專題2 方程與不等式
第2講 分式方程及其應(yīng)用
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2022年版，學(xué)業(yè)要求：
1．能解可化為一元一次方程的分式方程；
2．能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理；
3．建立分式方程的模型觀念；
4．能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出分式方程，理解方程的意義．
【例1】
（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）
1．方程的解為 ．
【變1】
（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）
2．解方程：．
【例1】
（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）
3．若關(guān)于的方程解為正數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．且D．且
【變1】
（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）
4．關(guān)于x的分式方程有增根，則 ．
【例1】
（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）
5．3月12日植樹節(jié)期間，某校環(huán)保小衛(wèi)士組織植樹活動．第一組植樹12棵；第二組比第一組多6人，植樹36棵；結(jié)果兩組平均每人植樹的棵數(shù)相等，則第一組有 人．
【變1】
（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）
6．某公司不定期為員工購買某預(yù)制食品廠生產(chǎn)的雜醬面、牛肉面兩種食品．
(1)該公司花費3000元一次性購買了雜醬面、牛肉面共170份，此時雜醬面、牛肉面的價格分別為15元、20元，求購買兩種食品各多少份？
(2)由于公司員工人數(shù)和食品價格有所調(diào)整，現(xiàn)該公司分別花費1260元、1200元一次性購買雜醬面、牛肉面兩種食品，已知購買雜醬面的份數(shù)比牛肉面的份數(shù)多，每份雜醬面比每份牛肉面的價格少6元，求購買牛肉面多少份？
一、選擇題
（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）
7．解方程去分母，兩邊同乘后的式子為( )
A．B．
C．D．
（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）
8．已知是方程的解，那么實數(shù)的值為（ ）
A．B．2C．D．4
（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）
9．若分式方程的解為負數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）
10．若關(guān)于x的分式方程的解為非負數(shù)，則m的取值范圍是（ ）
A．且B．且C．且D．且
（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）
11．若關(guān)于x的方程無解，則m的值為（ ）
A．1B．1或3C．1或2D．2或3
（2022·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）
12．若關(guān)于x的方程無解，則m的值為（ ）
A．0B．4或6C．6D．0或4
（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）
13．為貫徹落實習(xí)近平總書記關(guān)于黃河流域生態(tài)保護和高質(zhì)量發(fā)展的重要講話精神，某學(xué)校組織初一、初二兩個年級學(xué)生到黃河岸邊開展植樹造林活動．已知初一植樹棵與初二植樹棵所用的時間相同，兩個年級平均每小時共植樹棵．求初一年級平均每小時植樹多少棵？設(shè)初一年級平均每小時植樹棵，則下面所列方程中正確的是（ ）
A．B．C．D．
（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）
14．某校學(xué)生去距離學(xué)校的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達．已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，汽車的速度是（ ）．
A．B．C．D．
二、填空題
（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）
15．方程的解是 ．
（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）
16．根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，寫出a的值為 ．b的值為 ．
（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）
17．若關(guān)于x的分式方程（m為常數(shù)）有增根，則增根是 ．
（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）
18．關(guān)于x的方程的解為非負數(shù)，則m的取值范圍是 ．
（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）
19．甲、乙兩船從相距150km的，兩地同時勻速沿江出發(fā)相向而行，甲船從地順流航行90km時與從地逆流航行的乙船相遇．甲、乙兩船在靜水中的航速均為30km/h，則江水的流速為 km/h．
三、解答題
（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）
20．解方程：．
（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）
21．解分式方程：
（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）
22．小丁和小迪分別解方程過程如下：
你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內(nèi)打“√”；若錯誤，請在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．
（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）
23．“暢通交通，扮靚城市”，某市在道路提升改造中，將一座長度為36米的橋梁進行重新改造．為了盡快通車，某施工隊在實際施工時，每天工作效率比原計劃提高了，結(jié)果提前2天成功地完成了大橋的改造任務(wù)，那么該施工隊原計劃每天改造多少米?
