專題5 幾何變換
第4講 軸對(duì)稱和中心對(duì)稱
一、軸對(duì)稱
1．軸對(duì)稱圖形的定義：一個(gè)圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，該直線就是它的對(duì)稱軸．
2．軸對(duì)稱：對(duì)于兩個(gè)圖形，如果沿一條直線對(duì)折后，它們能夠完全重合，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱．
3．軸對(duì)稱的性質(zhì)
（1）對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；
（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分；
4．軸對(duì)稱作圖
（1）找出圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)；
（2）作關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)：一垂二延三相等；
（3）連接關(guān)鍵點(diǎn)；
二、中心對(duì)稱
1．中心對(duì)稱定義：如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做它們的對(duì)稱中心．
2．中心對(duì)稱圖形定義：把一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心．
區(qū)別：中心對(duì)稱→兩個(gè)圖形的關(guān)系，中心對(duì)稱圖形→一種圖形的特征．
3．中心對(duì)稱性質(zhì)：成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分．同心對(duì)稱具有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
4．中心對(duì)稱圖形作圖
（1）找出圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)；
（2）作關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)：一連（關(guān)鍵點(diǎn)與對(duì)稱中心連接）二延三相等；
（3）連接關(guān)鍵點(diǎn)；
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2022年版，學(xué)業(yè)質(zhì)量要求：
1．理解軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的概念；
2．知道軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的性質(zhì)；
3．會(huì)用軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的運(yùn)動(dòng)認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中相應(yīng)的現(xiàn)象；
4．理解幾何圖形的對(duì)稱性，感悟現(xiàn)實(shí)世界中的對(duì)稱美，知道可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)對(duì)稱；
【例1】（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）
1．河湟剪紙被列入青海省第三批省級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，是青海勞動(dòng)人民結(jié)合河湟文化，創(chuàng)造出獨(dú)具高原特色的剪紙．以下剪紙圖案既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【變1】（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）
2．生活中有許多對(duì)稱美的圖形，下列是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A． B． C．D．
【例1】（2023·河北滄州·統(tǒng)考二模）
3．如圖由個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的三個(gè)頂點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上，是與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．以下是嘉嘉和淇淇得出的結(jié)論，下列判斷正確的是（ ）

嘉嘉：旋轉(zhuǎn)后的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上；
淇淇：旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)三角形可形成平行四邊形
A．只有嘉嘉對(duì)B．只有淇淇對(duì)C．兩人都對(duì)D．兩人都不對(duì)
【變1】（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）
4．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿折疊得到，連接.若于點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為 ．

【例1】（2023·安徽亳州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．

(1)作出關(guān)于y軸對(duì)稱的；
(2)作出關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的；
(3)在軸上找一點(diǎn)，使，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【變1】（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）
6．將邊長(zhǎng)為2的正方形剪成四個(gè)全等的直角三角形，用這四個(gè)直角三角形拼成符合要求的四邊形，請(qǐng)?jiān)谙铝芯W(wǎng)格中畫出你拼成的四邊形（注：①網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1；②所拼的圖形不得與原圖形相同；③四邊形的各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．

一、選擇題
（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）
7．剪紙是中國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化．下列剪紙圖案中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）．
A． B．
C． D．
（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）
8．三個(gè)全等的等邊三角形按圖1所示位置擺放，現(xiàn)添加一個(gè)大小相同的等邊三角形，使四個(gè)等邊三角形組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形（如圖2），則添加的等邊三角形所放置的位置是（ ）
A．①B．②C．③D．④
（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形的邊，將矩形沿直線折疊到如圖所示的位置，線段恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)落在軸的點(diǎn)位置，點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）

A．B．C．D．
二、填空題
（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）
10．如圖，將正五邊形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，展開(kāi)后，再將紙片折疊，使邊落在線段上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，則的大小為 度．

