專題3 函數(shù)及圖像
第7講 二次函數(shù)與方程、不等式綜合
一、二次函數(shù)與一元二次方程
1．拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
拋物線，令y=0，則，方程的解就是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
2．拋物線與x軸交點(diǎn)情況
（1）拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由判別式的值的正負(fù)確定；
（2）當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)；
3．利用二次函數(shù)求一元二次方程的近似根
對(duì)于一元二次方程，令，畫出函數(shù)的圖像，拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解；
二、二次函數(shù)與不等式
1．二次函數(shù)與一元二次不等式
的解集就是拋物線在x 軸上方的那部分圖像對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍．
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2022年版，學(xué)業(yè)質(zhì)量要求：
1．知道二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系；
2．會(huì)根據(jù)二次函數(shù)的求其圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
3．會(huì)利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解；
【例1】（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）
1．規(guī)定：如果兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么稱這兩個(gè)函數(shù)互為“Y函數(shù)”．例如：函數(shù)與互為“Y函數(shù)”．若函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
【變1】（2023·河南鶴壁·統(tǒng)考三模）
2．已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）．
(1)拋物線對(duì)稱軸為 ，A點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
(2)當(dāng)時(shí)，不等式的解集為 ．
(3)已知點(diǎn)、，連接所得的線段與該拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍．
【例1】（2023·四川成都·校考三模）
3．在探究關(guān)于x的二次三項(xiàng)式的值時(shí)，小明計(jì)算了如下四組值：
小明說，他通過這四組值能得到方程的一個(gè)近似根，這個(gè)近似根的個(gè)位是 ，十分位是 ．
【變1】
（2023·河南商丘·統(tǒng)考二模）
4．為解方程，小舟根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)對(duì)其進(jìn)行了探究，下面是其探究的過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
(1)先研究函數(shù)，列表如表：
表格中，m的值為__________．
(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，描出了以上表中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出了函數(shù)圖象的一部分，請(qǐng)根據(jù)剩余的點(diǎn)補(bǔ)全此函數(shù)圖象．
(3)觀察圖象，當(dāng)時(shí)，滿足條件的x的取值范圍是__________．
(4)在第（2）問的平面直角坐標(biāo)系中畫出直線．根據(jù)圖象直接寫出方程的近似根（結(jié)果保留一位小數(shù)）
【例1】（2021·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）
5．如圖，已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是（ ）
A．或B．或C．D．
【變1】（2023·山西太原·校聯(lián)考二模）
6．請(qǐng)仔細(xì)閱讀下面的材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
任務(wù)：
(1)兩個(gè)小組的方法主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是______（從下面的選項(xiàng)中選擇一個(gè)即可）．
A．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 B．分類討論思想 C．公理化思想
(2)請(qǐng)你選擇閱讀材料中的一個(gè)方法解不等式．請(qǐng)將函數(shù)圖象畫在圖3的平面直角坐標(biāo)系中，并參照材料中的分析過程寫出你的分析過程．
【例1】（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）
7．直線和拋物線（a，b是常數(shù)，且）在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)．下列結(jié)論：
①拋物線的對(duì)稱軸是直線
②拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)
③關(guān)于x的方程有兩個(gè)根，
④若，當(dāng)或時(shí)，
其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①④
【變1】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）
8．已知二次函數(shù)（為常數(shù)）．
(1)該函數(shù)圖像與軸交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)坐標(biāo)為，
①則的值是_________，點(diǎn)的坐標(biāo)是_________；
②當(dāng)時(shí)，借助圖像，求自變量的取值范圍；
(2)對(duì)于一切實(shí)數(shù)，若函數(shù)值總成立，求的取值范圍（用含的式子表示）；
(3)當(dāng)時(shí)（其中為實(shí)數(shù)，），自變量的取值范圍是，求和的值以及的取值范圍．
一、選擇題
（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)位于，兩點(diǎn)之間．下列結(jié)論：①； ②；③； ④若，為方程的兩個(gè)根，則．其中正確的有（ ）個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）
10．已知二次函數(shù)和（m是常數(shù)）的圖象與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)，且這四個(gè)交點(diǎn)中每相鄰兩點(diǎn)間的距離都相等，則這兩個(gè)函數(shù)圖象對(duì)稱軸之間的距離為（ ）
A．2B．C．4D．
（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）
