專題2 方程與不等式
第1講 一次方程及其應(yīng)用
一、等式的性質(zhì)
1．基本性質(zhì)：如果a=b，那么，，．．；
2．對稱性：如果a=b，那么b=a；
3．傳遞性：如果a=b，b=c，那么a=c；
二、一元一次方程
1．方程：含有未知數(shù)的等式，叫做方程；
2．方程的解：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解；
3．一元一次方程：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1，這樣的整式方程叫一元一次方程；
4．一元一次方程的解法：去分母，去括號，移項，合并同類項，化系數(shù)為1；
5．一般形式：；當(dāng)a=，b=0時，解為任意數(shù)；當(dāng)a=，b≠0時，無解；當(dāng)a≠，唯一解；
三、二元一次方程（組）
1．二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，含未知數(shù)的項的次數(shù)是1，這樣的整式方程叫二元一次方程；
2．二元一次方程組：共含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程組成的方程組，叫做二元一次方程組；
3．二元一次方程組的解法：代入消元法，加減消元法；
4．一般形式：；
三、三元一次方程（組）
1．三元一次方程：含有三個未知數(shù)，含未知數(shù)的項的次數(shù)是1，這樣的整式方程叫三元一次方程；
2．三元一次方程組：共含有三個未知數(shù)的三個一次方程組成的方程組，叫做三元一次方程組；
3．三元一次方程組的解法：代入消元法，加減消元法；
4．一般形式：；
四、一次方程（組）的應(yīng)用
1．列方程解應(yīng)用題的一般步驟：審題，設(shè)未知數(shù)，列方程（組），解方程（組），檢驗并寫解；
2．常見類型及關(guān)系式：
（1）購買問題：單價×數(shù)量=總價；
（2）變化率問題：初量×（1±變化率）=末量；
（3）利潤問題：售價=標價×折扣，銷售額=售價×銷售量，利潤=售價-進價，利潤=進價×利潤率，總利潤=單位利潤×數(shù)量=總銷售額-決成本；
（4）工程問題=工作效率×工作時間；
（5）行程問題：路程=速度×?xí)r間；
（6）順水和逆水問題：順水速度=靜水速度+水速，逆水速度=靜水速度-水速；
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》2022版，學(xué)業(yè)要求：
1． 能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，理解方程的意義；
2． 認識方程解的意義，經(jīng)過估計方程解的過程；
3． 掌握等式的基本性質(zhì)，能運用等式的基本性質(zhì)進行等式的變；
4． 能根據(jù)等式的基本性質(zhì)解一元一次方程和；
5． 能根據(jù)二元一次方程組的特征，選擇代入消元法和加減消元法解二元一次方程組；
6． 能解簡單的三元一次方程組．
【例1】
（2022·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）
1．在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流Ⅰ跟導(dǎo)體兩端的電壓U，導(dǎo)體的電阻R之間有以下關(guān)系：去分母得，那么其變形的依據(jù)是（ ）
A．等式的性質(zhì)1B．等式的性質(zhì)2C．分式的基本性質(zhì)D．不等式的性質(zhì)2
【變1】
（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）
2．下列是解一元一次方程的步驟：
其中說法錯誤的是( )
A．①步的依據(jù)是乘法分配律B．②步的依據(jù)是等式的性質(zhì)1
C．③步的依據(jù)是加法結(jié)合律D．④步的依據(jù)是等式的性質(zhì)2
【例1】
（2022·廣西·中考真題）
3．方程3x＝2x＋7的解是（ ）
A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7
【變1】
（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）
4．如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解．則稱該一元一次方程為該一元一次不等式組的關(guān)聯(lián)方程．若方程是關(guān)于x的不等式組的關(guān)聯(lián)方程，則n的取值范圍是 ．
【例1】
（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）
5．小紅在解方程時，第一步出現(xiàn)了錯誤：
(1)請在相應(yīng)的方框內(nèi)用橫線劃出小紅的錯誤處；
(2)寫出你的解答過程．
