【真題自測】2
【考點(diǎn)突破】2
【考點(diǎn)1】長度或距離為定值2
【考點(diǎn)2】斜率或其表達(dá)式為定值4
【考點(diǎn)3】幾何圖形的面積為定值6
【分層檢測】7
【基礎(chǔ)篇】7
【能力篇】10
【培優(yōu)篇】10
真題自測
一、解答題
1．（2024·全國·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．
2．（2023·全國·高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
3．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．
(1)求的方程；
(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．
4．（2022·全國·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】長度或距離為定值
一、解答題
1．（24-25高三上·江西九江·開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上.
(1)求的方程；
(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若直線與相切，且，求的值.
2．（24-25高三上·江西·開學(xué)考試）已知雙曲線其左、右焦點(diǎn)分別為，若，點(diǎn)到其漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且，若成等比數(shù)列，則稱該雙曲線為“黃金雙曲線”，判斷雙曲線C是否為“黃金雙曲線”，并說明理由．
3．（24-25高三上·青海西寧·開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)，分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，不過原點(diǎn)的直線與直線平行，且與軸，軸分別交于點(diǎn)，，與橢圓相交于點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（?。┣笈c的面積之比；
（ⅱ）證明：為定值.
4．（24-25高三上·山東德州·開學(xué)考試）已知雙曲線焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，的斜率存在且不為0，直線與雙曲線交于兩點(diǎn).
(1)若的中點(diǎn)為，直線的斜率分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，求；
(2)若直線與直線的交點(diǎn)在直線上，且直線與直線的斜率和為0，證明：.
5．（24-25高三上·安徽·開學(xué)考試）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，滿足，當(dāng)為上頂點(diǎn)時(shí)，的面積為8.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（與不重合），直線分別與直線交于兩點(diǎn)，求的值.
6．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）橢圓E：的離心率為，過點(diǎn)的直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，．
(1)求橢圓E的方程．
(2)設(shè)A，B分別是橢圓E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的平行線分別與直線AB，NB交于C，D兩點(diǎn)．試探究D，C，M三點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否構(gòu)成等差數(shù)列，并說明理由．
反思提升：
探求圓錐曲線中的定線段的長的問題，一般用直接求解法，即先利用弦長公式把要探求的線段表示出來，然后利用題中的條件(如直線與曲線相切等)得到弦長表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式，把這個(gè)關(guān)系式代入弦長表達(dá)式中，化簡可得弦長為定值.
【考點(diǎn)2】斜率或其表達(dá)式為定值
一、解答題
1．（24-25高三上·北京·開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，左、右焦點(diǎn)分別為．過右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于點(diǎn)M、N，且的周長為16．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)記直線AM、BN的斜率分別為，證明：為定值．
2．（24-25高三上·陜西·開學(xué)考試）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為E，虛軸的上端點(diǎn)為P，且，．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)是雙曲線C上不同的兩點(diǎn)，Q是線段的中點(diǎn)，O是原點(diǎn)，直線的斜率分別為，證明：為定值．
3．（24-25高三上·遼寧鞍山·開學(xué)考試）已知橢圓，右焦點(diǎn)為且離心率為，直線，橢圓的左右頂點(diǎn)分別為為上任意一點(diǎn)，且不在軸上，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為.