11．已知，若關(guān)于x的方程的解為．關(guān)于x的方程的解為．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）
12．經(jīng)過兩點(diǎn)的拋物線（為自變量）與軸有交點(diǎn)，則線段長為（ ）
A．10B．12C．13D．15
（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）
13．已知二次函數(shù)（a是常數(shù)，）的圖象上有和兩點(diǎn)．若點(diǎn)，都在直線的上方，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
（2023·廣東深圳·深圳市石巖公學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）
14．如圖，二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是
（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）
15．已知一次函數(shù)和二次函數(shù)的自變量和對(duì)應(yīng)函數(shù)值如表：
當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍是
（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）
16．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線和直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，則不等式的解集為 ．

（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）
17．二次函數(shù)（是常數(shù)）的圖象如圖所示，則不等式的解集是 ．

（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）
18．我們學(xué)習(xí)了一元二次方程和二次函數(shù)，綜合利用它們的性質(zhì)解決問題，閱讀下列材料，回答問題：
例：已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求t的最大值？
解：由題意可知，當(dāng)t=0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解
當(dāng)時(shí)，
即
∴
設(shè)函數(shù)
當(dāng)時(shí)，
綜上
(1)已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則m的最大值為 ；
(2)已知方程有實(shí)數(shù)根，則x-2y的最大值為 ．
三、解答題
（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）
19．已知二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3（m為常數(shù)，m>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判斷二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．
（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）
20．如圖，拋物線與直線交于點(diǎn)A(2，0)和點(diǎn)．
（1）求和的值；
（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫出不等式的解集；
（3）點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度得到點(diǎn)，若線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．
（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）
21．如圖，拋物線與直線交于點(diǎn)和點(diǎn)B．

(1)求拋物線和直線的解析式；
(2)請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫出不等式的解集；
(3)點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)N縱坐標(biāo)為n，記拋物線在A，B之間的部分為圖象G（包含A，B兩點(diǎn)）．若點(diǎn)在直線上，且直線與圖象G有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出點(diǎn)N縱坐標(biāo)n的取值范圍．
（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）
22．?dāng)?shù)和形是數(shù)學(xué)研究客觀物體的兩個(gè)方面，數(shù)（代數(shù)）側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性、形（幾何）側(cè)重研究物體形的方面，具有直觀性．?dāng)?shù)和形相互聯(lián)系，可用數(shù)來反映空間形式，也可用形來說明數(shù)量關(guān)系．?dāng)?shù)形結(jié)合就是把兩者結(jié)合起來考慮問題，充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)勢(shì)，數(shù)形互化，共同解決問題．
同學(xué)們，請(qǐng)你結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)解決下列問題．
在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則稱這樣的點(diǎn)為整點(diǎn)．設(shè)函數(shù)（實(shí)數(shù)為常數(shù)）的圖象為圖象．
(1)求證：無論取什么實(shí)數(shù)，圖象與軸總有公共點(diǎn)；
(2)是否存在整數(shù)，使圖象與軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)？若存在，求所有整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）
23．定義：若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，并且都在坐標(biāo)軸上，則稱二次函數(shù)為一次函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)．
【初步理解】
（1）現(xiàn)有以下兩個(gè)函數(shù)：①；②，其中，_________為函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)．（填序號(hào)）
【嘗試應(yīng)用】
（2）函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與軸交于點(diǎn)，其軸點(diǎn)函數(shù)與軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn).若，求的值．
【拓展延伸】
（3）如圖，函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)，在軸的正半軸上取一點(diǎn)，使得.以線段的長度為長、線段的長度為寬，在軸的上方作矩形.若函數(shù)（為常數(shù)，）的軸點(diǎn)函數(shù)的頂點(diǎn)在矩形的邊上，求的值．

