專題42 向量法求距離、探索性及折疊問題-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專用）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

【真題自測(cè)】2
【考點(diǎn)突破】9
【考點(diǎn)1】利用向量法求距離9
【考點(diǎn)2】立體幾何中的探索性問題21
【考點(diǎn)3】折疊問題32
【分層檢測(cè)】43
【基礎(chǔ)篇】43
【能力篇】64
【培優(yōu)篇】72
真題自測(cè)
一、解答題
1．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

(1)求證平面；
(2)求平面與平面的夾角余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
2．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；
(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．
3．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．
4．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．
(1)證明：；
(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．
參考答案：
1．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得，結(jié)合線面平行判定定理即可得證；
（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計(jì)算即可得解；
（3）借助空間中點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可得解.
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，
由是的中點(diǎn)，故，且，
由是的中點(diǎn)，故，且，
則有、，
故四邊形是平行四邊形，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
有A0,0,0、、、、C1,1,0、，
則有、、，
設(shè)平面與平面的法向量分別為、，
則有，，
分別取，則有、、，，
即、，
則，
故平面與平面的夾角余弦值為；
（3）由，平面的法向量為，
則有，
即點(diǎn)到平面的距離為.
2．(1)證明見解析；
(2)1
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；
（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，
，
，
又不在同一條直線上，
.
（2）設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，
令，得，
，
設(shè)平面的法向量，
則，
令，得，
，
，
化簡(jiǎn)可得，，
解得或，
或，
.
3．(1)證明過程見解析
(2)與平面所成的角的正弦值為
【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；
（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；
在和中，因?yàn)椋?br>所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；
又因?yàn)槠矫?，，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?br>所以，所以，
當(dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋允堑冗吶切危?br>因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，
因?yàn)?，所?
在中，，所以.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，
又因?yàn)?，所以?br>所以，
設(shè)與平面所成的角為，
所以，
所以與平面所成的角的正弦值為.
4．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；
（2）由（1），根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角即可.
【詳解】（1）由，
得，又，在中，
由余弦定理得,
所以，則，即，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
故；
（2）連接，由，則，
在中，，得，
所以，由（1）知，又平面，
所以平面，又平面，
所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，
由是的中點(diǎn)，得，
所以，
設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，
則，，
令，得，
所以，
所以，
設(shè)平面和平面所成角為，則，
即平面和平面所成角的正弦值為.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】利用向量法求距離
一、解答題
1．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直四棱柱中，底面四邊形為梯形，，.
(1)證明： ;
(2)若直線 AB與平面所成角的正弦值為，點(diǎn) 為線段 BD上一點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離.
2．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，半圓柱與四棱錐拼接而成的組合體中，是半圓弧上（不含）的動(dòng)點(diǎn)，為圓柱的一條母線，點(diǎn)在半圓柱下底面所在平面內(nèi)，.
(1)求證：；
(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值；
(3)求點(diǎn)到直線距離的最大值.
3．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，平面平面，．設(shè)中點(diǎn)為，過點(diǎn)的平面同時(shí)垂直于平面與平面．
(1)求
(2)求平面與平面夾角的正弦值；
(3)求平面截四棱錐所得多邊形的周長(zhǎng)．
4．（2024·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)在棱上，且．
(1)求四棱錐的表面積
(2)若點(diǎn)在棱上，且到平面的距離為，求點(diǎn)到直線的距離．
5．（23-24高三下·湖南·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面，.

(1)證明：平面；
(2)若點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)，M是直線上的一點(diǎn)，N是直線上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，N使得?請(qǐng)說明理由.
6．（2024·天津和平·二模）如圖，三棱臺(tái)中，為等邊三角形，，平面ABC，點(diǎn)M，N，D分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)，．
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求點(diǎn)D到平面的距離．
參考答案：
1．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）因?yàn)?，因此只需證明平面，只需證明（由題可證），，由勾股定理易證.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先由直線 AB與平面所成角的正弦值為，求出，再證明平面，由此得點(diǎn)M到平面的距離等價(jià)于點(diǎn)到平面的距離，再由點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以，所以,
因?yàn)闉橹彼睦庵?br>所以,
因?yàn)?，平面?br>所以平面，
因?yàn)?，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所?br>（2）由（1）及題意知，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
因?yàn)椋?設(shè)，
所以
所以,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則，
令，則，所以
設(shè)直線 AB與平面所成的角為，
則，
解得，所以
所以點(diǎn)到平面的距離為
因?yàn)?，所?br>因?yàn)椴辉谄矫妫云矫妫?br>因?yàn)镸在線段上，所以點(diǎn)M到平面的距離等價(jià)于點(diǎn)到平面的距離，為
故點(diǎn)M到平面的距離.
2．(1)證明見解析；
(2)；
(3)
【分析】（1）取弧中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.
（2）由數(shù)據(jù)求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面FOD與平面的法向量，利用面面角的向量求法求解.
（3）利用空間向量求出點(diǎn)到直線距離的函數(shù)關(guān)系，再求出最大值即可.
【詳解】（1）取弧中點(diǎn)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
連接，在中，，，則，
于是，
設(shè)，則，其中，，
因此，即，
所以.
（2）由平面平面，得，
又，則，而平面，
則平面，即為平面的一個(gè)法向量，
，由平面，得，
又，解得，此時(shí)，
設(shè)是平面的法向量，則，取，得，
設(shè)是平面的法向量，則，取，得，
則平面FOD與平面夾角的余弦值為.
（3），
則點(diǎn)到直線的距離，
當(dāng)時(shí)，即的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取最大值為
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分別求出兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夾角，結(jié)合圖形得到二面角的大?。虎谡遗c交線垂直的直線的方向向量，分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與交線垂直且以垂足為起點(diǎn)的直線的方向向量，則這兩個(gè)向量的夾角就是二面角的平面角．
3．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）設(shè)，由題意和余弦定理可得，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角；
（3）先根據(jù)空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系找出截面，然后求周長(zhǎng)即可．
【詳解】（1）設(shè)，，，則，
在中，，
整理得，
由題意得，
則，
即，
解得，
因此，
即．
（2）作中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，
所以，，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，而，，平面，故，，，
因?yàn)椋?br>所以四邊形、四邊形都是平行四邊形，
故，，而，所以，
又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，在平面中也有，
由于，故，，，，
由勾股定理得：，，
故以為原點(diǎn)，，，為，，軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，，，
設(shè)平面，平面，平面，平面的法向量分別為，，，
則，即，取，則，
同理可得，
因?yàn)槠矫嫱瑫r(shí)垂直于平面，平面，所以，，
即，取，則，
平面的法向量是，則，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
故，
因此平面與平面夾角的正弦值為．
（3）設(shè)是平面上一點(diǎn)，因?yàn)槠矫孢^點(diǎn)，則可以設(shè)，
這是因?yàn)榇藭r(shí)，因此可設(shè)，
因?yàn)楫?dāng)平面與平面相交時(shí)，其交線必為直線且唯一，故只需討論平面與四棱錐的公共部分，
當(dāng)時(shí)，在直線上，
因此平面過直線，故平面與平面，平面交于直線，與棱，分別交于，，
故只需討論平面與棱，的交點(diǎn)：設(shè)平面與棱，的交點(diǎn)分別為，，
則設(shè)，，
令，則，
解得，即，
同理可得，
故平面與平面交于，平面交于，因此平面截四棱錐所得截面多邊形為四邊形，
故周長(zhǎng)為．
4．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形以及梯形面積公式即可求解，
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間距離的向量法求解即可.
【詳解】（1）由，,所以,
,
所以,,
故四棱錐的表面積為
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則,0,，,4,， ,4,，，其中，
則，
設(shè)平面的法向量為，則，
即令，則平面的法向量，
設(shè)到平面的距離為，，
由于，解得，
故，
點(diǎn)到直線的距離為．
5．(1)證明見解析
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，進(jìn)而可得線線垂直，根據(jù)線面垂直的判定即可求解
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解異面直線的距離，即可求解.
【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)O，因?yàn)椋瑒t，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面?br>所以平面，
又平面，
所以，又，平面，平面，，
所以平面.