(1)直線和直線的斜率分別記為，求證：為定值；
(2)求證：直線過定點(diǎn).
4．（23-24高二上·云南昆明·階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為M，N，且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求C的方程；
(2)動(dòng)點(diǎn)A在圓上，動(dòng)點(diǎn)B在雙曲線C上，設(shè)直線MA，MB的斜率分別為，若N，A，B三點(diǎn)共線，試探索之間的關(guān)系．
5．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知圓C的圓心坐標(biāo)為，且該圓經(jīng)過點(diǎn).
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線m交圓C于M，N兩點(diǎn)，若直線AM，AN的斜率之和為0，求證：直線m的斜率是定值，并求出該定值.
6．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為1，兩動(dòng)點(diǎn)在雙曲線上，線段的中點(diǎn)為．
(1)證明：直線的斜率為定值；
(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程．
反思提升：
第一步 求圓錐曲線的方程
第二步 特殊情況分類討論
第三步 聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程
第四步 應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系用參數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)
第五步 根據(jù)相關(guān)條件計(jì)算推證
第六步 明確結(jié)論
【考點(diǎn)3】幾何圖形的面積為定值
一、解答題
1．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，連接BF并延長交橢圓C于點(diǎn)橢圓P．
(1)若，，求橢圓C的方程
(2)若直線AB與直線AP的斜率之比是-2，證明：為定值，并求出定值．
2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測） 已知橢圓 與圓 在第一、第二象限分別交于 Q、P 兩點(diǎn)，且滿足
(1)求橢圓γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)A 是橢圓上的一點(diǎn)，若存在橢圓的弦 BC 使得 ，求證:四邊形OABC 的面積為定值.
3．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圓：，直線過點(diǎn)且與圓交于點(diǎn)B，C，中點(diǎn)為D，過中點(diǎn)E且平行于的直線交于點(diǎn)P，記P的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于，的對稱點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)分別為，，過的直線與交于點(diǎn)M，N，直線，相交于點(diǎn)Q.請從下列結(jié)論中，選擇一個(gè)正確的結(jié)論并給予證明.
①的面積是定值；②的面積是定值；③的面積是定值.
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過A?2,0，兩點(diǎn)．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)P，M，N三點(diǎn)在C的右支上，，，證明：
（?。┐嬖诔?shù)，滿足；
（ⅱ）的面積為定值．
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為.
(1)證明：；
(2)若，求的取值范圍.
6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，已知橢圓系方程：（，），、是橢圓的焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且．
(1)求的離心率，求出的方程．
(2)P為橢圓上任意一點(diǎn)，過P且與橢圓相切的直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q，求證：的面積為定值．
反思提升：
探求圓錐曲線中幾何圖形的面積的定值問題，一般用直接求解法，即可先利用三角形面積公式(如果是其他凸多邊形，可分割成若干個(gè)三角形分別求解)把要探求的幾何圖形的面積表示出來，然后利用題中的條件得到幾何圖形的面積表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式，把這個(gè)關(guān)系式代入幾何圖形的面積表達(dá)式中，化簡即可.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓：的上、下頂點(diǎn)分別為，，是橢圓上異于，的一點(diǎn)，直線和的斜率分別為，，則滿足的橢圓的方程是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江西鷹潭·二模）雙曲線：的左，右頂點(diǎn)分別為，曲線上的一點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（ ）
A．3B．C．D．
3．（23-24高三上·湖北·期末）拋物線的方程為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·四川內(nèi)江·期末）橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上且軸，則到直線的距離為（ ）
A．B．3C．D．
二、多選題
5．（22-23高三上·湖北咸寧·階段練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)F的一條直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為定值
B．若經(jīng)過點(diǎn)A和拋物線的頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)C，則軸
C．存在這樣的拋物線和直線AB，使得OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
D．若直線AB與x軸垂直，則
6．（22-23高二下·河南·階段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且的面積最大值是，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．橢圓的離心率是
B．若是左，右端點(diǎn)，則的最大值為
C．若點(diǎn)坐標(biāo)是，則過的的切線方程是
D．若過原點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，則
7．（22-23高二上·江蘇泰州·期中）已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，，設(shè)是，的一個(gè)交點(diǎn)，與的離心率分別是，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．的面積
C．若，則D．
三、填空題
8．（22-23高二上·全國·期中）若雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，是上的點(diǎn)（異于，），則直線與的斜率乘積等于 ．
9．（23-24高二上·廣西南寧·期中）已知拋物線，過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，則 ．
10．（22-23高三下·遼寧本溪·階段練習(xí)）如圖，已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P是直線上的一點(diǎn)，直線PB交C于另外一點(diǎn)M，記直線PA，AM的斜率分別為，，則 ．
四、解答題
11．（24-25高三上·云南大理·開學(xué)考試）已知橢圓過點(diǎn)，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且直線均不與軸垂直.
(1)求橢圓的方程.
(2)記直線的斜率為，直線的斜率為，證明:為定值.
(3)若為橢圓的上頂點(diǎn)，求的面積.
12．（20-21高三上·西藏日喀則·階段練習(xí)）設(shè)拋物線，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)．
(1)若l的斜率為2，求的值；
(2)求證：為定值．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，，分別為橢圓的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，若過且斜率存在的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與直線的斜率分別為和，則的值為（ ）
A．1B．3C．2D．
二、多選題
2．（24-25高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．拋物線的方程為：
B．拋物線的準(zhǔn)線方程為：
C．當(dāng)直線過焦點(diǎn)時(shí)，以為直徑的圓與軸相切
D．當(dāng)直線過焦點(diǎn)時(shí)，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切
三、填空題
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知曲線的方程為，設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于A、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，則直線的斜率與直線的斜率之和為 ．
四、解答題
4．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)到直線與直線的距離之積等于，且．記點(diǎn)M的軌跡方程為．
(1)求的方程；
(2)過上的點(diǎn)P作圓的切線PT，T為切點(diǎn)，求的最小值；
(3)已知點(diǎn)，直線交于點(diǎn)A，B，上是否存在點(diǎn)C滿足？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（24-25高三上·江西九江·開學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線與軸分別交于兩點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）（多選）已知橢圓，分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別為它的左右頂點(diǎn)，已知定點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．存在點(diǎn)，使得B．直線與直線斜率乘積為定值
C．有最小值D．的范圍為
三、填空題
3．（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，且.點(diǎn)為雙曲線與圓的交點(diǎn)，直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交雙曲線于另一點(diǎn)，且，則 ，雙曲線的離心率的最小值為 .
專題52 定值問題（新高考專用）
目錄
【真題自測】2
【考點(diǎn)突破】9
【考點(diǎn)1】長度或距離為定值9
【考點(diǎn)2】斜率或其表達(dá)式為定值19
【考點(diǎn)3】幾何圖形的面積為定值28
【分層檢測】39
【基礎(chǔ)篇】39
【能力篇】49
【培優(yōu)篇】56
真題自測
一、解答題
1．（2024·全國·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．
2．（2023·全國·高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
3．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．
(1)求的方程；
(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．
4．（2022·全國·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．
參考答案：
1．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)Fc,0，根據(jù)的坐標(biāo)及軸可求基本量，故可求橢圓方程.
（2）設(shè)，Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用的坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理化簡前者可得，故可證軸.
【詳解】（1）設(shè)Fc,0，由題設(shè)有且，故，故，故，
故橢圓方程為.
（2）直線的斜率必定存在，設(shè)，Ax1,y1，Bx2,y2，
由可得，
故，故，
又，
而，故直線，故，
所以
，
故，即軸.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
2．(1)
(2)證明見詳解
【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.
【詳解】（1）由題意可得，解得，
所以橢圓方程為.
（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，
聯(lián)立方程，消去y得：，
則，解得，
可得，
因?yàn)椋瑒t直線，
令，解得，即,
同理可得，
則
，
所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個(gè)步驟
（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；
（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；
（3）得出結(jié)論．
3．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）結(jié)合題意得到，，再結(jié)合，解之即可；
（2）依題意求得直線、與的方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，再根據(jù)題意求得，得到，由此得解.
【詳解】（1）依題意，得，則，
又分別為橢圓上下頂點(diǎn)，，所以，即，
所以，即，則，
所以橢圓的方程為.
（2）因?yàn)闄E圓的方程為，所以，
因?yàn)闉榈谝幌笙奚系膭?dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，

