）
5．趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為，則趙州橋主橋拱半徑R約為（ ）

A．B．C．D．
【變1】
（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）
6．如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是，高為．它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓．小明畫出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑、以及、組成的軸對稱圖形，直線為對稱軸，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，如圖2，他又畫出了所在的扇形并度量出扇形的圓心角，發(fā)現(xiàn)并證明了點(diǎn)在上．請你繼續(xù)完成長的計算．
參考數(shù)據(jù)：，，，，，．
【例1】
（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）
7．如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)，，連接的延長線交于點(diǎn)，則 ．

【變1】
（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）
8．如圖，在中，是上（異于點(diǎn)，）的一點(diǎn)，恰好經(jīng)過點(diǎn)，，于點(diǎn)，且平分．

(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若，，求的半徑長．
一、選擇題
（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）
9．在同一平面內(nèi)，已知的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點(diǎn)P為圓上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是（ ）
A．2B．5C．6D．8
（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）
10．我國古代天文學(xué)確定方向的方法中蘊(yùn)藏了平行線的作圖法．如《淮南子天文訓(xùn)》中記載：“正朝夕：先樹一表東方；操一表卻去前表十步，以參望日始出北廉．日直入，又樹一表于東方，因西方之表，以參望日方入北康．則定東方兩表之中與西方之表，則東西也．”如圖，用幾何語言敘述作圖方法：已知直線a和直線外一定點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線與a平行．（1）以O(shè)為圓心，單位長為半徑作圓，交直線a于點(diǎn)M，N；（2）分別在的延長線及上取點(diǎn)A，B，使；（3）連接，取其中點(diǎn)C，過O，C兩點(diǎn)確定直線b，則直線．按以上作圖順序，若，則（ ）

A．B．C．D．
（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）
11．如圖，是的內(nèi)接三角形，，，是邊上一點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)．若，，則的半徑為（ ）

A．B．C．D．
（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）
12．如圖，四邊形內(nèi)接于，E為BC延長線上一點(diǎn)．若，則的度數(shù)是（ ）

A．B．C．D．
（2022·四川眉山·中考真題）
13．如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿，分別相切于點(diǎn)，，不倒翁的鼻尖正好是圓心，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）
14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，過△ABD的內(nèi)心I作IE⊥BD于點(diǎn)E．若BD＝10，CD＝4，則BE的長為（ ）
A．6B．7C．8D．9
（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）
15．如圖，是等邊的外接圓，點(diǎn)是弧上一動點(diǎn)（不與，重合），下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)最長時，；④，其中一定正確的結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
二、填空題
（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）
16．如圖，是的直徑，是的內(nèi)接三角形．若，，則的直徑 ．

（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）
17．如圖，將一個球放置在圓柱形玻璃瓶上，測得瓶高AB＝20cm，底面直徑BC＝12cm，球的最高點(diǎn)到瓶底面的距離為32cm，則球的半徑為 cm（玻璃瓶厚度忽略不計）．
（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）
18．如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時，恰好與邊相切，則此餐盤的半徑等于 cm．

（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）
19．如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段上一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，E重合），則的最小值為 ．

（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）
20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，過原點(diǎn)O，且與x軸交于另一點(diǎn)D，為的切線，為切點(diǎn)，是的直徑，則的度數(shù)為 ．

三、解答題
（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）
21．如圖，為的直徑，如果圓上的點(diǎn)恰使，求證：直線與相切．

（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）
22．如圖，是⊙的直徑，為⊙上的一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)的直線垂直于的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．
(1)求證：為⊙的切線；
(2)若，，求的長．
（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）
23．如圖1，點(diǎn)為等邊的重心，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)，使得，連接，，，

(1)求證：四邊形為菱形．
(2)如圖2，以點(diǎn)為圓心，為半徑作
①判斷直線與的位置關(guān)系，并予以證明．
②點(diǎn)為劣弧上一動點(diǎn)（與點(diǎn)、點(diǎn)不重合），連接并延長交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，求證：為定值．
（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）
24．在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動課上，小霞小組通過探究得出：在平面內(nèi)，一組對角互補(bǔ)的四邊形的四個頂點(diǎn)共圓．請應(yīng)用此結(jié)論．解決以下問題：
如圖1，中，（）．點(diǎn)D是邊上的一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），將線段繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)到線段，連接．