x
0
1
2
y
0
0
m
0
利用二次函數(shù)圖象解不等式
數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出這樣一個(gè)問題：我們?cè)?jīng)利用一次函數(shù)的圖象解一元一次不等式，類比前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，我們能否利用二次函數(shù)的圖象解相應(yīng)的不等式呢？例如解不等式，同學(xué)們以小組為單位展開了討論．
善思小組展示了他們的方法：將不等式進(jìn)一步變形為，如圖1，畫出函數(shù)的圖象，拋物線與x軸相交于和兩點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)將x軸分為三段，當(dāng)或時(shí)，二次函數(shù)的圖象位于x軸上方，此時(shí)，所以，即，所以此不等式的解集為或．
勤學(xué)小組受善思小組的啟發(fā)，畫出函數(shù)的圖象和直線．如圖2所示，它們相交于和兩點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，二次函數(shù)的圖象位于直線的上方，此時(shí)，即，所以不等式的解集為或．
x
…
0
4
7
…
…
0
1
5
8
…
x
…
0
4
…
…
5
0
5
…
參考答案：
1．或
【分析】根據(jù)題意與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于y軸對(duì)稱，再進(jìn)行分類討論，即和兩種情況，求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可解答．
【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為，
此時(shí)函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)成立，
當(dāng)時(shí)，可得，解得，
與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
根據(jù)題意可得，它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；
①當(dāng)時(shí)，
函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
，即，
解得，
函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時(shí)，可得，
解得，
根據(jù)題意可得，它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
綜上所述，它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，理解題意，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
2．(1)；
(2)或
(3)m的取值范圍為或
【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程可得答案；令，求出x的值，即可得出答案．
（2）由題意得，，求出方程的解，進(jìn)而可得答案．
（3）分別求出拋物線頂點(diǎn)在線段上、拋物線經(jīng)過點(diǎn)M或點(diǎn)N時(shí)m的值，進(jìn)而可得答案．
【詳解】（1）解：拋物線的對(duì)稱軸為，
令，得，
解得，
在B的左側(cè)，
，
故答案為：；；
（2），
，
解方程，得，
的解集為或，
即不等式的解集為或，
故答案為：或；
（3）當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在上時(shí)，
即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得（舍去），；
當(dāng)拋物線經(jīng)過線段的左端點(diǎn)N時(shí)，
把代入，
得，
解得，
當(dāng)拋物線經(jīng)過線段的右端點(diǎn)M時(shí)，
把代入，
得，
解得；
綜上所述，m的取值范圍為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組）：利用兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點(diǎn)直觀求解，也可把兩個(gè)函數(shù)解析式列成不等式求解．也考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系和拋物線與x軸的交點(diǎn)問題．
3． 1 1
【分析】根據(jù)表格可得，則方程的一個(gè)近似根取值范圍為：，即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：，
∴方程的一個(gè)近似根取值范圍為：，
∴這個(gè)近似根的個(gè)位是1，十分為是1，
故答案為：1，1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一元二次方程的近似根，解題的關(guān)鍵是掌握正確理解表格中的數(shù)據(jù)，根據(jù)表格得出近似根的取值范圍．
4．(1)
(2)見解析
(3)或
(4)
【分析】（1）將代入函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)表格，描點(diǎn)，連線畫出函數(shù)圖象即可；
（3）結(jié)合圖象即可得出結(jié)果；
（4）圖象法解方程即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
∴，
故答案為：；
（2）根據(jù)（1）中表格數(shù)據(jù)，描點(diǎn)，連線，如圖，
（3）解：由圖象可知，
當(dāng)或時(shí)，圖象在軸上方，即：，
故答案為：或；
（4）解：作圖如下：
由圖象可得：方程的解為．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握函數(shù)圖象的畫法，利用圖象法解不等式和方程，是解題的關(guān)鍵．
5．D
【分析】將要求的不等式抽象成兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)關(guān)系問題，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及兩一次函數(shù)圖象的關(guān)系，求出新的一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)，從而寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可．
【詳解】與關(guān)于y軸對(duì)稱
拋物線的對(duì)稱軸為y軸，
因此拋物線與直線的交點(diǎn)和與直線的交點(diǎn)也關(guān)于y軸對(duì)稱
設(shè)與交點(diǎn)為，則，
即在點(diǎn)之間的函數(shù)圖像滿足題意
的解集為：
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱，二次函數(shù)與不等式，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的重要思想之一，解決函數(shù)問題更是如此．理解與關(guān)于y軸對(duì)稱是解題的關(guān)鍵．
6．(1)A