易得，則直線的方程為，
，則直線的方程為，
聯(lián)立，解得，即，
而，則直線的方程為，
令，則，解得，即，
又，則，，
所以
，
又，即，
顯然，與不重合，所以.
4．(1)；
(2).
【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；
（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.
【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，
此時(shí)，所以，
所以拋物線C的方程為；
（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式
設(shè)，直線，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直線，代入拋物線方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，
若要使最大，則，設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，
代入拋物線方程可得，
，所以，
所以直線.
[方法二]：直線方程點(diǎn)斜式
由題可知，直線MN的斜率存在.
設(shè),直線
由 得：，,同理，.
直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.
代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，
代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.
[方法三]：三點(diǎn)共線
設(shè)，
設(shè),若 P、M、N三點(diǎn)共線，由
所以，化簡得，
反之，若,可得MN過定點(diǎn)
因此，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，
由M、D、A三點(diǎn)共線，得，
由N、D、B三點(diǎn)共線，得，
則，AB過定點(diǎn)（4,0）
（下同方法一）若要使最大，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，所以直線.
【整體點(diǎn)評】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡化了聯(lián)立方程的運(yùn)算，通過尋找直線的斜率關(guān)系，由基本不等式即可求出直線AB的斜率，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解，也是通性通法；
法二：常規(guī)設(shè)直線方程點(diǎn)斜式，解題過程同解法一；
法三：通過設(shè)點(diǎn)由三點(diǎn)共線尋找縱坐標(biāo)關(guān)系，快速找到直線過定點(diǎn)，省去聯(lián)立過程，也不失為一種簡化運(yùn)算的好方法．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】長度或距離為定值
一、解答題
1．（24-25高三上·江西九江·開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上.
(1)求的方程；
(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若直線與相切，且，求的值.
2．（24-25高三上·江西·開學(xué)考試）已知雙曲線其左、右焦點(diǎn)分別為，若，點(diǎn)到其漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且，若成等比數(shù)列，則稱該雙曲線為“黃金雙曲線”，判斷雙曲線C是否為“黃金雙曲線”，并說明理由．
3．（24-25高三上·青海西寧·開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)，分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，不過原點(diǎn)的直線與直線平行，且與軸，軸分別交于點(diǎn)，，與橢圓相交于點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（?。┣笈c的面積之比；
（ⅱ）證明：為定值.
4．（24-25高三上·山東德州·開學(xué)考試）已知雙曲線焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，的斜率存在且不為0，直線與雙曲線交于兩點(diǎn).
(1)若的中點(diǎn)為，直線的斜率分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，求；
(2)若直線與直線的交點(diǎn)在直線上，且直線與直線的斜率和為0，證明：.
5．（24-25高三上·安徽·開學(xué)考試）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，滿足，當(dāng)為上頂點(diǎn)時(shí)，的面積為8.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（與不重合），直線分別與直線交于兩點(diǎn)，求的值.
6．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）橢圓E：的離心率為，過點(diǎn)的直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，．
(1)求橢圓E的方程．
(2)設(shè)A，B分別是橢圓E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的平行線分別與直線AB，NB交于C，D兩點(diǎn)．試探究D，C，M三點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否構(gòu)成等差數(shù)列，并說明理由．
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率定義和橢圓上的點(diǎn)以及的關(guān)系式列出方程組，解之即得；
（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，消元，根據(jù)題意，由推得，又由，寫出直線的方程，與直線聯(lián)立，求得點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算，將前式代入化簡即得.
【詳解】（1）設(shè)Fc,0，依題意，
解得
故的方程為.
（2）

如圖，依題意F1,0，聯(lián)立消去，可得，
依題意，需使，整理得（*）.
因?yàn)?，則直線的斜率為，則其方程為，
聯(lián)立解得即
故，
將（*）代入得，故.
2．(1)
(2)是，理由見詳解
【分析】（1）根據(jù)焦距可得，再根據(jù)點(diǎn)到其漸近線的距離可得，即可得方程；
（2）設(shè)，根據(jù)結(jié)合韋達(dá)定理可得，進(jìn)而求，結(jié)合等比中項(xiàng)分析判斷.
【詳解】（1）由題意可知：，即，
則，其中一條漸近線為，即，
因?yàn)辄c(diǎn)到其漸近線的距離為，則，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）雙曲線C為“黃金雙曲線”，理由如下：
設(shè)Px0,y0為雙曲線C的上一點(diǎn)，則，即，
可得，
若為雙曲線C的上左支一點(diǎn)，則，則，
且，可得；
若為雙曲線C的上右支一點(diǎn)，則，則，
且，可得；
由題意可知：，漸近線方程為，
則直線l的斜率存在，，

設(shè)，
聯(lián)立方程，消去y可得，
則，
因?yàn)椋瑒t，可得，
即，解得，
此時(shí)，，
且，
因?yàn)椋?br>即，則成等比數(shù)列，
所以該雙曲線為“黃金雙曲線”.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個(gè)步驟
（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；
（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值．
3．(1)
(2)（?。?；（ⅱ）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)離心率及三角形的面積列出方程組求解即可；
（2）設(shè)出直線方程，直線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，可得出根與系數(shù)的關(guān)系，（?。┍硎境鋈切蔚拿娣e，由根與系數(shù)的關(guān)系化簡可得解，（ⅱ）直接由兩點(diǎn)間的距離公式及根與系數(shù)的關(guān)系化簡即可得證.
【詳解】（1）根據(jù)題意，可得，解得，，
所以橢圓的方程為.
（2）如圖所示：
由橢圓方程知，，故，
設(shè)直線的方程為，則，，
聯(lián)立方程，消去，整理得，
，得且，
設(shè)，，則，.
（?。?，
，
與的面積之比為1.
（ⅱ）證明：
.
綜上，.
4．(1)16
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)離心率和，得到方程組，求出雙曲線方程，利用點(diǎn)差法進(jìn)行求解；
（2）設(shè)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，利用弦長公式得到，得到，由，所以，從而，證明出結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，
則，解得，
所以，
設(shè)
因?yàn)閮牲c(diǎn)都在雙曲線上，
所以，
兩式作差得，
整理得
則；

（2）設(shè)，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，
化簡得，
，
則，
故，
，
由，所以，
從而
，即.
【點(diǎn)睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
（2）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.
5．(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，取橢圓上頂點(diǎn)列式求出即可得解.
（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理計(jì)算即得.
【詳解】（1）不妨設(shè)橢圓上頂點(diǎn)，此時(shí)，
因?yàn)榈拿娣e為8，所以，聯(lián)立解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）依題意，直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線的方程為，
由消去并整理得，
設(shè)，則，
直線的方程為y=y1x1+4x+4，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，
則，同理得，
所以
.

