專題1 數(shù)與式
第4講 數(shù)的開方與二次根式
一、平方根與立方根
1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，記作：；
正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根；
2.算術(shù)平方根：a的算術(shù)平方根是，；
3.立方根：如果，那么x叫做a的立方根，記作：；
正數(shù)的立方根是正數(shù)，零的立方根是零，負數(shù)的立方根是負數(shù)，于是有：；
4.平方與開平方互為逆運算，立方與開立方互為逆運算，開方與乘方互為逆運算；
二、二次根式
1.二次根式：形如，其中，這樣的式子叫做二次根式；
2.二次根式有意義：二次根式有意義的條件是；
3.二次根式的性質(zhì)：
（1）；
（2）雙重非負性：，；
（3）；
4.二次根式的運算
（1）二次根式的乘除法
，；
，
（2）最簡二次根式：被開方數(shù)不含開得盡方的因數(shù)和因式，被開方數(shù)不含分母，分母不含二次根式；
（3）同類二次根式：化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式；
（4）二次根式的加減法
（5）有理化
有理化因式：兩個二次根式的積是有理數(shù)或整式，這兩個二次根式互為有理化因式；
分母有理化：化掉分母中的二次根式，稱為分母有理化；
【例1】
（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）
1．面積為9的正方形，其邊長等于（ ）
A．9的平方根B．9的算術(shù)平方根C．9的立方根D．5的算術(shù)平方根
【變1】
（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）
2．下列各式計算結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
【例1】
（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）
3． ．
【變1】
（2022·福建龍巖·校考模擬預(yù)測）
4．若式子與互為相反數(shù)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【例1】
（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）
5．的三邊長a，b，c滿足，則是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等腰直角三角形
【變1】
（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）
6．已知關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，則的化簡結(jié)果是（ ）
A．B．1C．D．
【例1】
（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）
7．估計的值應(yīng)在（ ）
A．4和5之間B．5和6之間C．6和7之間D．7和8之間
【變1】
（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）
8．已知，則與最接近的整數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【例1】
（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）
9．從、，中任意選擇兩個數(shù)，分別填在算式里面的“□”與“○”中，計算該算式的結(jié)果是 ．（只需寫出一種結(jié)果）
【變1】
（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）
10．閱讀下面材料：
將邊長分別為a，，，的正方形面積分別記為，，，．
則
例如：當，時，
根據(jù)以上材料解答下列問題：
(1)當，時，______，______；
(2)當，時，把邊長為的正方形面積記作，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計算結(jié)果，你能猜出等于多少嗎？并證明你的猜想；
(3)當，時，令，，，…，，且，求T的值．
一、選擇題
（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）
11．實數(shù)9的算術(shù)平方根是（ ）
A．3B．C．D．
（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）
12．下列各數(shù)為無理數(shù)的是（ ）
A．0.618B．C．D．
（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）
13．二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（ ）
A． B． C． D．
（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）
14．函數(shù)的自變量x的取值范圍是（ ）
A．且B．且C．D．且
（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）
15．下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）
16．若，則（ ）
A．2B．4C．D．
（2023·廣東湛江·三模）
17．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．（，）D．（）
（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）
18．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）
19．估計的值應(yīng)在（ ）
A．7和8之間B．8和9之間
C．9和10之間D．10和11之間
（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）
20．實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則的化簡結(jié)果是（ ）

A．1B．2C．2aD．1﹣2a
二、填空題
（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）
21．一塊面積為的正方形桌布，其邊長為 ．
（2023·江蘇徐州·?？既＃?br>22．64的平方根與立方根的和是 ．
（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）
23．若a、b互為相反數(shù)，c為8的立方根，則 ．
（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）
24．若式子有意義，則x的取值范圍是 ．
（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）
25．在中，的對邊分別為a、b、c，且滿足，則的值為 ．
（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）
26．觀察下列各式：
，，，…
請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算： ．
（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）
27．計算 ．
（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）
28．計算： ．
（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）
29．計算的結(jié)果是 ．
（2022·四川眉山·中考真題）
30．將一組數(shù)，2，，，…，，按下列方式進行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置記為，的位置記為，則的位置記為 ．
三、解答題
（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）
31．計算：．
（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）
32．先化簡，再求值：，其中，．
（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）
33．計算：
（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）
34．計算：．
（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）
35．［材料閱讀]
用數(shù)形結(jié)合的方法，可以探究的值，其中．
例求的值．
方法1：借助面積為1的正方形，觀察圖①可知
的結(jié)果等于該正方形的面積，
即．
方法2：借助函數(shù)和的圖象，觀察圖②可知
的結(jié)果等于，，，…，…等各條豎直線段的長度之和，
即兩個函數(shù)圖象的交點到軸的距離．因為兩個函數(shù)圖象的交點到軸的距為1，
所以，．