(1)求證：A，E，B，D四點(diǎn)共圓；
(2)如圖2，當(dāng)時，是四邊形的外接圓，求證：是的切線；
(3)已知，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，此時是四邊形的外接圓，直接寫出圓心P與點(diǎn)M距離的最小值．
位置關(guān)系
圖形
定義
性質(zhì)及判定
點(diǎn)在圓外

點(diǎn)在圓的外部
點(diǎn)在的外部．
點(diǎn)在圓上
點(diǎn)在圓周上
點(diǎn)在的圓周上．
點(diǎn)在圓內(nèi)

點(diǎn)在圓的內(nèi)部
點(diǎn)在的內(nèi)部．
位置關(guān)系
圖形
定義
性質(zhì)及判定
相離
直線與圓沒有公共點(diǎn)
直線與相離
相切
直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)
直線與相切
相交
直線與圓有兩個公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線
直線與相交
參考答案：
1．C
【分析】先利用勾股定理可得，再根據(jù)“點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外”可得，由此即可得出答案．
【詳解】解：在中，，，，
，
點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外，
，即，
觀察四個選項可知，只有選項C符合，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．
2．2
【分析】由的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，可知，由過定點(diǎn)，可知當(dāng)圓經(jīng)過時，由于直線呈下降趨勢，因此必然與圓有另一個交點(diǎn)，進(jìn)而可得r的最小值是2．
【詳解】解：∵的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，
∴，隨的增大而減小，
∵過定點(diǎn)，
∴當(dāng)圓經(jīng)過時，由于直線呈下降趨勢，因此必然與圓有另一個交點(diǎn)，
∴r的臨界點(diǎn)是2，
∴r的最小值是2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖像，直線與圓的位置關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
3．140
【分析】首先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，再根據(jù)圓心角與圓周角的關(guān)系即可得出的度數(shù)．
【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接于，，
∴，
又∵，
∴，
∴°．
故答案為：140．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓心角與圓周角之間的關(guān)系，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，理解圓心角與圓周角之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
4．120
【分析】解：如圖，連接，由是的直徑，可得，由，可得，，根據(jù)，計算求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴，
故答案為：120．
【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，含的直角三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．
5．B
【分析】由題意可知，，，主橋拱半徑R，根據(jù)垂徑定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【詳解】解：如圖，由題意可知，，，主橋拱半徑R，
，
是半徑，且，
，
在中，，
，
解得：，
故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解題關(guān)鍵．
6．42cm
【分析】連接，交于點(diǎn)．設(shè)直線交于點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理可得，解，得出，進(jìn)而求得的長，即可求解．
【詳解】解：連接，交于點(diǎn)．設(shè)直線交于點(diǎn)．
∵是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，
∴．
在中，∵，，
∴，．
∵直線是對稱軸，
∴，，，
∴．
∴．
∴，．
在中，，
即，
則．
∵，
即，
則．
∴．
∵該圖形為軸對稱圖形，張圓凳的上、下底面圓的直徑都是，
,
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
7．##度
【分析】如圖所示，連接，設(shè)交于H，由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出，再由切線長定理得到，進(jìn)而推出是的垂直平分線，即，則．
【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于H，
∵是的內(nèi)切圓，
∴分別是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵與分別相切于點(diǎn)，，
∴，
又∵，
∴是的垂直平分線，
∴，即，
∴，
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓，切線長定理，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定，三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
8．(1)見解析
(2)的半徑長為．
【分析】（1）連接，證明，即可證得，從而證得是圓的切線；
（2）設(shè)，則，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性質(zhì)列得比例式，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）證明：連接，如下圖所示，

∵是的平分線，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又∵過半徑的外端點(diǎn)B，
∴與相切；
（2）解：設(shè)，則，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
故的半徑長為．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定是解本題的關(guān)鍵．
9．B
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，判斷出當(dāng)點(diǎn)為的延長線與的交點(diǎn)時，點(diǎn)到直線的距離最大，由此即可得．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
，，
當(dāng)點(diǎn)為的延長線與的交點(diǎn)時，點(diǎn)到直線的距離最大，最大距離為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，正確判斷出點(diǎn)到直線的距離最大時，點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵．
10．A
【分析】證明，可得，結(jié)合，C為的中點(diǎn)，可得．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，C為的中點(diǎn)，
∴，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，三角形的外角的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
11．A
【分析】連接, 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到, 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【詳解】連接,
∵,
∴
∴,
∵,
∴是等邊三角形,