（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）
24．隨著2022年底城東快速路的全線通車，徐州主城區(qū)與東區(qū)之間的交通得以有效改善，如圖某人乘車從徐州東站至戲馬臺景區(qū)，可沿甲路線或乙路線前往．已知甲、乙兩條路線的長度均為，甲路線的平均速度為乙路線的倍，甲路線的行駛時間比乙路線少，求甲路線的行駛時間．

（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）
25．為推動鄉(xiāng)村振興，政府大力扶持小型企業(yè)．根據(jù)市場需求，某小型企業(yè)為加快生產(chǎn)速度，需要更新生產(chǎn)設(shè)備，更新設(shè)備后生產(chǎn)效率比更新前提高了，設(shè)更新設(shè)備前每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品．解答下列問題：
(1)更新設(shè)備后每天生產(chǎn)_______件產(chǎn)品（用含x的式子表示）；
(2)更新設(shè)備前生產(chǎn)5000件產(chǎn)品比更新設(shè)備后生產(chǎn)6000件產(chǎn)品多用2天，求更新設(shè)備后每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品．
（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）
26．某學(xué)校開展了社會實踐活動，活動地點距離學(xué)校，甲、乙兩同學(xué)騎自行車同時從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的倍，結(jié)果甲比乙早到，求乙同學(xué)騎自行車的速度．
（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）
27．為進行某項數(shù)學(xué)綜合與實踐活動，小明到一個批發(fā)兼零售的商店購買所需工具．該商店規(guī)定一次性購買該工具達到一定數(shù)量后可以按批發(fā)價付款，否則按零售價付款．小明如果給學(xué)校九年級學(xué)生每人購買一個，只能按零售價付款，需用3600元；如果多購買60個，則可以按批發(fā)價付款，同樣需用3600元，若按批發(fā)價購買60個與按零售價購買50個所付款相同，求這個學(xué)校九年級學(xué)生有多少人？
x結(jié)果
代數(shù)式
2
n
7
b
a
1
小?。?br>解：去分母，得
去括號，得
合并同類項，得
解得
∴原方程的解是
小迪：
解：去分母，得
去括號得
合并同類項得
解得
經(jīng)檢驗，是方程的增根，原方程無解
參考答案：
1．
【分析】方程兩邊同時乘以化為整式方程，解整式方程即可，最后要檢驗．
【詳解】解：方程兩邊同時乘以，得，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
故答案為：．
【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．
2．
【分析】去分母化為整式方程，求出方程的根并檢驗即可得出答案．
【詳解】解：原方程可化為．
方程兩邊同乘，得．
解得．
檢驗：當(dāng)時，．
∴原方程的解是．
【點睛】本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵．
3．D
【分析】將分式方程化為整式方程解得，根據(jù)方程的解是正數(shù)，可得，即可求出的取值范圍．
【詳解】解：
∵方程的解為正數(shù)，且分母不等于0
∴，
∴，且
故選：D．
【點睛】此題考查了解分式方程，根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解不等式，將方程化為整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此類問題的關(guān)鍵．
4．
【分析】等式兩邊同時乘以公因式，化簡分式方程，然后根據(jù)方程有增根，求出的值，即可求出．
【詳解】，
解：方程兩邊同時乘以，得，
∴，
∵原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查分式方程的知識，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的增根．
5．3
【分析】審題確定等量關(guān)系：第一組平均每人植樹棵數(shù)＝第二組平均每人植樹棵數(shù)，列方程求解，注意檢驗．
【詳解】設(shè)第一組有x人，則第二組有人，根據(jù)題意，得
去分母，得
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的根．
故答案為：3
【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，審題明確等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，注意分式方程的驗根．
6．(1)購買雜醬面80份，購買牛肉面90份
(2)購買牛肉面60份
【分析】（1）設(shè)購買雜醬面份，則購買牛肉面份，由題意知，，解方程可得的值，然后代入，計算求解，進而可得結(jié)果；
（2）設(shè)購買牛肉面份，則購買雜醬面份，由題意知，，計算求出滿足要求的解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)購買雜醬面份，則購買牛肉面份，