【變1】
（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）
6．解方程組：
【例1】
（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）
7．某糧食生產(chǎn)基地為了落實在適宜地區(qū)開展雙季稻中間季節(jié)再種一季油菜的號召，積極擴大糧食生產(chǎn)規(guī)模，計劃用基地的甲、乙兩區(qū)農(nóng)田進行油菜試種．甲區(qū)的農(nóng)田比乙區(qū)的農(nóng)田多10000畝，甲區(qū)農(nóng)田的和乙區(qū)全部農(nóng)田均適宜試種，且兩區(qū)適宜試種農(nóng)田的面積剛好相同．
(1)求甲、乙兩區(qū)各有農(nóng)田多少畝？
(2)在甲、乙兩區(qū)適宜試種的農(nóng)田全部種上油菜后，為加強油菜的蟲害治理，基地派出一批性能相同的無人機，對試種農(nóng)田噴灑除蟲藥，由于兩區(qū)地勢差別，派往乙區(qū)的無人機架次是甲區(qū)的1.2倍（每架次無人機噴灑時間相同），噴灑任務(wù)完成后，發(fā)現(xiàn)派往甲區(qū)的每架次無人機比乙區(qū)的平均多噴灑畝，求派往甲區(qū)每架次無人機平均噴灑多少畝？
【變1】
（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）
8．為拓展學(xué)生視野，某中學(xué)組織八年級師生開展研學(xué)活動，原計劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出三輛車，且其余客車恰好坐滿．現(xiàn)有甲、乙兩種客車，它們的載客量和租金如下表所示：
(1)參加此次研學(xué)活動的師生人數(shù)是多少？原計劃租用多少輛45座客車？
(2)若租用同一種客車，要使每位師生都有座位，應(yīng)該怎樣租用才合算？
一、選擇題
（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）
9．《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)雞價各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出9錢，會多出11錢；每人出6錢，又差16錢．問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？設(shè)人數(shù)為x，可列方程為（ ）
A．B．C．D．
（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）
10．《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余尺．問木長多少尺？設(shè)木長尺，繩長尺，根據(jù)題意列方程組得（ ）
A．B．C．D．
（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）
11．為提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強動手實踐能力，某校為物理興趣小組的同學(xué)購買了一根長度為的導(dǎo)線，將其全部截成和兩種長度的導(dǎo)線用于實驗操作（每種長度的導(dǎo)線至少一根），則截取方案共有（ ）
A．5種B．6種C．7種D．8種
（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）
12．已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿足，則m的值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）
13．關(guān)于x，y的方程組的解滿足，則的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）
14．某學(xué)校課后興趣小組在開展手工制作活動中，美術(shù)老師要求用14張卡紙制作圓柱體包裝盒，準備把這些卡紙分成兩部分，一部分做側(cè)面，另一部分做底面．已知每張卡紙可以裁出2個側(cè)面，或者裁出3個底面，如果1個側(cè)面和2個底面可以做成一個包裝盒，這些卡紙最多可以做成包裝盒的個數(shù)為（ ）
A．6B．8C．12D．16
（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）
15．某社區(qū)為了打造“書香社區(qū)”，豐富小區(qū)居民的業(yè)余文化生活，計劃出資500元全部用于采購A，B，C三種圖書，A種每本30元，B種每本25元，C種每本20元，其中A種圖書至少買5本，最多買6本（三種圖書都要買），此次采購的方案有（ ）
A．5種B．6種C．7種D．8種
（2023·浙江·模擬預(yù)測）