∴ ,
∵，,
∴,
，
∴,
∵,
，
，
即的半徑為 ，
故選: .
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)度量是解題的關(guān)鍵.
12．C
【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)求出的度數(shù)，最后根據(jù)圓周角定理即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：∵，
∴，
∵四邊形內(nèi)接于，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握這些定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．C
【分析】連OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因為PA、PB分別相切于點(diǎn)A、B，則∠OAP=∠OBP=90°，利用四邊形內(nèi)角和即可求出∠APB．
【詳解】連接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=28°，
∴∠AOB=124°，
∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OP⊥AB，
∴∠OAP+∠OBP=180°，
∴∠APB+∠AOB=180°；
∴∠APB=56°．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，三角形和四邊形的內(nèi)角和定理，切線長定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造等腰三角形解決問題．
14．B
【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)切線長定理設(shè)，進(jìn)而結(jié)合已知條件表示出，求得的長，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，
∵是的內(nèi)心，
∴，
設(shè)，
∵BD＝10，
∴，
∴,，
∵，
∴，
解得，
∴，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)，切線長定理，掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．
15．C
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而得到∠ADB=∠BDC，故①正確；根據(jù)點(diǎn)是上一動點(diǎn)，可得不一定等于，故②錯誤；當(dāng)最長時，DB為圓O的直徑，可得∠BCD=90°，再由是等邊的外接圓，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得，故③正確；延長DA至點(diǎn)E，使AE=AD，證明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，從而得到△BDE是等邊三角形，可得到DE=BD，故④正確；即可求解．
【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴，
∴∠ADB=∠BDC，故①正確；
∵點(diǎn)是上一動點(diǎn)，
∴不一定等于，
∴DA=DC不一定成立，故②錯誤；
當(dāng)最長時，DB為圓O的直徑，
∴∠BCD=90°，
∵是等邊的外接圓，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴，故③正確；
如圖，延長DA至點(diǎn)E，使AE=DC，
∵四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等邊三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴，故④正確；
∴正確的有3個．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形的外接圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握圓周角定理，三角形的外接圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．
16．
【分析】連接，，根據(jù)在同圓中直徑所對的圓周角是可得，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)圓心角，弦，弧之間的關(guān)系可得，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：連接，，如圖：

∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了在同圓中直徑所對的圓周角是，圓周角定理，圓心角，弦，弧之間的關(guān)系，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
17．7.5
【分析】如詳解中圖所示，將題中主視圖做出來，用垂徑定理、勾股定理計算即可.
【詳解】如下圖所示，設(shè)球的半徑為rcm，
則OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，
∵EG過圓心，且垂直于AD，
∴G為AD的中點(diǎn)，
則AG=0.5AD=0.5×12=6cm，
在中，由勾股定理可得，
，
即，
解方程得r=7.5，
則球的半徑為7.5cm．
【點(diǎn)睛】本題考查了主視圖、垂徑定理和勾股定理的運(yùn)用，準(zhǔn)確做出立體圖形的主視圖是解題的關(guān)鍵．
18．10
【分析】連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則點(diǎn)為餐盤與邊的切點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)得，，，則四邊形是矩形，，得，，，設(shè)餐盤的半徑為，則，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．
【詳解】由題意得：，，
如圖，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

則，
餐盤與邊相切，
點(diǎn)為切點(diǎn)，
四邊形是矩形，
，，，
四邊形是矩形，，
，，，
設(shè)餐盤的半徑為，
則，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
餐盤的半徑為，
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
19．6
【分析】過點(diǎn)P作，連接并延長交于點(diǎn)F，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)得到，，然后利用含角直角三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求出，然后利用代入求解即可．
【詳解】如圖所示，過點(diǎn)P作，連接并延長交于點(diǎn)F，連接