由題意知，，
解得，，
∴，
∴購買雜醬面80份，購買牛肉面90份；
（2）解：設(shè)購買牛肉面份，則購買雜醬面份，
由題意知，，
解得，
經(jīng)檢驗，是分式方程的解，
∴購買牛肉面60份．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列方程．
7．A
【分析】本題考查了解分式方程時去分母，找到分式方程的公分母是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)分式方程的解法，兩側(cè)同乘化簡分式方程即可．
【詳解】分式方程的兩側(cè)同乘得：
．
故選：A．
8．B
【分析】將代入方程，即可求解．
【詳解】解：將代入方程，得
解得：
故選：B．
【點睛】本題考查分式方程的解，解題的關(guān)鍵是將代入原方程中得到關(guān)于的方程．
9．D
【分析】直接解分式方程，進而得出a的取值范圍，注意分母不能為零．
【詳解】解：去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是負數(shù)，
∴，，即，
解得：且，
故選：D．
【點睛】此題主要考查了分式方程的解，正確解分式方程是解題關(guān)鍵．
10．A
【分析】把分式方程的解求出來，排除掉增根，根據(jù)方程的解是非負數(shù)列出不等式，最后求出m的范圍．
【詳解】解：方程兩邊都乘以，得：，
解得：，
∵，即：，
∴，
又∵分式方程的解為非負數(shù)，
∴，
∴，
∴的取值范圍是且，
故選：A．
【點睛】本題考查了分式方程的解，根據(jù)條件列出不等式是解題的關(guān)鍵，分式方程一定要檢驗．
11．B
【分析】先將分式方程化成整式方程，再分①整式方程無解，②關(guān)于的方程有增根兩種情況，分別求解即可得．
【詳解】解：將方程化成整式方程為，即，
因為關(guān)于的方程無解，
所以分以下兩種情況：
①整式方程無解，
則，解得；
②關(guān)于的方程有增根，
則，即，
將代入得：，解得；
綜上，的值為1或3，
故選：B．
【點睛】本題考查了分式方程無解，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．
12．D
【分析】先將分時方程化為整式方程，再根據(jù)方程無解的情況分類討論，當(dāng)時，當(dāng)時，或，進行計算即可．
【詳解】方程兩邊同乘，得，
整理得，
原方程無解，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，或，此時，，
解得或，
當(dāng)時，無解；
當(dāng)時，，解得；
綜上，m的值為0或4；
故選：D．
【點睛】本題考查了分式方程無解的情況，即分式方程有增根，分兩種情況，分別是最簡公分母為0和化成的整式方程無解，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
13．D
【分析】根據(jù)初一植樹棵與初二植樹棵所用的時間相同列式求解即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得，
，
故選：D；
【點睛】本題考查分式方程解決應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系式．
14．D
【分析】設(shè)騎車學(xué)生的速度為，則汽車的速度為，根據(jù)題意可得，乘坐汽車比騎自行車少用,據(jù)此列分式方程求解．
【詳解】解：設(shè)騎車學(xué)生的速度為，則汽車的速度為，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗：是原方程的解，且符合題意，
所以，騎車學(xué)生的速度為．
∴汽車的速度為
故選：D．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解，注意檢驗．
15．
【分析】將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解即可．
【詳解】解：由可得：
解得
經(jīng)檢驗是原分式方程的解，
故答案為：
【點睛】此題考查了分式方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的求解方法．
16．
【分析】把代入得，可求得a的值；把分別代入和，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，即，
解得，
經(jīng)檢驗，是分式方程的解，
∴，
故答案為：；
【點睛】本題考查了求代數(shù)式的值，解分式方程，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．
17．
【分析】根據(jù)使分式的分母為零的未知數(shù)的值，是方程的增根，計算即可．
【詳解】∵關(guān)于x的分式方程（m為常數(shù)）有增根，
∴，
解得，
故答案為：．
【點睛】本題考查了分式方程的解法，增根的理解，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．
18．且
【分析】解分式方程，可用表示，再根據(jù)題意得到關(guān)于的一元一次不等式即可解答．
【詳解】解：解，可得，
的方程的解為非負數(shù)，
，
解得，
，
，
即，
的取值范圍是且，
故答案為：且．
【點睛】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求值，注意分式方程無解的情況是解題的關(guān)鍵．
19．6