16．關(guān)于的方程有無數(shù)多個實根，則實數(shù)的值為（ ）
A．1B．C．1或D．有無數(shù)個取值
（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）
17．【素材1】某景區(qū)游覽路線及方向如圖1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③兩路段路程相等．
【素材2】設(shè)游玩行走速度恒定，經(jīng)過每個景點都停留20分鐘．小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧用時3小時25分鐘；小州游路線①②⑧，他離入口的路程s與時間t的關(guān)系（部分數(shù)據(jù)）如圖2所示，在2100米處，他到出口還要走10分鐘．
【問題】路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為（ ）

A．4200米B．4800米C．5200米D．5400米
二、填空題
（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）
18．閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法．例如“已知，求代數(shù)式的值．”可以這樣解：．根據(jù)閱讀材料，解決問題：若是關(guān)于x的一元一次方程的解，則代數(shù)式的值是 ．
（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）
19．定義新運算：，其中，，，為實數(shù)．例如：．如果，那么 ．
（2023·廣東江門·江門市怡福中學(xué)校考一模）
20．定義：如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的相伴方程．若方程、都是關(guān)于x的不等式組的相伴方程，則m的取值范圍為 ．
（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）
21．在長為2，寬為x（）的矩形紙片上，從它的一側(cè)，剪去一個以矩形紙片寬為邊長的正方形（第一次操作）；從剩下的矩形紙片一側(cè)再剪去一個以寬為邊長的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的紙片恰為正方形，則x的值為 ．
（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）
22．若干個同學(xué)參加課后社團——舞蹈活動，一次排練中，先到的n個同學(xué)均勻排成一個以O(shè)點為圓心，r為半徑的圓圈（每個同學(xué)對應(yīng)圓周上一個點），又來了兩個同學(xué)，先到的同學(xué)都沿各自所在半徑往后移a米，再左右調(diào)整位置，使這個同學(xué)之間的距離與原來n個同學(xué)之間的距離（即在圓周上兩人之間的圓弧的長）相等．這個同學(xué)排成圓圈后，又有一個同學(xué)要加入隊伍，重復(fù)前面的操作，則每人須往后移 米（請用關(guān)于a的代數(shù)式表示），才能使得這個同學(xué)之間的距離與原來n個同學(xué)之間的距離相等．

（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）
23．點Q的橫坐標為一元一次方程的解，縱坐標為的值，其中a，b滿足二元一次方程組，則點Q關(guān)于y軸對稱點的坐標為 ．
（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）
24．特產(chǎn)專賣店銷售桃片、米花糖、麻花三種特產(chǎn)，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售價分別比其成本高20%、30%、20%．該店五月份銷售桃片、米花糖、麻花的數(shù)量之比為1∶3∶2，三種特產(chǎn)的總利潤是總成本的25%，則每包米花糖與每包麻花的成本之比為 ．
（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）
25．將15個編號為1~15的小球全部放入甲、乙、丙三個盤子內(nèi)，每個盤子里的小球不少于4個，甲盤中小球編號的平均值為3．
（1）寫出一種甲盤中小球的編號是 ；
（2）若乙、丙盤中小球編號的平均值分別為8，13，則乙盤中小球的個數(shù)可以是 ．
三、解答題
（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）
26．對于任意實數(shù)a，b，定義一種新運算：，例如：，．根據(jù)上面的材料，請完成下列問題：
(1)___________，___________；
(2)若，求x的值．
（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）