（2）因?yàn)?，O為的中點(diǎn)，，所以，
過點(diǎn)O作交于點(diǎn)E，則由平面,平面,可得，
則以O(shè)為原點(diǎn)，，，分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則O0,0,0，，，，，
所以，，，
設(shè)與，都重直的向量為，
則得
令，則，
設(shè)直線與直線的距離為d，
則，
則不存在點(diǎn)M和N使得.
6．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用，結(jié)合平面，得出平面；
（2）利用向量的夾角公式即可求解；
（3）利用點(diǎn)到平面的距離的向量法公式，即可求解．
【詳解】（1）因?yàn)閭?cè)棱底面，為等邊三角形，所以過點(diǎn)作，則以為點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)長(zhǎng)為，則
，，
因?yàn)?，所以，則有，．
所以，，，，，，．
證明：因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
又因?yàn)椋?br>所以，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫妫?br>（2）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，則，
有，又，設(shè)直線與平面所成角為，
，
則直線與平面所成角的正弦值為．
（3）因?yàn)?，平面的法向量為?br>所以，點(diǎn)D到平面的距離為．
反思提升：
(1)向量法求點(diǎn)到直線距離的步驟
①根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量v.
②在直線上任取一點(diǎn)M(可選擇特殊便于計(jì)算的點(diǎn)).計(jì)算點(diǎn)M與直線外的點(diǎn)N的方向向量eq \(MN,\s\up6(→)).
③垂線段長(zhǎng)度d＝eq \r(\(MN,\s\up6(→))2－（\(MN,\s\up6(→))·v）2).
(2)求點(diǎn)到平面的距離的常用方法
①直接法：過P點(diǎn)作平面α的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個(gè)三角形中，解三角形求出PQ的長(zhǎng)度就是點(diǎn)P到平面α的距離.
②轉(zhuǎn)化法：若點(diǎn)P所在的直線l平行于平面α，則轉(zhuǎn)化為直線l上某一個(gè)點(diǎn)到平面α的距離來求.
③等體積法.
④向量法：設(shè)平面α的一個(gè)法向量為n，A是α內(nèi)任意點(diǎn)，則點(diǎn)P到α的距離為d＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|).
【考點(diǎn)2】立體幾何中的探索性問題
一、解答題
1．（2024·貴州貴陽·二模）由正棱錐截得的棱臺(tái)稱為正棱臺(tái).如圖，正四棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn)，，側(cè)面與底面所成角為.

(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，棱柱中，側(cè)棱底面，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)設(shè)，在平面上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，指出P點(diǎn)的位置：若不存，請(qǐng)說明理由.
3．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面平面，，.
(1)若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求異面直線，所成角的余弦值；
(2)求平面和平面的夾角的余弦值；
(3)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值?若不存在，說明理由.
4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱中，.
(1)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線平面，若存在，求出長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
(2)已知點(diǎn)在線段上，且，求二面角的余弦值.
5．（2024·湖南常德·一模）已知直三棱柱中，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，.
(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面所成的角的余弦值為?
6．（2024·湖南·三模）如圖，四棱錐的底面是梯形，平面.
(1)求證：平面平面；
(2)在棱上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的余弦值為.若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
參考答案：
1．(1)證明見解析
(2)存在，且
【分析】（1）借助中位線的性質(zhì)可得線線平行，即可得線面平行，利用面面平行的判定定理即可得面面平行，再由面面平行的性質(zhì)定理即可得證；
（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量可用未知數(shù)表示出直線與平面所成的角的正弦值，計(jì)算即可得解.
【詳解】（1）連接、，由分別為的中點(diǎn)，則，
又平面，平面，故平面，
正四棱臺(tái)中，且，
則四邊形為平行四邊形，故，
又平面，平面，故平面，
又，且平面，平面，
故平面平面，又平面，故平面；

（2）正四棱臺(tái)中，上下底面中心的連線底面，
底面為正方形，故，
故可以為原點(diǎn)，、、為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由，側(cè)面與底面所成角為，
則，
則，，，
假設(shè)在線段上存在點(diǎn)滿足題設(shè)，則，
設(shè)，則，
，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，
則，令，則，，即，
因?yàn)橹本€與平面所成的角的正弦值為，
故，
解得或（舍），故，
故線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，
此時(shí)線段的長(zhǎng)為.