6．(1)
(2)D，C，M三點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成等差數(shù)列，證明見解析
【分析】（1）由題意，得直線l的方程，根據(jù)直線l與橢圓相交弦長MN，求出的坐標(biāo)，從而由離心率與的坐標(biāo)列出等式求出和的值，進(jìn)而可得橢圓的方程；
（2）設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，將問題轉(zhuǎn)化成求證，按部就班求解即可．
【詳解】（1）由于離心率，所以，
當(dāng)過點(diǎn)的直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，直線斜率為，
則此時(shí)直線l的方程為，
設(shè)直線l與橢圓E交點(diǎn)，不妨取，則，且①，
因?yàn)?，所以②?br>由①②可得，，
所以可得，解得，
故橢圓E的方程為
（2）D，C，M三點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成等差數(shù)列，理由如下：
不妨設(shè)直線的方程為，,，,，，
因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以，
聯(lián)立，消去并整理得，
由韋達(dá)定理得，，
所以，
因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，
所以，而，
即，則，
故，，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
反思提升：
探求圓錐曲線中的定線段的長的問題，一般用直接求解法，即先利用弦長公式把要探求的線段表示出來，然后利用題中的條件(如直線與曲線相切等)得到弦長表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式，把這個(gè)關(guān)系式代入弦長表達(dá)式中，化簡可得弦長為定值.
【考點(diǎn)2】斜率或其表達(dá)式為定值
一、解答題
1．（24-25高三上·北京·開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，左、右焦點(diǎn)分別為．過右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于點(diǎn)M、N，且的周長為16．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)記直線AM、BN的斜率分別為，證明：為定值．
2．（24-25高三上·陜西·開學(xué)考試）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為E，虛軸的上端點(diǎn)為P，且，．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)是雙曲線C上不同的兩點(diǎn)，Q是線段的中點(diǎn)，O是原點(diǎn)，直線的斜率分別為，證明：為定值．
3．（24-25高三上·遼寧鞍山·開學(xué)考試）已知橢圓，右焦點(diǎn)為且離心率為，直線，橢圓的左右頂點(diǎn)分別為為上任意一點(diǎn)，且不在軸上，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為.

(1)直線和直線的斜率分別記為，求證：為定值；
(2)求證：直線過定點(diǎn).
4．（23-24高二上·云南昆明·階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為M，N，且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求C的方程；
(2)動(dòng)點(diǎn)A在圓上，動(dòng)點(diǎn)B在雙曲線C上，設(shè)直線MA，MB的斜率分別為，若N，A，B三點(diǎn)共線，試探索之間的關(guān)系．
5．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知圓C的圓心坐標(biāo)為，且該圓經(jīng)過點(diǎn).
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線m交圓C于M，N兩點(diǎn)，若直線AM，AN的斜率之和為0，求證：直線m的斜率是定值，并求出該定值.
6．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為1，兩動(dòng)點(diǎn)在雙曲線上，線段的中點(diǎn)為．
(1)證明：直線的斜率為定值；
(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程．
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）由已知條件結(jié)合橢圓定義、離心率公式，確定a,b,c的值，得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，消去得到關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到，，再把用，表示出來，化簡即可得解.
【詳解】（1）由的周長為16，及橢圓的定義，可知：，即，
又離心率為所以
．
所以橢圓C的方程為：．
（2）依題意，直線l與x軸不重合，
設(shè)l的方程為：．
聯(lián)立得：，
因?yàn)樵跈E圓內(nèi)，所以，
即，易知該不等式恒成立，
設(shè)，
由韋達(dá)定理得．
又，則

注意到，即：
.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
2．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)雙曲線C的半焦距為，利用雙曲線的定義結(jié)合勾股定理計(jì)算即可；
（2）設(shè)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示Q，再利用點(diǎn)差法計(jì)算即可.
【詳解】（1）不妨設(shè)雙曲線C的半焦距為，
，
，
解得，
則，
故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)，則，
為雙曲線C上的兩點(diǎn)，
兩式相減得，整理得，
則，
故為定值，定值為4．
3．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)離心率列式求，即可得橢圓方程，結(jié)合斜率公式分析證明；
（2）解法一：設(shè)，聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理，根據(jù)斜率關(guān)系列式求得，即可得結(jié)果；解法二：設(shè)，聯(lián)立方程求坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)直線方程分析定點(diǎn).
【詳解】（1）由題意，可得，
所以橢圓，且
設(shè)，則，即，
可得，
所以為定值.
（2）解法一：設(shè)，則，
可得，
設(shè)直線，，
聯(lián)立方程，消去x可得，
則，解得，
且，
則，
整理可得，
則，
因?yàn)?，則，解得，
所以直線過定點(diǎn)
解法二：設(shè)，則，
直線，可知與橢圓必相交，
聯(lián)立方程，消去y可得，
則，解得，
同理，
直線的斜率存在時(shí)，，
則，
令，；
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，則，解得；
綜上所述：直線過定點(diǎn)
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法
（1）動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題．解法：設(shè)動(dòng)直線方程（斜率存在）為由題設(shè)條件將t用k表示為，得，故動(dòng)直線過定點(diǎn)；
（2）動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€ C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．
2．求解定值問題的三個(gè)步驟
（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；
（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；
（3）得出結(jié)論．
4．(1)
(2)
【分析】（1）借助雙曲線定義計(jì)算即可得；
（2）設(shè)，則有，即可得，結(jié)合得到，即可得解.
【詳解】（1）由題意知，，由雙曲線定義得，
所以，所以C的方程為．
（2）設(shè)點(diǎn)，則，即，
由，則①，
又②，
因?yàn)镹，A，B三點(diǎn)共線，所以，由①②得，即．
5．(1)；
(2)證明見解析，.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出圓C的半徑即可作答.
（2）設(shè)出直線AM，AN的方程，與圓C的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再用斜率坐標(biāo)公式計(jì)算作答.
【詳解】（1）依題意，圓C的半徑，
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.
（2）設(shè)直線方程為：，由消去y并整理得：，
則有點(diǎn)，而直線：，同理，
于是得直線的斜率，
所以直線m的斜率是定值，該定值為.
6．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由題意可得的關(guān)系，求解即可.
（2）設(shè)，求得弦長與原點(diǎn)到直線的距離，由面積可求直線的方程.
【詳解】（1）由已知可得，解得，
所以雙曲線方程為，
設(shè)，
所以，兩式相減，可得，
又線段的中點(diǎn)為，所以，，
所以，解得，
所以直線的斜率為定值；
（2）由（1）設(shè)直線的方程為，
由，所以，整理可得，
所以，解得或，
所以，，