27．計算：．圓圓在做作業(yè)時，發(fā)現(xiàn)題中有一個數(shù)字被墨水污染了．
(1)如果被污染的數(shù)字是，請計算．
(2)如果計算結(jié)果等于6，求被污染的數(shù)字．
（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）
28．列方程（組）解應(yīng)用題：如圖，巴桑家客廳的電視背景墻是由塊形狀大小相同的長方形墻磚砌成．

(1)求一塊長方形墻磚的長和寬；
(2)求電視背景墻的面積．
（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）
29．2022年12月28日查干湖冬捕活動后，某商家銷售A，B兩種查干湖野生魚，如果購買1箱A種魚和2箱B種魚需花費1300元：如果購買2箱A種魚和3箱B種魚需花費2300元．分別求每箱A種魚和每箱B種魚的價格．
（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）
30．大學(xué)生小敏參加暑期實習(xí)活動，與公司約定一個月（30天）的報酬是M型平板電腦一臺和1500元現(xiàn)金，當(dāng)她工作滿20天后因故結(jié)束實習(xí)，結(jié)算工資時公司給了她一臺該型平板電腦和300元現(xiàn)金．
(1)這臺M型平板電腦價值多少元？
(2)小敏若工作m天，將上述工資支付標準折算為現(xiàn)金，她應(yīng)獲得多少報酬（用含m的代數(shù)式表示）？
（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）
31．為紀念愛國詩人屈原，人們有了端午節(jié)吃粽子的習(xí)俗．某顧客端午節(jié)前在超市購買豆沙粽10個，肉粽12個，共付款136元，已知肉粽單價是豆沙粽的2倍．
(1)求豆沙粽和肉粽的單價；
(2)超市為了促銷，購買粽子達20個及以上時實行優(yōu)惠，下表列出了小歡媽媽、小樂媽媽的購買數(shù)量（單位：個）和付款金額（單位：元）；
①根據(jù)上表，求豆沙粽和肉粽優(yōu)惠后的單價；
②為進一步提升粽子的銷量，超市將兩種粽子打包成A，B兩種包裝銷售，每包都是40個粽子（包裝成本忽略不計），每包的銷售價格按其中每個粽子優(yōu)惠后的單價合計．A，B兩種包裝中分別有m個豆沙粽，m個肉粽，A包裝中的豆沙粽數(shù)量不超過肉粽的一半．端午節(jié)當(dāng)天統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，A，B兩種包裝的銷量分別為包，包，A，B兩種包裝的銷售總額為17280元．求m的值．
甲型客車
乙型客車
載客量（人/輛）
45
60
租金（元/輛）
200
300
豆沙粽數(shù)量
肉粽數(shù)量
付款金額
小歡媽媽
20
30
270
小樂媽媽
30
20
230
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)2可得答案．
【詳解】解：去分母得，其變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)2，
故選：B．
【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)2：等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為零的數(shù)，等式仍然成立．
2．C
【分析】利用等式的基本性質(zhì)即可判定對錯．
【詳解】解：解一元一次方程的步驟：，
①步的依據(jù)是乘法分配律，說法正確；
②步的依據(jù)是等式的性質(zhì)1，說法正確；
③步的依據(jù)是合并同類項的法則，原說法錯誤；
④步的依據(jù)是等式的性質(zhì)2，說法正確．
故選：C．
【點睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
3．C
【分析】先移項再合并同類項即可得結(jié)果；
【詳解】解：3x＝2x＋7
移項得，3x-2x=7；
合并同類項得，x＝7；
故選：C．
【點睛】本題主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解步驟是解題的關(guān)鍵．
4．
【分析】解一元一次方程得出方程的解，代入不等式組可得答案．
【詳解】解：解方程得，
∵為不等式組的解，
∴，解得，
即n的取值范圍為：，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組和一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解并掌握“關(guān)聯(lián)方程”的定義和解一元一次不等式組、一元一次方程的能力．
5．(1)劃線見解析
(2)，過程見解析
【分析】（1）根據(jù)解一元一次方程去分母的過程，即可解答；
（2）根據(jù)解一元一次方程的步驟，計算即可．