（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）
11．如圖，在中，．點(diǎn)，分別在邊，上，連接，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．若點(diǎn)剛好落在邊上，，則的長(zhǎng)為 ．

（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）
12．如圖，的半徑為，為的弦，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，將沿弦翻折，使點(diǎn)與圓心重合，則陰影部分的面積為 ．（結(jié)果保留與根號(hào)）

（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）
13．如圖，平分等邊的面積，折疊得到分別與相交于兩點(diǎn)．若，用含的式子表示的長(zhǎng)是 ．

（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）
14．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別在邊上，將正方形沿著翻折，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)處，如果四邊形與四邊形的面積比為3∶5，那么線段的長(zhǎng)為 ．

（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）
15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)、分別是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，垂足為，點(diǎn)在邊上，且、兩點(diǎn)關(guān)于軸上某點(diǎn)成中心對(duì)稱，連接、．線段長(zhǎng)度的最小值為 ．

（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）
16．如圖，將菱形紙片沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在射線上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)等于 ．

三、解答題
（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）
17．如圖，在的方格紙中，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1．已知格點(diǎn)P，請(qǐng)按要求畫格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．

(1)在圖中畫一個(gè)等腰三角形，使底邊長(zhǎng)為，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，再畫出該三角形繞矩形的中心旋轉(zhuǎn)180°后的圖形．
(2)在圖中畫一個(gè)，使，點(diǎn)Q在上，點(diǎn)R在上，再畫出該三角形向右平移1個(gè)單位后的圖形．
（2023·江西南昌·?？级＃?br>18．如圖，在矩形中，為的中點(diǎn)（保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中作矩形關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的圖形．
(2)在圖2中作以為頂點(diǎn)的矩形．
（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）
19．如圖，在方格紙中按要求畫圖，并完成填空．
(1)畫出線段繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的線段，連接；
(2)畫出與關(guān)于直線對(duì)稱的圖形，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是C；
(3)填空：的度數(shù)為_(kāi)________．
（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）
20．（1）觀察分析：在一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，老師向同學(xué)們展示了圖①，圖②，圖③三幅圖形，請(qǐng)你結(jié)合自己所學(xué)的知識(shí)，觀察圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，寫出三個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征：___________，___________．

（2）動(dòng)手操作：請(qǐng)?jiān)趫D④中設(shè)計(jì)一個(gè)新的圖案，使其滿足你在（1）中發(fā)現(xiàn)的共同特征．

（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）
21．如圖，矩形中，．E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接．作交矩形的邊于點(diǎn)F，垂足為G．
(1)求證：；
(2)若，求的長(zhǎng)；
(3)點(diǎn)O為矩形的對(duì)稱中心，探究的取值范圍．
（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）
22．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；
(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．
（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）
23．綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，有一位同學(xué)操作過(guò)程如下：
操作一：對(duì)折正方形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；
操作二：在上選一點(diǎn)P，沿折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，連接．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，___________度；
(2)改變點(diǎn)P在上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合）如圖2，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）
24．問(wèn)題情境：如圖1，在中，，是邊上的中線．如圖2，將的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別沿折疊后均與點(diǎn)D重合，折痕分別交于點(diǎn)E，G，F(xiàn)，H．