所以，
又原點(diǎn)到直線的距離為,
所以的面積為，
化簡可得，解得，
所以直線的方程．
反思提升：
第一步 求圓錐曲線的方程
第二步 特殊情況分類討論
第三步 聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程
第四步 應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系用參數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)
第五步 根據(jù)相關(guān)條件計(jì)算推證
第六步 明確結(jié)論
【考點(diǎn)3】幾何圖形的面積為定值
一、解答題
1．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，連接BF并延長交橢圓C于點(diǎn)橢圓P．
(1)若，，求橢圓C的方程
(2)若直線AB與直線AP的斜率之比是-2，證明：為定值，并求出定值．
2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測） 已知橢圓 與圓 在第一、第二象限分別交于 Q、P 兩點(diǎn)，且滿足
(1)求橢圓γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)A 是橢圓上的一點(diǎn)，若存在橢圓的弦 BC 使得 ，求證:四邊形OABC 的面積為定值.
3．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圓：，直線過點(diǎn)且與圓交于點(diǎn)B，C，中點(diǎn)為D，過中點(diǎn)E且平行于的直線交于點(diǎn)P，記P的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于，的對稱點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)分別為，，過的直線與交于點(diǎn)M，N，直線，相交于點(diǎn)Q.請從下列結(jié)論中，選擇一個(gè)正確的結(jié)論并給予證明.
①的面積是定值；②的面積是定值；③的面積是定值.
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過A?2,0，兩點(diǎn)．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)P，M，N三點(diǎn)在C的右支上，，，證明：
（?。┐嬖诔?shù)，滿足；
（ⅱ）的面積為定值．
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為.
(1)證明：；
(2)若，求的取值范圍.
6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，已知橢圓系方程：（，），、是橢圓的焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且．
(1)求的離心率，求出的方程．
(2)P為橢圓上任意一點(diǎn)，過P且與橢圓相切的直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q，求證：的面積為定值．
參考答案：
1．(1)
(2)證明見解析，.
【分析】（1）由和在橢圓上求出，即可.
（2）求出直線BF的方程，并與橢圓方程聯(lián)立求得點(diǎn)坐標(biāo)，再由給定條件結(jié)合面積公式求解即可．
【詳解】（1）由，，得：，解得，
又點(diǎn)在橢圓上，則，解得，
所以橢圓的方程為．
（2）
證明:依題意，令，直線，由，得，
直線AB的斜率，直線AP的斜率，
則，即，有，得，，
于是得點(diǎn)，，，
所以為定值.
2．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)橢圓和圓的對稱性可得，，再代入橢圓和圓的方程中，解方程組求出和的值即可；
（2）設(shè)，，易知四邊形是平行四邊形，設(shè)直線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，弦長公式以及橢圓的方程，推出，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，表示出四邊形的面積，然后化簡即可得定值．
【詳解】（1）由對稱性知，，
因?yàn)?，，所以△是邊長為1的等邊三角形，
因?yàn)槲挥诘谝幌笙?，所?，
代入橢圓的方程有，
代入圓的方程有，
聯(lián)立解得，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）證明：設(shè)，，則直線的斜率為，且，即，
因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，?br>設(shè)直線的方程為，,，,，
聯(lián)立，得，
所以，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
整理得，即，
而點(diǎn)到直線的距離為，
所以四邊形的面積，為定值．
3．(1)
(2)結(jié)論③正確，證明見解析
【分析】（1）由幾何性質(zhì)知到，兩點(diǎn)的距離之和為定值可得的軌跡為橢圓.
（2）設(shè)直線：，Mx1,y1，Nx2,y2，表示出直線，的方程并聯(lián)立求得的橫坐標(biāo)為定值，進(jìn)而可得的面積是定值.
【詳解】（1）
由題意得，，，
因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以，即，
又，所以，
又E為的中點(diǎn)，所以，
所以，
所以點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓（左、右頂點(diǎn)除外），
設(shè)：，其中，，
則，，，，
故的方程為：.
（2）
結(jié)論③正確，下證：的面積是定值.
由題意得，，，，，且直線的斜率不為0，
可設(shè)直線：，Mx1,y1，Nx2,y2，且，，
由，得，
所以，，
所以，
直線的方程為：y=y1x1+2x+2，直線的方程為：，
由，得，
解得，
故點(diǎn)Q在直線上，所以Q到的距離，
因此的面積是定值為.
4．(1)
(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析
【分析】（1）設(shè)C的方程為，其中．由C過A，B兩點(diǎn)，代入解得，即可.
（2）（ⅰ）設(shè)Px0,y0，Mx1,y1，Nx2,y2，其中，，．因?yàn)?，所以直線BM的斜率為，方程為．
聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理得到，．
同理，．再結(jié)合向量運(yùn)算即可解決.
（ⅱ）結(jié)合前面結(jié)論，運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式，三角形面積公式可解.
【詳解】（1）設(shè)C的方程為，其中．
由C過A，B兩點(diǎn)，故，，解得，．
因此C的方程為．
（2）（?。┰O(shè)Px0,y0，Mx1,y1，Nx2,y2，其中，，i＝0，1，2．