【詳解】（1）解：劃線如圖所示：
（2）解：，
，
，
，
．
【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟知解方程的步驟是解題的關(guān)鍵．
6．
【分析】把兩個方程相加消去y，求解x，再把x的值代入第1個方程求解y即可．
【詳解】解：
①+②，得．
∴．
把代入①，得．
∴這個方程組的解是．
【點睛】本題考查的是二元一次方程組的解法，熟練的利用加減消元法解方程組是解本題的關(guān)鍵．
7．(1)甲區(qū)有農(nóng)田50000畝，乙區(qū)有農(nóng)田40000畝
(2)100畝
【分析】（1）設(shè)甲區(qū)有農(nóng)田畝，則乙區(qū)有農(nóng)田畝，根據(jù)甲區(qū)農(nóng)田的和乙區(qū)全部農(nóng)田均適宜試種，且兩區(qū)適宜試種農(nóng)田的面積剛好相同建立方程，解方程即可得；
（2）設(shè)派往甲區(qū)每架次無人機平均噴灑畝，派往甲區(qū)的無人機架次為架次，則派往乙區(qū)每架次無人機平均噴灑畝，派往乙區(qū)的無人機架次為架次，根據(jù)兩區(qū)噴灑的面積相同建立方程，解方程即可得．
【詳解】（1）解：設(shè)甲區(qū)有農(nóng)田畝，則乙區(qū)有農(nóng)田畝，
由題意得：，
解得，
則，
答：甲區(qū)有農(nóng)田50000畝，乙區(qū)有農(nóng)田40000畝．
（2）解：設(shè)派往甲區(qū)每架次無人機平均噴灑畝，派往甲區(qū)的無人機架次為架次，則派往乙區(qū)每架次無人機平均噴灑畝，派往乙區(qū)的無人機架次為架次，
由題意得：，即，
解得，
答：派往甲區(qū)每架次無人機平均噴灑100畝．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．
8．(1)參加此次研學(xué)活動的師生有600人，原計劃租用45座客車13輛
(2)租14輛45座客車較合算
【分析】（1）設(shè)參加此次研學(xué)活動的師生有x人，原計劃租用45座客車y輛，根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可；
（2）由（1）結(jié)論求出所需費用比較即可．
【詳解】（1）解：設(shè)參加此次研學(xué)活動的師生有x人，原計劃租用45座客車y輛
依題意得
解得：，
答：參加此次研學(xué)活動的師生有600人，原計劃租用45座客車13輛；
（2）∵要使每位師生都有座位，
∴租45座客車14輛，則租60座客車10輛，
，，
∵
∴租14輛45座客車較合算．
【點睛】題目主要考查二元一次方程組的應(yīng)用及有理數(shù)乘法的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵．
9．D
【分析】設(shè)人數(shù)為x，根據(jù)每人出9錢，會多出11錢，可得雞的價格為錢，根據(jù)每人出6錢，又差16錢，可得雞的價格為錢，由此列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)人數(shù)為x，
由題意得，，
故選D．
【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元一次方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
10．A
【分析】設(shè)木長尺，繩長尺，根據(jù)用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余尺，列出二元一次方程組，即可求解．
【詳解】設(shè)木長尺，繩長尺，根據(jù)題意列方程組得
故選：A．
【點睛】本題考查了列二元一次方程組，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．
11．C
【分析】設(shè)和兩種長度的導(dǎo)線分別為根，根據(jù)題意，得出，進而根據(jù)為正整數(shù)，即可求解．
【詳解】解：設(shè)和兩種長度的導(dǎo)線分別為根，根據(jù)題意得，
，
即，
∵為正整數(shù)，
∴
則，
故有7種方案，
故選：C．
【點睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程求整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．
12．B
【分析】將方程組的兩個方程相減，可得到，代入，即可解答．
【詳解】解：，
得，
，
代入，可得，
解得，
故選：B．
【點睛】本題考查了根據(jù)解的情況求參數(shù)，熟練利用加減法整理代入是解題的關(guān)鍵．
13．D
【分析】法一：利用加減法解方程組，用表示出，再將求得的代數(shù)式代入，得到的關(guān)系，最后將變形，即可解答．
法二：中得到，再根據(jù)求出代入代數(shù)式進行求解即可.