2．(1)證明見解析；
(2)當(dāng)時(shí)，為棱的中點(diǎn).
【分析】（1）利用三角形中位線性質(zhì)、線面平行的判定推理即得.
（2）取AB中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間位置關(guān)系的向量證明求解即得．
【詳解】（1）由E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，得，
而平面，平面，
所以平面.
（2）棱柱中，側(cè)棱底面，
取AB中點(diǎn)O，中點(diǎn)M，連接，
則，平面，而平面，則有，
又，則，即直線兩兩垂直，
以O(shè)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
假設(shè)在平面上存在點(diǎn)P，使，設(shè)，
，
，即，顯然，
由，得，因此，即，此時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，存在唯一的點(diǎn)，即棱的中點(diǎn)，使.
3．(1)
(2)
(3)不存在，理由見解析
【分析】（1）取中點(diǎn)，證得平面，進(jìn)而得到，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；
（2）由（1），求得平面和平面的法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；
（3）設(shè)，求得，求得平面的一個(gè)法向量，結(jié)合平面，列出方程組，即可求解.
【詳解】（1）解：取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋?br>因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫?，平面，所以，?br>因?yàn)?，，，所以，?br>所以四邊形是平行四邊形，所以，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則O0,0,0，A1,0,0，，，，P0,0,1，，，可得，，
設(shè)異面直線，所成角為，則.
所以異面直線，所成角的余弦值為.
（2）解：由（1）得，.
設(shè)平面的法向量為，則，
令，可得，所以，
因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄浚?br>設(shè)平面與平面的夾角為，則，
所以平面和平面的夾角的余弦值為.
（3）解：設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得，
設(shè)，則，，
所以.所以，，，
所以.所以，
因?yàn)?，，且，平面?br>所以平面，所以是平面的一個(gè)法向量.
若平面，則，所以，此時(shí)方程組無解，
所以在棱上不存在點(diǎn)，使得平面.
4．(1)存在，
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面垂直得線線垂直，再利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可；
（2）求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量夾角公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）存在.
由題意，正四棱柱中，，
以所在直線為軸，軸，軸建立坐標(biāo)系，
則，設(shè)，則，，，，
若直線平面，則且，
所以，解得，此時(shí)，
所以存在點(diǎn)使得直線平面；
（2），，
則，
設(shè)平面與平面法向量分別為，，
由，即，令，則，
由，即，令，則，
設(shè)二面角平面角為，則，
所以二面角的余弦值為.
5．(1)證明見解析；
(2)存在.
【分析】（1）先用線面垂直的判定定理證明平面，再使用面面垂直的判定定理即可；
（2）使用空間向量法直接求解兩平面的夾角（用表示），再根據(jù)夾角條件，解關(guān)于的方程即可.
【詳解】（1）
由于在直三棱柱中，有平面，而在平面內(nèi)，故.
同時(shí)有，且，故.
由于，，且和在平面內(nèi)交于點(diǎn)，故平面.
由于在平面內(nèi)，故.
取的中點(diǎn)，由于分別是和的中點(diǎn)，故，而，故，即.
由于分別是和的中點(diǎn)，可以得到，所以有平行四邊形，故.
設(shè)和交于點(diǎn)，由于，，，
從而得到全等于，故.
這就得到，從而，即.
而，故.
由于，即，而，和在平面內(nèi)交于點(diǎn)，故平面.
由于平面，在平面內(nèi)，故平面平面.
（2）有，又因?yàn)槠矫妫驮谄矫鎯?nèi)，故，.
由于兩兩垂直，故我們能夠以為原點(diǎn)，分別作為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.
由于題設(shè)條件和需要求證的結(jié)論均只依賴于線段間的比值，不妨設(shè)，
這就得到A0,0,0，，，，，，，.
據(jù)題設(shè)有，顯然，此時(shí).
從而有，，，.
設(shè)和分別是平面和平面的法向量，則，.
即，，從而可取，.
此時(shí)平面與平面所成的角的余弦值為，
故條件等價(jià)于，即，解得，
所以存在，使得平面與平面所成的角的余弦值為.
6．(1)證明過程見解析
(2)存在，.
【分析】（1）只需結(jié)合已知證明平面，由面面垂直的判定定理即可進(jìn)一步得證；
（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)，進(jìn)一步表示兩個(gè)平面的法向量，由向量夾角公式建立方程即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)椋裕?br>所以，
又因?yàn)槠矫妫云矫妫?br>因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br>（2）因?yàn)槠矫妫?，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所以，又?br>所以兩兩互相垂直，
所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
如圖，，
設(shè)，
則，
，設(shè)平面的法向量為n1=x1,y1,z1，
則，即，取，滿足條件，
所以可取，
，，設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，解得，
所以，
由題意，
化簡(jiǎn)并整理得，解得或（舍去），
所以，
綜上所述，棱上是否存在一點(diǎn)E，且，使得二面角的余弦值為.
反思提升：
第一步根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)
系，利用向量法證明線線垂直
第二步求兩平面的法向量
第三步計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值)
第四步借助于函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式確定最值
第五步反思解題思路，檢查易錯(cuò)點(diǎn)
【考點(diǎn)3】折疊問題
一、解答題
1．（2024·北京大興·三模）如圖（1），在中，，，將沿折起到的位置，E，F(xiàn)分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，過作平面，交于點(diǎn)Q，使得平面，如圖（2）.
(1)證明：；
(2)若，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角的余弦值.
條件①：平面平面；
條件②：.
2．（23-24高三上·河北·期末）如圖所示，直角梯形PABC中，，，D為PC上一點(diǎn)，且，將PAD沿AD折起到SAD位置．
(1)若，M為SD的中點(diǎn)，求證：平面AMB⊥平面SAD；
(2)若，求平面SAD與平面SBC夾角的余弦值．
3．（21-22高二下·江蘇常州·期中）在中，，分別是上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.