因?yàn)?，所以直線BM的斜率為，方程為．
由，得，
所以，
．
因此．
同理可得直線AN的斜率為，直線AN的方程為．
由，得，
所以，
，
因此
．
則，即存在，滿足．
（ⅱ）由（?。?，直線MN的方程為，
所以點(diǎn)P到直線MN的距離．
而，
所以的面積為定值．
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題屬于中難題，考查直線與雙曲線．本題第（1）小問設(shè)問基礎(chǔ)，但需要注意所設(shè)方程的形式；第（2）（?。┬栐陬}干條件翻譯上未設(shè)置較多障礙，但是對4個(gè)坐標(biāo)分量的求解非常考驗(yàn)學(xué)生的代數(shù)基本功和計(jì)算能力，區(qū)分度較大．
5．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）設(shè)出直線，聯(lián)立后消去得與有關(guān)的韋達(dá)定理后結(jié)合斜率公式計(jì)算即可得；
（2）借助（1）中的結(jié)論，將面積用未知數(shù)表達(dá)后結(jié)合換元法，借助函數(shù)性質(zhì)求最最值即可得.
【詳解】（1）設(shè)的方程為，聯(lián)立，
消去，得，需滿足，
設(shè)，則，
易知，
所以，
同理；
（2）因?yàn)椋瑒t由（1）知，，
即，
由與軸不垂直可得，所以，即，
所以，即，
整理得，
，
整理得，解得或，
因?yàn)樵谳S的兩側(cè)，所以，解得，
又時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因此，直線恒過點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)，則，由與軸不垂直得，
且，
因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，所以的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
6．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）先根據(jù)橢圓，，，求得a，b，進(jìn)而得到橢圓的方程求解；
（2）作伸縮變換，使橢圓變?yōu)閳A，橢圓變?yōu)閳A，由題意得到，再由點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q，求解.
【詳解】（1）解：橢圓的方程為，即，
∵，∴，，
∴，即．
又，
∴，，
∴橢圓的方程為．
∴的離心率，
橢圓的方程為．
（2）作伸縮變換，
則橢圓變?yōu)閳A，橢圓變?yōu)閳A．
如圖所示．
∵直線MN與橢圓相切于點(diǎn)P，則變換后直線與圓相切于點(diǎn)，此時(shí)．
而，，則，
從而，
故，于是．
又點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q，則，
即的面積為定值．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題第二問通過作伸縮變換，將橢圓問題轉(zhuǎn)化為圓的問題，易得，再利用對稱性，由而得解.
反思提升：
探求圓錐曲線中幾何圖形的面積的定值問題，一般用直接求解法，即可先利用三角形面積公式(如果是其他凸多邊形，可分割成若干個(gè)三角形分別求解)把要探求的幾何圖形的面積表示出來，然后利用題中的條件得到幾何圖形的面積表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式，把這個(gè)關(guān)系式代入幾何圖形的面積表達(dá)式中，化簡即可.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓：的上、下頂點(diǎn)分別為，，是橢圓上異于，的一點(diǎn)，直線和的斜率分別為，，則滿足的橢圓的方程是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江西鷹潭·二模）雙曲線：的左，右頂點(diǎn)分別為，曲線上的一點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（ ）
A．3B．C．D．
3．（23-24高三上·湖北·期末）拋物線的方程為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·四川內(nèi)江·期末）橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上且軸，則到直線的距離為（ ）
A．B．3C．D．
二、多選題
5．（22-23高三上·湖北咸寧·階段練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)F的一條直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為定值
B．若經(jīng)過點(diǎn)A和拋物線的頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)C，則軸
C．存在這樣的拋物線和直線AB，使得OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
D．若直線AB與x軸垂直，則
6．（22-23高二下·河南·階段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且的面積最大值是，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．橢圓的離心率是
B．若是左，右端點(diǎn)，則的最大值為
C．若點(diǎn)坐標(biāo)是，則過的的切線方程是
D．若過原點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，則
7．（22-23高二上·江蘇泰州·期中）已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，，設(shè)是，的一個(gè)交點(diǎn)，與的離心率分別是，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．的面積
C．若，則D．
三、填空題
8．（22-23高二上·全國·期中）若雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，是上的點(diǎn)（異于，），則直線與的斜率乘積等于 ．
9．（23-24高二上·廣西南寧·期中）已知拋物線，過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，則 ．
10．（22-23高三下·遼寧本溪·階段練習(xí)）如圖，已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P是直線上的一點(diǎn)，直線PB交C于另外一點(diǎn)M，記直線PA，AM的斜率分別為，，則 ．
四、解答題
11．（24-25高三上·云南大理·開學(xué)考試）已知橢圓過點(diǎn)，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且直線均不與軸垂直.
(1)求橢圓的方程.
(2)記直線的斜率為，直線的斜率為，證明:為定值.
(3)若為橢圓的上頂點(diǎn)，求的面積.
12．（20-21高三上·西藏日喀則·階段練習(xí)）設(shè)拋物線，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)．
(1)若l的斜率為2，求的值；
(2)求證：為定值．
參考答案：
1．C
【分析】利用點(diǎn)在橢圓上及兩點(diǎn)斜率公式轉(zhuǎn)化計(jì)算得，再判定選項(xiàng)即可.
【詳解】由題意可知，．設(shè)（），則，
所以，所以，
所以．結(jié)合選項(xiàng)可得橢圓的方程可以為．
故選:C．
2．B
【分析】依題求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，得，寫出，利用點(diǎn)在雙曲線上，化簡的表達(dá)式，計(jì)算即得.
【詳解】
如圖，,不妨設(shè)，則，
依題意，，因點(diǎn)在雙曲線上，故有，
于是，.
故選：B.
3．C
【分析】設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用斜率坐標(biāo)公式結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即得.
【詳解】顯然直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，
由消去y并整理得，則，
所以.
故選：C
4．A
【分析】先求出、的坐標(biāo)，再由軸，可求出，再由勾股定理可求出，然后利用等面積法可求得結(jié)果.
【詳解】由，得，
所以，
所以，，
當(dāng)時(shí)，，解得，
因?yàn)檩S，所以，
所以，
設(shè)到直線的距離為，
因?yàn)?，所以?br>解得，
故選：A
5．ABD
【分析】由已知可得AB的斜率不等于0，所以設(shè)直線方程為，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可判斷A；求得直線OA方程和準(zhǔn)線方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)C，可判斷B；若，即，運(yùn)用韋達(dá)定理和點(diǎn)滿足拋物線方程，解方程即可判斷C；當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，，可求得，可判斷D．
【詳解】
由已知可得AB的斜率不等于0，
所以設(shè)AB的方程為，
聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x得，
所以為定值，即A正確，
經(jīng)過點(diǎn)A和拋物線的頂點(diǎn)的直線的方程為，與準(zhǔn)線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，
因?yàn)椋?br>所以，即軸，所以B正確，
因?yàn)椋?br>所以不可能，即C錯(cuò)誤，
當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，，
則由拋物線定義得，所以D正確，
故選:ABD．
6．BD
【分析】利用已知解出得到橢圓方程，由離心率的公式計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證選項(xiàng)A；利用橢圓定義計(jì)算驗(yàn)證選項(xiàng)B；通過聯(lián)立方程組求切線方程驗(yàn)證選項(xiàng)C；運(yùn)用點(diǎn)差法驗(yàn)證選項(xiàng)D.
【詳解】的面積最大值是，則，橢圓方程.
，橢圓離心率，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若是橢圓的左，右端點(diǎn)，則，以為焦點(diǎn)作新橢圓， P為兩個(gè)橢圓的交點(diǎn)，當(dāng)新橢圓短軸最長時(shí)最大，所以當(dāng)P為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，有最大值為，B選項(xiàng)正確；
點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)的的切線斜率顯然存在，設(shè)切線方程為，
代入橢圓方程消去y得，
由，解得，
則切線方程為，即，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
設(shè)，都在橢圓上，有和，
兩式相減得，，，
，D選項(xiàng)正確.
故選:BD.
7．ABD
【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形與橢圓雙曲線的聯(lián)系，結(jié)合余弦定理，面積公式即可求解.
【詳解】設(shè)，，又∵，
即，
又∵，，令，
∴，，
∴，故A正確；
，，
，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，得，
∴，故C不正確．
設(shè)，證明橢圓的焦點(diǎn)三角形面積為，
記，，
在中，由余弦定理有：，
∴，
又由橢圓定義有：，
∴；∴，
又∵，
∴
，
設(shè)，證明雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積為，
記，，
在中，由余弦定理有：，
∴，
又由雙曲線定義有：，
∴；∴，
又∵，
∴
，
由，故D正確．
故選:ABD．
8．/
【分析】利用點(diǎn)在雙曲線上化簡斜率乘積的表達(dá)式可求解.
【詳解】由題意得，，，
不妨設(shè),則．
故答案為：
9．4
【分析】設(shè)出過點(diǎn)的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解即得.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線方程為，
由消去x并整理得，顯然，
所以.
故答案為：4
10．
【分析】設(shè)，由斜率公式可得，設(shè)，則有，由，可得.
【詳解】，，設(shè)，
則，直線PB的斜率．
設(shè)，則有，
由，，所以，
所以，故．
故答案為：
11．(1)
(2)證明見解析
(3)6
【分析】（1）根據(jù)題意得到，再解方程組即可.
（2）設(shè)，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得到，再利用根系關(guān)系求證為定值即可.
（3）根據(jù)弦長公式得到或，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到，即可得到答案.
【詳解】（1）由題意得解得.
故橢圓的方程為.
（2）設(shè)，直線的方程為.
由得，
由,得,
則.
因?yàn)橹本€PM,PN均不與軸垂直.,所以，則且,
所以
為定值.
（3）由（2）易得，
解得或.
當(dāng)時(shí),直線經(jīng)過點(diǎn)，不符合題意，舍去.
則時(shí)，此時(shí)直線的方程為.
點(diǎn)到直線的距離,
故的面積.
12．(1)5
(2)證明見解析
【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用焦點(diǎn)弦長公式，即可求解；
（2）首先設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，并利用韋達(dá)定理表示，即可求解.
【詳解】（1）過點(diǎn)F1,0，且直線的斜率為2的直線為，
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
聯(lián)立，得，，
；
（2）設(shè)過點(diǎn)F1,0的直線，