∵是等邊三角形，
∴
∵是等邊三角形的外接圓，其半徑為4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值為的長度
∵是等邊三角形，，
∴
∴的最小值為6．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．
20．
【分析】先根據(jù)點(diǎn)，的坐標(biāo)得，進(jìn)而得的半徑為1，然后再在中利用銳角三角函數(shù)求出，進(jìn)而得，最后再證為等邊三角形即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：點(diǎn)，，
，
過原點(diǎn)，
為的半徑，
為的切線，
，，
在中，，，，
，
，
，
又，
三角形為等邊三角形，
，
即的度數(shù)為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義和等邊三角形的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
21．見詳解
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出，則，再由切線的判定即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：如圖，連接，
，
，
為的直徑，
，
，
，
，
即，
，
是的半徑，
直線與相切．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握圓周角定理和切線的判定是解題的關(guān)鍵．
22．(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)可得，進(jìn)而證，從而得證即可；
（2）解法一：連接交于，根據(jù)及勾股定理求出，再證明，從而得到，即可求出的值；解法二：過點(diǎn)作于點(diǎn)，按照解法一步驟求出，然后證明四邊形是矩形，再證明，求得，進(jìn)而求出的值．
【詳解】（1）證明：連接，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半徑，
是的切線；
（2）解法一：連接交于，
，，
，
，
，
在中，
，
或（不符合題意，舍去），
點(diǎn)是的中點(diǎn)，是半徑，
垂直平分，
，
是的中位線，
，
是直徑，
，
，
，
，
；
解法二：過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，，
，，
，
，
，
在中，，
，
或（不符合題意，舍去），
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，圓的相關(guān)性質(zhì)，勾股定理，平行線間線段成比例，相似三角形的的判定與性質(zhì)，掌握并理解相關(guān)性質(zhì)定理并能綜合應(yīng)用是關(guān)鍵．
23．(1)見解析；
(2)①直線是的切線；②見解析．
【分析】（1）如圖1，延長交于點(diǎn)，連接，由是等邊三角形，是重心，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，得?，，進(jìn)而證明四邊形是平行四邊形，于是即可得四邊形為菱形；
（2）①延長交于點(diǎn)，連接，先證為的角平分線，進(jìn)而求得，又由菱形的性質(zhì)得，從而有，于是根據(jù)切線的判定即可得出結(jié)論；②在優(yōu)弧上取一點(diǎn)，連接、，由①得，進(jìn)而求得，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得，從而根據(jù)角的和差關(guān)系求得，于是證明得，即可證明結(jié)論成立．
【詳解】（1）證明：如圖，延長交于點(diǎn)，連接，

∵是等邊三角形，是重心，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，
∴中線過點(diǎn)，即、、三點(diǎn)共線，，，
∴?，，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵?，
∴四邊形為菱形；
（2）①解：直線是的切線，理由如下：延長交于點(diǎn)，連接，

∵是等邊三角形，是重心，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，
∴中線過點(diǎn)，即、、三點(diǎn)共線，，，，
∴為的角平分線，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴直線是的切線；
②證明：在優(yōu)弧上取一點(diǎn)，連接、，

由①得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形內(nèi)接于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
∵
∴，即為定值．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，重心的性質(zhì)，切線的判定以及菱形的判定，熟練掌握菱形的判定，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，重心的性質(zhì)以及切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
24．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，證明，進(jìn)而證明，可以得到，由，可得，即可證明A、B、D、E四點(diǎn)共圓；
（2）如圖所示，連接，根據(jù)等邊對等角得到，由圓周角定理得到，再由，得到，利用三角形內(nèi)角和定理證明，即，由此即可證明是的切線；
（3）如圖所示，作線段的垂直平分線，分別交于G、F，連接，先求出，再由三線合一定理得到，，解直角三角形求出，則，再解得到，則；由是四邊形的外接圓，可得點(diǎn)P一定在的垂直平分線上，故當(dāng)時，有最小值，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓；
（2）證明：如圖所示，連接，
∵，
∴，
∵是四邊形的外接圓，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是的半徑，
∴是的切線；

（3）解：如圖所示，作線段的垂直平分線，分別交于G、F，連接，
∵，
∴，
∵點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵是四邊形的外接圓，
∴點(diǎn)P一定在的垂直平分線上，
∴點(diǎn)P在直線上，
∴當(dāng)時，有最小值，
∵，
∴在中，，
∴圓心P與點(diǎn)M距離的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，解直角三角形，圓周角定理，切線的判定，三角形外接圓的性質(zhì)，垂線段最短等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

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