【詳解】解：法一：，
得，
解得，
將代入，解得，
，
，
得到，
，
法二：
得：，即：，
∵，
∴，
，
故選：D．
【點睛】本題考查了根據(jù)二元一次方程解的情況求參數(shù)，同底數(shù)冪除法，冪的乘方，熟練求出的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14．C
【分析】設(shè)用x張卡紙做側(cè)面，用y張卡紙做底面，則做出側(cè)面的數(shù)量為2x，底面的數(shù)量為3y，然后根據(jù)等量關(guān)系：底面數(shù)量=側(cè)面數(shù)量的2倍，列出方程組即可．
【詳解】解：設(shè)用x張白卡紙做側(cè)面，用y張白卡紙做底面，
由題意得，．
解得．
，
答：這些卡紙最多可以做成包裝盒的個數(shù)為12個．
故選：C．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組．還需注意本題的等量關(guān)系是：底面數(shù)量=側(cè)面數(shù)量的2倍．
15．B
【分析】設(shè)采購A種圖書x本，B種圖書y本，C種圖書z本，根據(jù)采購三種圖書需500元列出方程，再依據(jù)x的數(shù)量分兩種情況討論求解即可．
【詳解】解：設(shè)采購A種圖書x本，B種圖書y本，C種圖書z本，其中且均為整數(shù)，根據(jù)題意得，
，
整理得，，
①當(dāng)時，，
∴
∵且均為整數(shù)，
∴當(dāng)時，，∴；
當(dāng)時，，∴；
當(dāng)時，，∴；
②當(dāng)時，，
∴
∵且均為整數(shù)，
∴當(dāng)時，，∴；
當(dāng)時，，∴；
當(dāng)時，，∴；
綜上，此次共有6種采購方案，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、進行分類討論是解答本題的關(guān)鍵．
16．C
【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，進行分類討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時，即可求解．
【詳解】解：①當(dāng)時，
，
，
當(dāng)時，，只有一個實數(shù)根，不符合題意；
當(dāng)時，解得：，
左邊，右邊，
此時方程有無數(shù)個解，符合題意；
②當(dāng)時，
，
，
當(dāng)時，，只有一個實數(shù)根，不符合題意；
當(dāng)時，解得：，
左邊，右邊，
此時方程有無數(shù)個解，符合題意；
綜上：實數(shù)的值為1或，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了絕對值的定義，解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．
17．B
【分析】設(shè)①④⑥各路段路程為x米，⑤⑦⑧各路段路程為y米，②③各路段路程為z米，由題意及圖象可知，然后根據(jù)“游玩行走速度恒定，經(jīng)過每個景點都停留20分鐘．小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧用時3小時25分鐘”可進行求解．
【詳解】解：由圖象可知：小州游玩行走的時間為（分鐘），小溫游玩行走的時間為（分鐘）；
設(shè)①④⑥各路段路程為x米，⑤⑦⑧各路段路程為y米，②③各路段路程為z米，由圖象可得：
，
解得：，
∴游玩行走的速度為（米/秒），
由于游玩行走速度恒定，則小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧的路程為，
∴，
∴路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為（米）；
故選B．
【點睛】本題主要考查三元一次方程組的應(yīng)用及函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是理解題中所給信息，找到它們之間的等量關(guān)系．
18．
【分析】先根據(jù)是關(guān)于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代數(shù)式變形為，把整體代入即可求值．
【詳解】解：∵是關(guān)于x的一元一次方程的解，
∴，
∴
．
故答案為：14．
【點睛】本題考查了代數(shù)式的整體代入求值及一元一次方程解的定義，把所求的代數(shù)式利用完全平方公式變形是解題的關(guān)鍵．
19．