【實踐應(yīng)用】
任務(wù)一 完善的求值過程．

方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知______．
方法2：借助函數(shù)和的圖象，觀察圖④可知
因為兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為______，
所以，______．
任務(wù)二 參照上面的過程，選擇合適的方法，求的值．
任務(wù)三 用方法2，求的值（結(jié)果用表示）．
【遷移拓展】
長寬之比為的矩形是黃金矩形，將黃金矩形依次截去一個正方形后，得到的新矩形仍是黃金矩形．
觀察圖⑤，直接寫出的值．

參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答即可．
【詳解】解：∵面積等于邊長的平方，
∴面積為9的正方形，其邊長等于9的算術(shù)平方根．
故選B．
【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的意義，一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．
2．D
【分析】根據(jù)合并同類項的運算法則，二次根式的運算，積的乘方運算法則，以及負整數(shù)冪運算法則，逐個進行計算即可．
【詳解】解：A、，故A不正確，不符合題意；
B、，故B不正確，不符合題意；
C、，故C不正確，不符合題意；
D、，故D正確，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了合并同類項的運算法則，二次根式的運算，積的乘方運算法則，以及負整數(shù)冪運算法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運算法則并熟練運用．
3．
【分析】根據(jù)立方根的定義，零指數(shù)次冪的定義以及有理數(shù)減法法則，進行計算即可．
【詳解】解：原式．
故答案為：．
【點睛】本題考查了立方根的定義，零指數(shù)次冪的定義以及有理數(shù)減法法則，正確進行計算是解題的關(guān)鍵．
4．C
【分析】根據(jù)題意可得，即有，兩邊立方，即可得到一元一次方程，解方程即可求解x，問題隨之得解．
【詳解】根據(jù)題意可得：，
解得：，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了相反數(shù)的定義，立方根以及解一元一次方程等知識，靈活利用立方根求解方程是解答本題的關(guān)鍵．
5．D
【分析】由等式可分別得到關(guān)于a、b、c的等式，從而分別計算得到a、b、c的值，再由的關(guān)系，可推導(dǎo)得到為直角三角形．
【詳解】解∵
又∵
∴，
∴
解得 ，
∴，且，
∴為等腰直角三角形，
故選：D．
【點睛】本題考查了非負性和勾股定理逆定理的知識，求解的關(guān)鍵是熟練掌握非負數(shù)的和為0，每一個非負數(shù)均為0，和勾股定理逆定理．
6．A
【分析】首先根據(jù)關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，得判別式，由此可得，據(jù)此可對進行化簡．
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，
∴判別式，
整理得：，
∴，
∴，，
∴
．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，理解一元二次方程根的判別式是解答此題的關(guān)鍵．
7．A
【分析】先計算二次根式的乘法，再根據(jù)無理數(shù)的估算即可得．
【詳解】解：，
，
，即，
，
故選：A．
【點睛】本題考查了二次根式的乘法、無理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題關(guān)鍵．
8．B
【分析】根據(jù)二次根式的混合運算進行計算，進而估算無理數(shù)的大小即可求解．
【詳解】解：
∵，
∴,
∴與最接近的整數(shù)為，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，無理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．
9．（或或，寫出一種結(jié)果即可）
【分析】先利用完全平方公式計算二次根式的乘法，再計算二次根式的除法即可得．
【詳解】解：①選擇和，
則
．
②選擇和，
則
．
③選擇和，
則
．
故答案為：（或或，寫出一種結(jié)果即可）．
【點睛】本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的運算法則是解題關(guān)鍵．
10．(1)，
(2)猜想結(jié)論：，證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意，直接代入然后利用完全平方公式展開合并求解即可；
（2）根據(jù)題意得出猜想，然后由完全平方公式展開證明即可；
（3）結(jié)合題意利用（2）中結(jié)論求解即可．
【詳解】（1）解：
當，時，
原式；
當，時，
原式；
（2）猜想結(jié)論：
證明：
；
（3）
．
【點睛】題目主要考查利用完全平方公式進行計算，理解題意，得出相應(yīng)規(guī)律是解題關(guān)鍵．
11．A
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求出結(jié)果．
【詳解】解：，
故選：A．
【點睛】本題考查了平方根和算術(shù)平方根的定義．注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．
12．C
【分析】根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)進行判斷即可．
【詳解】解：由題意知，0.618，，，均為有理數(shù)，
是無理數(shù)，
故選：C．
【點睛】本題考查了無理數(shù)，立方根．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)．
13．C
【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列不等式計算即可得到x的取值范圍，然后在數(shù)軸上表示即可得解．
【詳解】解：根據(jù)題意得，，
解得，
在數(shù)軸上表示如下：