(1)求與平面所成角的大?。?br>(2)在線段上是否存在點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），使平面與平面垂直？若存在，求出與的比值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
4．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）如圖（1）五邊形中，，將沿折到的位置，得到四棱錐，如圖（2），點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且⊥平面.
(1)求證：；
(2)若直線與所成角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值.
5．（23-24高二上·四川南充·階段練習(xí)）如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在，上，，交于點(diǎn)，將沿折到位置，．
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值．
6．（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）一年一度的創(chuàng)意設(shè)計(jì)大賽開幕了．今年小王從世界名畫《永恒的記憶》中獲得靈感，創(chuàng)作出了如圖1的《垂直時(shí)光》．已知《垂直時(shí)光》是由兩塊半圓形鐘組件和三根指針組成的，它如同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓形鐘沿著直徑折成了直二面角（其中對(duì)應(yīng)鐘上數(shù)字3，對(duì)應(yīng)鐘上數(shù)字9）．設(shè)的中點(diǎn)為，若長(zhǎng)度為2的時(shí)針指向了鐘上數(shù)字8，長(zhǎng)度為3的分針指向了鐘上數(shù)字12．現(xiàn)在小王準(zhǔn)備安裝長(zhǎng)度為3的秒針（安裝完秒針后，不考慮時(shí)針與分針可能產(chǎn)生的偏移；不考慮三根北針的粗細(xì)）．

(1)若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖2．連接、，若平面．求半圓形鐘組件的半徑；
(2)若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖3．設(shè)四面體的外接球球心為，求二面角的余弦值．
參考答案：
1．(1)證明見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)定理求解；
（2）選擇條件①：選擇條件②：都是建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解．
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?br>又因?yàn)?、平面，?br>所以平面，而平面，所以平面平面，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br>所以．
（2）選擇條件①：平面平面，
因?yàn)?，?br>所以為二面角的平面角，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?br>所以建立如圖空間直角坐標(biāo)系，又，
所以E，F(xiàn)，Q分別是PC，BC，CD的中點(diǎn)，，，，
，，平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，則得，
令，則，，所以，
設(shè)二面角的平面角為，則，
由題可知，二面角為鈍二面角則，
二面角的余弦值為，
選擇條件②：，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)?，，BC，平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面平面?br>所以，所以，
因?yàn)椋?br>所以建立如圖空間直角坐標(biāo)系，又，
所以E，F(xiàn)，Q分別是，，的中點(diǎn)，，，，
，，平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，則得，
令，則，，所以，
設(shè)二面角的平面角為，則，
由題可知，二面角為鈍二面角，則，
二面角的余弦值為．
2．(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）由線面垂直和面面垂直的判定定理證明即可；
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【詳解】（1）梯形中，，，易知，
所以，而，所以為等邊三角形，
∴，又∵，，
∴，面，，
∴面，∵面，
∴平面平面；
（2）由（1）知△為等邊三角形，
∴為等邊三角形，取AD的中點(diǎn)O，
得，，，∵，∴，
因?yàn)槊?，，∴面?br>以O(shè)為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，
得，，，
，，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
∴得，
令，則，則．
取平面的法向量為，
．
∴平面與平面夾角的余弦值為．
3．(1)
(2)存在，
【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出及平面的法向量后可求線面角的大小.
（2）設(shè)，用表示平面和平面的法向量后可求的值，從而可求兩條線段的比值.
【詳解】（1）在中，因?yàn)?，故?br>故在四棱錐中，有，
而，故平面，因平面，
所以，而，故，
而，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

在中，因?yàn)榻?jīng)過的重心G（如圖），連接并延長(zhǎng)，交于H，
則，故，
因?yàn)?，故?br>在中，，
則，
故，故，又，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
取，則，故，
故，
故與平面所成角的正弦值為，
因?yàn)榕c平面所成角為銳角，故該角為.
（2）設(shè)，則，故，
又，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
取，則，故，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
取，則，故，
因?yàn)槠矫嫫矫?，故?br>所以，故，
所以.
4．(1)證明過程見解析
(2)
【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形為平行四邊形，故，得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，由三線合一得到結(jié)論；
（2）證明出⊥，由正切值求出余弦值，結(jié)合余弦定理求出，由勾股定理逆定理得到⊥，得到線面垂直，進(jìn)而證明出⊥平面，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用空間向量求解線面角的正弦值.
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
所以且，
因?yàn)椋?br>所以，，
故四邊形為平行四邊形，
所以，
因?yàn)椤推矫妫?br>所以⊥平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以⊥，
由三線合一得；
（2）由（1）得，
又因?yàn)椋詾榈冗吶切危?br>故，
因?yàn)椋?，即⊥?br>因?yàn)椋灾本€與所成角的正切值為，
即，故，
又，解得，
設(shè)，則，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
故，由勾股定理逆定理得⊥，
因?yàn)椋矫妫?br>所以⊥平面，
取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，則⊥，
因?yàn)槠矫妫?br>所以⊥，
由三線合一得⊥,
因?yàn)槠矫妫?br>所以⊥平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，
則，
令得，，故，
設(shè)直線與平面所成角大小為，
則.
5．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先利用平行轉(zhuǎn)化得垂直關(guān)系，再利用勾股定理計(jì)算證明線線垂直，然后利用線面垂直判定定理證明線面垂直，
（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量方法求二面角的余弦值.
【詳解】（1）由已知得，，
又由得，故，
因此，從而.
由，得.
由得.所以,.
又已知，于是，
故.又，且，平面.
所以平面.
（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則
，，，，，，
，.
設(shè)是平面的法向量，
則，即，令,可得.
設(shè)n=x2,y2,z2是平面的法向量，
則，即，令,可得，
設(shè)平面與平面的夾角為，
于是，
平面與平面的夾角的余弦值是.
6．(1)
(2)．
【分析】（1）根據(jù)線面平行性質(zhì)定理得出線線平行，再應(yīng)用正弦定理計(jì)算可得半徑；
（2）空間向量法計(jì)算二面角余弦值即可.
【詳解】（1）由平面，平面，平面平面，可得，故，
又由，知為等腰三角形，，，由正弦定理得．故半圓形鐘組件的半徑等于．
（2）依題意，二面角為直二面角，為交線，，故平面．又，故、、兩兩垂直．以為原點(diǎn)，、、為軸、軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．
如圖，，，，．將四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，知即為長(zhǎng)方體的中心，得．則，，．