【分析】根據(jù)新定義列出一元一次方程，解方程即可求解．
【詳解】解：∵
∴
即
解得：
故答案為：．
【點睛】本題考查了新定義運算，解一元一次方程，根據(jù)題意列出方程解題的關(guān)鍵．
20．
【分析】先求出兩個方程的解，再解不等式組，根據(jù)題意可得且，即可解答．
【詳解】解：解方程，得：，
解方程，得：，
由，得：，
由，得：，
均是不等式組的解，
且，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了解一元一次方程，解一元一次不等式組，理解題意，熟練解一元一次方程和一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
21． 或
【分析】分析題意，根據(jù)x的取值范圍不同，對剩下矩形的長寬進行討論，求出滿足題意的x值即可．
【詳解】解：第一次操作后剩下的矩形兩邊長為 和 ，
，
又，
，
，
則第一次操作后，剩下矩形的寬為，
所以可得第二次操作后，剩下矩形一邊為 ，
另一邊為： ，
∵第三次操作后，剩下的紙片恰為正方形，
∴第二次操作后剩下矩形的長是寬的2倍，
分以下兩種情況進行討論：
①當(dāng) ，即時 ，
第三次操作后剩下的矩形的寬為 ，長是 ，
則由題意可知： ，
解得： ；
②當(dāng) ，即時，
第三次操作后剩下的矩形的寬為 ，長是 ，
由題意得： ，
解得： ，
或者 ．
故答案為： 或 ．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，熟練掌握矩形，正方形性質(zhì)以及分類討論的方法是解題的關(guān)鍵．
22．
【分析】由第一次操作可得：，則，設(shè)第二次操作時每位同學(xué)向后移動了x米，可得，解得，再代入化簡即可．
【詳解】解：由第一次操作可得：，
∴，
設(shè)第二次操作時每位同學(xué)向后移動了x米，則
，
∴，
故答案為：
【點睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，分式的化簡，準確的理解題意確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
23．
【分析】先分別解一元一次方程和二元一次方程組，求得點Q的坐標，再根據(jù)直角坐標系中點的坐標的規(guī)律即可求解．
【詳解】解：，
移項合并同類項得，，
系數(shù)化為1得，，
∴點Q的橫坐標為5，
∵，
由得，，解得：，
把代入①得，，解得：，
∴，
∴點Q的縱坐標為，
∴點Q的坐標為，
∴點Q關(guān)于y軸對稱點的坐標為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了坐標與圖形變化——軸對稱，解一元一次方程和解二元一次方程組、代數(shù)值求值、直角坐標系中點的坐標的規(guī)律，熟練掌握解一元一次方程和解二元一次方程組的方法求得點Q的坐標是解題的關(guān)鍵．
24．4：3
【分析】設(shè)每包麻花的成本為x元，每包米花糖的成本為y元，桃片的銷售量為m包，則每包桃片的成本為2x元，米花糖的銷售量為3m包，麻花的銷售量為2m包，根據(jù)三種特產(chǎn)的總利潤是總成本的25%列得，計算可得．
【詳解】解：設(shè)每包麻花的成本為x元，每包米花糖的成本為y元，桃片的銷售量為m包，則每包桃片的成本為2x元，米花糖的銷售量為3m包，麻花的銷售量為2m包，由題意得
，
解得3y=4x，
∴y：x=4：3，
故答案為：4：3．
【點睛】此題考查了三元一次方程的實際應(yīng)用，正確理解題意確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
25． 1號，2號，3號，6號（答案不唯一） 7或5
【分析】（1）根據(jù)每個盤子里的小球不少于4個，甲盤中小球編號的平均值為3，列出一種情況即可得出答案；
（2）通過設(shè)甲盤中有x個球，乙盤有y個球，丙盤中有z個球（x、y、z都是不小于4的正整數(shù)）即可得到方程組，進而問題可求解．
【詳解】解：（1）∵每個盤子里的小球不少于4個，甲盤中小球的平均值為3，且，
∴甲盤中小球的編號可能是：1號，2號，3號，6號；
故答案為1號，2號，3號，6號（答案不唯一）；
（2）設(shè)甲盤中有x個球，乙盤有y個球，丙盤中有z個球（x、y、z都是不小于4的正整數(shù)），由題意得：
，
消去x得：，即，
∴當(dāng)時，則，此時符合題意；
當(dāng)時，則，此時符合題意；
當(dāng)時，則，此時不符合題意，舍去；
∴乙盤中小球的個數(shù)可以是7或5；
故答案為7或5．