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)材料中兩個(gè)小組的做法進(jìn)行判別即可；
（2）根據(jù)材料中兩個(gè)小組的解題步驟進(jìn)行解答即可．
【詳解】（1）兩個(gè)小組都是畫出了坐標(biāo)系函數(shù)圖象，通過觀察圖象得出的結(jié)論，
∴主要運(yùn)用的是數(shù)形結(jié)合的思想，
故答案為：A；
（2）①選擇善思小組的方法：將不等式進(jìn)一步變形為，
畫出函數(shù)的圖象，
觀察圖象可知：拋物線與x軸相交于和兩點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)將x軸分為三段，
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象位于x軸下方，
此時(shí)，即，
∴不等式的解集為．
②選擇勤學(xué)小組的方法：畫出函數(shù)的圖象和直線，
觀察圖象可知：函數(shù)的圖象和直線相交于和兩點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象位于直線的下方，
此時(shí)，即，
∴不等式的解集為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式的綜合，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．
7．B
【分析】①可得，從而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判斷拋物線也過，從而可得方程的一個(gè)根為，可求拋物線的對(duì)稱軸為直線，從而可得拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，即可求解；④當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，即可求解．
【詳解】解：①直線經(jīng)過點(diǎn)，
，
，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
故①正確；
②，
由①得，
，
，
，
拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)，
故②正確；
③當(dāng)時(shí)，
，
拋物線也過，
由得
方程，
方程的一個(gè)根為，
拋物線，
，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，
，
解得：，
拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，
關(guān)于x的方程有兩個(gè)根，，
故③正確；
④當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，
故④錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的基本性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)，二次函數(shù)與不等式等，理解性質(zhì)，掌握解法是解題的關(guān)鍵．
8．(1)①②或
(2)
(3)
【分析】（1）①待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，令，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；②畫出函數(shù)圖像，圖像法求出的取值范圍即可；
（2）求出二次函數(shù)的最小值，即可得解；
（3）根據(jù)當(dāng)時(shí)（其中為實(shí)數(shù)，），自變量的取值范圍是，得到和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，進(jìn)而求出的值，得到為的函數(shù)值，求出，推出直線過拋物線頂點(diǎn)或在拋物線的下方，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：①∵函數(shù)圖像與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是；
故答案為：；
②，
列表如下：
畫出函數(shù)圖像如下：

由圖可知：當(dāng)時(shí)，或；
（2）∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值為；
∵對(duì)于一切實(shí)數(shù)，若函數(shù)值總成立，
∴；
（3）∵，
∴拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為，
又當(dāng)時(shí)（其中為實(shí)數(shù)，），自變量的取值范圍是，
∴直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為，直線在拋物線的下方，
∴關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，有最小值，
∴．

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．本題的綜合性較強(qiáng)，屬于中考?jí)狠S題．
9．B
【分析】由圖象得 ，，由對(duì)稱軸得，，；拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)位于，兩點(diǎn)之間，由對(duì)稱性知另一個(gè)交點(diǎn)在，之間，得 ，于是，進(jìn)一步推知，由根與系數(shù)關(guān)系知；
【詳解】解：開口向下，得 ，與y軸交于正半軸，，
對(duì)稱軸，，，故①錯(cuò)誤；
故②錯(cuò)誤；
拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)位于，兩點(diǎn)之間，對(duì)稱軸為，故知另一個(gè)交點(diǎn)在，之間，故時(shí)，
∴，得，故③正確；
由，，知，
∵，為方程的兩個(gè)根，
∴
∴，故④正確；
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，不等式變形，掌握函數(shù)圖象性質(zhì)，注意利用特殊點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
10．A
【分析】先求得兩個(gè)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：令，則和，
解得或或或，
不妨設(shè)，
∵和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又這四個(gè)交點(diǎn)中每相鄰兩點(diǎn)間的距離都相等，
∴與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
∴，
∴或（舍去），
∵拋物線的對(duì)稱軸為，拋物線的對(duì)稱軸為，
∴這兩個(gè)函數(shù)圖象對(duì)稱軸之間的距離為2，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
11．B
【分析】把看做是直線與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把看做是直線與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，設(shè)直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，
∵，關(guān)于x的方程的解為，關(guān)于x的方程的解為，