猜想證明：
(1)如圖2，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．
問(wèn)題解決；
(2)如圖3，將圖2中左側(cè)折疊的三角形展開(kāi)后，重新沿折疊，使得頂點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，折痕分別交于點(diǎn)M，N，的對(duì)應(yīng)線段交于點(diǎn)K，求四邊形的面積．
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的特點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；
B．既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；
C．既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；
D．既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)符合題意．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查識(shí)別軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形．識(shí)別軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．識(shí)別中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．
2．D
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形定義：把圖形沿某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的新圖形與原圖形重合的圖形叫中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形定義：把一個(gè)圖形沿某條直線對(duì)折兩邊完全重合的圖形叫軸對(duì)稱圖形，逐個(gè)判斷即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得，
A選項(xiàng)圖形即是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，不符合題意，
B選項(xiàng)圖形即是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，不符合題意，
C選項(xiàng)圖形即是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，不符合題意，
D選項(xiàng)圖形是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形，符合題意，
故選：D；
【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱圖形定義：把圖形沿某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的新圖形與原圖形重合的圖形叫中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形定義：把一個(gè)圖形沿某條直線對(duì)折兩邊完全重合的圖形叫軸對(duì)稱圖形．
3．C
【分析】畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)圖形解答．
【詳解】如圖，取格點(diǎn)，連接，，取格點(diǎn)E，F(xiàn)．
∵，
∴，
∴，
∴點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)C重合，點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)A重合．
同理可證：點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，
∴旋轉(zhuǎn)后的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，
故嘉嘉說(shuō)法正確；
由中心對(duì)稱的性質(zhì)得，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)三角形可形成平行四邊形，
故淇淇說(shuō)法正確．
故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，中心對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
4．
【分析】取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)．設(shè)，由折疊可知?jiǎng)t，得到，從而推導(dǎo)出，由三角形中位線定理得到，從而推導(dǎo)出，得到四邊形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可．
【詳解】解：取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)．
∵，為的中點(diǎn)，
∴，，．
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，則于點(diǎn)，

設(shè)，由折疊可知?jiǎng)t，
∵，
∴，，
又由折疊得，，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，
∴，
∵是的中位線，
∴，，
∴，
由折疊知，，
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴．
在 中，，
∴，
解得：，
∴，，即，，
在中，．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性質(zhì)等，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理列方程求解．
5．(1)作圖見(jiàn)解析
(2)作圖見(jiàn)解析
(3)作圖見(jiàn)解析，
【分析】（1）先找出三點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)，連接三點(diǎn)畫出三角形；
（2）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖所示：

即為所求；
（2）解：如圖所示：

即為所求；
（3）如圖所示：

點(diǎn)即為所求，坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，軸對(duì)稱變換，熟練掌握基本作圖知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
6．見(jiàn)解析（答案不唯一，符合題意即可）
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)進(jìn)行作圖即可．
【詳解】解：①要求是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形，則可作等腰梯形，如圖四邊形即為所求；
②要求是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形，則可作一般平行四邊形，如圖四邊形即為所求；
③要求既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，則可作菱形、矩形等，如圖四邊形即為所求；
④要求既不是軸對(duì)稱圖形又不是中心對(duì)稱圖形，則考慮作任意四邊形，如圖四邊形即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念及作圖，軸對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形沿著某條直線折疊，能夠與另一個(gè)圖形重合；中心對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)能夠和原圖形重合．
7．B
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念逐項(xiàng)分析判斷即可，軸對(duì)稱圖形的概念：平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．
【詳解】解：選項(xiàng)A、C、D均不能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以不是軸對(duì)稱圖形；
選項(xiàng)B能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以是軸對(duì)稱圖形；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
8．D
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形可得答案．
【詳解】解：依題意，添加的等邊三角形④，可得中心對(duì)稱圖形，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形，熟練掌握中心對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．
9．D
【分析】首先證明，求出，連結(jié)，設(shè)與交于點(diǎn)F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：∵矩形的邊，，
∴，，，
由題意知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由折疊知，，
∴，
∴，即，
連接，設(shè)與交于點(diǎn)F，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
由折疊知，，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，通過(guò)證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
10．
【分析】根據(jù)題意求得正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】解：∵正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，
將正五邊形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，
則，
∵將紙片折疊，使邊落在線段上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，
∴，，
在中，，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和的應(yīng)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，即可求解．
【詳解】解：∵將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．點(diǎn)剛好落在邊上，在中，，，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
12．
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出是等邊三角形，則，，根據(jù)陰影部分面積即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于點(diǎn)