設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得．
設(shè)平面的法向量為，則，
即，取，得．
則．
故二面角的余弦值為．
反思提升：
1.折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的關(guān)系，尤其是隱含的垂直關(guān)系.一般地，翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.
2.由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個(gè)證明過程圍繞著線面垂直這個(gè)核心展開，這是解決空間垂直問題的技巧.
分層檢測(cè)
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·山西·三模）正方體的棱長(zhǎng)為2，分別為的中點(diǎn)，為底面的中心，則三棱錐的體積是（）
A．B．C．D．
2．（2024·山東臨沂·二模）已知正方體中，M，N分別為，的中點(diǎn)，則（）
A．直線MN與所成角的余弦值為B．平面與平面夾角的余弦值為
C．在上存在點(diǎn)Q，使得D．在上存在點(diǎn)P，使得平面
3．（23-24高二上·北京豐臺(tái)·期中）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）. 數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體. 如圖，已知一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)為2，，分別為棱，的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（）
A．B．
C．D．
4．（2024·北京順義·二模）如圖，正方體中，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，有下列四個(gè)說法：
①存在點(diǎn)P，使得平面；
②對(duì)于任意點(diǎn)P，四棱錐體積為定值；
③存在點(diǎn)P，使得平面；
④對(duì)于任意點(diǎn)P，都是銳角三角形.
其中，不正確的是（）
A．①B．②C．③D．④
二、多選題
5．（2024·山東濱州·二模）圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．若分別沿，把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使、兩點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為，則在四面體中，下列結(jié)論正確的是（）

A．
B．到直線的距離為
C．三棱錐外接球的半徑為
D．直線與所成角的余弦值為
6．（2024·貴州六盤水·三模）（多選）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）
A．的面積為
B．三棱錐的體積為
C．存在點(diǎn)P，使得⊥
D．存在點(diǎn)P，使得⊥平面
7．（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，，分別為的中點(diǎn)，沿將折起到的位置（不在平面上），在折起過程中，下列說法不正確的是（）
A．若是的中點(diǎn)，則平面
B．存在某位置，使
C．當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，三棱錐外接球的表面積為
D．直線和平面所成的角的最大值為
三、填空題
8．（22-23高二下·安徽·階段練習(xí)）已知是平面的法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為 .
9．（2024·北京房山·一模）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，不重合）．給出下列結(jié)論：
①存在點(diǎn)P，使得平面平面；
②對(duì)任意點(diǎn)P，都有；
③面積的最小值為；
④若是平面與平面的夾角，是平面與平面的夾角，則對(duì)任意點(diǎn)P，都有．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．
10．（2024·北京西城·一模）如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直．點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．設(shè)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在點(diǎn)，使；
②存在點(diǎn)，使；
③到直線和的距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)；
④若，則四面體體積的最大值為．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．
四、解答題
11．（2024·天津北辰·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，∥，，，為棱的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求平面和平面夾角的余弦值；
(3)求A點(diǎn)到直線的距離.
12．（2023·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）箏形是指有一條對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的四邊形．如圖，四邊形為箏形，其對(duì)角線交點(diǎn)為，將沿折到的位置，形成三棱錐．

(1)求到平面的距離；
(2)當(dāng)時(shí)，在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
參考答案：
1．B
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，利用向量法求解點(diǎn)面距離，即可根據(jù)體積公式求解.
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,
,
設(shè)平面法向量為m=x,y,z，
則，取，則m=1,1,-2，
故到平面的距離為，
而,
故,
故，
故選：B
2．C
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，由空間向量計(jì)算異面直線所成角，二面角和線線垂直可判斷ABC；由四點(diǎn)共面，而平面可判斷D.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，
所以，，
，
對(duì)于A，，，
直線MN與所成角的余弦值為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，
取，可得，所以，
，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
平面與平面夾角的余弦值為：
，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)镼在上，設(shè)，所以，，
則，所以，
所以，，
所以，解得：.
故上存在點(diǎn)，使得，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以四點(diǎn)共面，
而平面，所以上不存在點(diǎn)P，使得平面，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
.
3．D
【分析】根據(jù)題意得到，，然后由向量的數(shù)量積公式分別求出，結(jié)合向量的夾角運(yùn)算公式，即可求解.
【詳解】如圖所示：