∴分別是A、B、C、D的橫坐標(biāo)，
∴，
故選B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線與一元二次方程的關(guān)系，正確把一元二次方程的解轉(zhuǎn)換成直線與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
12．B
【分析】根據(jù)題意，求得對(duì)稱軸，進(jìn)而得出，求得拋物線解析式，根據(jù)拋物線與軸有交點(diǎn)得出，進(jìn)而得出，則，求得的橫坐標(biāo)，即可求解．
【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線
∵拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)
∴，
即，
∴，
∵拋物線與軸有交點(diǎn)，
∴，
即，
即，即，
∴，，
∴，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性，與軸交點(diǎn)問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．C
【分析】根據(jù)已知條件列出不等式，利用二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答．
【詳解】解：，
，
點(diǎn)，都在直線的上方，且，
可列不等式：，
，
可得，
設(shè)拋物線，直線，
可看作拋物線在直線下方的取值范圍，
當(dāng)時(shí)，可得，
解得，
，
的開口向上，
的解為，
根據(jù)題意還可列不等式：，
，
可得，
整理得，
設(shè)拋物線，直線，
可看作拋物線在直線下方的取值范圍，
當(dāng)時(shí)，可得，
解得，
，
拋物線開口向下，
的解為或，
綜上所述，可得，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確列出不等式是解題的關(guān)鍵．
14．##
【分析】寫出圖象在x軸下方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．
【詳解】解：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，利用了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
15．或##或
【分析】利用表中數(shù)據(jù)得到直線與拋物線的交點(diǎn)為和，畫出草圖，從而得到當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍．
【詳解】解：∵當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
∴直線與拋物線的交點(diǎn)為和，
畫出草圖如圖所示，

當(dāng)時(shí)，或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式，對(duì)于二次函數(shù)（a、b、c是常數(shù)，）與不等式的關(guān)系，利用兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點(diǎn)直觀求解，也可把兩個(gè)函數(shù)解析式列成不等式求解．
16．
【分析】根據(jù)已知圖象，確定交點(diǎn)橫坐標(biāo),再找出直線在拋物線上方的部分，即可得到答案．
【詳解】解：由圖象可知，拋物線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0、3，
當(dāng)時(shí)，直線在拋物線上方，
不等式的解集為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．
17．或
【分析】利用圖象法解不等式即可．
【詳解】解：∵，
∴，
將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)：與的交點(diǎn)問題，
由圖可知：點(diǎn)在拋物線，
又∵滿足直線的解析式，
∴兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為：，

由圖象可知：當(dāng)或時(shí)，，
∴不等式的解集是或；
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查圖象法求不等式的解集．解題的關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化為二個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解．
18．
【分析】（1）仿照例題得出，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
（2）令，則，將代入，得，根據(jù)題意得出，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：（1）∵關(guān)于x的方程，即有實(shí)數(shù)根，
∴， ，，
即
∴
設(shè)函數(shù)
當(dāng)時(shí)，
綜上，
故答案為：5．
（2）令，則，將代入，
整理得，該方程有實(shí)數(shù)根，
∴
∴
有最大值
即的最大值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．(1)m=1
(2)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，理由見解析．
【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2?3即可求得m的值；
（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，進(jìn)而得出答案．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)y= x2+mx+m2?3圖象經(jīng)過點(diǎn)P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2?3，
即m2+2m?3=0，
解得：m1=1，m2=?3，
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函數(shù)y=x2+x?2，
∵Δ=b2?4ac=12+8=9>0，
∴二次函數(shù)y=x2+x?2的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)以及一元二次方程的解法，得出△的值是解題關(guān)鍵．
20．（1），；（2）不等式>的解集為或；（3）點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是：或．
【分析】（1）把A(2，0)分別代入兩個(gè)解析式，即可求得和的值；
（2）解方程求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1，3)，數(shù)形結(jié)合即可求解；
（3）畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想求解即可．
【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A(2，0)同時(shí)在與上，
∴，，
解得：，；
（2）由（1）得拋物線的解析式為，直線的解析式為，
解方程，得：．
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1，3)，
觀察圖形知，當(dāng)或時(shí)，拋物線在直線的上方，