∵將沿弦翻折，使點(diǎn)與圓心重合，
∴，
又
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴,
∴陰影部分面積
故答案為：．
13．
【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，然后將兩個(gè)等式相加即可得．
【詳解】解：是等邊三角形，
，
∵折疊得到，
，
，，
平分等邊的面積，
，
，
又，
，
，，
，
，
解得或（不符合題意，舍去），
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
14．
【分析】連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，則，根據(jù)已知條件，分別表示出，證明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵正方形的邊長(zhǎng)為1，四邊形與四邊形的面積比為3∶5，
∴，
設(shè)，則，則
∴
即
∴
∴，
∴，
∵折疊，
∴，
∴，
∵，
∴，
又,
∴，
∴
在中，
即
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
15．
【分析】過(guò)點(diǎn)F，D分別作垂直于y軸，垂足分別為G，H，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，可求出，根據(jù)勾股定理得出，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；
【詳解】過(guò)點(diǎn)F，D分別作垂直于y軸，垂足分別為G，H，

則，
記交y軸于點(diǎn)K，
∵D點(diǎn)與F點(diǎn)關(guān)于y軸上的K點(diǎn)成中心對(duì)稱，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直線的解析式為，
∴時(shí)，，
∴，
又∵，
設(shè)直線的解析式為
∴，
解得=，
∴直線的解析式為，
過(guò)點(diǎn)F作軸于點(diǎn)R，
∵D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,
∴，
∴，
∵，
∴，
令，得，
∴．
∴當(dāng)時(shí)，l的最小值為8，
∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】待定系數(shù)法，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，中心對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．
16．
【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)Q，根據(jù)菱形性質(zhì)可得，根據(jù)折疊所得，結(jié)合三角形的外角定理得出，最后根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)Q，
∵四邊形為菱形，，
∴，，
∴，
∵由沿折疊所得，
∴，
∴，
∵，，
∴，則，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形和折疊的性質(zhì)，正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解．
17．(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）底邊長(zhǎng)為即底邊為小方格的對(duì)角線，根據(jù)要求畫出底邊，再在其底邊的垂直平分線找到在格點(diǎn)上的頂點(diǎn)即可得到等腰，然后根據(jù)中心旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作出繞矩形的中心旋轉(zhuǎn)180°后的圖形．
（2）根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，按要求構(gòu)造等腰直角三角形，然后按平移的規(guī)律作出平移后圖形即可．
【詳解】（1）（1）畫法不唯一，如圖1（ ，），或圖2（）．

（2）畫法不唯一，如圖3或圖4．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了格點(diǎn)作圖，解題關(guān)鍵是掌握網(wǎng)格的特點(diǎn)，靈活畫出相等的線段和互相垂直或平行的線段．
18．(1)見(jiàn)解析；
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得；連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接、、，即可得到矩形為所求作；
（2）連接、，交點(diǎn)為點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)中位線定理，得到，即可得到矩形或矩形為所求作．
【詳解】（1）解：如圖1中，矩形即為所求；

（2）解：如圖2中，矩形或矩形即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查了畫中心對(duì)稱圖形，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，根據(jù)相關(guān)性質(zhì)正確作圖是解題關(guān)鍵．
19．(1)詳見(jiàn)解析
(2)詳見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)題目敘述畫出圖形即可；
（2）根據(jù)題目敘述畫出圖形即可；
（3）由（1）作圖可得是等腰直角三角形，且，由對(duì)稱的性質(zhì)可得．
【詳解】（1）在方格紙中畫出線段繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的線段，連接,如圖；
（2）畫出與關(guān)于直線對(duì)稱的圖形，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是C；如上圖所示：
（3）由（1）作圖可得是等腰直角三角形，且，
再根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)作圖及作軸對(duì)稱圖形，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，得出旋轉(zhuǎn)三要素，進(jìn)而得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．
20．（1）觀察發(fā)現(xiàn)四個(gè)圖形都是軸對(duì)稱圖形，且面積相等；（2）見(jiàn)解析
【分析】（1）應(yīng)從對(duì)稱方面，陰影部分的面積等方面入手思考；
（2）應(yīng)畫出既是軸對(duì)稱圖形，且面積為4的圖形．
【詳解】解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)四個(gè)圖形都是軸對(duì)稱圖形，且面積相等；
故答案為：觀察發(fā)現(xiàn)四個(gè)圖形都是軸對(duì)稱圖形，且面積相等；
（2）如圖：