故選：C．
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，不等式的解法，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，理解二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．
14．B
【分析】直接利用二次根式有意義的條件、分式有意義的條件分析得出答案．
【詳解】解：依題意，
∴且
故選B
【點睛】此題主要考查了函數(shù)自變量的取值范圍，正確掌握二次根式與分式有意義的條件是解題關(guān)鍵．
15．C
【分析】根據(jù)二次根式的運算法則將各式計算后進行判斷即可．
【詳解】A. ，故該選項不正確，不符合題意；
B. ，故該選項不正確，不符合題意；
C. ，故該選項正確，符合題意；
D. ，故該選項不正確，不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查二次根式的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．
16．A
【分析】把代入計算即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除運算是解題的關(guān)鍵．
17．A
【分析】本題考查了最簡二次根式的定義，根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可，熟記最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：、是最簡二次根式，故本選項符合題意；
、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
、（，）中被開方數(shù)是分數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
、（），不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
故選：．
18．C
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，逐個進行判斷即可．
【詳解】解：A、，與不是同類二次根式，不符合題意；
B、與不是同類二次根式，不符合題意；
C、，與是同類二次根式，符合題意；
D、，與不是同類二次根式，不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題主要考查了同類二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握同類二次根式的定義：將二次根式化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式是同類二次根式；最簡二次根式的特征：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
19．B
【分析】先計算二次根式的混合運算，再估算結(jié)果的大小即可判斷．
【詳解】解：
∵，
∴，
∴，
故選：B．
【點睛】此題考查了二次根式的混合運算，無理數(shù)的估算，正確掌握二次根式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．
20．B
【分析】根據(jù)數(shù)軸得∶ 0

相關(guān)試卷

模塊二 知識全整合專題6 統(tǒng)計與概率 第1講 統(tǒng)計（含解析） -最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練：

這是一份模塊二 知識全整合專題6 統(tǒng)計與概率 第1講 統(tǒng)計（含解析） -最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練，共35頁。試卷主要包含了知識全整合等內(nèi)容，歡迎下載使用。

模塊二 知識全整合專題4 圖形的性質(zhì) 第10講 與圓有關(guān)的計算（含解析） -最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練：

這是一份模塊二 知識全整合專題4 圖形的性質(zhì) 第10講 與圓有關(guān)的計算（含解析） -最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練，共41頁。試卷主要包含了知識全整合等內(nèi)容，歡迎下載使用。

模塊二 知識全整合專題4 圖形的性質(zhì) 第8講 正方形 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練：

這是一份模塊二 知識全整合專題4 圖形的性質(zhì) 第8講 正方形 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練，共43頁。試卷主要包含了知識全整合等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

模塊二 知識全整合專題4 圖形的性質(zhì) 第1講 幾何初步 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練

模塊二 知識全整合專題4 圖形的性質(zhì) 第1講 幾何初步 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練
模塊二 知識全整合專題1 數(shù)與式 第3講 分式 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練

模塊二 知識全整合專題1 數(shù)與式 第3講 分式 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練
模塊二 知識全整合專題1 數(shù)與式 第2講 整式與因式分解 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練

模塊二 知識全整合專題1 數(shù)與式 第2講 整式與因式分解 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練
模塊二 知識全整合專題1 數(shù)與式 第1講 實數(shù)的有關(guān)概念及運算 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練

模塊二 知識全整合專題1 數(shù)與式 第1講 實數(shù)的有關(guān)概念及運算 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部