∴不等式>的解集為或；
（3）如圖，設(shè)A、B向左移3個(gè)單位得到A1、B1，
∵點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)B(-1，3)，
∴點(diǎn)A1 (-1，0)，點(diǎn)B1 (-4，3)，
∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN為A A1、BB1相互平行的線段，
對(duì)于拋物線，
∴頂點(diǎn)為(1，-1)，
如圖，當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時(shí)，線段MN與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
此時(shí)，
當(dāng)線段MN經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)(1，-1)時(shí)，線段MN與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，
此時(shí)點(diǎn)M1的縱坐標(biāo)為-1，則，解得，
綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是：或．
．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；能夠畫出圖形，結(jié)合函數(shù)圖象，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．
21．(1)和
(2)或
(3)
【分析】（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，求出m、b的值即可；
（2）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)圖象得出不等式的解集即可；
（3）求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為，結(jié)合圖象即可得出答案．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入得：，
解得：，
將點(diǎn)代入得：，
解得：，
∴拋物線和直線的解析式分別為和．
（2）解：聯(lián)立，
解得：，，
∴，
∴根據(jù)圖象可知，不等式的解集為或；
（3）解：把代入得：，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
∵拋物線解析式為，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，
把代入得：，
∴直線與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為，
根據(jù)圖象可知，當(dāng)直線與圖像G有公共點(diǎn)時(shí)，．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握待定系數(shù)法，以及求出兩個(gè)函數(shù)解析式和交點(diǎn)坐標(biāo)．
22．(1)見解析
(2)或或或
【分析】（1）分與兩種情況討論論證即可；
（2）當(dāng)時(shí)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，對(duì)于函數(shù)，令，得，從而有或，根據(jù)整數(shù)，使圖象與軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)，即為整數(shù)，從而有或或或或或或或，解之即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為一次函數(shù)，此時(shí)，令，則，解得，
∴一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為二次函數(shù)，
∵，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，與軸總有交點(diǎn)，
∴無論取什么實(shí)數(shù)，圖象與軸總有公共點(diǎn)；
（2）解：當(dāng)時(shí)，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，對(duì)于函數(shù)，
令，則，
∴，
∴或
∴或，
∵，整數(shù)，使圖象與軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)，即為整數(shù)，
∴或或或或或或或，
解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去），
∴或或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)形相結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．
23．（1）①；（2）或；（3）或或
【分析】（1）求出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再判斷這兩個(gè)點(diǎn)在不在二次函數(shù)圖象上即可；
（2）求出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再由求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式計(jì)算即可；
（3）先求出，的坐標(biāo)，再根據(jù)的頂點(diǎn)在矩形的邊上分類討論即可．
【詳解】（1）函數(shù)交軸于，交軸于，
∵點(diǎn)、都在函數(shù)圖象上
∴①為函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)；
∵點(diǎn)不在函數(shù)圖象上
∴②不是函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)；
故答案為：①；
（2）函數(shù)交軸于，交軸于，
∵函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)
∴和都在上，
∵
∴
∵，
∴
∴或
當(dāng)時(shí)，把代入得
，解得，
當(dāng)時(shí)，把代入得
，解得，
綜上，或；
（3）函數(shù)交軸于，交軸于，
∵，以線段的長度為長、線段的長度為寬，在軸的上方作矩形
∴，，,
∵函數(shù)（為常數(shù)，）的軸點(diǎn)函數(shù)
∴和在上
∴，整理得
∴
∴的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵函數(shù)的頂點(diǎn)在矩形的邊上
∴可以分三種情況討論：當(dāng)與重合時(shí)；當(dāng)在上時(shí)；當(dāng)在上時(shí)；
當(dāng)與重合時(shí)，即，解得；
當(dāng)在上時(shí)，，整理得，解得
此時(shí)二次函數(shù)開口向下，則
∴整理得：，
由整理得，
∴
解得，
∴，
當(dāng)在上時(shí)，，整理得，解得
∴
此時(shí)對(duì)稱軸左邊y隨x的增大而增大，
∴
∴整理得：
∴代入、后成立
∴，
綜上所述，或或
【點(diǎn)睛】本題綜合考查一次函數(shù)與二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是理解軸點(diǎn)函數(shù)的定義．
1
3
4
5
0
0
5

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