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱圖形設(shè)計(jì)圖案，關(guān)鍵是掌握利用軸對(duì)稱的作圖方法來(lái)作圖，通過(guò)變換對(duì)稱軸來(lái)得到不同的圖案．
21．(1)見(jiàn)解析
(2)1或
(3)
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，進(jìn)行角度的等量代換，即可解答；
（2）分類討論，即①當(dāng)點(diǎn)F在上時(shí)②當(dāng)點(diǎn)F在上時(shí)兩種情況，利用正切的概念，即可解答；
（3）取的中點(diǎn)H，連接，則，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得,再根據(jù)中位線的性質(zhì)求得，即可求得的最小值，再結(jié)合題意可得，當(dāng)G與A重合時(shí)，最長(zhǎng)，求出此時(shí)的長(zhǎng)，即可解答．
【詳解】（1）證明：如圖1，四邊形是矩形，，
，
，
；
（2）解：∵四邊形是矩形，
．
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在上時(shí)，．
，
，
∴，即，
；
如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在上時(shí)，．
同（1）可證，
，
∴，即，
，
或；
（3）解：如圖3，取的中點(diǎn)H，連接，
則．
，
，
∵點(diǎn)O為矩形的對(duì)稱中心，
∴點(diǎn)O為的中點(diǎn)．
．
，
，
∴，
當(dāng)G與A重合時(shí)，最長(zhǎng)，此時(shí)，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，解直接三角形，勾股定理，熟練畫出圖形并作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．
22．(1)
(2)
【分析】（1）連接、，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件可得為等邊三角形，根據(jù)，可得為等腰直角三角形，則，，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得，，則，；同理，，；進(jìn)而根據(jù)，即可求解；
（2）等積法求得，則，根據(jù)三角形的面積公式可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)即可求解．
【詳解】（1）如圖，連接、，

四邊形為菱形，
，，
為等邊三角形．
為中點(diǎn)，
，，
，．
，
為等腰直角三角形，
，，
翻折，
，，
，；.
同理，
，，
∴；
（2）如圖，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

，，，
．
∵
，
，
．
，則，
，
，
．
∵，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形與折疊問(wèn)題，勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
23．(1)30
(2)，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可得出，，進(jìn)而可求出，即得出；
（2）由正方形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可證，即得出．
【詳解】（1）解：∵對(duì)折正方形紙片，使與重合，得到折痕，
∴，．
∵在上選一點(diǎn)P，沿折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部點(diǎn)M處，
∴．
在中，，
∴．
故答案為：．
（2）解：結(jié)論：，理由如下：
∵四邊形是正方形，
，．
由折疊可得：，，
，．
又，
，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形、三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．熟練掌握上述知識(shí)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．
24．(1)四邊形是菱形，理由見(jiàn)解析
(2)30
【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，得到，即可得出結(jié)論．
（2）先證明四邊形為平行四邊形，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，等積法得到的積，推出四邊形的面積，即可得解．
【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：
∵在中，，是邊上的中線，
∴，
∵將的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別沿折疊后均與點(diǎn)D重合，
∴，
∴，
∴，
∴，
同法可得：，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是菱形；
（2）解：∵折疊，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
由（1）知：，，
∴，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，
∴，
∵四邊形的面積，，
∴四邊形的面積．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線分線段對(duì)應(yīng)成比例，菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．

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