【分析】設(shè)江水的流速為千米每小時，則甲速度為，乙速度為，根據(jù)行駛時間相等列出方程解答即可．
【詳解】解：設(shè)江水的流速為千米每小時，根據(jù)題意得：
，
解得，
經(jīng)檢驗符合題意，
答：江水的流速．
故答案為：6．
【點睛】本題考查了列分式方程，讀懂題意找出等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
20．
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【詳解】解：原方程去分母得：



經(jīng)檢驗，是原方程的根，
∴原方程的解為．
【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗，掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵．
21．
【分析】先去分母，化為整式方程，然后解方程，再進行檢驗，即可求出方程的解
【詳解】解：
方程兩邊同乘以，得
解得，
檢驗：時，
故原分式方程的根為：．
【點睛】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的步驟進行解題．
22．都錯誤，見解析
【分析】根據(jù)解分式方程的步驟判斷小丁和小迪的解法是否正確，再正確解方程即可．
【詳解】小丁和小迪的解法都錯誤；
解：去分母，得，
去括號，得，
解得，，
經(jīng)檢驗：是方程的解．
【點睛】本題考查分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．
23．施工隊原計劃每天改造6米．
【分析】設(shè)施工隊原計劃每天改造米，根據(jù)提前2天成功地完成了大橋的改造任務(wù)得：，解方程并檢驗可得答案．
【詳解】解：設(shè)施工隊原計劃每天改造米，
根據(jù)題意得：，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
答：施工隊原計劃每天改造6米．
【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列出分式方程．
24．甲路線的行駛時間為．
【分析】設(shè)甲路線的行駛時間為，則乙路線的行駛事件為，根據(jù)“甲路線的平均速度為乙路線的倍”列分式方程求解即可．
【詳解】解：甲路線的行駛時間為，則乙路線的行駛事件為，由題意可得，
，
解得，
經(jīng)檢驗是原方程的解，
∴甲路線的行駛時間為，
答：甲路線的行駛時間為．
【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系列出相應(yīng)的分式方程．
25．(1)
(2)125件
【分析】（1）根據(jù)“更新設(shè)備后生產(chǎn)效率比更新前提高了”列代數(shù)式即可；
（2）根據(jù)題意列分式方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：更新設(shè)備前每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品，更新設(shè)備后生產(chǎn)效率比更新前提高了，
更新設(shè)備后每天生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量為：（件），
故答案為：；
（2）解：由題意知：，
去分母，得，
解得，
經(jīng)檢驗，是所列分式方程的解，
（件），
因此更新設(shè)備后每天生產(chǎn)125件產(chǎn)品．
【點睛】本題考查分式方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給數(shù)量關(guān)系正確列出方程．
26．乙同學(xué)騎自行車的速度為千米/分鐘．
【分析】設(shè)乙同學(xué)騎自行車的速度為x千米/分鐘，則甲同學(xué)騎自行車的速度為千米/分鐘，根據(jù)時間=路程÷速度結(jié)合甲車比乙車提前10分鐘到達，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之并檢驗后即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)乙同學(xué)騎自行車的速度為x千米/分鐘，則甲同學(xué)騎自行車的速度為千米/分鐘，
根據(jù)題意得：，
解得：．
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
答：乙同學(xué)騎自行車的速度為千米/分鐘．
【點睛】題目主要考查分式方程的應(yīng)用，理解題意列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
27．這個學(xué)校九年級學(xué)生有300人．
【分析】設(shè)零售價為x元，批發(fā)價為y，然后根據(jù)題意列二元一次方程組求得零售價為12元，然后用3600除以零售價即可解答．
【詳解】解：設(shè)零售價為x元，批發(fā)價為y，
根據(jù)題意可得：
，解得：，
經(jīng)檢驗是原方程組的解
則學(xué)校九年級學(xué)生人．
答：這個學(xué)校九年級學(xué)生有300人．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，審清題意、列二元一次方程組求得零售價是解答本題的關(guān)鍵．

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