由題意，可得，，
又由正八面體的棱長(zhǎng)都是2，且各個(gè)面都是等邊三角形，
在中，由，可得，所以，所以
；
；
；
所以，
即直線和夾角的余弦值為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選取適當(dāng)?shù)幕紫蛄浚梢阎獥l件可以求出它們的模以及兩兩之間的夾角，所以只需把分解，然后由向量的夾角公式即可求解.
4．C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由直線的方向向量與平面的法向量的位置關(guān)系判斷說法①；由棱錐的底面積和高為定值得體積為定值判斷說法②；利用向量數(shù)量積驗(yàn)證垂直關(guān)系判斷說法③；利用向量的模和向量夾角的計(jì)算，驗(yàn)證說法④.
【詳解】以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，
則，，
設(shè)，
，，，
平面的一個(gè)法向量為，，
令，則，即，
若，得，
則時(shí)，，又平面，所以平面，
即點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，平面，說法①正確；
正方體中，平面平面，平面，
則點(diǎn)到平面的距離為定值，又正方形面積為定值，
所以對(duì)于任意點(diǎn)P，四棱錐體積為定值，說法②正確；
，，,
若平面，則有，方程組無解，
所以不存在點(diǎn)P，使得平面，說法③錯(cuò)誤；
，，，
，，
則中，，都是銳角，
，也是銳角，
所以對(duì)于任意點(diǎn)P，都是銳角三角形，說法④正確.
只有說法③不正確.
故選：C.
5．AC
【分析】首先證明平面，即可判斷A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算B、D，求出外接圓的半徑，再由勾股定理求出三棱錐外接球的半徑，即可判斷C.
【詳解】對(duì)于A：翻折前，，
翻折后則有PB⊥PA，，
因?yàn)?，、平面?br>所以平面，平面，所以，故A正確；

對(duì)于B：又，即為等邊三角形，所以，
在平面中過點(diǎn)作，則，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
所以，，
令，，所以到直線的距離為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：所以的外接圓的半徑，
設(shè)三棱錐外接球的半徑為，
因?yàn)槠矫?，所以，所以?br>即三棱錐外接球的半徑為，故C正確；
對(duì)于D：由，設(shè)直線與直線所成角為，，
則
所以直線與直線所成角的余弦值為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
6．BD
【分析】選項(xiàng)A：當(dāng)點(diǎn)P與重合，為邊長(zhǎng)是的等邊三角形，求出三角形面積，即可判斷；選項(xiàng)B：利用等體積轉(zhuǎn)化法求解即可；選項(xiàng)C：以為直徑的球面與直線沒有公共點(diǎn)，即可判斷；選項(xiàng)D：當(dāng)P為的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證．
【詳解】A選項(xiàng)，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，
點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P與重合時(shí)，為等邊三角形，
邊長(zhǎng)為，
故的面積為，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>其中，
表示點(diǎn)P到平面的距離，故，
所以三棱錐的體積為，故B正確；
C選項(xiàng)：在正方體中，以為直徑的球面，半徑，
則直線與該球面沒有公共點(diǎn)，故不存在點(diǎn)P，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：取的中點(diǎn)M，連接PM，
當(dāng)P為的中點(diǎn)時(shí)，即為的交點(diǎn)時(shí)，
因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形?br>故，
又，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
因?yàn)椤推矫妫?br>易知⊥平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以PM⊥，
又因?yàn)樵谡襟w中，⊥，
而，所以⊥平面，故D正確．
故選：BD．
7．ABD
【分析】對(duì)于A，利用反證法，假設(shè)結(jié)論成立，再利用面面平行推出線面平行，得到矛盾，故A錯(cuò)；對(duì)于B，同樣采用反證法，假設(shè)結(jié)論成立，利用線線垂直推線面垂直，再結(jié)合空間向量，能得到矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，主要根據(jù)題目，判斷得到該四面體各個(gè)面都是直角三角形，根據(jù)外接球性質(zhì)，即可知道球心位置，從而求解；對(duì)于D，利用線面角，可以判斷出當(dāng)平面平面時(shí)，直線和平面所成的角的最大，從而求出該角的正切值，即可求解.
【詳解】取中點(diǎn)，連接.若A正確，平面，且為三角形中位線，則，面，則面，
因?yàn)槠矫?br>所以平面平面，
因?yàn)槊嫫矫婷嫫矫?br>所以，顯然，為三角形中位線，，矛盾，故假設(shè)不成立，A錯(cuò)誤；
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為y軸正半軸，在平面中作與AD垂直方向?yàn)閤軸正半軸，z軸垂直平面，建立空間坐標(biāo)系.
因?yàn)椋?，所以?br>所以，所以，所以，即，
又因?yàn)椋瑒t，
若B正確，則有，因?yàn)槠矫妫?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，則必定成立.
則根據(jù)題意，可得、、、.，，
則，即不成立，故矛盾，所以B不成立；
當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，即平面平面.
根據(jù)上面可知，所以，
又，
因?yàn)?，平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以?br>故四面體為所有面都是直角三角形的四面體，根據(jù)外接球性質(zhì)可知，球心必為中點(diǎn)，即為外接球半徑.
，，由勾股定理可知，則，外接球面積為，故C正確.
當(dāng)平面平面時(shí)，直線和平面所成的角的最大，記此時(shí)角為.
由上圖可知，在中，，由余弦定理可解得.
此時(shí).此時(shí)，故D錯(cuò).
故選：ABD
8．/
【分析】求出的坐標(biāo)，根據(jù)空間點(diǎn)到平面的距離的向量求法，即可求得點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】由題意可得，
又是平面的法向量，
則點(diǎn)到平面的距離為，
故答案為：
9．①②③
【分析】①可通過線面垂直的判定定理找到點(diǎn)P；②③④都可以通過建立空間直角坐標(biāo)系解決，其中通過向量的長(zhǎng)度可以對(duì)②進(jìn)行判斷；利用兩條直線所成的角和三角形面積公式可以判斷③；求出三個(gè)面的法向量，并求出和，即可對(duì)④進(jìn)行判斷.
【詳解】①因?yàn)椋谏先↑c(diǎn)使，
因?yàn)椋矫?，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以平面平面，故①正確；
②以為原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖
，，，，則，，
設(shè)，則，,
從而，，所以，故②正確；
③由②，，，
，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最小值為，故③正確；
④平面的法向量，平面的法向量，
設(shè)平面的法向量，
由即得，
令得，
則，，
令得或，而，故，
從而對(duì)存在點(diǎn)P，使得，而不大于直角，
故，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①②③.
10．①③④
【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量研究位置關(guān)系，結(jié)合距離公式、三棱錐體積公式逐項(xiàng)判斷即可得.
【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則有A0,0,0、、、、、，
設(shè)，，其中，，
對(duì)①：，則，
當(dāng)，，時(shí)，有，
故存在點(diǎn)，使，故①正確；
對(duì)②：，，
若，則有，
由，，故當(dāng)時(shí)，，，
此時(shí)有，即，即，
此時(shí)與重合，與重合，故不存在點(diǎn)，使，故②錯(cuò)誤；
對(duì)③：點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，
即有，即，由，
故其軌跡為雙曲線的一部分，即點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，故③正確；
對(duì)④：，，
由，故有，則，
又，
故，故④正確.
故答案為：①③④.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第④個(gè)結(jié)論的關(guān)鍵點(diǎn)在于借助四面體的體積公式，分別求出高與底面三角形的最大值.
11．(1)證明見詳解
(2)
(3)
【分析】（1）取中點(diǎn)，可得四邊形為平行四邊形，從而，利用線面平行的判定定理即可得證；
（2）建系標(biāo)點(diǎn)，求出平面BDM的法向量，易知為平面PDM的一個(gè)法向量，利用向量夾角公式求解可得答案.
（3）利用空間向量求得，即可得，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，．
在中，，分別為，的中點(diǎn)，則，，
因?yàn)椋?，則，，
可知四邊形為平行四邊形，則，
且平面，平面，所以平面PAD．
（2）因?yàn)槠矫妫?，平面ABCD，
則，，且，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
取CD的中點(diǎn)，連接BE，
因?yàn)?，，則，，
又因?yàn)?，所以四邊形ABED為矩形，
且，可知四邊形ABED是以邊長(zhǎng)為2的正方形，
則，，，，，，
可得，，，
設(shè)平面BDM的法向量為，所以，
令，則，．所以平面BDM的一個(gè)法向量為，
易知為平面PDM的一個(gè)法向量，
所以，
所以平面和平面夾角的余弦值為.
（3）由（2）可知：，
則，
即，可知為銳角，
則，
所以A點(diǎn)到直線的距離為.
12．(1)1
(2)存在；或
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定可得平面，進(jìn)而可得到平面的距離.
（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，再設(shè)，根據(jù)線面角的空間向量求法求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以不可能為四邊形的對(duì)稱軸，則為四邊形的對(duì)稱軸，
所以垂直平分，所以．
平面平面
所以平面．
所以到平面的距離．
（2）存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為．
過作平面，所以兩兩垂直.
以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系