聯(lián)立，得，，
則，
.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，，分別為橢圓的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，若過且斜率存在的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與直線的斜率分別為和，則的值為（ ）
A．1B．3C．2D．
二、多選題
2．（24-25高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．拋物線的方程為：
B．拋物線的準(zhǔn)線方程為：
C．當(dāng)直線過焦點(diǎn)時(shí)，以為直徑的圓與軸相切
D．當(dāng)直線過焦點(diǎn)時(shí)，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切
三、填空題
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知曲線的方程為，設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于A、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，則直線的斜率與直線的斜率之和為 ．
四、解答題
4．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)到直線與直線的距離之積等于，且．記點(diǎn)M的軌跡方程為．
(1)求的方程；
(2)過上的點(diǎn)P作圓的切線PT，T為切點(diǎn)，求的最小值；
(3)已知點(diǎn)，直線交于點(diǎn)A，B，上是否存在點(diǎn)C滿足？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
參考答案：
1．B
【分析】由已知可得關(guān)于，，的方程組，從而可得，的值，從而可得橢圓的方程；設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用兩點(diǎn)的斜率公式表示出和，作比，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．
【詳解】由題意可知，，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
設(shè)直線：，聯(lián)立直線和橢圓方程，
，得
，記，，
則，
由題意知和．則，，
則，
所以．
故選：B
2．ACD
【分析】對于A,B,根據(jù)拋物線的定義即可求解p,進(jìn)而知道拋物線方程和準(zhǔn)線方程；對于C,D，由拋物線的性質(zhì)易知該結(jié)論正確.證明過程見詳解.
【詳解】對于A，如圖所示，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，