【點睛】本題主要考查三元一次方程組的應(yīng)用及平均數(shù)，熟練掌握三元一次方程組的應(yīng)用及平均數(shù)是解題的關(guān)鍵．
26．(1)1；2；
(2)，
【分析】（1）原式利用題中的新定義計算即可求出值；
（2）已知等式利用已知的新定義進行分類討論并列出方程，再計算求出x的值即可．
【詳解】（1），
，
；
故答案為：1；2；
（2）若時，即時，則
，
解得：，
若時，即時，則
，
解得：，不合題意，舍去，
，
【點睛】此題考查了實數(shù)的新定義運算及解一元一次方程，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．
27．(1)-9
(2)3
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)混合運算法則計算即可；
（2）設(shè)被污染的數(shù)字為x，由題意，得，解方程即可；
【詳解】（1）解：；
（2）設(shè)被污染的數(shù)字為x，
由題意，得，解得，
所以被污染的數(shù)字是3．
【點睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運算、一元一次方程的應(yīng)用，掌握相關(guān)運算法則和步驟是接替的關(guān)鍵．
28．(1)，；
(2)．
【分析】（1）首先設(shè)一塊長方形墻磚的長為，寬為，然后用的代數(shù)式分別表示出長方形的兩條長邊分別為，，寬為,進而根據(jù)長方形的性質(zhì)列出方程組，解方程組即可得出答案；
（2）根據(jù)長方形的面積計算公式即可得出答案．
【詳解】（1）解：設(shè)一塊長方形墻磚的長為，寬為．
依題意得：
，
解得：
，
答：一塊長方形墻磚的長為，寬為．
（2）求電視背景墻的面積為：．
答：電視背景墻的面積為．
【點睛】此題主要考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，長方形的性質(zhì)，根據(jù)長方形的兩組對邊分別相等列出方程組是解答此題的關(guān)鍵．
29．每箱A種魚的價格是700元，每箱B種魚的價格是300元．
【分析】設(shè)每箱A種魚的價格是元，每箱B種魚的價格是元，根據(jù)題意建立方程組，解方程組即可得．
【詳解】解：設(shè)每箱A種魚的價格是元，每箱B種魚的價格是元，
由題意得：，
解得，
答：每箱A種魚的價格是700元，每箱B種魚的價格是300元．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用用，正確建立方程組是解題關(guān)鍵．
30．(1)這臺M型平板電腦的價值為元
(2)她應(yīng)獲得元的報酬
【分析】（1）設(shè)這臺M型平板電腦的價值為元，根據(jù)題意，列出方程進行求解即可；
（2）根據(jù)題意，列出代數(shù)式即可．
【詳解】（1）解：設(shè)這臺M型平板電腦的價值為元，由題意，得：
，
解得：；
∴這臺M型平板電腦的價值為元；
（2）解：由題意，得：；
答：她應(yīng)獲得元的報酬．
【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用．找準等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．
31．(1)豆沙粽的單價為4元，肉粽的單價為8元
(2)①豆沙粽優(yōu)惠后的單價為3元，肉粽優(yōu)惠后的單價為7元；②
【分析】（1）設(shè)豆沙粽的單價為x元，則肉粽的單價為元，依題意列一元一次方程即可求解；
（2）①設(shè)豆沙粽優(yōu)惠后的單價為a元，則肉粽優(yōu)惠后的單價為b元，依題意列二元一次方程組即可求解；
②根據(jù)銷售額=銷售單價銷售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值．
【詳解】（1）解：設(shè)豆沙粽的單價為x元，則肉粽的單價為元，
依題意得，
解得；
則；
所以豆沙粽的單價為4元，肉粽的單價為8元；
（2）解：①設(shè)豆沙粽優(yōu)惠后的單價為a元，則肉粽優(yōu)惠后的單價為b元，
依題意得，解得，
所以豆沙粽優(yōu)惠后的單價為3元，肉粽優(yōu)惠后的單價為7元；
②依題意得，
解得或，
，
∴，
．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找到題中的等量關(guān)系列出方程或方程組是解題的關(guān)鍵．

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