由（1）得平面平面，因?yàn)?br>所以．
設(shè)，
，
，
設(shè)平面的法向量，
，所以
令，則，
所以平面的一個(gè)法向量，
設(shè)直線與平面所成角為，，
．
所以或，所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為或．
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·湖南邵陽·二模）如圖所示，在矩形中，，，平面，且，點(diǎn)為線段（除端點(diǎn)外）上的動(dòng)點(diǎn)，沿直線將翻折到，則下列說法中正確的是（）
A．當(dāng)點(diǎn)固定在線段的某位置時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為球面
B．存在點(diǎn)，使平面
C．點(diǎn)到平面的距離為
D．異面直線與所成角的余弦值的取值范圍是
二、多選題
2．（2024·山西晉城·二模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P是側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）
A．當(dāng)點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，存在點(diǎn)E，使得平面
B．當(dāng)點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)A，E，的平面截該正方體所得的截面的面積為
C．點(diǎn)E到直線的距離的最小值為
D．當(dāng)點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
三、填空題
3．（2023·江西宜春·一模）如圖，多面體中，面為正方形，平面，且為棱的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：
①當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面；
②存在點(diǎn)，使得；
③直線與所成角的余弦值的最小值為；
④三棱錐的外接球的表面積為.
其中正確的結(jié)論序號(hào)為 .（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）
四、解答題
4．（2024·北京·三模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，為中點(diǎn)，．
(1)設(shè)平面平面，求證：；
(2)從條件①，條件②，條件③中選擇兩個(gè)作為已知，使四棱錐存在且唯一確定．
（ⅰ）求平面與平面所成角的余弦值；
（ⅱ）平面交直線于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．
條件①：平面平面；
條件②：；
條件③：四棱錐的體積為．
參考答案：
1．D
【分析】當(dāng)點(diǎn)固定在線段的某位置時(shí)，線段的長(zhǎng)度為定值，，過作于點(diǎn)，為定點(diǎn)，的長(zhǎng)度為定值，由此可判斷A；無論在（端點(diǎn)除外）的哪個(gè)位置，均不與垂直，即可判斷B；以，，為x，y，z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量為，由點(diǎn)到平面的距離公式求解，即可判斷C；設(shè)，，利用向量夾角公式求解，即可判斷D.
【詳解】
選項(xiàng)A：當(dāng)點(diǎn)固定在線段的某位置時(shí)，線段的長(zhǎng)度為定值，，過作于點(diǎn)，為定點(diǎn)，的長(zhǎng)度為定值，且在過點(diǎn)與垂直的平面內(nèi)，故的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故A錯(cuò)；
選項(xiàng)B：無論在（端點(diǎn)除外）的哪個(gè)位置，均不與垂直，故不與平面垂直，故B錯(cuò)；
選項(xiàng)C：以，，為x，y，z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．
，
設(shè)平面的法向量為，取，
則點(diǎn)到平面的距離為，故C錯(cuò)；
選項(xiàng)D：設(shè)，，，，設(shè)與所成的角為，則，故D正確.
故選：D．
2．ACD
【分析】由題意分別畫出圖形，再逐項(xiàng)解決線面垂直、截面面積、距離最值和軌跡問題即可.
【詳解】對(duì)于A，如下圖所示，連接，
因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)也是線段的中點(diǎn)，
所以平面即為平面.
根據(jù)正方體的性質(zhì)，平面，平面，
所以，
又因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面，所以與重合時(shí)，平面，故A正確；
對(duì)于B，如下圖所示，取的中點(diǎn)，
根據(jù)分別為的中點(diǎn)，易得，
所以四點(diǎn)共面，
所以截面為四邊形，且該四邊形為等腰梯形.
又因?yàn)椋?br>所以等腰梯形的高為，
所以截面面積為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
由圖可得，，所以，
設(shè)，所以，
所以點(diǎn)到直線的距離，
所以時(shí)，距離最小，最小為，故C正確；
對(duì)于D，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，
易得平面，
又因?yàn)槠矫?，所以?br>所以，
則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以為圓心，半徑為2的劣弧，圓心角為，
所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故D正確.
故選：ACD.
3．①④
【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，以及線線垂直的判定，結(jié)合異面直線所成角，以及棱錐外接球半徑的求解，對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行逐一求解和分析即可.
【詳解】對(duì)①：當(dāng)H為DE的中點(diǎn)時(shí)，取中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
故可得//，，
根據(jù)已知條件可知：//，
故//，
故四邊形為平行四邊形，則//，又平面平面，
故//面，故①正確；
對(duì)②：因?yàn)槠矫?，平面?br>故，
又四邊形為矩形，
故，則兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
則，設(shè)，，
若，則，不滿足題意，故②錯(cuò)誤；
對(duì)③：，，
，
，，，
，，
令，設(shè)，，，
則，當(dāng)時(shí)，
根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得，則，
當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，故③錯(cuò)誤；
對(duì)④：由題可得平面，又面為正方形，
∴，
∴AB⊥平面BCF，則AB，BC，CF兩兩垂直，
∴AF為三棱錐的外接球的直徑，
又，
∴三棱錐的外接球表面積為，故④正確.
故答案為：①④.
4．(1)證明見解析；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
【分析】（1）利用線面平行的判定、性質(zhì)推理即得.
（2）選條件①③或②③，證明底面，求出，（ⅰ）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，進(jìn)而求出面面角；（ⅱ）令，利用垂直關(guān)系的向量表示求出即可.
【詳解】（1）在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，則，
而平面平面，于是平面，
又平面，且平面平面，所以.
（2）選條件①③，平面平面，四棱錐的體積為，
連接和交于點(diǎn)，連接，顯然是中點(diǎn)，由，得，
而平面平面，平面，底面，
，，解得，
選條件②③，，四棱錐的體積為，
連接和交于點(diǎn)，連接，顯然是中點(diǎn)，由，得，
又是中點(diǎn)，由，得，而平面，則，底面，
，，解得，
若選條件①②，平面平面，，此2條件均可證明底面，
點(diǎn)的位置不確定，即四棱錐存在，但不唯一，因此條件①②不可選.
（i）以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則，令，得，
平面的法向量為，因此，
所求平面與平面所成角的余弦值為.
（ii）平面交線段于點(diǎn)，由（i）知，，
設(shè)，則，
由，得，所以.
【培優(yōu)篇】
一、解答題
1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在梯形中，，，.將沿對(duì)角線折到的位置，點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影H恰好落在直線上.
(1)求二面角的正切值；
(2)點(diǎn)F為棱上一點(diǎn)，滿足，在棱上是否存在一點(diǎn)Q，使得直線與平面所成的角為?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
2．（23-24高二上·浙江湖州·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，且，，，，，為的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，.