則由拋物線的定義可知:,
解得 .
拋物線的方程為:,故正確;
對于，拋物線的準(zhǔn)線方程為，故錯(cuò)誤；
對于 ,如圖所示，取的中點(diǎn)C,過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為D,

易知拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，則,,
所以,
所以以為直徑的圓與軸相切，故C正確；
對于, 當(dāng)直線過拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線相交于兩點(diǎn)時(shí)，直線的斜率存在，
假設(shè),設(shè),AB的中點(diǎn)為,則 ，
如圖所示，作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，則,

聯(lián)立，消去并整理可得，
所以，
所以所以,
,
,
,
以 AB 為直經(jīng)的圓與準(zhǔn)線相切，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：如圖所示，

已知拋物線,過其焦點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)的直線，則有如下常用結(jié)論：
（1）
（2）若直線AB的傾斜角為，則;
（3）以為直徑的圓都與軸相切，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；
（4）;
3．0
【分析】先設(shè)出直線的方程，再分別將直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法去表達(dá)，解之即可求得直線的斜率與直線的斜率之和.
【詳解】如圖所示，設(shè)，
設(shè)直線的方程為．
聯(lián)立，
化簡得．
則．
故．
則
設(shè)的方程為，
同理．
因?yàn)椋裕?br>化簡得，
所以，即．因?yàn)椋?br>所以．
故答案為：0
4．(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，即可代入化簡求解，
（2）由相切，利用勾股定理，結(jié)合點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式可得，即可由二次函數(shù)的性質(zhì)求解，
（3）聯(lián)立直線與雙曲線方程得到韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)向量的坐標(biāo)關(guān)系可得，將其代入雙曲線方程即可求解.
【詳解】（1）根據(jù)到直線與直線的距離之積等于，可得，化簡得，
由于，故，即.
（2）設(shè)，，
故當(dāng)時(shí)，最小值為2
（3）聯(lián)立與可得，
設(shè)，
則，
故
設(shè)存在點(diǎn)C滿足，則，
故，
由于在，故，
化簡得，即，解得或（舍去），
由于，解得且，
故符合題意，由于，故，
故,故，
故存在，使得
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（24-25高三上·江西九江·開學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線與軸分別交于兩點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）（多選）已知橢圓，分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別為它的左右頂點(diǎn)，已知定點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．存在點(diǎn)，使得B．直線與直線斜率乘積為定值
C．有最小值D．的范圍為
三、填空題
3．（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，且.點(diǎn)為雙曲線與圓的交點(diǎn)，直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交雙曲線于另一點(diǎn)，且，則 ，雙曲線的離心率的最小值為 .
參考答案：
1．C
【分析】通過聯(lián)立方程組的方法求得的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得.
【詳解】依題意，拋物線，即，則，設(shè)，
直線，聯(lián)立得，則.
而直線，即，
令，則，即，令，則，故，
則，故.
故選：C

【點(diǎn)睛】求解拋物線的切線方程，可以聯(lián)立切線的方程和拋物線的方程，然后利用判別式來求解，也可以利用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行求解.求解拋物線與直線有關(guān)問題，可以利用聯(lián)立方程組的方法來求得公共點(diǎn)的坐標(biāo).
2．BCD
【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，可得判定A錯(cuò)誤；設(shè)Px,y，根據(jù)橢圓的方程，以及斜率公式化簡運(yùn)算，可判定B正確；根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合基本不等式，可判定C正確；設(shè)直線與橢圓相交于，結(jié)合橢圓的定義和三角形的性質(zhì)，可得判定D正確.
【詳解】對于A中，由橢圓，可得，
且，可得，所以，所以A錯(cuò)誤；
對于B中，設(shè)Px,y，則，且，可得，
則為定值，所以B正確.
對于C中，由橢圓的定義，可得，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立，所以C正確.
對于D中，由點(diǎn)Q在橢圓外，設(shè)直線與橢圓相交于，
如圖所示，則，
因?yàn)?，且?br>可得，即，
所以，
所以，所以D正確.
故選：BCD.

3． 3
【分析】根據(jù)換元法設(shè)點(diǎn)結(jié)合圓的方程化簡得出比值，焦點(diǎn)三角形應(yīng)用余弦定理結(jié)合三角函數(shù)值域得出最小值即可.
【詳解】由題意知M在雙曲線右支上，，
設(shè)，設(shè)點(diǎn)，則，
即，
則，
即，
又，
所以，所以，所以.
點(diǎn)在雙曲線C右支上，所以，所以.
由對稱性可得為的中點(diǎn)，
在中，，
即，
又在中，，
所以，
由于，故，
故，
所以雙曲線的離心率的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)換元法設(shè)點(diǎn)結(jié)合圓的方程化簡得出比值，焦點(diǎn)三角形應(yīng)用余弦定理結(jié)合三角函數(shù)值域得出最小值即可
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題號
1
2
3
4
5
6
7



答案
C
B
C
A
ABD
BD
ABD



題號
1
2








答案
B
ACD








題號
1
2








答案
C
BCD








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