(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.
參考答案：
1．(1)
(2)存在，
【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，可證得平面，進(jìn)而可知為二面角的平面角，利用三角形計(jì)算即可得出結(jié)果.
（2）連接，由為等邊三角形，H為線段的中點(diǎn)，，又平面，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，假設(shè)棱上存在滿足要求的點(diǎn)，設(shè)，，利用，計(jì)算可求得，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，
平面，平面，，
又，平面，平面，
平面，，.
為二面角的平面角.
∵，，∴為等邊三角形，，
又中，，，，.
又，，，H為線段的中點(diǎn).
，，
中，，，
所以二面角的正切值為.
（2）連接，為等邊三角形，H為線段的中點(diǎn)，，
又平面，則，，兩兩垂直，
以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，.
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，，
令，可得.
假設(shè)棱上存在滿足要求的點(diǎn)Q，設(shè)，，.
，
因?yàn)橹本€與平面所成的角為，
，
整理得：，解得或（舍去）.
所以，則.
所以當(dāng)時(shí)，與平面所成的角為.
2．(1)證明見解析
(2)存在，1
【分析】（1）取中點(diǎn)，連，證明為平行四邊形，得線線平行，進(jìn)而證明線面平行；
（2）由長(zhǎng)度計(jì)算利用勾股定理證明垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，利用法向量方法得兩平面夾角的余弦值建立方程求得，則得的值.
【詳解】（1）

取中點(diǎn)，連，
由為的中點(diǎn)，則，又，
則，又，
所以四邊形為平行四邊形，
則，平面，平面，
則平面.
（2）取中點(diǎn)，連，
由且，則四邊形是平行四邊形，
故，又，則，
所以，由，則，
在中，，
由余弦定理得，
則，而，所以，
則，即，又，所以平面，
在平面內(nèi)作.
以為軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，
則可得，
設(shè)平面的法向量，
則，令，
則；
設(shè)平面的法向量，
則，令，則；
所以，
解得，
所以假設(shè)成立，即存在，且時(shí)，使得平面與平面的夾角的余弦值為.

3．(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）用向量法證明即可；
（2）假設(shè)存在，根據(jù)線面角的公式運(yùn)算即可得解.
【詳解】（1）以為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，

，，，，
，，，
設(shè)面的法向量為，
，令，則，
，
平面，，
平面；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，
則，
設(shè)面法向量，
，，
，令，則，
，
，即，
，
故存在滿足題意的點(diǎn)，此時(shí).

相關(guān)學(xué)案

相關(guān)學(xué)案更多

相關(guān)學(xué)案

相關(guān)學(xué)案 更多

相關(guān)學(xué)案更多